X射線衍射原理

1、第三章 X射線的衍射方向 1、衍射的兩個(gè)基本要素 2、晶體的衍射方向 （1）勞厄（Laue）方程 （2）布拉格（Bragg）方程 3、衍射花樣與晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系 4、倒易點(diǎn)陣中的衍射矢量與厄爾瓦德圖解 5、勞厄方程與布拉格方程的等效性 使用X X射線研究問(wèn)題，主要是利用 在晶體中產(chǎn)生的現(xiàn)象。 3.1.1 晶體的X射線衍射： 當(dāng)一束X射線照射到晶體上時(shí)，首先被所， 每個(gè)電子都是一個(gè)，向空間輻射出與入 射波同頻率的電磁波?？梢园丫w中都看作 一個(gè)，同樣各自向空間輻射與入射波 的電磁波。由于這些，使 得空間某些方向上波相互，在這個(gè)方向上 衍射線，而另一些方向上波相互相抵消， 。 X射線在晶體中的，是

2、。 晶體的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)使晶體對(duì)X X射線、中子流和電子流等產(chǎn) 生衍射。其中X X射線法最重要，已測(cè)定了二十多萬(wàn)種晶 體的結(jié)構(gòu)，是物質(zhì)空間結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的主要來(lái)源。 晶體所產(chǎn)生的衍射花樣都反映出晶體內(nèi)部的原子 分布規(guī)律。 晶體的X射線衍射包括兩個(gè)要素： （1） ， 由晶胞大小（a）、類別和位向決定（hkl）。 （2） ，取決于原 子的種類和它們?cè)诰О械南鄬?duì)位置。 X X射線衍射理論所要解決的中心問(wèn)題: : 在衍射 現(xiàn)象與晶體結(jié)構(gòu)之間建立起定性和定量的關(guān)系， 這個(gè)關(guān)系的建立依靠一個(gè)參數(shù)聯(lián)系-晶面間距。 3.1.2 衍射的兩個(gè)要素 晶體衍射方向就是X射線射入周期性排列的晶體 中的原子、分子，產(chǎn)生散射后次生X

3、射線干涉、 疊加相互加強(qiáng)的方向。討論衍射方向的方程有： 勞厄Laue方程 和 布拉格Bragg方程。 前者從一維點(diǎn)陣出發(fā)，后者從平面點(diǎn)陣出發(fā)， 兩個(gè)方程是等效的。 3.2 晶體的衍射方向 為什么在這個(gè)方向上能產(chǎn)生衍射，而不是其他方向？ 回答這個(gè)問(wèn)題就涉及到衍射方向的問(wèn)題 入射X射線 中心線 衍射方向 底片 The Nobel Prize in Physics 1914The Nobel Prize in Physics 1914 Max von LaueMax von Laue Germany Frankfurt University Frankfurt-on-the Main, German

4、y 1879 - 1960 勞厄 19141914年獲物理獎(jiǎng) M. (Max von Laue,1879-1960) 18791879年1010月1010日生于德國(guó)科布倫茨附近的 普法芬多爾夫。18981898年中學(xué)畢業(yè)后一邊在軍 隊(duì)服務(wù)，一邊在斯特拉斯堡大學(xué)學(xué)習(xí)。18991899 年轉(zhuǎn)到哥廷根大學(xué)，研究理論物理，19031903年 在PlankPlank指導(dǎo)下獲博士學(xué)位，19091909年為慕尼黑 大學(xué)理論物理所研究人員，19121912年起他先后 在蘇黎世大學(xué)、法蘭克福大學(xué)，柏林大學(xué)任 教。19211921年成為普魯士科學(xué)院院士，19211921 19341934年是德國(guó)科學(xué)資助協(xié)會(huì)物理委

