2013年高考理科數(shù)學(xué)全國新課標(biāo)卷1試題與答案word解析版

1、2013年普通咼等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類（全國新課標(biāo)卷I）第I卷一、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. （2013 課標(biāo)全國I,理 1）已知集合 A= x|x2 2x 0 , B= x| 5 0, b0)的離心率為b11xxA. y =4B.y =3C1xy=2 D . y =x5 . （2013課標(biāo)全國I,理5）執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的t 1,3，則輸出的s屬于（）./輸出MA. 3,4B 5,2C. 4,3D. 2,56 . （2013課標(biāo)全國I,理 6）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8

2、 cm，將一個(gè)球放6 cm如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為（).500 n866 nA.3 cm3B3cm31372 n2048nC.3 cm3 D3cm3在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為7. (2013課標(biāo)全國I,A. 3 B . 4理7）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,若Sn-1 =C . 5 D . 62, Sm= 0 ,Sn+1 = 3,則 m=().8. （2013課標(biāo)全國I,理 8）某幾何體的三視圖如圖所示，則該 幾何體的體積為（）.A. 16+ 8nB. 8 + 8 nC. 16+ 16nT22013 全國新課標(biāo)卷1理科數(shù)學(xué) 第1頁D. 8 + 16 n9.

3、 (2013課標(biāo)全國I,理9)設(shè)m為正整數(shù)，(x + y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a, (x + y)21展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a= 7b,則m=().A. 5 B . 6 C . 7 D . 810. (2013課標(biāo)全國I,理10)已知橢圓E2a于A, B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1 , 1)，則2 2丄r=1A. 4536B.3627c . 2718x2 2x,x _ 0,理11)已知函數(shù)f(x)In (x 1),x 0.(, 1 C. 2,1D理12)設(shè)厶ABG的三邊長分別為an, bn,-G + a.-bnan11 .(2013課標(biāo)全國I,+ 1 A. ( s,

4、0 B12. (2013課標(biāo)全國I,22 =1 (a b 0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線父E bE的方程為().2 2三=1D2 2 Z=1189 ax，則a的取值范圍是().-2,06,厶ABG的面積為 S, n 1,2,3，, bn +1 2A. Sn為遞減數(shù)列BC. S2n 1為遞增數(shù)列，S2n為遞減數(shù)列，則().2.Sn為遞增數(shù)列.S2n 1為遞減數(shù)列，S2n為遞增數(shù)列2013全國新課標(biāo)卷1理科數(shù)學(xué)第3頁本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題第(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答.第(22)題第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求做答.二、填空題：本大題共4小題，每小題

5、5分.13. (2013課標(biāo)全國I,理13)已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60,c ta + (1 t)b.若b2c 0,貝 y t .2 1Sn an + 14 .(2013課標(biāo)全國I,理14)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和 33，則an的通項(xiàng)公式是an .15. (2013課標(biāo)全國I,理 15)設(shè)當(dāng)x 0時(shí)，函數(shù)f(x) sin x 2cos x取得最大值，則cos 0 16. (2013課標(biāo)全國I,理16)若函數(shù)f(x) (1 x2)(x2 + ax + b)的圖像關(guān)于直線 x 2對(duì)稱，則f(x) 的最大值為.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17. (2013課標(biāo)全國I,理 1

6、7)(本小題滿分12分)如圖，在 ABC中，/ ABC= 90, AB= 3 , BC 1, PABC內(nèi)一點(diǎn)，/ BPC= 90.fi1(1) 若PB=丄，求PA2(2) 若/ APB= 150, 求 tan / PBA18. （2013課標(biāo)全國I,理18）（本小題滿分12分）如圖，三棱柱ABC- ABG中，CA= CB AB= AA, / BAA =60.（1）證明：ABL AQ;若平面ABGL平面AABB, AB= CB求直線 AG與平面BBGC所成角的正弦值.19. （2013課標(biāo)全國I,理19）（本小題滿分12分）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn) 品中任取4件作檢驗(yàn)，這

