中考北師大版實數(shù)專題復習題

1、1實數(shù)實數(shù)的分類有理數(shù)整數(shù)分數(shù)正整數(shù)零負整數(shù)自然數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)正分數(shù)負分數(shù)無理數(shù)正無理數(shù)負無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)實數(shù)的意義數(shù)軸，相反數(shù)，絕對值，倒數(shù)，非負數(shù) N次方根近似數(shù)和有效數(shù)字實數(shù)的運算實數(shù)的大小比較加，減，乘，除，乘方，開方中考實數(shù)專題復習知識結構圖2. 一中考目標要求了解有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)的概念；會比較實數(shù)的大小，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，會用科學記數(shù)法表示有理數(shù)；理解相反數(shù)和絕對值的概念及意義.進一步，對上述知識理解程度的評價既可以用純粹數(shù)學語言、符號的方式呈現(xiàn)試題，也可以建立在應用知識解決問題的基礎之上，即將考查的知識、方法融于不同的情境之中，通過解決問題而考查學生

2、對相應知識、方法的理解情況.了解乘方與開方的概念，并理解這兩種運算之間的關系.了解平方根、算術平方根、立方根的概念，了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質二中考知識點 （一）實數(shù)的有關概念1 數(shù)軸 （七年級上冊P43）（1）定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸原點、正方向和單位長度是數(shù)軸的三要素，缺一不可（2）任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，正數(shù)位于原點的右側，負數(shù)位于原點的左側，零位于原點處數(shù)軸上兩個點表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于負數(shù)練習：1、判斷下圖中所畫的數(shù)軸是否正確？如不正確，指出錯在哪里？2、最大的負整數(shù)是_；最小的正整數(shù)是_2. 相反數(shù)

3、 （七年級上冊P44）（1）定義：如果兩個數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中的的一個數(shù)是另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)（2）相反數(shù)的幾何意義：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點，位于原點的兩側，并且與原點的距離相等（3）相反數(shù)的性質：任何數(shù)都有相反數(shù)，并且只有一個相反數(shù)；正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，特別的，0的相反數(shù)是0；互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和為0，反之，和為0的兩個數(shù)互為相反數(shù).（4）相反數(shù)的表示法.一般地對于任意一個數(shù)a，它的相反數(shù)為-a，這里的a表示任意的數(shù)，可以是正數(shù)、負數(shù)、也可以是0.（5）相反數(shù)的求法：互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和等于0. 若a、b互為相反數(shù) a+b =

4、0或 a=-b求一個數(shù)的相反數(shù)只需在這個數(shù)的前面加上一個負號就可以了.練習：1、相反數(shù)是它本身的數(shù)是（ ）A. 1 B. -1 C. 0 D.不存在2、若上升6米記作6米，那么8米表示 3、 的相反數(shù)是4，0得相反數(shù)是 ，（4）的相反數(shù)是 3. 絕對值 （七年級上冊P48）在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點a與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作a.正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小用式子表示為：a (a0)a=0 (a=0)-a (a0)重點提示 無論是絕對值的幾何意義還是絕對值的代數(shù)意義都揭示了絕對值的一個重要性質非負性也就是說任何一個實

5、數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，即對任意實數(shù)a，都有a 0. 當a0.即當a0時a=-a也是一個正數(shù)幾何定義：數(shù)a的絕對值的幾何意義是實數(shù)a在數(shù)軸上所對應的點到原點的距離；數(shù)軸上點A和點B所對應的實數(shù)分別為m和n，則A與B之間的距離為m-n.,符號“”是“非負數(shù)”的標志；數(shù)a的絕對值只有一個；處理任何類型的題目，只要其中出現(xiàn)絕對值號，其關鍵一步是去掉絕對值號有關性質：互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，即a=-a ; 任何數(shù)的絕對值為非負數(shù)a0 ;任何數(shù)的絕對值都不小于它本身aa ； a+b=0a=0且b=0.練習：1、下列各式中，等號成立的是（ ）A、=6 B、=6 C、=1 D、=3.142、在數(shù)軸上表

