第一學(xué)期《數(shù)學(xué)建?！愤x修課試題卷

1、2011-2012第一學(xué)期數(shù)學(xué)建模選修課試題卷班級:姓名：學(xué)號：成績：一、解釋下列詞語，并舉例說明(每小題滿分5分，共15分)1模型: 指為了某個特定目的將原型所具有本質(zhì)屬性的某一部分信息經(jīng)過簡化、提煉而構(gòu)造的原型替代物如地圖、苯分子圖2數(shù)學(xué)模型：由數(shù)字字母或其他數(shù)學(xué)符號組成的，描述顯示對象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)具體地說，數(shù)學(xué)建模也可以描述為：對于現(xiàn)實(shí)世界的一個特定的對象，為了一個特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些簡化假設(shè)后，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)稱之為數(shù)學(xué)模型如概率的功利化定義3抽象模型：抽象模型是為了便于研究而建立的一種高度抽象的理想客體實(shí)際的物體都是具有多種屬性的，例如固

2、體具有一定的形狀、體積和內(nèi)部結(jié)構(gòu)，具有一定的質(zhì)量等但是，當(dāng)我們針對某種目的，從某種角度對某一物體進(jìn)行研究時，有許多對研究問題沒有直接關(guān)系的屬性和作用卻可以忽略.二、簡答題（每小題滿分8分，共24分）1模型的分類:1:按照人們對原型的認(rèn)識過程來分.2:按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域分.3：按照建立數(shù)學(xué)模型的方法分.4:按照模型的特征分.5：按照對模型結(jié)構(gòu)了解的程度分.2數(shù)學(xué)建模的基本步驟:1建模準(zhǔn)備：確立建模課題的過程建模假設(shè)：根據(jù)建模的目的對原型進(jìn)行抽象、簡化有目的性原則、簡明性原則、真實(shí)性原則和全面性原則構(gòu)造模型：在建模假設(shè)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析建模假設(shè)的各條款，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和構(gòu)造模型的方法對其進(jìn)行

3、表征，構(gòu)造出根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù)，分析模型的特征和模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)計或選擇求解模型的數(shù)學(xué)刻化實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型模型求解：構(gòu)造數(shù)學(xué)模型之后，方法和算法，并借助計算機(jī)完成對模型的求解模型分析：根據(jù)建模的目的要求，對模型求解的數(shù)字結(jié)果，或進(jìn)行穩(wěn)定性分析，或進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析，或進(jìn)行誤差分析等模型檢驗(yàn)：模型分析符合要求之后，還必須回到客觀實(shí)際中去對模型進(jìn)行檢驗(yàn)，看它是否符合客觀實(shí)際模型應(yīng)用：模型應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模的宗旨，將其用于分析、研究和解決實(shí)際問題，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模型在生產(chǎn)和科研中的特殊作用3數(shù)學(xué)模型的作用：數(shù)學(xué)模型的根本作用在于他將客觀原型化繁為簡、化難為易，便于人們采用定量的方法去分析和解決實(shí)

4、際問題。正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)模型在科學(xué)發(fā)展、科學(xué)預(yù)見、科學(xué)預(yù)測、科學(xué)管理、科學(xué)決策、駕控市場經(jīng)濟(jì)乃至個人高效工作和生活等眾多方面發(fā)揮著特殊的重要作用，數(shù)學(xué)不僅是人們認(rèn)識世界的有力工具，而且對于人的素質(zhì)培養(yǎng)，無論是在自然科學(xué)，還是社會科學(xué)中都隨時發(fā)生著作用，使其終生受益。特別是，當(dāng)代計算機(jī)科學(xué)的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，使得數(shù)學(xué)模型的方法如虎添翼，加速了數(shù)學(xué)向各個學(xué)科的滲透，產(chǎn)生了眾多的邊緣學(xué)科。數(shù)學(xué)建模還物化于各中高新科技之中，從家用電器到天氣預(yù)報，從通信到廣播電視，從核電站到衛(wèi)星，從新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高質(zhì)量、高效率等特點(diǎn)無一不是通過數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法并借助計算機(jī)的計算控制來

5、實(shí)現(xiàn)的。三、解答題（滿分20分）b 題 (7n+1, 7n+3) 國慶慶典活動的中心廣場有數(shù)萬名學(xué)生手持花環(huán)組成大型圖案方陣，方陣前排距觀禮臺120米,方陣縱列95人，每列長度192米，試問第一、二兩排間距多大能夠達(dá)到滿意的觀禮效果？d 題 (7n+3, 7n+4) 1997年11月8日電視正在播放長江三峽工程大江截流的實(shí)況，截流從8:55開始,當(dāng)時龍口的水面寬40米，水深60米。11:50時，播音員報告水面寬為34.4米，到13:00時，播音員又報告水面寬為31米。這時，電視機(jī)旁的某位同學(xué)說，現(xiàn)在可以估算下午幾點(diǎn)合龍。從8:55到11:50，進(jìn)展的速度每小時寬度減少1.9米，從11:50到1

