優(yōu)品課件之第二章2.22.2.2向量減法運(yùn)算及其幾何意義講義

1、優(yōu)品課件 第二章2.2 2 . 2.2向量減法運(yùn)算及其幾何意義講義 2. 2.2 向量減法運(yùn)算及其幾何意義 預(yù)習(xí)課本P8A86,思考并完成以下問題(1)a的相反向量是什么？ (2)向量的減法運(yùn)算及其幾何意義是什么？ 新知初探1 .相反向量 與a長度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，記作一a. (1)規(guī)定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； 一(一a) = a; (3)a + ( a) = ( a) + a= 0; (4)若 a 與 b 互為相 反向量，則a= b, b= a, a+ b= 0.點(diǎn)睛相反向量與相等向 量一樣，從“長度”和“方向”兩方面進(jìn)行定義，相反向量必為平行 向量.2

2、.向量的減法(1)定義：a b = a + ( b)，即減去一個(gè)向量 相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量.(2)幾何意義：以0為起點(diǎn)，作向 量 =a, = b,貝卩=a b,如圖所示，即a b可表示從向量b的終 點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.點(diǎn)睛在用三角形法則作向量減法 時(shí)，只要記住“連接向量終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”即可. 小試身 手1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“X” ) (1)兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量.()(2)向量的減法實(shí)質(zhì)上是向 量的加法的逆運(yùn)算.()(3)向量a與向量b的差與向量b與向量 a的差互為相反向量.()(4)相反向量是共線向量.()答 案：(1) V (2) V

3、(3) V V 2 .非零向量m與n是相反向量， 下列不正確的是()A. m= nB . m= n C. |m| =|n| D .方向相反 答案：A 3 .化簡一+ +的結(jié)果等于() A. B .C.D.答案：B 4 .在平行四邊形ABCD 中，向量的相反向量為.答案：， 向量的減法運(yùn)算 典例化簡：(1)( ) ( ) ； (2)(+ + )( ).解(1)( ) ( ) = (+ ) ( + ) = = 0. (2)(+ ) (一一)= (+ ) (一)= = 0. (1)向量 減法運(yùn)算的常用方法(2)向量加減法化簡的兩種形式首尾相連且 為和；起點(diǎn)相同且為差.做題時(shí)要注意觀察是否有這兩種形式

4、， 同時(shí)要注意逆向應(yīng)用. 活學(xué)活用化簡下列各式：(1);(2)+ ; (3). 解: (1) = + = . (2) + = = . (3) = + + = + + =. 向量的減法及其幾何意義 典例如圖，已知向量a, b, c不共線，求作向量a+ b c.解 法一：如圖所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn) 0,作=a, =b,則=a + b,再作=c,則=a+ b c.法二：如圖所示，在平面內(nèi)任取一 點(diǎn)Q作=a,= b,貝S = a+b,再作=c,連接0C貝S = a+ b c.求作兩個(gè)向量的差向量的兩種思路 (1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法 來進(jìn)行，如a b,可以先作b,然后作a+ ( b)即可.(2)也可以

5、 直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點(diǎn)重合，則差向量為 連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)的向量.活學(xué)活用在 本例的條件下作出向量： a b + c;a b c.解：如圖所示.利 用已知向量表示未知向量 典例如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形 外一點(diǎn)，且 =a, = b, =c，試用向量 a, b, c表示向量，. 解因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形， 所以=c,= = b a,故=+ = b a+ c. 一題多變1.變?cè)O(shè)問本例條件不變， 試用向量a, b, c表示與.解： =一 =c a, = = c b. 2.變條件本例中的條件“點(diǎn)B是該平行四邊形ACDE外一

6、點(diǎn)”若 換為“點(diǎn)B是平行四邊形ACDE內(nèi)一點(diǎn)”，其他條件不變，其結(jié)論又 如何呢？ 解：因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形，所以=c,= =b a, = + = b a+ c.用幾個(gè)基本向量表示其他向量的一般步 驟(1)觀察待表示的向量位置；(2)尋找相應(yīng)的平行四邊形或三角形； (3)運(yùn)用法則找關(guān)系，化簡得結(jié)果. 層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1 .在三角形ABC中, = a, = b,則=() A. a bB . b a C. a + b D. a b 解析：選 D =a b. 2 .在 ABC中, | | = | | = | | =1,則| | 的值為()A . 0 B. 1 C.3 D . 2 解析：選

7、 B | | =| + |=|= 1. 3.若Q, E, F是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立 的是()A.=+ B.= C.=一+ D.=解析： 選B = + =.故選B. 4.已知一點(diǎn)0到?ABCD勺3個(gè)頂點(diǎn)A, B, C的向量分別是a, b, c,則向量 等于()A . a+b+ c B . a b + c C . a + b c D. a b c 解析：選B如圖，點(diǎn)O到平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn) A, B, C的向量分 別是a, b, c,結(jié)合圖形有 =+= + = + = a b+ c. 5.下 列各式能化簡為 的個(gè)數(shù)是()()(+ )3 (+ ) ( + )+ A . 1 B . 2

