指數運算和指數函數[教學知識]

1、 指數運算和指數函數一、知識點1.根式的性質 （1）當n為奇數時，有 （2）當n為偶數時，有（3）負數沒有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零2.冪的有關概念(1)正整數指數冪：(2)零指數冪 (3)負整數指數冪 (4)正分數指數冪 (5)負分數指數冪 (6)0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪無意義3.有理指數冪的運算性質(1) (2) (3)4指數函數定義：函數叫做指數函數。5. 指數函數的圖象和性質 0 a 1圖 象性質定義域R值域(0 , +)定點過定點（0，1），即x = 0時，y = 1（1）a 1，當x 0時，y 1；當x 0時，0 y 1。（2）0 a 0時，0 y 1；

2、當x 1。單調性在R上是減函數在R上是增函數對稱性和關于y軸對稱二、指數函數底數變化與圖像分布規(guī)律（1） 則：0ba1dc又即：x(0,+)時， （底大冪大） x(,0)時，（2）特殊函數的圖像：三、指數式大小比較方法(1)單調性法：化為同底數指數式，利用指數函數的單調性進行比較.(2)中間量法(3)分類討論法(4)比較法比較法有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：若；當兩個式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可四、典型例題 類型一、指數函數的概念例1函數是指數函數，求的值【答案】2【解析】由是指數函數，可得解得，所以舉一反三：【變式1】指出下列函數哪些是指數函數？（1）；（2）；（

3、3）；（4）；（5）；（6）【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）為指數函數其中（6）=，符合指數函數的定義，而（2）中底數不是常數，而4不是變數；（3）是-1與指數函數的乘積；（4）中底數，所以不是指數函數類型二、函數的定義域、值域例2求下列函數的定義域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a為大于1的常數)【答案】（1）R，(0，1)；（2）R )； （3） ；（4）1，a)(a，+)【解析】(1)函數的定義域為R (對一切xR，3x-1). ，又 3x0， 1+3x1， ， ， ， 值域為(0，1).(2)定義域為R， 2x0， 即 x=-1時，y取最小

4、值，同時y可以取一切大于的實數， 值域為).(3)要使函數有意義可得到不等式，即，又函數是增函數，所以，即，即，值域是.(4) 定義域為(-，-1)1，+)，又 ， ， 值域為1，a)(a，+).【總結升華】求值域時有時要用到函數單調性；第(3)小題中值域切記不要漏掉y0的條件，第(4)小題中不能遺漏.舉一反三：【變式1】求下列函數的定義域：(1) (2)(3) (4)【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a1時，；0a1時，；0a1時，外層函數y=au在上為增函數，內函數u=x2-2x在區(qū)間上為減函數，在區(qū)間上為增函數，故函數上為減函數，在區(qū)間上為增函數；當0a1時，外層函數y=au在上為

5、減函數，內函數u=x2-2x在區(qū)間上為減函數，在區(qū)間上為增函數，故函數在區(qū)間上為增函數，在區(qū)間上為減函數.例4證明函數在定義域上為增函數.【思路點撥】利用函數的單調性定義去證明?！窘馕觥慷x域為xR，任取x11， x1x2， ， ， f(x1)1且x2-x10， .【總結升華】指數函數是學習了函數的一般性質后，所學的第一個具體函數.因此，在學習中，盡量體會從一般到特殊的過程.例5判斷下列各數的大小關系：(1)1.8a與1.8a+1； (2) (3)22.5，(2.5)0， (4)【思路點撥】利用指數函數的性質去比較大小?！敬鸢浮浚?）1.8a1時，當0a1，所以函數y=1.8x為單調增函數，又

6、因為aa+1，所以1.8a1時，當0a1時，【總結升華】(1)注意利用單調性解題的規(guī)范書寫；(2)不是同底的盡量化為同底數冪進行比較(因為同底才能用單調性)；(3)不能化為同底的，借助一個中間量來比較大小(常用的中間量是“0”和“1”).舉一反三：【變式1】比較大?。?1)22.1與22.3 (2)3.53與3.23 (3)0.9-0.3與1.1-0.1 (4)0.90.3與0.70.4 (5).【解析】(1)22.122.3(2)3.533.23.觀察兩函數值，底數不同，而指數不變不是指數函數，而是y=x3，它為增函數.(3)由0.9-0.3，00.91， -0.31， 1.11， -0.1

