(完整版)四邊形題型歸納

1、四邊形題型歸納四邊形題型歸納題型一：翻折問題（特殊四邊形的折疊問題）1沿特殊四邊形的對角線折疊【例1】如圖，矩形紙片 ABCD，AB=2， / ADB=30，沿對角線BD折疊（使 ABD和 EBD落在同一平面內(nèi)），則A、E兩點(diǎn)間的距離為 20 / 202、沿特殊四邊形的對稱軸折疊【例2】如圖，已知矩形 ABCD的邊AB=2 , AB BC ,矩形ABCD的面積為S,沿矩形的對稱軸折疊一次得到一個新的矩形，則這個新矩形對角線長為DFcDCAB23使特殊四邊形的對角頂點(diǎn)重合折疊【例3】如圖，梯形紙片 ABCD ,/ B=60 , AD / BC, AB=AD=2 , BC=6，將紙片折疊,使點(diǎn)B與

2、點(diǎn)D重合，折痕為 AE，貝U CE=.BEC4使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其一邊上而折疊【例4】如圖，折疊矩形的一邊 CD，使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)F處，已知AB=10cm , BC=8cm ,貝U EC 的長為 D CE、百 fAF B5使特殊四邊形兩頂點(diǎn)落在其一邊上而折疊【例5】如圖，在梯形 ABCD中，DC / AB，將梯形對折，使點(diǎn) D、C分別落在AB上的D、C處，折痕為 EF，若 CD=3cm , EF=4cm，則 AD +BC =cm.6使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其對稱軸上而折疊（1）【例6】如圖，已知EF為正方形ABCD的對稱軸，將/A沿DK折疊，使它的頂點(diǎn)A落在【例7】如圖，有一塊面積為1的

3、正方形 ABCD , M、N分別為AD、BC邊的中點(diǎn)，將CEF上的G點(diǎn)處，則/ DKG=7.使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其對稱軸上而折疊（2）D點(diǎn)折至MN上，落在點(diǎn)P的位置，折痕為 BQ，連結(jié)PQ.（1）求MP的長度；求證：以PQ為邊長的正方形的面積等于I .8.兩次不同方式的折疊【例8】如圖，將一矩形形紙片按如圖方式折疊，BC、BD為折痕，折疊后 AB與EB在同一條直線上，則/ CBD的度數(shù)為（ ）DIAC EJABA.大于90 B.等于90 C.小于90 D.不能確定【變式1】在矩形ABCD中 AB=4, BC=3按下列要求折疊，試求出所要求結(jié)果（1）如圖，把矩形 ABCD沿著對角線 BD折疊得

4、 EBD BE交CD于點(diǎn)F,求出BFD；（2） 如圖，折疊矩形 ABCD使AD與對角線BD重合，求折痕 DE的長；（3）如圖，折疊矩形 ABCD使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，求折痕EF的長；（4） 如圖，E是AD上一點(diǎn)，把矩形 ABCD沿著BE折疊，若點(diǎn)A恰好落在CD上的點(diǎn)F處, 求AE的長。題型二：動點(diǎn)問題【例9】如下圖，直角梯形 ABCD中，AD / BC , AB=丨cm,AD=24匚f , BC=26=：, / B=90 ，動點(diǎn)P從A開始沿AD邊向D以仁吃三的速度運(yùn)動，動點(diǎn) Q從點(diǎn)C開始沿 CB以3：；廠-的速度向點(diǎn)B運(yùn)動.P、Q同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)頂點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為

5、七,問：(1) ： =時，四邊形PQCD是平行四邊形.(2) 是否存在一個t值，使PQ把梯形ABCD分成面積相等的兩部分，若存在請求出t的值.(3 )當(dāng)廠為何值時，四邊形 PQCD等腰梯形.(4)連接DQ是否存在值使 CDQ為等要三角形，若存在請直接寫出 藝的值.BQ C【變式 2】如圖，在梯形 ABCDK AD/ BC,/ B=90o, AD=8cm, AB=6 cm, BC=10 cm,點(diǎn) Q從 點(diǎn)A出發(fā)以1 cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度在線段 BC間往返運(yùn) 動，P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) Q到達(dá)點(diǎn)D時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動。當(dāng)t=s時，四邊形PCDQ勺面積為36二

