套利定價理論

1、套利定價理論（套利定價理論（apt） 概述概述 在上一節(jié)，為了得到投資者的最優(yōu)投資組合，在上一節(jié)，為了得到投資者的最優(yōu)投資組合， 要求知道：要求知道： 回報率均值向量回報率均值向量 回報率方差回報率方差-協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 無風險利率無風險利率 估計量和計算量隨著證券種類的增加以指數(shù)估計量和計算量隨著證券種類的增加以指數(shù) 級增加級增加 引入因子模型可以大大簡化計算量引入因子模型可以大大簡化計算量 由于因子模型的引入，使得估計由于因子模型的引入，使得估計markowitz有效有效 集的艱巨而煩瑣的任務得到大大的簡化。集的艱巨而煩瑣的任務得到大大的簡化。 因子模型還給我們提供關(guān)于證券回報率生成因

2、子模型還給我們提供關(guān)于證券回報率生成 過程的一種新視點過程的一種新視點 一元或者多元統(tǒng)計分析，以一個或者多個變量來一元或者多元統(tǒng)計分析，以一個或者多個變量來 解釋證券的收益，從而比僅僅以市場來解釋證解釋證券的收益，從而比僅僅以市場來解釋證 券的收益更準確。券的收益更準確。 capm與與apt 建立在均值建立在均值-方差分析基礎(chǔ)上的方差分析基礎(chǔ)上的capm是一種理是一種理 論上相當完美的模型，但實際上只有理論意義，論上相當完美的模型，但實際上只有理論意義， 因為假設(shè)條件太多、太嚴格！因為假設(shè)條件太多、太嚴格！ 除除capm理論外，另一種重要的定價理論是由理論外，另一種重要的定價理論是由 step

3、hen ross在在1976年建立的套利定價理論年建立的套利定價理論 （arbitrage pricing theory，apt），從另），從另 一個角度探討了資產(chǎn)的定價問題。一個角度探討了資產(chǎn)的定價問題。 市場均衡條件下的最優(yōu)投資組合理論市場均衡條件下的最優(yōu)投資組合理論=capm 無套利假定下因子模型無套利假定下因子模型=apt capm是建立在一系列假設(shè)之上的非常理想是建立在一系列假設(shè)之上的非常理想 化的模型，這些假設(shè)包括化的模型，這些假設(shè)包括harry markowitz建立均值建立均值-方差模型時所作的假方差模型時所作的假 設(shè)。這其中最關(guān)鍵的假設(shè)是設(shè)。這其中最關(guān)鍵的假設(shè)是同質(zhì)性假設(shè)同質(zhì)

4、性假設(shè)。 相反，相反，apt所作的假設(shè)少得多。所作的假設(shè)少得多。apt的基本的基本 假設(shè)之一是：假設(shè)之一是：個體是非滿足個體是非滿足，而不需要風，而不需要風 險規(guī)避的假設(shè)！險規(guī)避的假設(shè)！ 每個人都會利用套利機會：在不增加風險的前提每個人都會利用套利機會：在不增加風險的前提 下提高回報率。下提高回報率。 只要一個人套利，市場就會出現(xiàn)均衡！只要一個人套利，市場就會出現(xiàn)均衡！ 因子模型因子模型 （factor model） 定義定義：因子模型是一種假設(shè)證券的回報率只：因子模型是一種假設(shè)證券的回報率只 與不同的因子波動（與不同的因子波動（相對數(shù)相對數(shù)）或者指標的）或者指標的 運動有關(guān)的經(jīng)濟模型。運動有

5、關(guān)的經(jīng)濟模型。 因子模型是因子模型是apt的基礎(chǔ)，其目的是找出這些的基礎(chǔ)，其目的是找出這些 因素并確認證券收益率對這些因素變動的因素并確認證券收益率對這些因素變動的 敏感度。敏感度。 依據(jù)因子的數(shù)量，可以分為單因子模型和多依據(jù)因子的數(shù)量，可以分為單因子模型和多 因子模型。因子模型。 單因子模型單因子模型 引子引子 若把經(jīng)濟系統(tǒng)中的所有相關(guān)因素作為一個總的宏若把經(jīng)濟系統(tǒng)中的所有相關(guān)因素作為一個總的宏 觀經(jīng)濟指數(shù)。觀經(jīng)濟指數(shù)。 假設(shè)假設(shè)：（：（1）證券的證券的回報率回報率僅僅取決于該僅僅取決于該指數(shù)的指數(shù)的 變化變化；（；（2）除此以外的因素是公司特有風）除此以外的因素是公司特有風 險險殘余風險殘