6、示的數(shù)8與2這兩個點之間的距離是 （ ）A、6 B、10 C、-10 D、-63、一個有理數(shù)的絕對值等于其本身，這個數(shù)是 （ ）A、正數(shù) B、非負數(shù) C、零 D、負數(shù)4、絕對值最小的數(shù)是 ，3的絕對值是 4.倒數(shù)（七年級上冊P75） (1)定義： 乘積為1的兩個有理數(shù)叫作互為倒數(shù).a 的倒數(shù)是（a0）.(2)乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù). ab=1(3)乘積為-1的兩個數(shù)互為負倒數(shù). ab=-1(4)性質：積為1： 中， 時，；時， ，則.練習：如果a的倒數(shù)是-1，那么a2009等于（ ）A1 B-1 C2009 D20095.科學記數(shù)法（七年級上冊P201）一般地,一個大于10的數(shù)可以表示成a1

7、0n的形式,其中1a10，n 是正整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學記數(shù)法6.近似數(shù)和有效數(shù)字 （七年級下冊P93）(1)接近實際數(shù)值而不等于實際數(shù)值的數(shù)叫做近似數(shù).如3133.3,這里313是一個準確數(shù),而3.3是一個近似數(shù).注意一般地,一個近似數(shù),四舍五入到某一位,就說這個近似數(shù)精確到那一位.這時應十分注意數(shù)字是否具有單位.例如:用四舍五入得到的近似數(shù)6.7萬,由于單位是萬,所以是精確到千位而不是萬位.用四舍五入法取近似數(shù)的時候要注意精確度的不同.例如:由四舍五入得來的1.6和1.60不一樣,不能隨便把后面的0去掉,因為他們的精確度不同,1.60是精確到百分位,1.6是精確到十分位.近似數(shù)與準確值

8、的接近程度可以用精確來表示(2)對于一個近似數(shù),從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止,所有的數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字.重點提示：取一個數(shù)精確到某一位的近似數(shù)時，應對“某一位”后的第一個數(shù)進行四舍五入，而之后的數(shù)不予考慮；用科學計數(shù)法表示的近似數(shù)，乘號前面的數(shù)（即a）的有效數(shù)字即為該近似數(shù)的有效數(shù)字；而這個近似數(shù)精確到哪一位，應將用科學記數(shù)法表示的數(shù)還原成原來的數(shù)，再看最后一個有效數(shù)字處于哪一個數(shù)位上如P94例4我國人口總數(shù)為1 295 330 000人，精確到千萬位，就得到近似數(shù)1 300 000 000，用科學記數(shù)法記作1.30109，這個數(shù)有3個有效數(shù)字，分別是1，3，0. 又如

9、P96 2.(2)我國的國土面積為9.6106千米2，精確到了10萬千米2，有2個有效數(shù)字7平方根 （八年級上冊P40）（1）平方根的概念：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個數(shù)x叫做a的平方根（也叫做二次方根）（2）平方根的性質： 一個正數(shù)a有兩個平方根，一個是a的算術平方根“a”，另一個是“-a”,它們互為相反數(shù).這兩個平方根合起來可以記作“a”，讀作“正、負根號a”； 0只有一個平方根，它是0本身；負數(shù)沒有平方根；a2=a ; a2=a=a (a0)-a (a0)；實數(shù)中非負數(shù)的四種形式：a0 ; a20 ;a0 a0 ; a中 , a0.非負數(shù)有最小值0；有限個非負數(shù)

10、之和仍然是非負數(shù)；若幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0.10.完全平方數(shù)：如果一個正數(shù)恰好是另一個有理數(shù)的平方，這個正數(shù)就叫做完全平方數(shù).如：62=36，36是一個完全平方數(shù)；342=1156，1156是一個完全平方數(shù).（二）實數(shù)的大小比較1在數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大 ab2正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，兩個正數(shù)，絕對值較大的那個正數(shù)大；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小設a、b是兩負實數(shù)，則3求差法：設a、b 為實數(shù)：若a-b0ab；a-b=0a=b；a-b0a a0,b0則a0，b0，則a2b2abab 如果a0，bb，bc，則ac（三）實數(shù)的運算1.加法 (

