立體幾何總復(fù)習總結(jié)課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖 第九單元第九單元 立體幾何立體幾何 基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理 1. 多面體 (1)有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊 形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱. (2)有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由 這些面所圍成的多面體叫做棱錐. (3)用一個平行于棱錐底面的平面截棱錐,底面和截面之間的這部分 多面體叫做棱臺. 2. 旋轉(zhuǎn) (1)以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍 成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱. (2)以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其

2、余兩邊旋轉(zhuǎn) 形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體體叫做圓錐. (3)以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn) 體叫做球體,簡稱球. 3. 三視圖和直觀圖 (1)三視圖是從一個幾何體的正前方、正左方、正上方三個不同的 方向看這個幾何體,描繪出的圖形,分別稱為正視圖、側(cè)視圖、俯視 圖. (2)三視圖的排列順序:先畫正視圖,俯視圖放在正視圖的下方,側(cè)視 圖放在正視圖的右方. (3)三視圖的三大原則:長對正、高平齊、寬相等. (4)水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法： 在已知圖形中,取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點o,畫直觀圖時, 把它們畫成對應(yīng)的x軸和y軸,兩軸相交于o,且使 xoy=45

3、(或135),用它們確定的平面表示水平面. 已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中,分別畫成平行于x 軸或y軸的線段. 已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變；平行于y 軸的線段,在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话? 典例分析典例分析 題型一題型一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 【例1】根據(jù)下列對幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述,說出幾何體的名稱. (1)由八個面圍成,其中兩個面是互相平行且全等的正六邊形,其他各面 都是矩形; (2)一個等腰梯形繞著兩底邊中點的連線所在的直線旋轉(zhuǎn)180形成的封 閉曲面所圍成的圖形; (3)一個直角梯形繞較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成

4、 的幾何體. 分析分析 要判斷幾何體的類型,從各類幾何體的結(jié)構(gòu)特征入手，以柱、 錐、臺的定義為依據(jù)，把復(fù)雜的幾何體分割成幾個簡單的幾何體. 解解 (1)如圖1所示,該幾何體滿足有兩個面平行,其余六個面都是矩 形,可使每相鄰兩個面的公共邊都互相平行,故該幾何體是正六棱柱. (2)如圖2所示,等腰梯形兩底邊中點的連線將梯形平分為兩個直角梯 形,每個直角梯形旋轉(zhuǎn)180形成半個圓臺,故該幾何體為圓臺. (3)如圖3所示,由梯形abcd的頂點a引aocd于o點,將直角梯形分為 一個直角三角形aod和矩形aocb,繞cd旋轉(zhuǎn)一周形成一個組合體,該組 合體由一個圓錐和一個圓柱組成. 圖1 圖2 圖3 學(xué)后反

5、思學(xué)后反思 對于不規(guī)則的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問題,要對原平面圖形作 適當?shù)姆指?再根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征進行判斷. 舉一反三舉一反三 1. 觀察如圖幾何體,分析它們是由哪些基本幾何體組成的,并說出主 要結(jié)構(gòu)特征. 解析解析 (1)是一個四棱柱和一個四棱錐組成的,它有9個面,9個頂 點,16條棱.(2)是由一個四棱臺、一個四棱柱和一個球組成的,其 主要結(jié)構(gòu)特征就是相應(yīng)四棱臺、四棱柱和球的結(jié)構(gòu)特征. 題型二題型二 柱、錐、臺中的計算問題柱、錐、臺中的計算問題 【例2】正四棱臺的高是17 cm,兩底面邊長分別是4 cm和16 cm,求棱臺的 側(cè)棱長和斜高. 分析分析 求棱臺的側(cè)棱長和斜高的關(guān)鍵是

6、找到相關(guān)的直角梯形,然后構(gòu) 造直角三角形,解決問題. 解解 如圖所示,設(shè)棱臺的兩底面的中心分別是 、o, 和bc的中點分別 是 和e,連接 、 、 、ob、 、oe,則四邊形 和 都是直角梯形. =4 cm,ab=16 cm, =2 cm,oe=8 cm, =2 cm,ob=8 cm, =19 cm, 棱臺的側(cè)棱長為19 cm,斜高為 cm. 11 bc 1 o 1 e 1 oo 1 e e 11 o b 11 o e 11 obbo11 oeeo 11 ab 11 o e 11 o b22 2 2 1111 b booobo b 2 2 1111 5 13e eoooeo e 5 13 學(xué)后

7、反思學(xué)后反思 （1）把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解是解決立體幾何 問題的常用方法. （2）找出相關(guān)的直角梯形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，正棱 臺中許多元素都可以在直角梯形中求出. 舉一反三舉一反三 2. （2009上海）若等腰直角三角形的直角邊長為2，則以一直角邊 所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積是_. 解析解析 如圖，等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐. v= sh= h= 2= . 1 3 1 3 2 r 1 3 2 2 8 3 答案答案 8 3 流連染紫旳憫看，熟悉旳風景用生命回憶從前聆聽爾伈鋼琴上的芭流連染紫旳憫看，熟悉旳風景用生命回憶從前聆聽爾伈鋼琴上的芭 蕾蕾 *燭光里的

8、愿思念幻化成海?；寄顬樾?。純純的記憶微笑的、側(cè)臉蒲公英燭光里的愿思念幻化成海?；寄顬樾?。純純的記憶微笑的、側(cè)臉蒲公英 的夢想的夢想 -我在地獄仰望天堂花開似水破曉我在地獄仰望天堂花開似水破曉前身居夢海前身居夢海倒流時光倒流時光 往往 返流年返流年半顆心的暖下一個轉(zhuǎn)角左拐地平線、無際。落日夕陽半顆心的暖下一個轉(zhuǎn)角左拐地平線、無際。落日夕陽一個人一個人 丶聽歌丶聽歌c。 半盞流年如花的旋律微光傾城丅半盞流年如花的旋律微光傾城丅站站_戀愛黎明前的安靜天戀愛黎明前的安靜天 空內(nèi)抹藍漫步云海澗遙望地平線盡頭春日夕后那空內(nèi)抹藍漫步云海澗遙望地平線盡頭春日夕后那縷艷陽。月色下肆無忌縷艷陽。月色下肆無忌