6、余風險 則可以建立以宏觀經(jīng)濟指數(shù)變化為自變量，以證券則可以建立以宏觀經(jīng)濟指數(shù)變化為自變量，以證券 回報率為因變量的單因子模型?；貓舐蕿橐蜃兞康膯我蜃幽Ｐ汀?例如，例如，gdp的預期增長率是影響證券回報率的的預期增長率是影響證券回報率的 主要因素主要因素。 例例1：設(shè)證券回報僅僅與市場因子回報有關(guān)：設(shè)證券回報僅僅與市場因子回報有關(guān) 其中其中 =在給定的時間在給定的時間t，證券，證券i 的回報率的回報率 =在同一時間區(qū)間，市場因子在同一時間區(qū)間，市場因子m的相對數(shù)的相對數(shù) =截距項截距項 =證券證券i對因素對因素m的敏感度的敏感度 =隨機誤差項，隨機誤差項， itiim mtit rab re i

7、t r mt r i a im b it e 0,cov(,)0,cov(,)0 ititmtitjt e er 因子模型回歸因子模型回歸 年份年份igdpt（%）股票股票a收益率（收益率（%） 15.7 14.3 26.4 19.2 3 8.923.4 4 8.015.6 5 5.1 9.2 6 2.913.0 4% t r t gdp i 6 13.0%r 6 3.2%e 6 2.9% gdp i 圖中，橫軸表示圖中，橫軸表示gdp的增長率，縱軸表示股的增長率，縱軸表示股 票票a的回報率。圖上的每一點表示：在給的回報率。圖上的每一點表示：在給 定的年份，股票定的年份，股票a的回報率與的回報

8、率與gdp增長率。增長率。 通過線性回歸，我們得到一條符合這些點的通過線性回歸，我們得到一條符合這些點的 直線為（極大似然估計）直線為（極大似然估計） 4%2 tgdp tt rie 從這個例子可以看出，從這個例子可以看出，a在任何一期的回在任何一期的回 報率包含了三種成份：報率包含了三種成份： 1.在任何一期都相同的部分在任何一期都相同的部分a 2.依賴于依賴于gdp的預期增長率，每一期都的預期增長率，每一期都 不相同的部分不相同的部分bigdpt 3.屬于特定一期的特殊部分屬于特定一期的特殊部分et。 通過分析上面這個例子，可歸納出單因子模型的一通過分析上面這個例子，可歸納出單因子模型的一

9、 般形式：對時間般形式：對時間t 的任何證券的任何證券i 有時間序列有時間序列 其中：其中： ft是是t時期公共因子的預測值；時期公共因子的預測值； rit在時期在時期t證券證券i的回報；的回報； eit在時期在時期t證券證券i的特有回報的特有回報 ai零因子零因子 bi證券證券i對公共因子對公共因子f的敏感度的敏感度(sensitivity),或或 因子載荷（因子載荷（factor loading） itiitit rab fe （8.1） 為簡單計，只考慮在某個特定的時間的因為簡單計，只考慮在某個特定的時間的因 子模型，從而省掉角標子模型，從而省掉角標t，從而（，從而（8.1）式）式 變?yōu)?/p>

10、變?yōu)?并且假設(shè)并且假設(shè) (1)cov( , )0 i e f (2)cov( ,)0 ij e e 0 i e e iiii rab fe （8.2） 假設(shè)假設(shè)(1)：因子：因子f具體取什么值對隨機項沒有具體取什么值對隨機項沒有 影響，即因子影響，即因子f與隨機項是獨立的，與隨機項是獨立的，這樣保這樣保 證了因子證了因子f是回報率的唯一因素。是回報率的唯一因素。 若不獨立，結(jié)果是什么？若不獨立，結(jié)果是什么？ 假設(shè)假設(shè)(2)：一種證券的隨機項對其余任何證券：一種證券的隨機項對其余任何證券 的隨機項沒有影響，換言之，兩種證券之的隨機項沒有影響，換言之，兩種證券之 所以相關(guān)，是由于它們具有共同因子所

11、以相關(guān)，是由于它們具有共同因子f所致。所致。 如果上述假設(shè)不成立，則單因子模型不準確，如果上述假設(shè)不成立，則單因子模型不準確， 應該考慮增加因子或者其他措施。應該考慮增加因子或者其他措施。 對于證券對于證券i，由（由（8.2）其回報率的均值（期望值）為）其回報率的均值（期望值）為 其回報率的方差其回報率的方差 2222 iifei b 因子風險因子風險 非因子風險非因子風險 對于證券對于證券i和和j而言，它們之間的協(xié)方差為而言，它們之間的協(xié)方差為 2 cov( ,)cov(,) ijijiiijjj ijf r rab fe ab fe bb iii rab f（8.3） 單因子模型的優(yōu)點單因