6、;若以P、Q C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求t的值； 當(dāng)0tACAB，在圖3中畫出 ABC的所有 友好矩形”，指 出其中周長最小的矩形并證明之 .(1)AA課后作業(yè)1、將n個邊長都為1cm的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A , A ,，代分別是正方形的中心,則n個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為A,i22、如圖1,在正方形ABCD中，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn),HA EB FC GD，連接 EG、FH，交點(diǎn)為 0 .如圖2,連接EF ,FG ,GH , HE，試判斷四邊形 EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；將正方形ABCD沿線段EG、HF剪開，再把得到的四個四邊形按圖3

7、的方式拼接成一個四邊形.若正方形ABCD 的邊長為 3cm , HA EB FC GD1cm，則圖3中陰影部分的面積為cm2.AE B圖2圖33、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)./AEF=90，且EF交正方形外角/ DCG的平行線 CF于點(diǎn)F,求證：AE=EF經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M連接ME貝U AM=EC易證AME ECF所以AE=EF在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：(1 )小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上 (除B, C外) 的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“ AE=EF仍

8、然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如 果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；(2)小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長線上(除 C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn)，其他條件不變， 結(jié)論“ AE=EF仍然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由.答案：【例1】解析：如圖，矩形ABCD的對角線交于點(diǎn) F,連接EF, AE，則有AF=FC=EF=FD=BF/ ADB=30 ,/ CFD= / EFD= / AFB=60 , AFE , AFB都是等邊三角形，有 AE=AF=AB=2 .【例2】解析：矩形 ABCD的邊AB=2 , AB BC ,矩形ABCD的面積為S, AD=

9、(1)如圖1,折痕分別與AB、DC交于F、E點(diǎn),連結(jié)DF,矩形ABCD沿直線EF對折, AF= -AB=1 ,22F小dSF“ (|2斗五即新矩形的對角線的長度為 1 s242(2)如圖2,折痕分別與 AD、BC交于E、矩形ABCD沿直線EF對折，F(xiàn)點(diǎn)，連結(jié)AF ,aBF=AE=-AD=-即新矩形的對角線的長度為1 . s2 644【例3】解析：梯形 ABCD AD / BC紙片折疊，使點(diǎn) B與點(diǎn)D重合 ABE ADE四邊形ADEB為平行四邊形. AD=BE=2/ BC=6 CE=6-2=4【例4】答案：5cm【例5】解：根據(jù)題意，可知 EF是梯形ABCD的中位線.所以 AB+CD=2EF=8

10、，則 AB=5 . AD+BC=AB-CD=5-3=2(cm).【例6】解：依題意，得 AD=DG=2DF ,在 Rt DFG 中，由 DG=2DF，得/ DGF=30 ,由 AD / EF 得，/ ADG= / DGF=30 ,1根據(jù)折疊的性質(zhì)，得/ KDG= / ADG=15 ,2在 Rt DGK 中，/ DKG=90 -Z KDG=75 .3 X C【例7】(1)解：連接BP、PC,由折法知點(diǎn)P是點(diǎn)C關(guān)于折痕BQ 的對稱點(diǎn). BQ垂直平分PC, BC=BP .又 M、N分別為AD、BC邊上的中點(diǎn)，且 ABCD是正方形， BP=PC. BC=BP=PC . PBC是等邊三角形.1 11 P

11、N 丄 BC 于 N , BN=NC= BC= ，/ BPN= xZ BPC=30 ,2 22 PN= 3MP=MN-PN=2.32(門 證朋：由折法知ZPBQ=ZQBC=.30e *二以PQ為邊的正方形的面積為扌-【變式 11 (1 )設(shè) DF=x，在矩形 ABCD 中，DC / AB ,二/ CDB= / ABD ,由折疊知，/ ABD= / DBF / FDB= / FBD / FB=FD =xCD=AB=4 , CF=4-x，在 Rt BCF 中，CFCB2=FB2測5運(yùn)即：(4-x)各32=x2,. x=41 1 5215 SA BFD DF?BC = X-X3=2 246(2)設(shè)

12、AE=EF=x，在 Rt BEF 中，BE=4-x , BF=DB-AFJ DB =BF=5-3=23 x2+22= (4-x) 2 x=2松U.2XADE中，卩E二=(3)連接 DE , BF EF丄 DB ,且平分 DB OB=OD / DC / AB FDO= / EBO , / DFO= / BEO DOF也厶BOE OF=OE 四邊形 DEBF是平行四邊形t BD丄EF 平行四邊形 DEBF是菱形25 DE=EB , AE=4-DE 在 Rt ADE 中，DE2=AD2+ (4-DE ) 2：. DE=2513 X =- X5 XEF8 215 EF=4(2)當(dāng)AP+BQ=25時，P