6、3:00，進(jìn)展的速度每小時寬度減少2.9，該同學(xué)認(rèn)為回填速度是越來越快的，近似于每小時速度加快1米。從下午1點(diǎn)起，大約需要5個多小時，即下午6點(diǎn)鐘左右能合龍。因此，該同學(xué)上街到書店去買有關(guān)三峽工程介紹和數(shù)學(xué)建模方面的書籍，但當(dāng)他坐車返回時，突然從廣播里聽到了大江截流成功的消息，該同學(xué)非常后悔沒有看到大江截流成功時的實(shí)況，這時他忽然反應(yīng)過來，趕快看了看手表，此時正好是下午3點(diǎn)30分。請你根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，建立一個合理的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計算，使你的計算結(jié)果更切合實(shí)際；并幫助該同學(xué)分析他出錯的原因，并對該同學(xué)應(yīng)提出那些合理化的建議？ 四、綜合題（41分）i. 養(yǎng)魚問題(6n+2, 6n+4, 6n+5)我

7、國為支持農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展, 免費(fèi)提某種魚苗用以支持某地區(qū)養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展。設(shè)某地區(qū)有一池塘，其水面面積100100平方米，根據(jù)當(dāng)?shù)丨h(huán)境測出每平方米養(yǎng)魚不超過1公斤，每公斤魚苗大約有500條，魚可四季生長，每天的生長重量與魚自重成正比，360天可長成成魚，其重量為2公斤，每公斤魚每天需要飼料0.005公斤,給魚池內(nèi)只投放魚苗，池內(nèi)魚的繁殖與死亡均可忽略不計，市場上魚飼料價格0.2元/公斤,此種魚的銷售價格為：每條魚重量（公斤）0.2-0.750.75-1.51.5-20.2每公斤的售價（元）68100請你為一承包戶設(shè)計一下最優(yōu)方案. 1. 此承包護(hù)承包期為一年；2.此承包護(hù)承包期為三年；此承包護(hù)承包期為

8、三十年. 假設(shè)：研究獲得三年養(yǎng)魚利潤最優(yōu)模型摘要在我們?nèi)粘Ｉ钪?，都有這么些相關(guān)的例子。那么這里我們將基于求利潤最優(yōu)化的養(yǎng)魚規(guī)劃問題，根據(jù)魚的存活空間有限，以及魚本身的生長情況，可以假設(shè)魚在長成成魚后生長非常緩慢，近似為不生長，未成年魚的生長模型為指數(shù)增長模型,得出魚的增長函數(shù)，對于的價格進(jìn)行預(yù)知，將利潤的最大化問題著手于研究養(yǎng)魚周期、捕魚次數(shù)及每次捕魚的重量，結(jié)合魚的生長模型充分利用池塘空間，在合理假設(shè)條件下建立數(shù)學(xué)模型，并借助matlab軟件編程計算，通過比較分析各模型的最優(yōu)解，確定出三年獲得較大利潤的最優(yōu)養(yǎng)魚方案，為養(yǎng)殖戶提供有用的參考。關(guān)鍵字： matlab 指數(shù)增長模型 養(yǎng)魚周期 捕

9、魚次數(shù) 捕魚重量 較大利潤一、 問題重述設(shè)某地有一池塘，其水面面積約為100100，用來養(yǎng)殖某種魚類。在如下的假設(shè)下，設(shè)計能獲取較大利潤的三年的養(yǎng)魚方案。 魚的存活空間為1kg /； 每1kg魚每天需要的飼料為0.05kg，市場上魚飼料的價格為0.2元/kg； 魚苗的價格忽略不計，每1kg魚苗大約有500條魚； 魚可四季生長，每天的生長重量與魚的自重成正比，365天長為成魚，成魚的重量為2kg；池內(nèi)魚的繁殖與死亡均忽略；若q為魚重，則此種魚的售價為：該池內(nèi)只能投放魚苗。二、 模型假設(shè)（1）、養(yǎng)魚者的經(jīng)營模式為“放魚苗喂飼料捕撈，銷售全部捕撈”周期循環(huán)，每個周期只投放一次魚苗。（2）、在飼養(yǎng)過程