5、員會(huì)主席， 二戰(zhàn)中，他是德國(guó)學(xué)者中抵制希特勒國(guó)家社 會(huì)主義的代表人物之一，因此失去物理所顧 問(wèn)位置，19551955年重被選進(jìn)德國(guó)物理學(xué)會(huì)， 19601960年4 4月2424日因車禍去世。 主要成就：在第一次世界大戰(zhàn)期間，他與 維恩一起發(fā)展電子放大管，用于改進(jìn)軍用通 訊技術(shù)，1907年，他從光學(xué)角度支持愛(ài)因斯 坦狹義相對(duì)論，1910年寫了一本專著，最重 要貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了“X射線通過(guò)晶體的衍射”。 (1) 直線點(diǎn)陣的衍射方向（衍射條件） 設(shè)有原子組成的直線點(diǎn)陣，相鄰兩原子間的距離為 a a，如圖所示，X X射線入射方向S S0 0與直線點(diǎn)陣的交角 為0 0。 3.2.1 3.2.1 勞厄Laue

6、Laue方程 S0 原子直線點(diǎn)陣 0 S 入射角OPB= 0 散射角POA= a 若在與直線點(diǎn)陣交成角的方向S S發(fā)生衍射，則相鄰波列的 光程差應(yīng)為波長(zhǎng)的整數(shù)倍， 這就是原子直線點(diǎn)陣產(chǎn)生衍射的條件！ 即 OAPBH， H為整數(shù) (H=0，1，2，) 。 cosaOA 0 cosaPB 因?yàn)椋?S0 原子直線點(diǎn)陣 0 S 入射角OPB= 0 散射角POA= a Ha aa )cos(cos coscos 0 0于是， J 研究衍射方向就是確定角。 因?yàn)橛纱紊ㄔl(fā)出的X射線為球面電磁波，故 與直線點(diǎn)陣交角為的方向的軌跡是以直線點(diǎn)陣 為軸的圓錐面。 直線點(diǎn)陣衍射線形狀 S0 原子直線點(diǎn)陣 0 S

7、入射角OPB= 0 散射角POA= a H H H H H （a）當(dāng)090o時(shí)，H等于n和n（n=1，2，3，）的兩 套圓錐面并不對(duì)稱. （b）當(dāng)090o時(shí)，h=0的圓錐面蛻化為垂直于直線點(diǎn)陣的 平面，這時(shí)h等于n和n的兩套圓錐面就是對(duì)稱的了。 H H H H H H H H H H （a）若放置照像板與直線點(diǎn)陣垂直，所 得到的是一些同心圓。 （b）若放置照像板與直線點(diǎn)陣平行，在一般 情況下所得到的是一些曲線，在090o時(shí)所 得到的是一組雙曲線。 設(shè)空間點(diǎn)陣的三個(gè)素平移向量為a ,b和c,入射 的X射線與它們的交角分別為0，0和0。衍 射方向與它們的交角分別為，和，根據(jù)上 述的討論可知，角，和

8、應(yīng)滿足下列條件： 設(shè)空間點(diǎn)陣的三個(gè)平移向量為a ,ba ,b和c,c,入射的X X射線與它們的 交角分別為0 0，0 0和0 0。衍射方向與它們的交角分別為， 和 。根據(jù)上述討論可知，衍射角，和在x, y, zx, y, z三 個(gè)軸上應(yīng)滿足以下條件： a(cos-cos0) = H b(cos-cos0) = K c(cos-cos0) = L H，K，L， 0 0 ，1，2， 式中為波長(zhǎng)，H, K, L 均為整數(shù)，HKL 稱為衍射指標(biāo)。 上式稱為勞埃（Laue）方程 衍射指標(biāo)和晶面指標(biāo)不同，晶面指標(biāo)是互質(zhì)的整數(shù)，衍射指標(biāo)都是整數(shù)但 不定是互質(zhì)的。為了區(qū)別起見(jiàn)，在以下的討論中我們用hklhkl