13、Q把梯形ABCD分成面積相等的兩部分,即 t+(26-3t)=25,解得：t=-(3)如圖，過點(diǎn) D作DE丄BC,貝U CE=BC-AD=2二叱.當(dāng)CQ PD=4時，四邊形PQCD是等腰梯形幻二一 1=2, 15【變式2】(1)t=2(2)P未到達(dá) 時C點(diǎn)時P到達(dá)8-t=10-2t8-t= 2t-10t=2t=6即 3： 一( 24 一戈)=4.上=7 .如圖，若PQ=PD過P作PE丄AD于E,Q豆二仰則 QD= 8-t,-8-/AE= AQrQR = t AE = BP 門3- t += 2t p2f=l3如圖.若3=呼 過0作勿丄于妙 則 QF= & 在盤總阿中，由婦般楚理得47二當(dāng)懺一或

14、丄時！ tDFQ是等II三角孫.3 4【例10】（1）證明：連接BD/ E、H分別是AB、AD的中點(diǎn), EH ABD的中位線 EH =2 BD ,EH / 二 BD同理得 FG=匸 BD , FG/ 二 BD EH = FG , EH / FG四邊形EFGH是平行四邊形（2）填空依次為平行四邊形，菱形，矩形，正方形（3）中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的對角線的關(guān)系來決定的.【例11】解：（1 ）菱形的一條對角線所在的直線。（或菱形的一組對邊的中點(diǎn)所在的直線 或菱形對角線交點(diǎn)的任意一條直線）。（2 ）三角形一邊中線所在的直線。四邊形題型歸納(3) 下底 作直 分線方法AELGE3t *陽（2）團(tuán) 4

15、方法一：取上、 的中點(diǎn)，過兩點(diǎn) 線得梯形的二(如圖1)二：過A D作BC, DFL BC,垂E、F,連接 AF、DE相交于0,過點(diǎn)0任意作直線即為梯形的二分線(如圖 2)(1).21 / 20【變式3】(1)如圖2,過點(diǎn)F作.1 ； 1 廠 ，.:F一二平分一 f. 5/ - 5.7同理 F -二：.F是四邊形上三二的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn).(2)平行四邊形對角線四邊形題型歸納25 / 20或者取平行四邊形兩對邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)丄就是準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)，如圖 3 ( 2);梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點(diǎn)就是準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn).如圖4.EE AB(3)真；真；假(各 1分，若出現(xiàn)打“/ “X ”或?qū)憽皩Α薄板e”同樣給分.)【變式

16、4】(1)如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的 一邊重合，三角形這邊所對的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.(2)此時共有2個友好矩形，如圖的 BCAD、ABEF .易知，矩形BCAD、ABEF的面積都等于 ABC面積的2倍， ABC的 友好矩形”的面積相等.(3)此時共有3個友好矩形，如圖的 BCDE CAFG及 ABHK 其中的矩形ABHK的周長最小.證明如下：易知，這三個矩形的面積相等，令其為S,設(shè)矩形BCDE CAFG及 ABHK勺周長分別為L1, L2,L3, ABC的邊長 BC=a, CA=b AB=c 貝

17、U：2S2SLi=-+2a j L2=-+2b Lg= 人 Lq-Lg二(-+2a)-仝十2b)r ( a-Is) +2 ( a-b ) = 2abab同迴可得小2沁3，小丨即拒形ABHK的周長最小-1課后練習(xí)：1、一4n2、解：(1)四邊形EFGH是正方形， 證明：四邊形 ABCD是正方形，/ A= / B= / C= / D=90 ,AB=BC=CD=DA ,/ HA=EB=FC=GD , AE=BF=CG=DH , AEH BFE CGF DHG , HE=EF=FG=GH ,四邊形EFGH是菱形，由厶 DHG AEH 知/ DHG= / AEH ,/ AEH+ / AHE=90 ,/ DHG+ / AHE=90 ,:丄 GHE=90 ,四邊形EFGH是正方形；(2) 1。3、解：(1)正確.證明：在 AB上取一點(diǎn) M,使AM=EC連接 ME BM=BE/ BME=45 ,/ AME=135 ,