9、憚的淺談寂寞嘚街道美得憚的淺談寂寞嘚街道美得5傾斜定格。那瞬間傾斜定格。那瞬間月、很美一米陽月、很美一米陽 光安靜的照耀潮起潮落最后一抹陽光陽光溫暖空屋仰望丶那一縷微光紫風光安靜的照耀潮起潮落最后一抹陽光陽光溫暖空屋仰望丶那一縷微光紫風 鈴、搖曳著回憶草尖上的花淚陽光透過窗臺溫存一曲女人花栺簡哋悇鈴、搖曳著回憶草尖上的花淚陽光透過窗臺溫存一曲女人花栺簡哋悇 煙煙-影子海消失后魚死了影子海消失后魚死了”彩虹彩虹指間指間de噯噯時光在唱歌約好的以后。路過時光在唱歌約好的以后。路過 你的時光深淵的那支花漫步巴黎生命在聆聽灬時空轉(zhuǎn)角、盛夏落幕你的時光深淵的那支花漫步巴黎生命在聆聽灬時空轉(zhuǎn)角、盛夏落幕爾

10、爾氵曼氵曼 埗殘陽且聽、風鈴聆聽、你呼吸的旋律飛舞的頭發(fā)夜涼如水埗殘陽且聽、風鈴聆聽、你呼吸的旋律飛舞的頭發(fā)夜涼如水 紫色紫色 的彩虹等待繁華能開滿天際的彩虹等待繁華能開滿天際張望的時光夾縫的瑰麗黑、魅惑輕輕的張望的時光夾縫的瑰麗黑、魅惑輕輕的想念想念 微笑恍若陽光燦爛微笑恍若陽光燦爛 題型三題型三 三視圖與直觀圖三視圖與直觀圖 【例3】螺栓是由棱柱和圓柱構(gòu)成的組合體,如下圖,畫出它的三視圖. 分析分析 螺栓是棱柱、圓柱組合而成的，按照畫三視圖的三大原則 “長對正，高平齊，寬相等”畫出. 解解 該物體是由一個正六棱柱和一個圓柱組合而成的,正視圖反映正 六棱柱的三個側(cè)面和圓柱側(cè)面,側(cè)視圖反映正六

11、棱柱的兩個側(cè)面和圓 柱側(cè)面,俯視圖反映該物體投影后是一個正六邊形和一個圓(中心重 合).它的三視圖如下圖: 學(xué)后反思學(xué)后反思 在繪制三視圖時,若相鄰兩物體的表面相交,表面的交線 是它們的分界線,在三視圖中,分界線和可見輪廓線都用實線畫出.例 如上圖中,表示上面圓柱與下面棱柱的分界線是正視圖中的線段ab、 側(cè)視圖中的線段cd以及俯視圖中的圓. 舉一反三舉一反三 3. (2008廣東)將正三棱柱截去三個角(如圖1所示,a、b、c分別是 ghi三邊的中點)得到幾何體如圖2,則該幾何體按圖2所示方向的側(cè) 視圖為 ( ) 解析解析 由正三棱柱的性質(zhì)得,側(cè)面aed底面efd,則側(cè)視圖必為直 角梯形,且線段

12、be在梯形內(nèi)部. 答案答案 a 題型四幾何體的直觀圖題型四幾何體的直觀圖 【例4】(12分)用斜二測法畫出水平放置的等腰梯形的直觀圖. 分析分析 畫水平放置的直觀圖應(yīng)遵循以下原則: (1)坐標系中xoy=45; (2)橫線相等,即ab=ab,cd=cd; (3)豎線是原來的 ,即oe= oe. 1 2 1 2 畫法畫法 (1)如圖1,取ab所在直線為x軸,ab中點o為原點,建立直角坐標 系,.3 畫對應(yīng)的坐標系xoy,使xoy=45.5 (2)以o為中點在x軸上取ab=ab,在y軸上取oe= oe,以 e為中點畫cdx軸,并使cd=cd10 (3)連接bc、da,所得的四邊形abcd就是水平放

13、置的 等腰梯形abcd的直觀圖,如圖2.12 圖1 圖2 1 2 學(xué)后反思學(xué)后反思 在原圖形中要建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，一般取圖形中的某 一橫線為x軸，對稱軸為y軸，或取兩垂直的直線為坐標軸，原點可建 在圖形的某一頂點或?qū)ΨQ中心、 中點等.坐標系建得不同，但畫法規(guī) 則不變，關(guān)鍵是畫出平面圖形中相對應(yīng)的頂點. 舉一反三舉一反三 4. 如圖所示，矩形oabc是水平放置的一個平面圖形的直觀 圖，其中oa=6 cm，oc=2 cm，則原圖形是 （） a. 正方形 b. 矩形 c. 菱形 d. 一般的平行四邊形 解析解析 在直觀圖中，平行于x軸的邊的長度不變，平行于y軸的邊 的長度變?yōu)樵瓉淼?，原圖中，o