7、4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n= 3，再從這批產(chǎn)品中任取 4件作檢驗(yàn),若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n= 4，再從這批產(chǎn)品中任取 1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn).1假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為-，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相2互獨(dú)立.（1）求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；（2）已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.20. (2013課標(biāo)全國I,理 20)(本小題滿分12分)已知圓 M (x+ 1)2+ y2=

8、1,圓N： (x 1)2+ y2= 9，動(dòng) 圓P與圓M外切并且與圓 N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線 C(1)求C的方程；I是與圓P，圓M都相切的一條直線，I與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，求| AB.2x21. (2013課標(biāo)全國I,理 21)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f (x) = x + ax + b, g(x) = e(cx+ d).若曲線y =f(x)和曲線y= g(x)都過點(diǎn)R0,2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線 y= 4x + 2.(1) 求 a, b, c, d 的值； 若x 2時(shí)，f(x) w kg(x)，求k的取值范圍.2013 全國新課標(biāo)卷 1 理科數(shù)學(xué) 第 4 頁請(qǐng)考

9、生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題做答注意：只能做所選定的題目如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑.22. （2013課標(biāo)全國I,理 22）（本小題滿分10分）選修4 1 :幾何證明選講如圖，直線 AB為圓的切線，切點(diǎn)為 B,點(diǎn)C在圓上，/ ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E, DB垂直BE交圓于 點(diǎn)D.（1）證明：DB= DC 設(shè)圓的半徑為1, BC=、3，延長CE交AB于點(diǎn)尸，求厶BCF外接圓的半徑.2013全國新課標(biāo)卷1理科數(shù)學(xué)第16頁23. （2013課標(biāo)全國I,理 23）（本小題滿分10分）選修44 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程x=4

10、+5cost,一y =5 5sin t已知曲線C的參數(shù)方程為2（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為p = 2sin 0 .（1）把C的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；求C與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（p 0,0 1,且當(dāng)x 一色，1時(shí)，f (x) wg(x)，求a的取值范圍.1 2 2丿2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(全國卷I新課標(biāo))第I卷一、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.答案：B 解析：/ x(x 2) 0，二 xv 0 或 x2.集合A與B可用圖象表示為： 由圖象可以

11、看出 AU B= R,故選B.2.答案：D解析：/ (3 4i) z = |4 + 3i| ,5-z =3 4i5(3 4i)(3 -4i)(3 4i)4故z的虛部為一，選D.53.答案：C解析：因?yàn)閷W(xué)段層次差異較大，所以在不同學(xué)段中抽取宜用分層抽樣.4.答案：C解析:c , 52 c2e_a_2，e_a22 ,2a b _ 5a 422 b1a = 4b ,=:+-a2b1漸近線方程為y = X二一X.a25.答案：A解析：若 t 1,1)，則執(zhí)行 s = 3t，故 s 3,3). 若t 1,3，則執(zhí)行s= 4t t2,其對(duì)稱軸為t = 2.故當(dāng)t = 2時(shí)，s取得最大值4.當(dāng)t = 1或3

12、時(shí)，s取得最小值3,則s 3,4. 綜上可知，輸出的 s 3,4.故選A.6.答案：A解析：設(shè)球半徑為 R由題可知R R- 2,正方體棱長一半可構(gòu)成直角三角形，即 圖.BC= 2, BA= 4, OB= R 2 , OA= R由 R2= (R 2)2+ 42，得 R= 5 ,所以球的體積為 n53 = 500 ncm),故選A.3 37.答案：C解析：T Sn 1 = 2 , Sm= 0 , Sn+1 = 3 ,- am= Si Sn-1 = 0 ( 2) = 2 , am+ 1 = Sn+ 1 Sm= 3 0= 3.-d = am+1 am= 3 2 = 1. Sm= ma+ mm-1 31

