現(xiàn)代控制理論習(xí)題

1、1. 計算下列矩陣的矩陣指數(shù) （1） （2）(3)(4) 2. 已知系統(tǒng)狀態(tài)方程和初始條件為 (1) 試用拉氏變換法求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣； (2) 試用化對角標(biāo)準(zhǔn)形法求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣； (3) 試用化為有限項法求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣； (4) 根據(jù)所給初始條件，求齊次狀態(tài)方程的解。 （1）解 ， 其中， 則有 所以狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為（2）解 對于 =1 ，對于 =2 ，（3）解 矩陣的特征值為 12=1 ， 3=2 對于3=2 有： 對于12=1 有： 因為是二重特征值，故需補充方程 從而聯(lián)立求解，得：（4）解： 3. 矩陣 是 2*2 的常數(shù)矩陣，關(guān)于系統(tǒng)的狀態(tài)方程式 ，有 時， 時， 試確定這個系統(tǒng)的狀

2、態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 和矩陣 。解：因為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是所以將它們綜合起來，得而狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)可知，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 滿足微分方程和初始條件 因此代入初始時間 可得矩陣為4. 判斷下列系統(tǒng)的能控性。1) 2) 3) 5.判斷下列系統(tǒng)的能觀測性。1)2)6. 試確定當(dāng)與為何值時下列系統(tǒng)不能控，為何值時不能觀測。解 系統(tǒng)的能控性矩陣為根據(jù)判定能控性的定理，若系統(tǒng)能控，則系統(tǒng)能控性矩陣的秩為2，亦即可知 或系統(tǒng)能觀測性矩陣為其行列式為根據(jù)判定能觀性的定理，若系統(tǒng)能觀，則系統(tǒng)能觀性矩陣的秩為2，亦即 ，可知 或 。 7.將下列狀態(tài)方程化為能控標(biāo)準(zhǔn)形解 該狀態(tài)方程的能控性矩陣為知它是非奇異的。求得逆矩陣有，8.將下列狀態(tài)方程和輸出方程化為能觀標(biāo)準(zhǔn)形。解 給定系統(tǒng)的能觀性矩陣為知它是非奇異的。求得逆矩陣有，由此可得，根據(jù)求變換矩陣 公式有，代入系統(tǒng)的狀態(tài)表達(dá)式。分別得 9. 系統(tǒng)的狀態(tài)方程：試討論下列問題：1) 能否通過選擇a b c使系統(tǒng)狀態(tài)完全可控？ 2) 能否通過選擇d e f使系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀？ 1) 可控性矩陣顯然，第三行乘以 即為第二行，故第二行與第三行成比例，因而不論怎樣選擇a b c，系統(tǒng)狀態(tài)均不完全可控。2) 可觀性矩陣第一列等于第三列乘以 ，故不論怎樣選擇 d e f系統(tǒng)均不完全可觀。