7、001.1-0.11.1-0.1；(4)由指數函數圖象相對位置關系數形結合，0.90.30.70.4.(5)，又函數為減函數， ，為增函數，時，y1，.另解：冪函數為增函數，則有，(下略).【高清課堂：指數函數 369066 例1】【變式2】利用函數的性質比較，【答案】【解析】= 作出的圖象知 所以【變式3】 比較1.5-0.2， 1.30.7， 的大小.【答案】【解析】先比較的大小.由于底數(0，1)， 在R上是減函數， ， ，再考慮指數函數y=1.3x， 由于1.31， 所以y=1.3x在R上為增函數1.30.71.30=1， .【總結升華】在進行數的大小比較時，若底數相同，則可根據指數函

8、數的性質得出結果，若底數不相同，則首先考慮能否化成同底數，然后根據指數函數的性質得出結果；不能化成同底數的，要考慮引進第三個數(如0，1等)分別與之比較，從而得出結果.總之比較時要盡量轉化成底的形式，根據指數函數單調性進行判斷.例6. (分類討論指數函數的單調性)化簡：【思路點撥】先把被開方數變形成完全平方式的形式，然后對進行分類討論，去掉絕對值?！窘馕觥颗e一反三：【變式1】如果（，且），求的取值范圍【答案】當時，；當時，【解析】（1）當時，由于，解得（2）當時，由于，解得綜上所述，的取值范圍是：當時，；當時，類型四、判斷函數的奇偶性例7判斷下列函數的奇偶性： (為奇函數)【答案】偶函數【解析

9、】f(x)定義域關于原點對稱(定義域關于原點對稱，且f(x)的定義域是定義域除掉0這個元素)，令，則 g(x)為奇函數， 又 為奇函數， f(x)為偶函數.【總結升華】求的奇偶性，可以先判斷與的奇偶性，然后在根據奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇，得出的奇偶性舉一反三：【變式1】判斷函數的奇偶性：.【答案】偶函數【解析】定義域x|xR且x0，又 ， f(-x)=f(x)，則f(x)偶函數.類型五、指數函數的圖象問題例8如圖的曲線C1、C2、C3、C4是指數函數的圖象，而，則圖象C1、C2、C3、C4對應的函數的底數依次是_、_、_、_【答案】 【解析】由底數變化引起指數函數圖象的變化規(guī)律可知，C2的

10、底數C1的底數C4的底數C3的底數【總結升華】利用底數與指數函數圖象之間的關系可以快速地解答像本題這樣的有關問題，同時還可以解決有關不同底的冪的大小比較的問題，因此我們必須熟練掌握這一性質，這一性質可簡單地記作：在y軸的右邊“底大圖高”，在y軸的左邊“底大圖低”舉一反三：【變式1】 設，cba且，則下列關系式中一定成立的是（ ）A B C D 【答案】D【變式2】為了得到函數的圖象，可以把函數的圖象()A向左平移9個單位長度，再向上平移5個單位長度B向右平移9個單位長度，再向下平移5個單位長度C向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度D向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度【答案】C

11、【解析】注意先將函數轉化為，再利用圖象的平移規(guī)律進行判斷，把函數的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度，可得到函數的圖象，故選C【總結升華】用函數圖象解決問題是中學數學的重要方法，利用其直觀性實現數形結合解題，所以要熟悉基本函數的圖象，并掌握圖象的變化規(guī)律，比如：平移、伸縮、對稱等指數函數測試題11函數（ ）A B C D2若指數函數在1,1上的最大值與最小值的差是1，則底數a等于（ ）AB CD 3函數，滿足的的取值范圍（ ）AB C D 4函數得單調遞增區(qū)間是（ ）ABCD5已知，則下列正確的是（ ）A奇函數，在R上為增函數 B偶函數，在R上為增函數 C奇函數，在R上為減函數

12、D偶函數，在R上為減函數二、填空題6已知函數f (x)的定義域是（1，2），則函數的定義域是 .7當a0且a1時，函數f (x)=ax23必過定點 .8已知1a0，則三個數由小到大的順序是 .三、解答題9（12分）求函數的定義域.10（12分）已知函數在區(qū)間1,1上的最大值是14，求a的值.11（12分）（1）已知是奇函數，求常數m的值； （2）畫出函數的圖象，并利用圖象回答：k為何值時，方程|3k無解？有一解？有兩解？指數函數測試題1答案一、DCDDD AAD D A 二、11(0,1)； 12(2，2)； 13； 14 ；15 解：要使函數有意義必須：定義域為：16 解：，其中.當r1時，