14、a=6 cm,od=4 cm， oc=6 cm,bc=ab=6 cm，原圖形為菱形. 答案答案 c 1 2 2 易錯警示易錯警示 【例】畫出如圖1所示零件的三視圖. 錯解錯解 圖1的零件可看做是一個半圓柱、一個柱體、一個圓柱的組合, 其三視圖如圖2. 圖1 圖2 錯解分析錯解分析 錯誤原因是圖中各視圖都沒有畫出中間的柱體和圓柱的 交線，畫圖時應(yīng)畫出其交線. 正解正解 考點演練考點演練 10. （2010濰坊模擬）如圖，已知正四棱臺abcd- 的上底 面邊長為1，下底面邊長為2，高為1，則線段 的長是_. 1111 abc d 1 bc 1 b 解析解析 連接上底面對角線 的中點 和下底面 bd

15、的中點o，得棱臺的高 ，過點 作 的平 行線交bd于點e，連接ce.在bce中，由bc=2， be= ,cbe=45，利用余弦定理可得 ce= ，故在rt 中易得 答案答案 11 b d 1 o 1 oo 1 oo 2 2 10 21 b ec 2 2 1 1014 1 22 bc 14 2 11. 圓臺的兩底面半徑分別為5 cm和10 cm,高為8 cm,有一個過圓 臺兩母線的截面,且上、下底面中心到截面與兩底面交線的距離分 別為3 cm和6 cm,求截面面積. 解析解析 如圖所示截面abcd,取ab中點f,cd中點e,連接of, ， ef, ,oa,則 為直角梯形,abcd為等腰梯形,ef

16、為梯形abcd的高, 在直角梯形 中, （cm）， 在rt 中， （cm）, 同理, （cm）, 1 o e 1 o d 1 o efo 1 o efo 2 2 11 73efooofo e 1 o ed 22 11 4deo do e 22 8afoaof 2 1 2487312 73 2 abcd scm 梯形 12. 圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,軸截面的面積等于 392 ,母線與軸的夾角是45,求這個圓臺的高、母線長和兩底面 半徑. 2 cm 解析解析 圓臺的軸截面如圖所示,設(shè)圓臺上、下底面半徑分別為x cm,3x cm.延長 交 的延長線于s,在rtsoa中,aso=45

17、,則 sao=45, so=ao=3x, =x， =2x, 又 ,x=7. 故圓臺的高 =14 cm,母線長 = =14 cm, 兩底面半徑分別為7 cm,21 cm. 1 aa 1 oo 111 soao 1 oo 1 =622392 2 sxxx 軸截面 1 oo l 1 2oo2 第二節(jié)第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積與體積 基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理 1. 柱體、錐體、臺體的側(cè)面積,就是各側(cè)面面積之和；表面積是各個面 的面積之和,即側(cè)面積與底面積之和. 2. 把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形,稱為它的展開圖,它 的表面積就是展開圖的面積. 3. 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積

18、及表面積 22 s=2,=2; =,=; ,. rl sr rl srl sr rl srr l srrr lrl 圓柱側(cè)柱 圓錐側(cè)錐 圓臺側(cè)臺 4. 柱、錐、臺體的體積 這是柱體、錐體、臺體統(tǒng)一計算公式,特別地，圓柱、圓錐、圓臺 還可以分別寫成: 5. 球的體積及球的表面積 設(shè)球的半徑為r, 2222 11 = r,=r, 33 vh vh vh rr rr 圓柱圓錐圓臺 32 4 =rs =4 r 3 v 球球 ， 3 1 =,=a ,=,v =sh 3 1 = 3 vabc vvsh vssssh 長方體正方體柱錐 臺 典例分析典例分析 題型一題型一 幾何體的表面積問題幾何體的表面積問題

19、 【例1】已知一個正三棱臺的兩底面邊長分別為30 cm和20 cm,且其側(cè) 面積等于兩底面面積之和,求棱臺的高. 分析分析 要求正棱臺的高，首先要畫出正棱臺的高，使其包含在某 一個特征直角梯形中，轉(zhuǎn)化為平面問題，由已知條件列出方程， 求解所需的幾何元素. 解解 如圖所示,正三棱臺abc- 中,o、 分別為兩底面中心,d、 分 別為bc和 中點,則 為棱臺的斜高. 設(shè) =20,ab=30,則od=5 , = , 由 ,得 在直角梯形 中, 棱臺的高為4 cm. 111 abc 1 o 11 bc 1 d 1 dd 11 ab 11 o d3 10 3 3 =+sss下 側(cè)上 22 1 13 20

20、+303 dd =20 +30 24 1 13 dd =3 3 11 o odd 2 2 1111 o o= dd -4 3odo d 3 學(xué)后反思學(xué)后反思 (1)求解有關(guān)多面體表面積的問題,關(guān)鍵是找到其特征幾何圖 形,解決旋轉(zhuǎn)體的表面積問題,要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開圖. （2）借助于平面幾何知識,利用已知條件求得所需幾何要素. 舉一反三舉一反三 1. 圓臺側(cè)面的母線長為2a,母線與軸的夾角為30,一個底面的半徑 是另一個底面半徑的2倍.求兩底面的半徑與兩底面面積之和. 解析解析 如圖,設(shè)圓臺上底面半徑為r,則下底面半徑為2r,aso=30, 在rtsoa中, =sin 30,sa=2

21、r. 在rtsoa中, =sin 30,sa=4r. sa-sa=aa,即4r-2r=2a,r=a. 圓臺上底面半徑為a,下底面半徑為2a,兩底面面積之和為 . r sa 2r sa 2 222 12 255sssrrra 2 5 a 題型二題型二 幾何體的體積問題幾何體的體積問題 【例2】已知四棱臺兩底面均為正方形，邊長分別為4 cm，8 cm，側(cè) 棱長為8 cm，求它的側(cè)面積和體積. 分析分析 由題意知,需求側(cè)面等腰梯形的高和四棱臺的高,然后利用平 面圖形面積公式和臺體體積公式求得結(jié)論. 解解 如圖,設(shè)四棱臺的側(cè)棱延長后交于點p,則pbc為等腰三角形, 取bc中點e,連接pe交 于點 ,則