9、來(lái)表示晶面指標(biāo)。 (2) 三維空間點(diǎn)陣衍射的條件 討論： 勞厄方程中，對(duì)于每組HKLHKL，可得到三個(gè)衍射圓錐， 只有同時(shí)滿足勞厄方程組才能出現(xiàn)衍射，衍射方向是三 個(gè)圓錐面的共交線。另外，不是完全彼此獨(dú) 立，這三個(gè)參數(shù)直接還存在著一個(gè)函數(shù)關(guān)系： F(F(，)0 0 例如當(dāng)，相互垂直時(shí)，則有 coscos2 2coscos2 2coscos2 21 1。 ，共計(jì)三個(gè)變量，但要求它們滿足上述的四個(gè)方 程，這在一般情況下是辦不到的，因而不能得到衍射圖。 為了獲得衍射圖必須增加一個(gè)變量。 可采用兩種辦法： （1 1）一種辦法是晶體不動(dòng)（即0 0，0 0，0 0固定），只 讓X X射線波長(zhǎng)改變（改變）；

10、 即：變，晶體不動(dòng)（即0，0，0不變） - 勞厄法 （2 2）另一種辦法是采用單色X X射線（固定），但改變 0 0，0 0，0 0的一個(gè)或兩個(gè)以達(dá)到產(chǎn)生衍射的目的。 不變， 0，0，0中一個(gè)或兩改變 -回轉(zhuǎn)晶體法和粉末法。 a(cos-cos0) = H b(cos-cos0) = K c(cos-cos0) = L 布拉格方程的導(dǎo)出 布拉格方程的討論 The Nobel Prize in Physics 1915 Sr.William Henry Bragg Sr.William Henry Bragg Jr.William Lawrence BraggJr.William Lawrenc

11、e Bragg Great Britain Great Britain 布拉格 19151915年物理獎(jiǎng) William Henry Bragg, 1862-1942) William Lawrence Bragg （1890- 1971） 1862年7月2日生于英格蘭西部的坎伯 蘭，曾被保送進(jìn)威廉皇家學(xué)院學(xué)習(xí)，后進(jìn) 入劍橋大學(xué)三一學(xué)院攻讀數(shù)學(xué)，并在卡文 迪什實(shí)驗(yàn)室學(xué)習(xí)物理。1885年在澳大利亞 阿德萊德大學(xué)任教，1907年，被選進(jìn)倫敦 皇家學(xué)會(huì)，1909年回英國(guó)利茲大學(xué)任教， 1915年到倫敦大學(xué)任教，1935-1940年任皇 家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，在英國(guó)科學(xué)界負(fù)有盛名，并 被授予巴黎、華盛頓、哥本哈

12、根，阿姆斯 特丹等國(guó)外科學(xué)院院士稱號(hào)，1942年3月病 逝于倫敦。 主要成就：可分為兩個(gè)階段，第一階段在 澳大利亞，研究靜電學(xué)、磁場(chǎng)能量及放射 射線，第二階段即1912年后，與兒子一起 推導(dǎo)出布拉格關(guān)系式， 說(shuō)明X射線波長(zhǎng)與 衍射角之間關(guān)系，1913年建立第一臺(tái)X射線 攝譜儀，并將晶體結(jié)構(gòu)分析程序化。 布拉格父子 小布拉格是最年輕的諾貝爾獎(jiǎng)獲得者， 當(dāng)時(shí)25歲。 1、布拉格方程的導(dǎo)出： （1）單一原子面(晶面)上的鏡面反射 ab nm 任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)a與b上的散射波，在鏡 面反射方向上散射波的光程差： am - nb = 0 于是，同相位而得到干涉。 同理，不論X X射線從什么方向入射， 在對(duì)應(yīng)

13、的鏡面反射方向上，原子 面上所有個(gè)結(jié)點(diǎn)的散射波能產(chǎn)生干涉。 如果晶體只有一個(gè)晶面，任何角度上的鏡面反射都能產(chǎn)生干涉，但晶體由多個(gè)晶面組成， 而且X射線由于極強(qiáng)的穿透力，不僅表面原子，內(nèi)層原子也將參與鏡面反射。 問(wèn)題：X X射線在一組晶面上的反射線，能否出現(xiàn)干涉、產(chǎn)生衍射需要哪些條件？ 根據(jù)圖示， 光程差： 干涉加強(qiáng)的條件是： 式中：d晶面間距，n為整數(shù)，稱 為反射級(jí)數(shù)； 為入射線或反射線 與反射面的夾角，稱為掠射角， 由于它等于入射線與衍射線夾角 的一半，故又稱為半衍射角，把 2 稱為衍射角。 nBDCB ndsin2 sin2dBDCB X X射線在晶體多個(gè)晶面上 的衍射 （2）相鄰兩個(gè)晶面

