空間幾何體的表面積與體積練習題.及答案

1、 空間幾何體的表面積與體積專題一、選擇題1棱長為 2的正四面體的表面積是( c )a. 3b4c4 3d1613解析 每個面的面積為： 22 3.正四面體的表面積為：4 3.222把球的表面積擴大到原來的 2倍，那么體積擴大到原來的 ( b)3d. 2倍a2倍b2 2倍c. 2倍4vr解析 由題意知球的半徑擴大到原來的 2倍，則體積 ，知體積擴大到原來的 2 2倍333如圖是一個長方體截去一個角后所得多面體的三視圖，則該多面體的體積為( b )1423284328031403a.b.c.d.解析 根據(jù)三視圖的知識及特點，可畫出多面體的形狀，如圖所示這個多面體是由長方體截去一個正三棱錐而得到的，

2、所以所求多面體的體積1 1284v vv長方體222 .446 3 2正三棱錐34某幾何體的三視圖如下，則它的體積是(a)23b8 c8223a8d.3解析 由三視圖可知該幾何體是一個邊長為 2 的正方體內部挖去一個底面半123v徑為 1，高為 2的圓錐，所以 2 28 .335已知某幾何體的三視圖如圖，其中正視圖中半圓的半徑為 1，則該幾何3b24d24體的體積為( a)a24 c24232據(jù)三視圖可得幾何體為一長方體內挖去一個半圓柱，其中長方體的棱長分132v別為：2,3,4，半圓柱的底面半徑為 1，母線長為 3，故其體積 234 1 324 .226某品牌香水瓶的三視圖如圖 (單位：cm

3、)，則該幾何體的表面積為(c ) a.95 cmb.94 cm22222 c.94 cmd.95 cm222解析 這個空間幾何體上面是一個四棱柱、中間部分是一個圓柱、下面是一個四棱柱上面四棱柱的表面積為 23312144130 ；中間部分的表面積為 2 1 ，下面部分的表面2442積為 244162 64 .故其表面積是 94 .sca babasc7已知球的直徑 4， ， 是該球球面上的兩點， 3， 30，則棱錐bscs-abc的體積為(a3 3c)b2 3c. 3d1abscabsc d解析 由題可知 一定在與直徑 垂直的小圓面上，作過 的小圓交直徑 于 ，設 ，sd xdcxs-abd

4、c-abd，在sad和sbd則 4 ，此時所求棱錐即分割成兩個棱錐 和 中，由已知條件ad bd可得 3xsc sbc sac dcb dca，又因為 為直徑，所以 90，所以 60，在3bdcbd x中 ， 3(4 )，所以3xx 3(4 )，所以 3， 3，所以三角形 為xad bdabd31v s正三角形，所以 4 3.abd3二、填空題8三棱錐 pabcpa中， 底面abc pa， 3，底面abcpabc的體是邊長為 2的正三角形，則三棱錐113pabcv spa| | 2 3 3.2積等于_ 3_解析 依題意有，三棱錐的體積 33 4abc9一個圓柱的軸截面是正方形，其側面積與一個球

5、的表面積相等，那么這個圓柱的體積與這個球的體積之比為_ 32_rrr rr2解析 設圓柱的底面半徑是 ，則該圓柱的母線長是 2 ，圓柱的側面積是 2 2 4 ，設球的rrrrr rr r半徑是 ，則球的表面積是 4 ，根據(jù)已知 4 4 ，所以 .所以圓柱的體積是 22222r423rr32 ，球的體積是 ，所以圓柱的體積和球的體積的比是32.334r3310如圖所示，已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為 1的正方形和 4個邊長為 1的正三角形2組成，則該多面體的體積是_ _6 3解析 由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長為 1，側棱長為 1，斜高為 ，連2212接頂點和底面中心即為高，可求得高

6、為 ，所以體積 11 .2v2326ro11如圖，半徑為 的球 中有一內接圓柱當圓柱的側面積最大時，球的表面積與該圓柱的側面r積之差是_2 _2rrr解析 由球的半徑為 ，可知球的表面積為 4 .設內接圓柱底面半徑為 ，高為2r h22hh r rr hrhr22 ，則 .而圓柱的側面積為 2 2 4 42 (當且僅2222r hr2當 時等號成立)，即內接圓柱的側面積最大值為2 ，此時球的表面積與內r接圓柱的側面積之差為 2 .2abcab c112如圖，已知正三棱柱的底面邊長為 2 cm，高為 5 cm，則一質點自點11aa1出發(fā)，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達點 的最短路線的長為_13_c