13、= 0a-口.22m 1小又.am+i = ai + n31 = 3，+m=32 m= 5.故選 C.&答案：A解析：由三視圖可知該幾何體為半圓柱上放一個(gè)長方體，由圖中數(shù)據(jù)可知圓柱底面半徑長方體中，長為 4，寬為2，高為2，所以幾何體的體積為n343 1 + 43232=29.答案：B解析：由題意可知，a= C；m， b= C；m 1，r = 2,長為4，在8 n + 16.故選 A.又V 13a= 7b,.13 如=7. 2m 卩 m!m!m!(m +1 J13 2m +1即13 =竺.解得m= 6.故選B.7 m 110.答案：D解析：設(shè) A(x1, y1), B(X2, y2), v A

14、, B在橢圓上,一，得X1X2X1 - X2. %y2% - y2a2b2=0 ,力 y % 一 y2X1+ X2= 2,V AB的中點(diǎn)為(1 , - 1) , y + y2 = 2,2而= kAB= 01 二丄，與二丄.Xx?312 a 2又v a b = 9, a = 18, b2 = 9.2 2 橢圓E的方程為=1 .故選D.18911.答案：D解析：由y= |f(x)|的圖象知： 當(dāng)x 0時(shí)，y = ax只有a ax 得 x2 2x ax.當(dāng)x = 0時(shí)，不等式為00成立.當(dāng)x v 0時(shí)，不等式等價(jià)于 x 2w a.V x 2v 2, a 2.綜上可知：a 2,0.12. ax,可排除

15、B, C.答案：B第n卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題第(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答.第第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求做答.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.答案：2解析：/ c = ta+ (1 t)b,b2 c= t a2 b+ (1 1)| b|2.又/ | a| = | b| = 1,且 a 與 b 夾角為 60, b c, 0= t| a| b|cos 60 + (1 t),(22)題c10= t +1 t.2 t = 2.14.答案：(一2)21解析：- Sn -3n 1，3321 當(dāng)n時(shí)，Sn 1an 1.3322一，得 an anan

16、1,33即玉=2.an J.21-a1 = S =玄1 * ,33 a1 = 1. an是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,an= ( 2)n 115.答案：-乙55解析：f (x) = sin x 2cos xcosx令 cos a =, sin a =V5則 f (x) =5sin( a + x),當(dāng) x = 2k n+n a(k Z)時(shí)，sin( a + x)有最大值 1, f(x)有最大值.5 ,2n即 0 = 2kn + a (k Z),2(n)fn)所以 cos 0 = cos 2k ?+= cos= sinI2丿12丿16.答案：16解析：函數(shù)f (x)的圖像關(guān)于直線x = 2對(duì)稱

17、, f(x)滿足 f(0) = f( 4) , f( 1) = f ( 3), 即 b 15 16-4a b ,0 一8 9 -3a b ,解得a=8,b =15.432 f (x) = x - 8x - 14x + 8x+ 15.由 f(x) = - 4x - 24x - 28x+ 8 = 0,得 xi = 2 J5 , X2= 2, X3= 2 +易知，f (x)在(g, 2- . 5)上為增函數(shù)，在(2- .5 , 2)上為減函數(shù)，在(一2, 2+ J5)上為 增函數(shù)，在(一2 + , 5,+g)上為減函數(shù). f ( 2 /5 ) = 1 ( 2 r5 ) ( 2 /5 ) + 8( 2

18、 .15 ) + 15=(8 4、_5)(8 4.5)=80 64= 16.f( 2) = 1 ( 2) 2( 2)2+ 83( 2) + 15=3(4 16+ 15)=9.f( 2 +、5 ) = 1 ( 2+ , 5 ) 2( 2+ ,5)2+ 8( 2+ ,5) + 15=(8+ 4 (5 )(8 + 4 ： 5)=80 64= 16.故f (x)的最大值為16.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.解：(1)由已知得/ PB(= 60，所以/ PBA= 30.在厶PBA中，由余弦定理得PA2= 3 - -2.3cos 304 2故 PA= Z2設(shè)/ PBA= a，由