14、對(duì)X射線的衍射 反射面法 線 d B A CD d 因此，已經(jīng)證明：當(dāng)一束單色平行的X射線照射 到晶體時(shí)， （1）同一晶面上的原子的散射線，在晶面反射 方向上可以相互加強(qiáng)； （2）不同晶面的反射線若要加強(qiáng)，必要的條件 是相鄰晶面反射線的光程差為波長(zhǎng)的整數(shù)倍。 * * * * * *布喇格方程是X X射線在晶體產(chǎn)生衍射的必要條 件而非充分條件。有些情況下晶體雖然滿足布拉格 方程，但不一定出現(xiàn)衍射線，即所謂系統(tǒng)消光。 2、布拉格方程的討論 選擇反射 反射級(jí)數(shù) 干涉面和干涉指數(shù) 掠射角 產(chǎn)生衍射的極限條件 1、選擇反射 （重點(diǎn)：與可見(jiàn)光的鏡面反射的區(qū)別） X射線在晶體中的衍射實(shí)質(zhì)上是晶體中各原子散

15、射波之間的干涉結(jié)果。只是由于衍射線的方向恰好相當(dāng) 于原子面對(duì)入射線的反射，所以借用鏡面反射規(guī)律來(lái)描 述衍射幾何。將衍射看成反射，是布拉格方程的基礎(chǔ)。 但是，衍射是本質(zhì)，反射僅是為了使用方便。 X射線的原子面反射和可見(jiàn)光的鏡面反射不同。 一束可見(jiàn)光以任意角度投射到鏡面上都可以產(chǎn)生反射， 而原子面對(duì)X射線的反射并不是任意的，只有當(dāng) 、 、d 三者之間滿足布拉格方程時(shí)才能發(fā)生反射，所以把X射線 這種反射稱為選擇反射。即衍射方向的選擇性。 總結(jié)： (a)可見(jiàn)光在任意入射角方向均能產(chǎn)生反射，而X 射線則只能在有限的布喇格角方向才產(chǎn)生反射。 就平面點(diǎn)陣（hkl）來(lái)說(shuō)，只有入射角滿足此方 程時(shí)，才能在相應(yīng)的

16、反射角方向上產(chǎn)生衍射。 (b)可見(jiàn)光的反射只是物體表面上的光學(xué)現(xiàn)象，而 衍射則是一定厚度內(nèi)許多間距相同晶面共同作用 的結(jié)果。 2、反射級(jí)數(shù) n為反射級(jí)數(shù)。 ndsin2 當(dāng)晶面間距（d值）足夠大，以致2dsin有可能為波長(zhǎng)的兩倍或者三倍甚 至以上倍數(shù)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生二級(jí)或多級(jí)反射。 因此，反射級(jí)數(shù)是針對(duì)實(shí)際晶面（hkl）而言，對(duì)于虛擬晶面（例如 n(hkl)），只有一級(jí)反射。 sin2 n d 這樣，把（hkl）晶面的n級(jí)反射看成為與 （hkl）晶面平行、面間距為(nh,nk,nl) 的 晶面的一級(jí)反射。如果（hkl）的晶面間距是d，n(hkl)晶面 間距是d/n。 3、干涉面和干涉指數(shù) 我們將布拉