10、中，不考慮意外災(zāi)害，如洪災(zāi)、旱災(zāi)，臺風(fēng)等等。（3）、魚可以一年四季生長，未成年魚每天生長的重量與魚的自重成正比。（4）、魚的繁殖和死亡均可以忽略。（5）、捕撈魚時采取承包不放水的方式。（6）、每個周期分n次捕撈銷售，每相隔兩次捕撈時間間隔相同，n=2；且在捕撈時，部分魚對其它魚的生長不造成影響，捕出的魚能全部按預(yù)定價格銷售。三、 符號及說明s：池塘水面面積（平方米）；u：池塘單位面積魚的最大存活量重（公斤/平方米）；n：每次放養(yǎng)魚苗的尾數(shù)（萬尾）；r:魚每天生長的重量與魚自重成正比的比例系數(shù)；y：每條魚的重量（公斤）；t：魚的生長天數(shù)（天）；p:銷售魚的價格（元/公斤）；a：每公斤魚每天要喂的

11、飼料重量（公斤）；b：市場上飼料的價格（元/公斤）；p0：每次捕撈魚的費(fèi)用（元/次）；h0：購買魚苗時的價格（元/萬尾）；x0：每條魚苗的重量（公斤）；n：每個養(yǎng)魚周期的捕撈次數(shù)（次）；ts：在每個周期的第s次捕撈魚的時間（天）；：池塘飽和時魚的總重量（公斤）；：在每個周期的第s次捕撈魚的重量（公斤）；y：三年養(yǎng)魚獲得的較大利潤（元）。四、 問題分析名詞解釋1)、池塘飽和：魚的生存空間達(dá)到最小時2）、未成年魚：體重沒達(dá)到成魚重量的魚3）、養(yǎng)魚周期：每次放養(yǎng)魚苗后飼養(yǎng)的時間問題的數(shù)據(jù)分析在池塘第一次達(dá)到飽和時魚剛好能夠上市的前提下，考慮充分利用池塘空間，容易知道每個周期放養(yǎng)魚苗數(shù)為萬尾。由假設(shè)3

12、可得魚的生長函數(shù)為: 由條件3、4可求得：由條件6可得銷售魚時的價格函數(shù)為：將其轉(zhuǎn)化為時間的函數(shù)：由銷售魚的價格函數(shù)可知，每次放養(yǎng)魚苗后，第一次捕撈的時間是在第240天，為獲得較大利潤，在三年時間可進(jìn)行4個周期的循環(huán)或3個周期循環(huán)。且最后一次捕撈應(yīng)在第274天和第360天將魚全部捕撈并銷售。五、 模型建立與求解模型1：三年中4次放養(yǎng)魚苗用表示三年中4次放養(yǎng)魚苗，每個養(yǎng)魚周期分n次捕撈銷售后獲得的利潤。由前面問題分析可得，4次放養(yǎng)魚苗獲得的較大利潤函數(shù)為：約束條件： 模型2：三年中3次放養(yǎng)魚苗 用表示三年中3次放養(yǎng)魚苗，每個養(yǎng)魚周期分n次捕撈銷售后獲得的利潤。由前面問題分析可得，3次放養(yǎng)魚苗獲得

13、的較大利潤函數(shù)為：約束條件： 模型求解經(jīng)過調(diào)查多家養(yǎng)魚專業(yè)戶及網(wǎng)上查詢，可獲知常見家常魚的價格為10元/萬尾。捕魚采取承包不放水方式，費(fèi)用一般為每次12001500元不等，這里，我們研究的是如何獲得較大利潤，不妨取元/次。利用matlab軟件編程計算并作圖，在同一坐標(biāo)系中回話出及與n的關(guān)系圖像，如下圖：051015202530354045505560657012345678模型結(jié)論 由圖1可獲知為獲得三年養(yǎng)魚的較大利潤應(yīng)采用模型2，再由計算結(jié)果知，當(dāng)n=13時，取得最大利潤元。當(dāng)n=13帶入方程（6）、（7）可得在輪個養(yǎng)魚中前12次每次大撈魚的重量為1745公斤，從第240天開始，每10天打撈一次，最后一次將魚全部捕撈完。這即是三年獲得較大利潤的最優(yōu)方案。六、模型評價及改進(jìn)方向優(yōu)點(diǎn)：1、 通過兩種模型的求解、分析、對比獲得最優(yōu)養(yǎng)魚方案，使最優(yōu)設(shè)計方案的結(jié)果更具有實(shí)際性、可行性、合理性，在進(jìn)行設(shè)計變量的過程中具體分析關(guān)系量，所假設(shè)的變量清晰、全面、合理、不混淆，使得建立的模型簡單易懂，可行性高。2、 采用matlab軟件編程求解并作圖，對結(jié)果分析有很大幫助。圖示中可觀察出相應(yīng)變量對目標(biāo)函數(shù)的影響，通過對兩種模型的比較，獲得三年養(yǎng)魚中獲得較大利潤的最優(yōu)方案，為養(yǎng)殖戶提供了有價值的參考。缺點(diǎn)：忽略了魚在生長過程中的繁殖和死亡，同時沒有考慮魚生長時的種族斗爭與生存競爭，因此可能與實(shí)際