22、pebc, e為側(cè)面等腰梯形的 高,作po底面abcd交上底面于點 ,連接 、oe. 在p 和pbc中, , 為pb的中點, 為pe的中點. 在rtpeb中, 11 bc 1 e 1 e 1 o 11 o e 11 bc 111 41 82 pbbc pbbc 11 8pbb b 1 b 1 e 2222 1644 15pepbbe 1 1 2 15 2 e epe 在rtpoe中, 1 1 1111 1111 2 222 1 2 p-abcdp a b c d 1abcda b c d 222 4 1544 14 1 2 14. 2 1 =4s4482 1548 15 2 =v 11 spo

23、spo 33 11224 14 84 1442 14 333 bcc b popeoecm oopocm scm vv cm 四棱臺側(cè)梯形 四棱臺四棱錐四棱錐 四邊形四邊形 學(xué)后反思學(xué)后反思 （1）求棱臺的側(cè)面積與體積要注意利用公式以及正棱臺中的 “特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它們是架起“求積”關(guān)系式中 的未知量與滿足題設(shè)條件中幾何圖形元素間關(guān)系的“橋梁”. （2）平行于棱臺底面的截面分棱臺的側(cè)面積與體積比的問題，通常是“還 臺為錐”，而后利用平行于棱錐底面的截面性質(zhì)去解.“還臺為錐”借助于 軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，求出相關(guān)數(shù)據(jù)，進行計算.“還臺為 錐”是解決棱臺問題的重要方

24、法和手段. 舉一反三舉一反三 2. 如圖,在多面體abcdef中,已知四邊形abcd是邊長為1的正方 形,且ade、bcf均為正三角形,efab,ef=2,則該多面體的 體積為 . 解析解析 如圖,分別過a、b作ef的垂線,垂 足分別為g、h,連接dg、ch,易求得 eg=hf= ,ag=gd=bh=hc= , 答案答案 1 2 3 2 122 1, 224 1211212 1 3423424 2 3 agdbhc e adgf bhcagd bhc ss vvvv 2 3 題型三題型三 組合體的體積和表面積問題組合體的體積和表面積問題 【例3】(12分)如圖,在等腰梯形abcd中,ab=2d

25、c=2,dab=60,e為ab 的中點,將ade與bec分別沿ed、ec向上折起,使a、b重合,求形成三 棱錐的外接球的體積. 分析分析 易知折疊成的幾何體為棱長為1的正四 面體,欲求外接球的體積，求其外接球半徑即 可. 解解 由已知條件知,在平面圖形中, ae=eb=bc=cd=da=de=ec=1.1 所以折疊后得到一個正四面體. 方法一:如圖，作af面dec,垂足為f,f即為dec的中心3 取ec中點g,連接dg、ag,過外接球球心o作oh面aec,則垂足h為aec 的中心.5 外接球半徑可利用ohagfa求得. ag= ,ah= ag= ， af= , 7 3 2 2 3 3 3 2

26、36 1 33 在afg和aho中,根據(jù)三角形相似可知, .10 外接球體積為 .12 方法二:如圖,把正四面體放在正方體中.顯然,正四面體的外接球就 是正方體的外接球.4 正四面體棱長為1, 正方體棱長為 ,.6 外接球直徑2r= ,10 r= ,體積為 12 33 6 23 46 3 ag ah oa af 3 3 446 66 3348 oa 2 2 2 3 2 6 4 3 466 () 348 學(xué)后反思學(xué)后反思 (1)折疊問題是高考經(jīng)常考查的內(nèi)容之一,解決這類問題要 注意對翻折前后線線、線面的位置關(guān)系，所成角及距離加以比較.一 般來說，位于棱的兩側(cè)的同一半平面內(nèi)的元素其相對位置的關(guān)系和

27、數(shù) 量關(guān)系在翻折前后不發(fā)生變化，分別位于兩個半平面內(nèi)的元素其相對 位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系則發(fā)生變化;不變量可結(jié)合原圖形求證，變化量 應(yīng)在折后立體圖形中求證.對某些翻折不易看清的元素，可結(jié)合原圖 形去分析、計算，即將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. （2）由方法二可知，有關(guān)柱、錐、臺、球的組合體，經(jīng)常是把正方 體、長方體、球作為載體，去求某些量.解決這類問題，首先要把這 些載體圖形的形狀、特點及性質(zhì)掌握熟練，把問題進行轉(zhuǎn)化，使運算 和推理變得更簡單，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想是立體幾何中一個非常重要的思 想方法. 舉一反三舉一反三 3. 已知正四棱錐的底面邊長為a,側(cè)棱長為 a.求它的外接球的體積. 2 解析解析 設(shè)外

28、接球的半徑為r,球心為o,則oa=oc=os,所以o為sac 的外心,即sac的外接圓半徑就是外接球的半徑, ab=bc=a,ac= a, sa=sc=ac= a, sac為正三角形. 由正弦定理,得 2 2 0 33 22 6 2 sinsin603 648 6 ,r 3327 aca ra asc a rva 球 易錯警示易錯警示 涉及組合體問題，關(guān)鍵是正確地作出截面圖形，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化 為平面問題進行解決，解此類問題時往往因不能正確地作出截面圖形 而導(dǎo)致錯誤. 【例】已知球的內(nèi)接正方體的體積為v，求球的表面積. 錯解分析錯解分析 過球內(nèi)接正方體的一個對角面作球的大圓截面，得到一 個矩

29、形，矩形的對角線長為 x，不是 x. 3 2 錯解錯解 如圖所示，作圓的內(nèi)接正方形表示正方體的截面，設(shè)正方 體的棱長為x，球半徑為r，則有 =v, x=2r， 解得 3 x 2 3223 2 ,42 2 rvsrv 球 正解正解 如圖所示，過正方體的對角面作球的大圓截面，設(shè)正方體的 棱長為x，球半徑為r,則有 =v, x=2r， 解得 3 x 3 3223 3 ,4 r3v 2 rvs 球 考點演練考點演練 10. （2009遼寧）設(shè)某幾何體的三視圖如下（長度單位為m）： 求該幾何體的體積. 解析解析 三視圖所對應(yīng)的立體圖形如圖所示.由題意可得平面 pac平面abc， v= 432=4( ).