17、格方程中的n隱含在d中得到簡(jiǎn)化的布拉格方程： 晶面（hkl）的n級(jí)反射面n(hkl)，用符合（HKL）表示， 稱為反射面或者干涉面。(hkl)是晶體中實(shí)際存在的晶面， （HKL）僅僅是為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化而引入的虛擬晶面。干涉面 的面指數(shù)稱為干涉指數(shù)，一般有公約數(shù)n，例如（200）、 （222）等。當(dāng)n=1，干涉指數(shù)變?yōu)榫嬷笖?shù)。 Sind n d dSin n d HKL hkl HKL hkl 2 ,2 則有： 令 注意：實(shí)際測(cè)量的衍射譜中的衍射線條對(duì)應(yīng)的是干涉指數(shù)。即有可能出 現(xiàn)（200200）、（222222）、（300300）等指數(shù)。 4、掠射角 角，即入射線或者反射線與晶面間的夾角。 入

18、射線反射線 晶面 1，當(dāng)用單色X射線（ 一定）照 射多晶體，晶面間距相同的晶面， 相同。 2， 一定，d越小， 加大。即 面間距小的晶面，在高角度處產(chǎn) 生衍射。 sin2d 2 （111） （200） （220） （311） Silver 5、產(chǎn)生衍射的極限條件 根據(jù)布拉格方程，sin不能大于1，因此，產(chǎn)生衍射的條 件為： （1）如果想觀察到面間距為d的這一晶面的衍射線（或衍射 斑點(diǎn)），X射線的波長(zhǎng)要小于等于這一晶面的二倍。同樣，如 果要得到至少一個(gè)衍射線或點(diǎn)，X射線的波長(zhǎng)必須小于參加反 射的晶面中最大面間距的二倍，否則不能產(chǎn)生衍射現(xiàn)象。 （2）如果晶面間距d一定， 越小，可得到的多級(jí)反射就越

19、 多。如果希望獲得更多的衍射圖（斑點(diǎn)或線條），可選用短波 長(zhǎng)的入射X射線。 2 21sin 2 dd d ，或者，即 這規(guī)定了X X衍射線或斑點(diǎn)的數(shù)目： （1 1）對(duì)于一定波長(zhǎng)的X X射線而言（ 一定），晶 體中能產(chǎn)生衍射的晶面數(shù)是有限的。 （2 2）對(duì)于一定晶體而言（所有d d值固定），在 不同波長(zhǎng)的X X射線下，能產(chǎn)生衍射的晶面數(shù)是不 同的。 d2 NaCl 晶體 主晶面間距為 2.8210- -10 m 對(duì)某單色X射線 的布喇格第一級(jí) 反射的 掠射角為 15 入射X射線波長(zhǎng) 二級(jí)反射的 掠射角 根據(jù)布喇格公式 15 2 2.8210- -10 15 1.4610- -10 (m) 0.5

20、17731.18 思考題 1. 一晶體中晶面間距為2.25210-10 m對(duì)某單色X射線的布喇 格一級(jí)反射的掠射角為 20，求（1）入射X射線的波長(zhǎng)， （2）二級(jí)反射的掠射角。 2. 一簡(jiǎn)單立方晶胞參數(shù)分為0.3165 nm, 使用CuK （=1.54），衍射線中最高晶面指數(shù)（最高晶面指數(shù)是指 H2+K2+L2為最大的晶面指數(shù)）是能到多少？ 3.一面心立方晶體（Al），a=0.405nm，用Cu-K（=1.54）X 射線照射,問(wèn)晶面(111)能產(chǎn)生幾條衍射線（即幾級(jí)反射）？能否使 (440)晶面產(chǎn)生衍射？ 4. 要使某個(gè)晶體的衍射數(shù)量增加， 你選長(zhǎng)波的X射線還是短 波的？ 3.3 衍射花樣和晶

21、體結(jié)構(gòu)的關(guān)系 從布拉格方程可以看出，在波長(zhǎng)一定的情況下，衍射線的方向是晶面 間距d的函數(shù)。如果將各晶系的d值代入布拉格方程，可得： 布拉格方程能給出晶胞參數(shù)（晶胞大?。┡c晶體所屬晶系（晶胞形 狀）。但是，不能給出晶胞中原子的種類和位置。 因此，在研究晶胞中原子的位置和種類的變化時(shí)，除布拉格 方程外，還需要有其它的判斷依據(jù)。這種判據(jù)就是下一章要講的結(jié)構(gòu) 因子和衍射線強(qiáng)度理論。 ） 222 2 2 2 ( 4 sinLKH a ） 2 2 2 222 2 ( 4 sin c L a KH ） 2 2 2 2 2 22 2 ( 4 sin c L b K a H 立方晶系： 正方晶系： 斜方晶系：