8、C . 3 D . 4 解析：選 C 中，(一)一= + + = += ；中，一(+ ) = 0=； 中，一(+ ) ( + ) = = + = ；中，一一+ =+ + = + 2.6 .下列四個(gè)等式： a+ b= b+a;一(一a) =a;+ + = 0; a+ ( a) = 0,其中正確的是(填序 號(hào)).解析：由向量的運(yùn)算律及相反向量的性質(zhì)可知是正確的， 符合向量的加法法則，也是正確的.答案：7 .若a, b 為相反向量，且 |a| = 1, |b| = 1,則 |a + b| =, |a b| =.解析：若a, b為相反向量，則a+ b= 0,|a + b| = 0, 又 a= b,|a

9、| = | b| = 1, Ta 與一 b 共線， |a b| = 2.答案： 0 2 8 .在厶 ABC中, D是 BC的中點(diǎn)，設(shè) =c, = b, = a, = d, 則da =, d + a =.解析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖 所示，貝卩 d a= = + = = c; d + a= + = + = = b.答 案：c b 9.化簡：(1) + ; (2) + + .解：(1) + - =( + ) -( + ) = - = 0. (2)+ + =(+ ) + ()=+ = 0. 10 .設(shè) 0是4 ABC內(nèi)一點(diǎn)，且=a, = b, = c, 若以線段OA OB為鄰邊作平行四邊形，第四個(gè)頂

10、點(diǎn)為 D,再以O(shè)C OD為鄰邊作平行四邊形，其第四個(gè)頂點(diǎn)為H.試用a,b, c表示，. 解：由題意可知四邊形OAD為平行四邊形，二=+ = a + b,二 =c (a + b) = c a b.又四邊形ODH(為平行四邊形， = + = c+a + b, 二 = =a+b+ c b= a+ c. 層級(jí)二 應(yīng)試 能力達(dá)標(biāo)1 .已知=a, = b, = c, = d,且四邊形ABCD為平行 四邊形，則()A. a + b+ c + d = 0B . a b+ c d= 0 C. a + b c d= 0 D. a b c + d= 0 解析：選 B 如圖，a b= =, c d=，又四邊形ABC助

11、平行四邊形，貝J =,即一=0, 所以 + = 0,即a b + c d= 0.故選B. 2.平面上有三點(diǎn) A, B, C, 設(shè)m= + ,n= ,若m,n的長度恰好相等，則有()A. A, B, C三點(diǎn)必在同一直線上B . ABC必為等腰三角形且/B為頂角 C. AABC必為直角三角形且/ B= 90 D. ABC必為等腰直角三角 形解析：選 C t |m| = |n| ,+ = , = + , I | =| + |，如圖.即?ABCD勺對(duì)角線相等，二?ABCD是矩形，二/B =90，選 C. 3.在菱形 ABCD中/ DA= 60, | | = 2,則 | + | =()A.3 B . 2

12、3 C.2 D . 22解析：選B如圖，設(shè)菱形對(duì)角線 交點(diǎn)為Q t + = + = , / DA= 60,ABD為等邊三角 形. 又t AB= 2, QB= 1.在 Rt AQB中, | | = |AB? D|2 |QB? D|2 = 3, . | | = 2| | = 23. 4 .已知 ABC為等腰直角三角 形，且/ A= 90,給出下列結(jié)論：(1)| | = | + | ; (2)| | =I I ； (3)| | = | | ； (4)| |2 = | |2 +1 |2. 其中正確的個(gè)數(shù)為()A . 1 B . 2C. 3D. 4解 析：選D如圖，以AB, AC為鄰邊作平行四邊形ABD

13、C則它是正方 形，根據(jù)向量加減法的幾何意義可知題中四個(gè)結(jié)論都正確.5.如圖， 已知ABCDE是一正六邊形，O是它的中心，其中 =b, = c,貝S等 于.解析：=一 =b c.答案：b c 6.對(duì)于向 量a, b,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，有|a b| = |a| |b|. 解析：當(dāng)a, b不同向時(shí)，根據(jù)向量減 法的幾何意義，知一定有|a b| |a| |b| ,所以只有兩向量共線 且同向時(shí)，才有|a b| = |a| |b|. 答案：a與b同向7.如圖， 已知=a, = b, = c, = d, = e, = f,試用 a, b, c, d, e, f 表示以下向量：(1) ; (2) ; (3) + + .解：(1) = = c a. (2)= + =+= a+ d. (3)+ + = + + + + =0. 8.如圖所示，已知正方形 ABCD勺邊長等于1, = a, =b,= c,試作出下列向量