13、所以ar+brcr；當r1時，所以ar+brcr.17解： ， 換元為，對稱軸為.當，即x=1時取最大值，略解得 a=3 (a= 5舍去)18解： （1）常數m=1（2）當k0時，直線y=k與函數的圖象無交點,即方程無解;當k=0或k1時, 直線y=k與函數的圖象有唯一的交點，所以方程有一解; 當0k1,b0,且ab+a-b=2,則ab-a-b的值等于（ ）（A） （B）2 （C）-2 （D）23函數f（x）=(a2-1)x在R上是減函數，則a的取值范圍是（ ）（A） （B） （C）a （D）1b,ab下列不等式（1）a2b2,(2)2a2b,(3),(4)ab,(5)()a()b中恒成立的有

14、（ ）（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個7函數y=是（ ）（A）奇函數 （B）偶函數 （C）既奇又偶函數 （D）非奇非偶函數8函數y=的值域是（ ）（A）（-） （B）（-0）（0，+）（C）（-1，+） （D）（-，-1）（0，+）9下列函數中，值域為R+的是（ ）（A）y=5 （B）y=()1-x （C）y= （D）y=10.函數y=的反函數是（ ）（A）奇函數且在R+上是減函數 （B）偶函數且在R+上是減函數（C）奇函數且在R+上是增函數 （D）偶函數且在R+上是增函數11下列關系中正確的是（ ）（A）（）（）（） （B）（）（）（）（C）（）（）（） （D）（）（）（）12

15、若函數y=3+2x-1的反函數的圖像經過P點，則P點坐標是（ ）（A）（2，5） （B）（1，3） （C）（5，2） （D）（3，1）13函數f(x)=3x+5,則f-1(x)的定義域是（ ）（A）（，） （B）（，）（C）（，） （D）（，）14.若方程ax-x-a=0有兩個根，則a的取值范圍是（ ）（A）（1，+） （B）（0，1） （C）（0，+） （D）15已知函數f(x)=ax+k,它的圖像經過點（1，7），又知其反函數的圖像經過點（4，0），則函數f(x)的表達式是（ ）(A)f(x)=2x+5 (B)f(x)=5x+3 (C)f(x)=3x+4 (D)f(x)=4x+316.已知

16、三個實數a,b=aa,c=a,其中0.9a1,則這三個數之間的大小關系是（ ）（A）acb （B）abc （C）bac （D）cab17已知0a1,b-1,則函數y=ax+b的圖像必定不經過（ ）(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限二、填空題1若a0)與函數y=()x,y=()x,y=2x,y=10x的圖像依次交于A、B、C、D四點，則這四點從上到下的排列次序是 。6函數y=3的單調遞減區(qū)間是 。7若f(52x-1)=x-2,則f(125)= .8已知f(x)=2x,g(x)是一次函數，記F（x）=fg(x),并且點（2，）既在函數F（x）的圖像上，又在F-1（x）的圖

17、像上，則F（x）的解析式為 .三、解答題1 設0aa。2 設f(x)=2x,g(x)=4x,gg(x)gf(x)fg(x)，求x的取值范圍。3 已知x-3,2，求f(x)=的最小值與最大值。4 設aR,f(x)= ，試確定a的值，使f(x)為奇函數。5 已知函數y=()，求其單調區(qū)間及值域。6 若函數y=4x-32x+3的值域為1，7，試確定x的取值范圍。7.已知函數f(x)=, (1)判斷函數的奇偶性； (2)求該函數的值域；(3)證明f(x)是R上的增函數。 指數與指數函數練習2一、 選擇題 題號12345678910答案ACDDDBCADB題號11121314151617181920答案CDCBADAAAD二、填空題10a1 2. 3.14.(-,0)(0,1) (1,+ ) ,聯立解得x0,且x1。5（）9，39 令U=-2x2-8x+1=-2(x+2)2+9, -3,又y=()U為減函數，（）9y39。 6。D、C、B、A。7（0，+）令y=3U,U=2-3x2, y=3U為增函數，y=3的單調遞減區(qū)間為0，+）。80 f(125)=f(53)=f(522-1)=2-2=0。9或3。Y=m2x+2mx-1=(mx+1)2-2, 它在區(qū)間-1，1上的最大值是14，（m-1+1）2-2=14或（m+1）2-2=14,解得m=或3