7、m.解析 根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所示的實線部分，則可知所求最短路線的長為 51213 (cm)22三、解答題13某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖 1所示，墩的上pefgh，下半部分是長方體 abcdefgh.圖 2、圖半部分是正四棱錐3分別是該標識墩的正視圖和俯視圖(1)請畫出該安全標識墩的側視圖；(2)求該安全標識墩的體積解析 (1)側視圖同正視圖，如圖所示：(2)該安全標識墩的體積為1 40 60402064 000(cm )v v v2233pefghabcdefgh14 .一個幾何體的三視圖如圖所示已知正視圖是底邊長為 1的平行四

8、邊形，側視圖是一個長為 3，寬為 1的矩形，俯視圖為兩個邊長為 1的正方形拼成的矩形(1)求該幾何體的體積 v；(2)求該幾何體的表面積 s.解析 (1)由三視圖可知，該幾何體是一個平行六面體(如圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為 3，所以 v11 3 3.(2)由三視圖可知，該平行六面體中，a1d平面 abcd，cd平面 bcc1b1，所以 aa12，側面 abb1a1，cdd1c1均為矩形， s2(111 312)62 3.15已知某幾何體的俯視圖是如右圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個底邊長為 8、高為 4 的等腰三角形，側視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為 6、高為vs4 的等腰

9、三角形(1)求該幾何體的體積 ；(2)求該幾何體的側面積 .解析 由題設可知，幾何體是一個高為4 的四棱錐，其底面是長、寬分別為8 和 6 的矩形，正側面h及其相對側面均為底邊長為 8，高為 的等腰三角形，左、1h右側面均為底邊長為 6，高為 的等腰三角形，如右圖所示21(1)幾何體的體積為： 1vsh 68464.33矩形(2)正側面及相對側面底邊上的高為：h 4 3 5.左、右側面的底邊上的高為：h 4 4 22221212124 2.故幾何體的側面面積為：s2 85 64 24024 2.1.一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側面積的比是（）. .aa2解：設展開圖的正

10、方形邊長為 a，圓柱的底面半徑為 r，則 2r=a， r =，底面圓的面積是，2p4pa2+ a21+ 2p2p于是全面積與側面積的比是=，a22p2在棱長為 1 的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體，則截去與 8 個頂點相關的 8 個三棱錐后 ，剩下的幾何體的體積是（ ）.2解：正方體的體積為 1，過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體截得的三棱錐的體積是1 1 1 1 1 115( ) = ，于是 8 個三棱錐的體積是 ，剩余部分的體積是 ，3 2 2 2 2 48663一個直棱柱（側棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，對角線長分別是 6cm 和 8cm，高是 5cm，則這個

11、直棱柱的全面積是3答案：148 cm2。解：底面菱形中，對角線長分別是 6cm 和 8cm，所以底面邊長是 5cm，側面面積是 455=100cm ，兩個底面面積是 48cm ，22所以棱柱的全面積是 148cm .24已知兩個母線長相等的圓錐的側面展開圖恰能拼成一個圓，且它們的側面積之比為1：2，則它們的高之比為。4答案：2 2 ： 5解：設圓柱的母線長為 l，因為兩個圓錐的側面展開圖恰能拼成一個圓，且它們的側面積之比為1：2p 4p2，所以它們的展開圖即扇形的圓心角分別是和，332prl2l由圓錐側面展開圖扇形的圓心角的計算公式q =，得 = ， = ，r1r2l33 ll - ( )22

12、2 253所以它們的高的比是=.2ll - ( )2235已知三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，且長度分別為 1cm，2cm，3cm，則此棱錐的體積_5答案：1cm3解：轉換一個角度來認識這個三棱錐，即把它的兩條側棱(如長度為 1cm，2cm 的兩條)確定的側面看作底面，另一條側棱作為高，則此三棱錐的底面面積是 1，高為 3，1則它的體積是 13=1cm .336矩形兩鄰邊的長為 a、b，當它分別繞邊 a、b 旋轉一周時, 所形成的幾何體的體積之比為b6答案：aab aba b2解：矩形繞 邊旋轉，所得幾何體的體積是 v = ，矩形繞 邊旋轉，所得幾何體的體積是 v = ，212ppv1vb a b2所以兩個幾何體的體積的比是=a b a22a16四面體的六條棱中，有五條棱長都等于 .(1)求該四面體的體積的最大值；(2)當四面體的體積最大時，求其表面積abcdab bc cd ac bd a ad x ad p中，設 ， ，取 的中點為 ，解析 (1)如圖，在四面體bcebp ep cpad的中點為 ，連接 、 、 .得到 平面bpc，va-bcdv va-bpcd-bpcx aa1 11 1 12 sbpcap spdsadaa