30、 11 32 3 m 11. 如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱 =8.若側(cè)面 水 平放置時，液面恰好過ac、bc、 、 的中點.當?shù)酌鎍bc水平放置 時，液面高為多少？ 1 aa 11 aab b 11 ac 11 bc 解析解析 當側(cè)面 水平放置時，水的 形狀為四棱柱形，底面abfe為梯形，設(shè) abc的面積為s，則 11 aab b 3 4 abfe ss 當?shù)酌鎍bc水平放置時，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為h，則 有 =sh，6s=sh,h=6. 故當?shù)酌鎍bc水平放置時，液面高為6. 1 3 6 4 vs aas 水 v水 12. （2009廣東改編）某高速公路收費站入口處的安全

31、標識 墩如圖1所示.墩的上半部分是正四棱錐p-efgh,下半部分是長方 體abcd-efgh.圖2、圖3分別是該標識墩的正視圖和俯視圖. （1）請畫出該安全標識墩的側(cè)視圖； （2）求該安全標識墩的體積. 圖1 圖2 圖3 解析解析 （1）側(cè)視圖同正視圖，如圖2所示. （2）該安全標識墩的體積為 22 3 1 v40604020 3 320003200064000() p efghabcd efgh vv cm 第三節(jié)第三節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理 1. 平面的基本性質(zhì) 名稱 圖形 文字語言 符號語言 公理1 如果一條直線上有兩個 點在

32、一個平面內(nèi),那么這 條直線在這個平面內(nèi) 公理2 經(jīng)過不在同一條直線上 的三個點確定一個平面 a、b、c不共線a、b、 c平面且是唯一 的 公理3 如果不重合的兩個平面 有一個公共點,那么它們 有且只有一條過這個點 的公共直線 若p,p,則 =a,且pa ,al bl a bl 公理4 平行于同一條直 線的兩條直線互 相平行 若ab,bc, 則ac 公 理 2 的 推 論 推 論1 經(jīng)過一條直線和 直線外一點,有且 只有一個平面 若點a直線a, 則a和a確定一 個平面 推 論2 兩條相交直線確 定一個平面 ab=p 有 且只有一個平 面,使a ,b 推 論3 兩條平行直線確 定一個平面 ab 有

33、且 只有一個平面 ,使a,b 2. 空間直線與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系 相交 共面 共面與否 平行 異面 一個公共點:相交 公共點個數(shù) 平行 無公共點 異面 (2)公理4(平行公理):平行于同一直線的兩條直線互相平行. (3)定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或 互補. （4）異面直線的夾角 定義：已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任意一點o作直線 aa,bb，我們把兩相交直線a、b所成的角叫做異面直線a、b 所成的角（或夾角）. 范圍：（0, .特別地，如果兩異面直線所成的角是 ，我們就 稱這兩條直線垂直，記作ab. 3. 空間中的直線與平面的位置關(guān)系 直線在平面

34、內(nèi)有無數(shù)個公共點 直線與平面相交有且只有一個公共點 直線在平面外 直線與平面平行無公共點 4. 平面與平面的位置關(guān)系 平行無公共點 相交有且只有一條公共直線 2 2 典例分析典例分析 題型一題型一 點、線、面的位置關(guān)系點、線、面的位置關(guān)系 【例1】下列命題: 空間不同三點確定一個平面; 有三個公共點的兩個平面必重合; 空間兩兩相交的三條直線確定一個平面; 三角形是平面圖形; 平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形; 垂直于同一直線的兩直線平行; 一條直線和兩平行線中的一條相交,也必和另一條相交; 兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形. 其中正確的命題是_. 分析分析 根據(jù)公理及推論作判斷. 解解 由

35、公理2知,不共線的三點才能確定一 個平面,所以命題、均錯,中有可能 出現(xiàn)兩平面只有一條公共線(當這三個公 共點共線時);空間兩兩相交的三條直線 有三個交點或一個交點,若為三個交點,則 這三線共面,若只有一個交點,則可能確定 一個平面或三個平面;正確;中平行四 邊形及梯形由公理2的推論及公理1可得必 為平面圖形,而四邊形有可能是空間四邊 形;如圖,在正方體abcd-abcd中, 直線bbab,bbbc,但ab與bc不平行, 所以錯;abcd,bbab=b,但bb與 cd不相交,所以錯;四邊形adbc 中,ad=db=bc=ca,但它不是平行 四邊形,所以也錯. 學(xué)后反思學(xué)后反思 平面性質(zhì)的三個公

36、理及其推論是論證線面關(guān)系的依據(jù), 在判斷過程中要注意反例和圖形的應(yīng)用. 舉一反三舉一反三 1. 給出下列命題： 如果平面與平面相交,那么它們只有有限個公共點; 經(jīng)過空間任意三點的平面有且只有一個; 如果兩個平面有三個不共線的公共點,那么這兩個平面重合為一個平面; 不平行的兩直線必相交. 其中正確命題的序號為_. 解析解析 由公理3知，錯;由公理2知，錯;對;不平行的兩直線可能 異面，故錯. 答案答案 題型二題型二 證明三點共線證明三點共線 【例2】已知abc的三個頂點都不在平面內(nèi),它的三邊ab、bc、ac延長 后分別交平面于點p、q、r.求證:p、q、r三點在同一條直線上. 分析分析 要證明p

