函數(shù)的單調(diào)性與求函數(shù)的最值[教學(xué)類別]

1、函數(shù)的單調(diào)性與最值復(fù)習(xí)：按照列表、描點(diǎn)、連線等步驟畫出函數(shù)的圖像. 圖像在軸的右側(cè)部分是上升的，當(dāng)在區(qū)間0，+)上取值時(shí)，隨著的增大,相應(yīng)的值也隨著增大，如果取0，+)，得到,那么當(dāng)時(shí)，有.這時(shí)就說函數(shù)=在0,+ )上是增函數(shù). 圖像在軸的左側(cè)部分是下降的，當(dāng)在區(qū)間0，+)上取值時(shí)，隨著的增大,相應(yīng)的值反而隨著減小，如果取0，+)，得到,那么當(dāng)時(shí)，有。這時(shí)就說函數(shù)=在0,+ )上是減函數(shù). 1函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)

2、在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f (x )在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的 在單調(diào)區(qū)間上減函數(shù)的圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間注意：（1）函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；（2）注意區(qū)間上所取兩點(diǎn)x1,x2的任意性；（3）函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，它是一個(gè)局部概念。（4）若函數(shù)在其定義內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間、上都是單調(diào)增（減）函數(shù)，一般不能認(rèn)簡(jiǎn)單地認(rèn)為在區(qū)間上是增（減）函數(shù). 例如在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上也是減函

3、數(shù)，但不能說它在定義域上是減函數(shù).（3）用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性：定義域取值；任取x1，x2D，且x1x2；作差；作差f(x1)f(x2)；變形；通常是因式分解和配方；定符號(hào)；即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)下結(jié)論指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性例1 證明函數(shù)在(0,+)上是減函數(shù).證明：設(shè),是(0,+)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且0,又由0 ,于是0,即 在(0,+ )上是減函數(shù).練習(xí)：討論函數(shù)在-1,0的單調(diào)性.在-1,0上任取x1,x2且x1x2則,從而-= = 另外，恒有-1x1x20 則 x1+x20 則- 在-1，0上f(x)為增函數(shù)2.基本函數(shù)的單調(diào)性例：討論函數(shù)在(-2,2)

4、內(nèi)的單調(diào)性.解：，對(duì)稱軸 若,則在(-2,2)內(nèi)是增函數(shù)；若則在(-2,a)內(nèi)是減函數(shù),在a,2內(nèi)是增函數(shù)若,則在(-2,2)內(nèi)是減函數(shù).3.判斷函數(shù)的單調(diào)性的常見結(jié)論設(shè)任意x1，x2a，b，且x1x2，那么 f(x)在a，b上是增函數(shù)；f(x)在a，b上是減函數(shù)設(shè)任意x1，x2a，b，那么 f(x)在a，b上是增函數(shù)；f(x)在a，b上是減函數(shù) (x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函數(shù)；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是減函數(shù)【梳理總結(jié)】 （1）函數(shù)與的單調(diào)性相反；（2）當(dāng)函數(shù)恒為正或恒有負(fù)時(shí)，與函數(shù)的單調(diào)性相反；（3）函數(shù)與函數(shù)（為常數(shù)）的單調(diào)性相同

5、；（4）當(dāng)（為常數(shù)）時(shí)，與的單調(diào)性相同；當(dāng)（為常數(shù)）時(shí)，與的單調(diào)性相反；（5）函數(shù)、都是增（減）函數(shù)，則仍是增（減）函數(shù)；（6）若且與都是增（減）函數(shù)，則也是增（減）函數(shù)；若且與都是增（減）函數(shù)，則也是減（增）函數(shù)；（7）設(shè)，若在定義域上是增函數(shù)，則、都是增函數(shù).例：求函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間.4. 關(guān)于分段函數(shù)的單調(diào)性(1)若函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù), 在區(qū)間上是增函數(shù),則在區(qū)間上不一定是增函數(shù),若使得在區(qū)間上一定是增函數(shù),需補(bǔ)充條件: (2)若函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù), 在區(qū)間上是減函數(shù),則在區(qū)間上不一定是減函數(shù),若使得在區(qū)間上一定是減函數(shù),需補(bǔ)充條件: 例：已知函數(shù)若對(duì)任意x1，x2，都有成立，則實(shí)

6、數(shù)a的取值范圍是()A(0, B(0,1) C,1) D(0,3)5函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件.對(duì)于任意xI，都有f(x)M；對(duì)于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M存在x0I，使得f(x0)M.結(jié)論M為最大值，記作M為最小值，記作例：f(x)x22x (x2,4)的單調(diào)增區(qū)間為_；f(x)max_.6.利用函數(shù)的單調(diào)性求最值例題：已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，yR，總有f(x)f(y)f(xy)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，f(1).(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值(1)證明:令,則;再令,則應(yīng)

7、有,從而在上任取,則.又時(shí),從而,即,由定義可知函數(shù)在上的減函數(shù).(2) 函數(shù)是上的減函數(shù),在區(qū)間上也是減函數(shù).從而可知在區(qū)間上,最大,最小.即在上的最大值為2,最小值為2.練習(xí)：已知定義在區(qū)間（0，+）上的函數(shù)f(x)滿足f()f(x)f(y).，且當(dāng)x1時(shí)，f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）判斷f(x)的單調(diào)性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.（1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。（2）當(dāng)0 y 1，所以f(x) - f(y) = f(x/y) 9， x9或x-97.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（1）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就

8、是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，也就是說，曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率是，切線方程為（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：設(shè)函數(shù)y=f(x) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)0，那么函數(shù)y=f(x) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)0，那么函數(shù)y=f(x) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)。（3）幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（4）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則. . .8. 求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：確定函數(shù)的定義域；計(jì)算導(dǎo)數(shù)，令，解此不等式，求出遞增區(qū)間；令0；(x1x2)f(x1)f(x2)0；0.其中能推出函數(shù)yf(x)為增函數(shù)的命題為_.(填序號(hào))11.函數(shù)的遞減區(qū)間是 答案：(-,-3) 提示:借助復(fù)合函數(shù)

9、的單調(diào)性加以判斷.12.已知函數(shù)yf(x)在R上是減函數(shù)，A(0，2)、B(3,2)在其圖象上，則不等式2f(x)2的解集為_.綜合練習(xí)：1.已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，A(0，1)、B(3，1)是其圖像上的兩點(diǎn)，那么不等式 |f(x1)|1的解集的補(bǔ)集是（ ） A(1，2) B(1，4) C(，1)4，） D(，1)2，）2. 已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1)(2，) B(1,2) C(2,1) D(，2)(1，)解析：f(x)由f(x)的圖象可知f(x)在(，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，由f(2a2)f(a)得2a2a，即a2a20，解得2

10、a1.故選C.4.已知在實(shí)數(shù)集上是減函數(shù)，若，則下列正確的是（ ）AB C D答案：D 提示:且在實(shí)數(shù)集上是減函數(shù)，從而知,從而選D.5. f(x)是定義在(0，+)上的增函數(shù)，且f()f(x)f(y).(1)求f(1)的值； (2)若f(2)1，解不等式f(x+3)f()2.【解】(1)令，從而得f(1)=; (2)，因?yàn)閒(x)是定義在(0，+)上的增函數(shù)，所以原不等式f(x+3)()f(4) 解得從而原不等式的解集為6. 函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x0時(shí)，f(x)1.（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.（1）設(shè)x1,x2R，且x1x2, 則x2-x10,f(x2-x1)1. f(x2)-f(x