22、Intensity (%) 35404550556065707580859095100105110115120 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 (44.68,100.0) 1,1,0 (65.03,14.9) 2,0,0 (82.35,28.1) 2,1,1 (98.96,9.3) 2,2,0 (116.40,16.6) 3,1,0 (a) 體心立方 Fe a=b=c=0.2866 nm Intensity (%) 35404550556065707580859095100105110115120 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10

23、0 1,1,0 2,0,0 2,1,1 2,2,0 3,1,0 2,2,2 (b) 體心立方 W a=b=c=0.3165 nm (d) 體心正交: a= 0.286nm, b=0.300nm, c=0.320nm (e) 面心立方：gFe a=b=c=0.360nm Intensity (%) 35404550556065707580859095100105110115120 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1,0,1 1,1,0 0,0,2 2,0,0 1,1,2 2,1,1 2,0,2 2,2,0 1,0,33,0,1 3,1,0 Intensity (

24、%) 35404550556065707580859095100105110115120 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0,1,1 1,0,1 1,1,0 0,0,2 0,2,0 2,0,0 1,1,2 1,2,12,1,1 0,2,2 2,0,22,2,00,1,31,0,30,3,1 1,3,03,0,13,1,0 Intensity (%) 35404550556065707580859095100105110115120 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 (43.51,100.0) 1,1,1 (50.67,44.6)

25、 2,0,0 (74.49,21.4) 2,2,0 (90.41,22.7) 3,1,1 (95.67,6.6) 2,2,2 (117.71,3.8) 4,0,0 圖3- X射線衍射花樣與晶胞形狀及大小之間的關(guān)系 (c) 體心四方 a=b=0.286nm,c=0.320nm 衍射線的干涉指數(shù) 干涉指數(shù)與點(diǎn)陣類型 (HKL)100110111200210211220 221 300 310222 H2+K2+L2123456891011 簡(jiǎn)單立方 體心立方 面心立方 3.4 勞厄方程與布拉格方程的一致 性 勞埃（Laue）方程 a(cos-cos0) = H b(cos-cos0) = H c(

26、cos-cos0) = H 0 0、0 0、0 0 與 、是入射線與衍射線與三個(gè) 基本矢量a ,ba ,b和c c的交角。 為波長(zhǎng)，相鄰原子散射 線在衍射方向桑的光程差為H 、K 與L。H, K, L 均為整數(shù)H,K,LH,K,L0 0 ，1，2， X方向找一原子，距離原點(diǎn)O為OR=(KL)a; 于是O點(diǎn)與R點(diǎn)原 子散射線的光程差為(H K L)。同樣，在Y軸找一原子S， 距離O原子(HL)b ， Z方向找一T原子，距離O點(diǎn)（H K）c。 于是從R, S, T到O點(diǎn)的光程差都為： (H K L) 。 顯然，從R, S, T出發(fā)的散射線，在衍射方向上是同光程的。 這就是說(shuō)，過(guò)R,S,T三個(gè)結(jié)點(diǎn)的

27、晶面，正好處于入射線和衍 射線的鏡面反射位置。 將勞厄方程平方： 22 0 222 22 0 222 22 0 222 )coscoscos2(cos )coscoscos2(cos )coscoscos2(cos 0 0 0 ggg Lc Kb Ha 為簡(jiǎn)單，設(shè)晶體屬于立方晶系： 故，a = b = c。 上式相加得： 2222 0 22 0 22222 )()coscoscoscoscos(cos2 )coscos(cos)coscos(cos 000 gg g LKH a 1coscoscoscoscoscos 0 22 0 2222 g 直角坐標(biāo)系中，任一根直線的方向余弦的平方為1 1