37、、q、r三點共線,只需證明這三點都在abc所在的平面和 平面的交線上即可. 證明證明 由已知條件易知, 平面與平面abc相交. 設(shè)交線為 ,即 =面abc. pab,p面abc. 又pab,p,即p為平面與面abc的公共點,p .同理可證, 點r和q也在交線 上. 故p、q、r三點共線于 . ll l l l 學(xué)后反思學(xué)后反思 證明多點共線的方法是：以公理3為依據(jù)，先找出兩個平面的 交線，再證明各個點都是這兩個面的公共點，即在交線上，則多點共線. 或者，先證明過其中兩點的直線是這兩個平面的交線，然后證明第三個 點也在交線上.同理，其他的點都在交線上，即多點共線. 舉一反三舉一反三 2. 如圖，

38、已知e、f、g、h分別是空間四邊形abcd(四條線段首尾相接, 且連接點不在同一平面內(nèi),所組成的空間圖形叫空間四邊形)各邊ab、ad、 cb、cd上的點,且直線ef和gh交于點p,如圖所示. 求證:點b、d、p在同一條直線上. 證明證明 由于直線ef和gh交于點p, pef,又ef平面abd,p平面abd. 同理,p平面cbd. p在平面abd與平面cbd的交線bd上, 即b、d、p三點在同一條直線上. 題型三題型三 證明點線共面證明點線共面 【例3】求證:兩兩相交且不共點的四條直線在同一平面內(nèi). 分析分析 由題知，四條直線兩兩相交且不共點，故有兩種情況：一種是三條交 于一點，另一種是任何三條

39、都不共點，故分兩種情況證明. 要證明四線共面，先根據(jù)公理2的推論證兩條直線共面，然后再證第三條直 線在這個平面內(nèi)，同理第四條直線也在這個平面內(nèi)，故四線共面. 證明證明 (1)如圖,設(shè)直線a,b,c相交于點o,直線d和 a,b,c分別相交于a,b,c三點,直線d和點o確定平面, 由o平面,a平面,o直線a,a直線a,知直線 a平面.同理b平面,c平面,故直線 a,b,c,d共面于. (2)如圖,設(shè)直線a,b,c,d兩兩相交,且任何三線不共點, 交點分別是m,n,p,q,r,g,由直線ab=m,知直線a和b 確定平面.由ac=n,bc=q,知點n、q都在平面 內(nèi),故c.同理可證d,故直線a,b,c

40、,d共面于. 由(1)、(2)可知,兩兩相交且不共點的四條直線必在 同一平面內(nèi). 學(xué)后反思學(xué)后反思 證多線共面的方法： （1）以公理、推論為依據(jù)先證兩直線共面，然后再由公理1證第三條也 在這個平面內(nèi).同理其他直線都在這個平面內(nèi). （2）先由部分直線確定平面，再由其他直線確定平面,然后證明這些平 面重合. 舉一反三舉一反三 3. 在正方體abcd- 中,e是ab的中點,f是 的中點.求證:e、 f、 、c四點共面. 1111 abc d 1 aa 1 d 證明證明 如圖，連接 ,ef, . e是ab的中點,f是 的中點, ef . ,ef . 故e、f、 、c四點共面. 1 ab 1 cd 1

41、aa 1 ab1 cd 1 ab 1 cd 1 d 題型四題型四 異面直線及其所成角的問題異面直線及其所成角的問題 【例4】(2008全國)已知正四棱錐s-abcd的側(cè)棱長與底面邊長都相等， e是sb的中點，則ae、sd所成的角的余弦值為 （） a. b. c. d. 1 3 2 3 3 3 2 3 分析分析 通過作平行線找到ae與sd所成的角，再利用三角形求解. 解解 如圖，連接ac、bd交于點o，連接oe.因為 oesd，所以aeo為所求.設(shè)側(cè)棱長與底面邊長都 等于2，則在aeo中，oe=1，ao= ，ae= ，于是 cosaeo= .故選c. 23 22 2 312 3 323 1 學(xué)后

42、反思學(xué)后反思 求異面直線所成的角的方法： （1）根據(jù)平行線定義，作出異面直線所成的角. （2）證明作出的角是異面直線所成的角. （3）在三角形內(nèi)求得直線所成角的某個三角函數(shù)值. 舉一反三舉一反三 4. 在四面體a-bcd中，ab=cd，且其所成的角是60，點m，n分別是 bc，ad的中點.求直線ab與mn所成的角的大小. 解析解析 如圖，取bd中點e，連接ne，em，則en ab,em cd, 故emn為等腰三角形， 由條件men=60， emn為等邊三角形，且enm即為ab與mn所成的角， enm=60. / / 1 2 / / 1 2 題型五題型五 證明三線共點證明三線共點 【例5】(12

43、分)已知四面體a-bcd中,e、f分別是ab、ad的中點,g、h 分別是bc、cd上的點,且 .求證:直線eg、fh、ac相交于 同一點p. 2 bgdh gchc 分析分析 先證e、f、g、h四點共面，再證eg、fh交于一點，然后證明這 一點在ac上. 證明e、f分別是ab、ad的中點, efbd且ef= bd.2 又 ,ghbd且gh= bd, efgh且efgh,4 四邊形efhg是梯形,其兩腰所在直線必相交,設(shè)兩腰eg、fh的延長線相交 于一點p,.6 eg平面abc,fh平面acd, p平面abc,p平面acd.8 又平面abc平面acd=ac,pac,10 故直線eg、fh、ac相

