大一上學期(第一學期)高數期末考試題(同名11374)

1、大一上學期高數期末考試 、單項選擇題(本大題有4小題，每小題4分， 1 設 f ( x) cos x(x sin x ),則在x0處有( 共16分) ) (B) f (0) 1 (C) f (0) 0 (D) f (x)不可導. (A) f(0)2 設(x) -x, (x) 3 3Vx，則當 x1時( 2.1 x (A)(X)與(x)是同階無窮小，但不是等價無窮??； (X)與(X)是等價無窮?。?(C)(X)是比(X)高階的無窮??； 高階的無窮小. X o(2t x)f(t)dt，其中f(x)在區(qū)間上(1,1)二階可導且 ). 3.若 F(x) f (x) 0，則( 函數F(x)必在x 0處取

2、得極大值; 函數F(x)必在x 0處取得極小值; 0處沒有極值， (A) (B) (C) 函數F(x)在x 拐點； (D) 函數F(x)在x 0處沒有極值, 的拐點。 A 設f (X)是連續(xù) 4. (A) 2 函數，且f ( X) X2 2 2(C) (B) (B) (D) (x)是比(x) 但點(0，F(O)為曲線y 點(0,F(0)也不是曲線 1 2 o f (t)dt ,貝y f (x) F(x)的 y F(x) 二、填空題(本大題有 2 lim (13x)sin x x 0 4小題，每小題 (D) x 2. 4分，共16分) 5. 已知cosx是f(x)的一個原函數 x 則 f(x)

3、cosxdx x 2 2 2 lim (cos cos L n n nn cos2) n 6. 7. 1 2 2 x arcs in x 1 dx 1V1 x2 8. 2 三、解答題(本大題有5小題，每小題8分，共40分) 設函數y y(x)由方程 y (0). 7 x 7 dx. x7) x xe ,x 2 x x 2,0 9. 10. 設 f (x) y sin (xy) 1 確定，求y(X)以及 11. 12. g(x) 設函數f(x)連續(xù)， 數.求g(x)并討論g(x)在x x 1 f (xt)dt 0，且 0處的連續(xù)性. 1 3 f (x)dx. lim X 0寧A , A為常 13

4、. y(1) 求微分方程xy 2y xlnx滿足 1 9的解. 四、解答題(本大題10分) 14. 已知上半平面內一曲線y y(x) (x 0)，過點(叩)，且曲線上任 一點Ma。,)處切線斜率數值上等于此曲線與 x軸、y軸、直線 X X。所圍成面積的2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程. 五、解答題(本大題10分) 15. 過坐標原點作曲線y ln x的切線，該切線與曲線y ln x及x 軸圍成平面圖形D. (1)求D的面積A; (2)求D繞直線x = e旋轉一周所得旋轉 體的體積V. 六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共8分) 16. 設函數f(x)在上連續(xù)且單調遞減，證明對任意的q

5、0,1, q1 f (x) d x q f (x)dx 00 f(x) d x 0 17.設函數f(x)在0，上連續(xù)，且o f ( x) cos x dx 0 o.證明：在0，內至少存在兩個不同的點 x F (x) f(x)dx 1,2，使 f( l) f( 2)0. (提示：設0 解答 一、單項選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分) 1、D 2、A3、C 4、C 二、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分) 1 COSX 2 6() C 5. e . 6. 2 x.7.2.8.3 三、解答題(本大題有5小題，每小題8分，共40分) 9.解：方程兩邊求導 ex y(1 y ) c

6、os(xy)(xy y) 0 10.解： y(x)exy ycos(xy) ex y x cos(xy) x 0, y 0 y (0)1 u x7 7x6dx du 原式 1(1 u)112 du()du 7u(1 u)7 u u 1 11.解： 1 尹 |u| 2ln |u 1|) c 12 In | x71 In |1 x71 C 77 1 0 x 1 2 f (x)dxxe dx、2x x dx 330 :Xd( e x)0、1 (x 1)2dx 0 0 2 xe x e xcos2 d (令x 1 sin ) 3 2 12.解： 2e31 4 由 f(0) 0，知 g(0) 0。 xt

7、 u f(u)du g(x) f (xt)dt 0 x (x 0) xf(x) f (u)du g (x)A x x (x 0) f (u)du g (0) lim -2 lim x 0 x2x 0 2x x xf(x) 00 g (x) 00 f (u)du 0 2 x g (x)在 x 0處連續(xù)。 dy 2 y In x 13.解：dx x dxdx 1 , 1 Cx 2 x I n x x 3 9 1 1 1 -,C 0 y x I n x x 9 3 9 C) y(i) y e x ( e x In xdx 四、解答題（本大題10分） x 14.解：由已知且y 20ydx y 將此方程

8、關于x求導得y 2y y 特征方程：20解出特征根：r11, r2 2. x2 x 其通解為y %C2e C1-, C2- 代入初始條件y（）y（）1，得33 2x 故所求曲線方程為: 五、解答題（本大題10分） 15.解：（1）根據題意，先設切點為（xcUnx。），切線方程： 1 y In X。（x X。） X。 1 y - x 由于切線過原點，解出x0 e,從而切線方程為：e A 則平面圖形面積 y (e ey)dy o Vi (2)三角形繞直線x = e 一周所得圓錐體體積記為 Vi,貝S 曲線y lnx與x軸及直線x = e所圍成的圖形繞直線x = e 一周所得 旋轉體體積為V2 1

9、V2 (e ey )2dy 0 D 繞直線x = e旋轉一周所得旋轉體的體積 V V1 V2 六、證明題 16.證明： q (1 q) f(x)d x 0 1 0, q 2 q,1 q(1 (5e2 6 (本大題有2小題，每小題4分，共12分) q1 f (x) d x q f (x)dx 0 12e 3) q f(x) d x 0 q q( f(x)dx 0 1 f(x)dx) q 1 q f(x)dx q q) f ( 1) q(1 q)f ( f ( 2) 故有： q f (x) d x 0 f(x)dx 證畢。 17,證：構造輔助函數: 連續(xù)，在(,)上可導。 F(x) F (x) f (x)，且 F(0) F( 其滿足在0，上 0 0 由題設，有 f (x)cosxdx cosxdF (x) 0 0 F (x)cosx|0 sin x F (