28、，即 000 coscoscoscoscoscosgg 直角坐標(biāo)系中，方向余弦分別為cos , cos 與cosg g 和cos 0, cos 0 與cosg g0的兩個(gè)直線，其夾角的余弦等于： 對(duì)于衍射，這兩條線分別為入射和衍射線，夾角為2 2 。 于是上式可簡(jiǎn)化為： 2 222 2 )( n d LKH a 222222 22222 )(sin4 )()2cos211 ( LKHa LKHa 或 nd n d sin2sin2或者 利用立方體系晶面間距與晶胞參數(shù)和晶面指數(shù)關(guān)系： 于是有： 布拉格方程。 3.5.1 布拉格方程的幾何表示 3.5 衍射矢量方程和厄爾瓦德圖解 入射X X射線的波

29、長(zhǎng)是一定的，所以2/2/ 保持常量。 2/ 因此，（1 1）如果能夠形成衍射，衍射點(diǎn)一 定在這個(gè)圓面( (三維空間上是球) )上。 （2 2）衍射點(diǎn)具體在那個(gè)位置上，取 決于1/d1/dHKL HKL 這個(gè)值的大小。 ) 1 (2/ 1 sin HKL HKL d HKLHKL dsin2 布拉格方程 反射球 ) 1 (2/ 1 sin HKL HKL d =1/dHKL HKLHKL dsin2 布拉格方程 因此，（1 1）若X X射線沿著球的直徑入射，球 面上所有的點(diǎn)均滿足布拉格條件，從球心到 任意一點(diǎn)的連線是衍射方向。衍射點(diǎn)具體在 那個(gè)位置上，取決于1/d1/dHKL HKL 這個(gè)值的大

30、小， 即矢量OBOB線的長(zhǎng)度。 （2 2） OBOB即是倒易矢量 B 因此，矢量OBOB就是倒易矢量， 原點(diǎn)在O O點(diǎn)。 這個(gè)球稱為反射球。 反 射 球 倒易空間 倒易矢量 如圖所示，當(dāng)一束X X射線被晶面P P反射時(shí)，假 定N N為晶面P P的法線方向，入射線方向用單位矢 量S S0 0表示，衍射線方向用單位矢量S S表示，則S-S- S S0 0為衍射矢量。 N S0S S- S0 （衍射矢量圖示） 因此，衍射矢量S-S0必垂直于晶面(hkl)。 3.5.2 衍射矢量方程 而設(shè)晶面的倒易矢量為： 則 令 (1) 式中C為常數(shù)。將上式兩端取絕對(duì)值，則有 由布拉格方程可知， 代入式(1)得出

31、， 改變形式得： .(2) lckbhar rss/ 0 Crss 0 sin2 00 sss hkl d CrCCr 1 C rss 0 r ss 0 r ss 0 此倒易空間表示衍射條件的矢量方程 衍射矢量方程 3.5.2.2 矢量方程的討論 1，產(chǎn)生衍射的條件是入射線矢量、反射 線矢量與倒易矢量構(gòu)成等腰三角形。 2，對(duì)于一個(gè)給定的X射線（ 一定）， 高晶面指數(shù)（H, K, L大）要形成衍射， 要求S0-S 越大。即角度越高。 衍射矢量方程與勞厄方程一致性 HcLbKaHa ss a ar ss a )( * 0 0 K ss b 0 Haa 0 coscos Kb)cos(cos 0 矢

32、量方程兩端同時(shí)點(diǎn)乘三個(gè)晶體點(diǎn)陣矢量 a, b, c, 同樣有， ggLc)cos(cos 0 cosasa L ss c 0 (1) (2) (3) 衍射矢量方程與布拉格方程等效性 sin2 0 sss sin2 0 ss * 0 r ss 矢量S-S0 與倒易矢量 r* 平行，r*對(duì)應(yīng)的晶面為 （hkl）。晶面與r* 垂直，并將入射光束S0和反射 光束S的夾角平分。因此可將（hkl）看成是S0與S 的反射面，于是按幾何關(guān)系得到： 衍射矢量 三角形 S是單位矢量，故 .sin2 1sin2 d d 于是有 那些落在球面上的倒易點(diǎn) 才能產(chǎn)生衍射! 以X射線波長(zhǎng)的倒數(shù)1/為半徑 畫一球（反射球）。