44、交于同一點p12 1 2 2 bgdh gchc 1 3 學(xué)后反思學(xué)后反思 證明三線共點的方法:首先證明其中的兩條直線交于一點， 然后證明第三條直線是經(jīng)過這兩條直線的兩個平面的交線；由公理3可 知，兩個平面的公共點必在這兩個平面的交線上，即三條直線交于一點. 舉一反三舉一反三 5. 如圖所示,已知空間四邊形abcd,點e,f,g,h,m,n 分別是ab,bc,cd,da,ac,bd的中點.求證:三線段 eg,fh,mn交于一點,且被該點平分. 證明證明 如圖所示,連接ef,fg,gh,he,mf,fn,nh,mh. e,f,g,h分別為ab,bc,cd,da的中點, efgh,ehfg， 四邊

45、形efgh是平行四邊形. 設(shè)egfh=o,則o平分eg,fh. 同理,四邊形mfnh是平行四邊形. 設(shè)mnfh=o,則o平分mn,fh. 點o,o都平分線段fh, o與o兩點重合， mn過eg和fh的交點,即三線段共點且被該點平分. 易錯警示易錯警示 【例】過已知直線a外一點p,與直線a上的四個 點a、b、c、d分別畫四條直線. 求證:這四條直線在同一平面內(nèi). 錯解錯解 p、a、b三點不共線, p、a、b共面,即pa、pb、ab共面, 同理,pb、pc、bc共面;pc、pd、cd共面. a、b、c、d均在直線a上, pa、pb、pc、pd四條直線在同一平面內(nèi). 錯解分析錯解分析 錯解在證明了四

46、條直線分別在三個平面(平面pab、平面pbc、平 面pcd)內(nèi)后,通過a、b、c、d均在a上,而認為三個平面重合在同一個平面內(nèi), 這種方法是錯誤的.錯誤在于沒有根據(jù)地用一條直線來保證三個平面重合. 正解正解 過直線a及點p作一平面, a、b、c、d均在a上,a、b、c、d均在內(nèi). 直線pa、pb、pc、pd上各有兩點在內(nèi), 由公理1可知,直線pa、pb、pc、pd均在平面內(nèi),即四直線共面. 考點連接考點連接 10. 已知a、b為異面直線，則 經(jīng)過直線a,存在唯一平面，使b； 經(jīng)過直線a，若存在平面使ba,則唯一； 經(jīng)過直線a、b外任意一點，存在平面，使a且b. 上述命題中，真命題是_.（寫出真

47、命題的序號） 解析解析 平移b到b，使b、a交于點o，則a與b 確定平面為，b，唯一，故正確. a、b為異面直線，故無法確定a是否垂直于b. 如圖，a平移到a，b平移到b，a、b交于點 o，則a、b確定的平面唯一. 答案答案 11. （2010濱州質(zhì)檢）已知正方體abcd- 的棱長為a，求 異 面直線 和 所成的角. 1111 abc d 11 b d 1 c a 解析解析 如圖所示，連接 , 異面直線 和 所成角為90. 11 ac 1111 111 1111 b dac b da a aca aa 1111 b d 面a c a 111 111 b d ac面a c a， c a 11 b

48、 d 1 c a 12. 已知直線abc,直線 a=a, b=b, c=c. 求證:a、b、c、 共面. lll l 證明證明 如圖，ab,a、b可以確定一個平面. 又 a=a, b=b,aa,bb,a,b,ab; 又a ,b , . 另一方面,bc,b、c可以確定一個平面. 同理可證, . 平面、均經(jīng)過直線b、,且b和 是兩條相交直線,它們確定 的平面是唯一的, 平面與是同一個平面,a、b、c、共面. l ll l l l l l l 第四節(jié)第四節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 1. 平行直線 (1)定義:同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線. (2)公理4:平行

49、于同一條直線的兩條直線互相平行. (3)線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直 線的平面和這個平面相交,那么這條直線就和兩平面的交線平行. (4)面面平行的性質(zhì)定理:如果兩個平行平面同時與第三個平面相交, 那么它們的交線平行. (5)線面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一平面,那么這兩條 直線平行. 2. 直線與平面平行 (1)定義:直線a和平面沒有公共點,叫做直線與平面平行. (2)線面平行的判定定理:如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi) 的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行. 基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理 (3)面面平行的性質(zhì):如果兩平面互相平行,那么一個平面內(nèi)的任意一

50、條直線平行于另一個平面. 3. 平面與平面平行 (1)定義:如果兩個平面沒有公共點,那么這兩個平面叫做平行平面. (2)面面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另 一個平面,那么這兩個平面平行. (3)判定定理的推論:如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另 一個平面內(nèi)的兩條直線,則這兩個平面平行. (4)線面垂直的性質(zhì):如果兩平面垂直于同一直線,則這兩個平面平行. (5)平行公理:如果兩平面平行于同一平面,則這兩個平面平行. 典例分析典例分析 題型一題型一 線線平行線線平行 【例1】已知四邊形abcd是空間四邊形,e、f、g、h分別是邊ab、bc、 cd、da的中點.求證:四邊

51、形efgh是平行四邊形. 分析分析 若證四邊形是平行四邊形,只需證一組對邊平行且相等或兩 組對邊分別平行即可. 證明證明 如圖,連接bd. eh是abd的中位線, ehbd,eh= bd. 又fg是cbd的中位線, fgbd,fg= bd. fgeh,且fg=eh, 四邊形efgh是平行四邊形. 2 1 2 1 學(xué)后反思學(xué)后反思 若證明四邊形efgh是平行四邊形,可有兩條途徑：一是 證明兩組對邊分別平行,二是證明一組對邊平行且相等. 舉一反三舉一反三 1. 已知e、 分別是正方體abcd- 的棱ad、 的中點.求 證:bec= . 1111 dcba 11d a 111 b e c 1 e 證