11、七年級上冊P55 )同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；異號兩數(shù)相加，絕對值相等時和為0；絕對值不相等時，取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反的兩個數(shù)相加得0；一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)2.減法 (七年級上冊P62 )減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)3.乘法(七年級上冊P75 )兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘；任何數(shù)與0相乘，積仍為0.同號相乘得正 若a0,b0, 則 ab=ab若a0,b0,b0,則 ab=-ab 若a0,則 ab=-ab數(shù)與0相乘得0a為任何有理數(shù)，則 a0=04.除法 (七年級上冊P80)兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負，并

12、把絕對值相除；0除以任何一個不等于0的數(shù)都得0；除以一個數(shù)，等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)5.乘方與開方(七年級上冊P83)n個相同的因數(shù)A 相乘，即，記作，這種求n個相同因數(shù)a的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫做冪，a叫做底數(shù)，n 叫做指數(shù)，an讀a的n次冪（或a的n次方）求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方，其中a叫做被開方數(shù)(八年級上冊P41)求一個數(shù)a的立方根的運算，叫做開立方，其中a叫做被開方數(shù). (八年級上冊P45)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負數(shù)的奇次冪是負數(shù)(七年級上冊P84)零指數(shù)與負指數(shù)a0=1，a-p=1ap (a0)(七年級下冊P23)正數(shù)和0可以開平方，負數(shù)不能開

13、平方；正數(shù)、負數(shù)和0都可以開立方6.實數(shù)的六種運算關系加法與減法互為逆運算；乘法與除法互為逆運算；乘方與開方互為逆運算 7.實數(shù)運算順序加和減是一級運算，乘和除是二級運算，乘方和開方是三級運算這三級運算的順序是三、二、一有理數(shù)混合運算的運算順序規(guī)定如下：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，按照從左至右的順序進行；如果有括號，就先算小括號里的，再算中括號里的，最后算大括號里的加括號和去括號時各項的符號的變化規(guī)律：去（加）括號時如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去（加）括號后式子各項的符號與原括號內的式子相應各項的符號相同；括號外的因數(shù)是負數(shù)去（加）括號后式子各項的符號與原括號內式子相應各項的符號相反

14、8.實數(shù)的運算律加法交換律：a+b=b+a加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc三規(guī)律方法指導1.數(shù)形結合思想實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，絕對值的幾何意義等，數(shù)軸在很多時候可以幫助我們更直觀地分析題目，從而找到解決問題的突破口.2.分類討論思想（算術）平方根，絕對值的化簡都需要有分類討論的思想，考慮問題要全面，做到既不重復又不遺漏.3.從實際問題中抽象出數(shù)學模型以現(xiàn)實生活為背景的題目，我們要抓住問題的實質，明確該用哪一個知識點來解決問題，然后有的放矢.4.注意觀察、分析、總結對于尋找規(guī)律的題目，仔細觀

15、察變化的量之間的關系，嘗試用數(shù)學式子表示規(guī)律.對于閱讀量大的題目，經(jīng)常是把規(guī)律用語言加以敘述，仔細閱讀，找到關鍵的字、詞、句，從而找到思路. 經(jīng)典例題類型一有關概念的識別1.下面幾個數(shù)：0.1237 ，1.，-30.064，3 ，227，5，其中,無理數(shù)的個數(shù)有（ ）A、1 B、2 C、3 D、4解析：本題主要考察對無理數(shù)概念的理解和應用，其中，1.，3，5是無理數(shù).故選C.舉一反三：【變式1】下列說法中正確的是（ ）A.81的平方根是3 B.1的立方根是1 C.1=1D.-5是5的平方根的相反數(shù)【答案】本題主要考察平方根、算術平方根、立方根的概念，81=9，9的平方根是3，A正確1的立方根是

16、1，1 =1，-5是5的平方根，B、C、D都不正確【變式2】如圖，以數(shù)軸的單位長線段為邊做一個正方形，以數(shù)軸的原點為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點A，則點A表示的數(shù)是（ ） A. 1 B. 1.4 C. 2 D. 3【答案】本題考察了數(shù)軸上的點與全體實數(shù)的一一對應的關系正方形的邊長為1，對角線為2，由圓的定義知AO=2， A表示的數(shù)為2，故選C【變式3】 3-92+3-102【答案】= 3.1415，9310，因此3-90，3-1003-92+3-102=3-9+3-10=3-9-3-10=1類型二計算類型題2設26=a，則下列結論正確的是（ ）A. 4.5a5.0 B. 5