19、已知得在厶PBA中，由正弦定理得PB= sin a .sin 150sin(30 - ：)sin :-化簡得 3 cos a = 4sin a .=乜，即 tan / PBA=.44所以tan a18.(1) 證明：取 AB的中點(diǎn)O,連結(jié)OC OA, AB. 因?yàn)镃A= CB所以O(shè)CL AB由于 AB= AA,/ BAA= 60,故厶AAB為等邊三角形，所以O(shè)A丄AB因?yàn)镺6 OA= O,所以AB丄平面OAC又AQ平面OAC故AB丄AQ.(2) 解：由(1)知 OCLAB OA丄AB又平面 ABCL平面 AABB,交線為 AB所以O(shè)CL平面AABB,故OA OA , OC兩兩相互垂直.以O(shè)為坐

20、標(biāo)原點(diǎn)，OA的方向?yàn)閤軸的正方向，| OA |為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題設(shè)知 A(1,0,0) , A(0, 3 0), C(0,0 ,則 BC = (1,0 ,. 3), BB1 = AA1 = ( 1,. 3 , 0) , AC = (0 , -、3 , ，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件 B，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件 R,這批產(chǎn)品通 過檢驗(yàn)為事件 A,依題意有 A (AB) U (AB)，且AB與AB互斥，所以F( A) P(AB) + RAB)R A) P( B| A) + R A) P( B A)41113x + x =16 1616 264

21、X可能的取值為400,500,800，并且411111F(X 400) 1, F(X 500) , F(X 800)-.16 1616164所以X的分布列為X400500800P1111161641111EX= 400+500+800 506.25.1616420.解：由已知得圓 M的圓心為 M 1,0)，半徑1 1;圓N的圓心為N(1,0)，半徑2 3.設(shè)圓P的圓心為P(x, y)，半徑為R(1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓 N內(nèi)切，所以 | PM +1 PN (R+ r 1) + (2 R) 1+2 4.由橢圓的定義可知，曲線C是以M N為左、右焦點(diǎn)，長半軸長為 2，短半軸長為-.3的橢圓(

22、左頂點(diǎn)除外),2 2其方程為 Z=1(XM 2).43 對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn) P(x, y)，由于|PM |PN 2R- 2 2, 所以RW 2,當(dāng)且僅當(dāng)圓 P的圓心為(2,0)時(shí)，R 2.所以當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，其方程為 (x 2)2+ y2 4. 若I的傾斜角為90,則I與y軸重合，可得|AB 2/3.若I的傾斜角不為90,由用R知 I不平行于x軸，設(shè)I與x軸的交點(diǎn)為 Q則衛(wèi)巳 =R ,可求得q |QM |14,0)，所以可設(shè) I : y k(x+ 4).由I與圓M相切得3k L = 1 ,解得k .4、22 x2 y2當(dāng)k 時(shí)，將y二X 、2代入 y =1 ,4443并整理得7x2+ 8

23、x 8 0,解得Xl,2 =-4 6、.2所以 | AB =1 亠 k | x2 x0,即卩k 1.令 F(x) = 0 得 X1= - In k, x2=- 2.若 1 0.即F(x)在(2, X單調(diào)遞減，在(X1,+)單調(diào)遞增.故 F(x)在2,+)的最小值為 F(x.而 F(x = 2X1 + 2 - x1 - 4X1 - 2=- X1(X1 + 2) 0.故當(dāng) x- 2 時(shí)，F(xiàn)(x) 0,即 f(x) w kg(x)恒成立. 若 k = e2,則 F(x) = 2e2(x + 2)(e x-e-2).從而當(dāng)x-2時(shí)，F(xiàn)(x) 0，即F(x)在(一2,+s )單調(diào)遞增.而 F( - 2) = 0,故當(dāng) x- 2 時(shí)，F(xiàn)(x) 0,即 f(x) w kg(x)恒成立. 若 k e2,貝U F( - 2) = - 2ke-2 + 2 = - 2e-2(k- e2) v 0.從而當(dāng)x- 2時(shí)，f (x) w kg(x)不可能恒成立.綜上，k的取值范圍是1 , e2.請(qǐng)考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題做答