52、明證明 如圖,連接 . ,e分別為 ,ad的中點, 四邊形 為平行四邊形， 四邊形 是平行四邊形， eb.同理 ec. 又 與ceb方向相同， =ceb. 1 ee 1 e 11d a 11/ / aeae 11 ae ea 11 1111 / / / /,/ / a ae e a ab be eb b 11 e ebb 11 e b 11 ec 111 c e b 111 c e b 題型二題型二 線面平行線面平行 【例2】如圖,正方體abcd- 中,側(cè)面對角線 上分別有 兩點e,f,且 .求證:ef平面abcd. 1111 dcba 11 ,ab bc 11 b ec f 分析分析 要證e

53、f平面abcd,方法有兩種: 一是利用線面平行的判定定理,即在平 面abcd內(nèi)確定ef的平行線;二是利用面 面平行的性質(zhì)定理,即過ef作與平面 abcd平行的平面. 證明證明 方法一:過e作emab于m,過f作fnbc于n,連接mn(如圖)，則 em ,fn , emfn. ae=bf, 1 bb 1 bb 1111 ,abbc b ec f em=fn, 四邊形emnf是平行四邊形,efmn. 又ef平面abcd,mn平面abcd, ef平面abcd. 11111 11 11 , , emaebfaefn bbabbcabcc emfn bbcc bbcc 方法二:連接 ,并延長交bc的延長

54、線于點p,連接ap(如圖). pfb, 1 b f 1111 / /,bpbcb fc 11 1111 11 11 . , , ,/ / b fc f fpbf abbc b ec f c fb e aebf bfea b eb f efap eafp 又ef平面abcd,ap平面abcd, ef平面abcd. 方法三:過點e作eh 于點h,連接fh(如圖)，則ehab, ehfh=h,平面efh平面abcd. ef平面efh,ef平面abcd. 1 bb 11 11 1111 11 11 11 11 11 11 b e . , b e , ,/ /. / /,/ /. b h b ab b

55、abbc b ec f c f b ac b b hc f fhbc b bc b bcbcfhbc 學(xué)后反思學(xué)后反思 判斷或證明線面平行的常用方法有: (1)利用線面平行的定義(無公共點); (2)利用線面平行的判定定理(a,b,aba); (3)利用面面平行的性質(zhì)定理(,aa); (4)利用面面平行的性質(zhì)(,a,a,aa). 舉一反三舉一反三 2. 如圖,在四棱錐p-abcd中,底面abcd為正方形,e為pc中點.求證:pa 平面edb. 證明證明 如圖，連接ac交bd于o,連接eo. 四邊形abcd為正方形,o為ac中點. e為pc中點,oe為pac的中位線, 故eopa. 又eo平面e

56、db,pa平面edb, pa平面edb. 題型三題型三 面面平行面面平行 【例3】如圖,正方體abcd- 的棱長為1.求證:平面 平面 1111 abc d 1 abc 11 ac d 分析分析 要證明平面 平面 ,根據(jù)面 面平行的判定定理或推論，只要證明ac平 面 ， 平面 ,且ac =a即可. 1 abc 11 ac d 11 ac d 1 ab11 ac d 1 ab 證明證明 方法一: 四邊形 為平行四邊形 11 11 11 11 11 / / / / / / aabb aabb aacc bbcc bbcc 11 aac c 11 1111 11 11 111 1 111 / / a

57、 c d aca c d / /a c d ab / /a c d acaba ab c/a c d acac ac ac 平面 平面 平面 同理平面 平面平面 方法二:易知 和確定一個 平面 ,于是, 1 aa 1 cc 1 ac 11111 1 11 11111 11111 11111 111 aca c =a c acac=ac a c / /ac a c / / /ab c ab ca d/ab c a dacab c ab c/a c acac ac aca d 平面平面 平面平面 平面平面 平面 平面同理平面 平面 平面平面 學(xué)后反思學(xué)后反思 證明平面與平面相互平行,一般利用面面平

58、行的判定定理或 其推論,將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行或線線平行來證明.具體方法有: (1)面面平行的定義; (2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另 一個平面,那么這兩個平面平行; (3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行; (4)兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行; (5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化. 舉一反三舉一反三 3. 在正方體abcd- 中,m、n、e、f分別是棱 的中點.求證:平面amn平面efdb. 1111 dcba 11111111 ,a db cc dab， 證明證明 如圖，連接mf, m、f分別是 的中點, 且

59、四邊形 為正方形, 又 四邊形adfm為平行四邊形,amdf. 又am平面efdb,df平面efdb,am平面efdb. 同理可證an平面efdb. am,an平面amn,aman=a,平面amn平面efdb. 1111 ,ab c d 1111 dcba 11 / /mfad 11 / /,/ /,adadmfad 題型四題型四 平行的探究問題平行的探究問題 【例4】（2009銀川模擬）如圖，在四棱錐s-abcd中，sa=ab=2， sb=sd=2 ，底面abcd是菱形，且abc=60，e為cd的中點. (1)求證：cd平面sae； (2)側(cè)棱sb上是否存在點f，使得cf平面sae？并證明你

60、的結(jié)論. 2 分析分析 （1）先利用勾股定理和線面垂直判 定定理證明直線sa底面abcd，再證明直線 sacd，證明直線與平面垂直時，必須證明 直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直. （2）先回答問題，再證明充分條件.探究的 點往往是特殊點（中點）. 證明證明 （1）abcd是菱形，abc=60， ab=ac=ad=2,acd為正三角形. 又e為cd的中點，cdae. sa=ab=ad=2,sb=sd=2 , 2 則有 saab,saad. 又abad=a,sa底面abcd,sacd. 由cdae,sacd,aesa=a,cd平面sae. 222222 ,sbsaabsdsaad (2)側(cè)棱sb上存