17、.0a5.5 C. 5.5a6.0 D. 6.0a6.5解析：（估算）因為52=252630.25=5.52，所以5265.5，所以選B.舉一反三：【變式1】1.25的算術平方根是_；平方根是_. -27立方根是_. 214=_，169= _，-3827=_.【答案】52 ；52; -3 ; 32，13 ，-23 【變式2】求下列各式中的x（1）x2=25 （2）x-12=9 （3）x3=-64 【答案】（1）x=5 ;（2）x=4或x=-2 ;（3）x=-4類型三數(shù)形結合3. 點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為35，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)為-5，則A，B兩點的距離為_解析：在數(shù)軸上找到A、B兩點，AB=4

18、5.舉一反三：【變式1】如圖，數(shù)軸上表示1，2的對應點分別為A，B，點B關于點A的對稱點為C，則點C表示的數(shù)是（ ）A21 B12 C22 D22【答案】選C變式2 已知實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示： 化簡2c-a+c-b-a+b-a-c-b 【答案】：a-b-4c.類型四實數(shù)絕對值的應用4化簡下列各式：(1) 2-1.42(2)-3.142(3)2-3(4)x-x-3 (x3)(5) x2+6x+10分析：要正確去掉絕對值符號，就要弄清絕對值符號內的數(shù)是正數(shù)、負數(shù)還是零，然后根據(jù)絕對值的定義正確去掉絕對值解：(1) 2=1.4141.42 2-1.42=1.42-2(2) =3.14

19、1593.142|-3.142|=3.142-(3) 23，2-3=3-2(4) x3，x-30，x-x-3=x-(3-x)=2x-3=2x-3 (32x3)3-2x x32 說明：這里對|2x-3|的結果采取了分類討論的方法，我們對a=a (a0)a=-a (a0 從而求出a, b的值解：由題意得 3a-b=0 1a2-49=0 (2)a+70 (3) ，由(2)得 a2=49 a=7 ，由(3)得 a-7，a=-7不合題意舍去.只取a=7，把a=7代入(1)得b=3a=21 a=7, b=21為所求舉一反三：【變式1】已知x-62+2x-6y2+y+2z=0，求(x-y)3-z3的值解：x

20、-62+2x-6y2+y+2z=0，且(x-6)20, 2x-6y20, y+2z0,幾個非負數(shù)的和等于零，則必有每個加數(shù)都為0.x-6=0 2x-6y=0y+2z=0 解這個方程組得x=6y=2z=-1(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65【變式2】已知a-2+b+52+c+1=0那么a+b-c的值為_【答案】初中階段的三個非負數(shù)：a0 ,a20，a0,a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2.類型六實數(shù)應用題6有一個邊長為11cm的正方形和一個長為13cm，寬為8 cm的矩形，要作一個面積為這兩個圖形的面積之和的正方形，問邊長應為多少cm 解：設新正方形邊長為x

21、 cm，根據(jù)題意得 x2=112+138x2=225x=15邊長為正，x=-15不合題意舍去，只取x=15(cm)答：新的正方形邊長應取15 cm.舉一反三：【變式1】拼一拼，畫一畫： 請你用4個長為a，寬為b的矩形拼成一個大正方形，并且正中間留下的空白區(qū)域恰好是一個小正方形（4個長方形拼圖時不重疊）（1）計算中間的小正方形的面積，聰明的你能發(fā)現(xiàn)什么？（2）當拼成的這個大正方形邊長比中間小正方形邊長多3 cm時，大正方形的面積就比小正方形的面積多24 cm 2，求中間小正方形的邊長.解析：（1）如圖，中間小正方形的邊長是： ，所以面積為=, 大正方形的面積=，一個長方形的面積=，所以，答：中間的小正方形的面積，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：（或）(2) 大正方形的邊長：