33、 X射線沿球的直徑方向入射。 以X射線傳出球面的那一點(diǎn)作 為晶體倒易點(diǎn)陣原點(diǎn)，并將該倒 易點(diǎn)陣引入。 與反射球面相交的結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng) 的晶面均可參與反射。球心與 該結(jié)點(diǎn)的聯(lián)線，即使衍射方向。 O 3.5.3 衍射的厄瓦爾德圖解 反射球如何與倒易空間相結(jié)合？ a* b* 厄瓦爾德圖解：衍射矢量方程與倒易點(diǎn)陣結(jié)合，表示 衍射條件與衍射方向 反射球中的衍射矢量與倒易矢量的等同，直接把正空間與 倒空間聯(lián)系起來(lái)了。 應(yīng)用之一：產(chǎn)生衍射的極限條件 d d 21sin 2 ，即 d 11 2 所以，（1 1）要想探測(cè)到晶面間距為d d的衍射斑點(diǎn)，要滿足上述條件。（2 2） 對(duì)于立方體系，要得到至少一個(gè)衍射斑點(diǎn)（

34、線條）則必須要求 d 2/ L不能得到這個(gè)晶面的衍射斑點(diǎn) 倒易球 S0 反射球 O 反射面 900 思考題 在實(shí)際電子與X射線衍射測(cè)量中，得到的衍射 斑點(diǎn)或者衍射線條的數(shù)目是有限的嗎？應(yīng)用厄 瓦爾德圖解如何解釋？ 答：因?yàn)槿肷鋁 X（或者電子）射線的波長(zhǎng)有限，因 此反射球的大小是有限的。而衍射信號(hào)（斑點(diǎn)或 者線條）是反射球與倒易點(diǎn)（或者倒易球，如果 是粉末多晶）的交點(diǎn)，所以只有落在反射球內(nèi)的 倒易點(diǎn)，才有可能稱為衍射斑點(diǎn)，在X X射線衍射 中，成為衍射線條。所以可以說(shuō)衍射斑點(diǎn)是有限 個(gè)倒易點(diǎn)。 思考題 結(jié)合厄瓦爾德圖解，論述衍射斑點(diǎn)與倒易點(diǎn)的 關(guān)系。 答：衍射斑點(diǎn)表達(dá)了有限個(gè)倒易點(diǎn)。衍射斑點(diǎn)的

35、 個(gè)數(shù)取決于入射線的波長(zhǎng)。 勞厄方程與布拉格方程的一致性 （另一種解釋：備份版本） 根據(jù)勞埃方程，我們現(xiàn)在要證明這樣的事 實(shí): : (1)(1)在h=nhh=nh* *、k=nkk=nk* *、l=nll=nl* *的衍射中，晶面 指標(biāo)為（h h* *k k* *l l* *）的平面點(diǎn)陣組中的每 一點(diǎn)陣平面都是反射面; ; (2)(2)其中兩相鄰點(diǎn)陣平面上的原子所衍射X X射 線的光程等于波長(zhǎng)的整數(shù)倍nn。 3.5 勞厄方程與布拉格方程的等效性 設(shè)X X射線在入射方向的單位向量為S S0 0，衍射方向的單位向量為 S S，空間點(diǎn)陣的三個(gè)單位平移向量為a a、b b和c c，衍射矢量方程 兩端分別乘以a, b, ca, b, c： llckbhac ss c klckbhab ss b hlckbhaa ss a 0 0 0 3.5.1 衍射矢量與勞厄方程 設(shè)衍射束單位矢量S與點(diǎn)陣三個(gè)晶軸a、b、c 間夾角分別為 、 、 ；入射束單位矢量S0 與點(diǎn)陣三個(gè)晶軸間夾角分別為 、 、 。 1 2 3 1 2 3 lc kb ha 33 22 1