12、子模型的優(yōu)點 1. 單因子模型能夠大大簡化我們在均值單因子模型能夠大大簡化我們在均值-方差方差 分析中的估計量和計算量。假定分析人員需分析中的估計量和計算量。假定分析人員需 要分析要分析n種股票，則種股票，則 均值方差模型：均值方差模型：n個期望收益，個期望收益，n個方差，個方差， (n2-n)/2個協(xié)方差個協(xié)方差 單因子模型：單因子模型：n個期望收益，個期望收益，n個個bi，n個殘個殘 差差 ，一個因子，一個因子f方差方差 ，共，共3n1個估計個估計 值。值。 若若n50，前者為，前者為1325，后者為，后者為151。 2 ei 2 f 單因子模型具有兩個重要的性質(zhì)單因子模型具有兩個重要的性

13、質(zhì) 2.風險的分散化風險的分散化 分散化導致因子風險的平均化分散化導致因子風險的平均化 分散化縮小非因子風險分散化縮小非因子風險 2 1 222 limlim () lim n piiii nn i pfep n dw ab fe b 222 11 nn piiepiei ii bwbw 其中， 假設(shè)殘差有界，即假設(shè)殘差有界，即 22 ei s 且組合且組合p高度分散化，即高度分散化，即wi充分小，則對充分小，則對 于資產(chǎn)于資產(chǎn)i成立成立 / i wn 則有則有 22222 2 1 11 n ep i ss nn 從而從而 222222 limlim ppfeppf nn bb 單因素模型的簡

14、化是有成本的，它僅僅將資單因素模型的簡化是有成本的，它僅僅將資 產(chǎn)的不確定性簡單地認為與僅僅與一個因產(chǎn)的不確定性簡單地認為與僅僅與一個因 子相關(guān)，這些因子如利率變化，子相關(guān)，這些因子如利率變化，gdp增長增長 率等。率等。 例子：公用事業(yè)公司與航空公司，前者對例子：公用事業(yè)公司與航空公司，前者對gdp 不敏感，后者對利率不敏感。不敏感，后者對利率不敏感。 單因素模型難以把握公司對不同的宏觀經(jīng)濟單因素模型難以把握公司對不同的宏觀經(jīng)濟 因素的反應。因素的反應。 多因子模型多因子模型 兩因子模型兩因子模型 若只考慮一期的模型，則可以省略表示時若只考慮一期的模型，則可以省略表示時 間的下標，從而兩因子

15、模型方程為間的下標，從而兩因子模型方程為 1 122iiiii rab fb fe 0, cov(,)0 iij e eee其 中 ， 12 cov( ,)0,cov( ,)0 ii e fe f 在兩因子模型下，對于證券在兩因子模型下，對于證券i ，其回報率的均值，其回報率的均值 1122iiii rab fb f 其回報率的方差其回報率的方差 12 222222 121212 2cov(,) iififiiei bbb bff 對于證券對于證券i和和j，其協(xié)方差為，其協(xié)方差為 1 122 1 122 cov( ,)cov(, ) ijijiiii jjjj r rab fb fe ab f

16、bfe 22 111222122112 ()cov(,) ijfijfijij b bb bb bb bff 證券證券i對因子對因子1的敏感度的敏感度 兩因子模型同樣具有單因子模型的重要兩因子模型同樣具有單因子模型的重要 優(yōu)點：優(yōu)點： 有關(guān)資產(chǎn)組合有效邊界的估計和計算量大有關(guān)資產(chǎn)組合有效邊界的估計和計算量大 大減少（但比單因子增加），若要計算均大減少（但比單因子增加），若要計算均 方有效邊界，需要方有效邊界，需要 n個期望收益，個期望收益，n個個bi1， n個個bi2， n個殘差，個殘差，2 個因子個因子f方差，方差，1個因子間的協(xié)方差，共個因子間的協(xié)方差，共4n3 個估計值。個估計值。 分散

17、化導致因子風險的平均化。分散化導致因子風險的平均化。 分散化縮小非因子風險。分散化縮小非因子風險。 多因子模型多因子模型 對于對于n種證券相關(guān)的種證券相關(guān)的m（mn)個因子，證券個因子，證券i的的 收益可以表示為收益可以表示為 1 m iijji j rab fe 0, cov(,)0 cov(,)0, iij ik e eef eeik 1,., ;1,.,in jm其中， 套利定價理論（套利定價理論（apt） 定義：套利（定義：套利（arbitrage）是同時持有一種）是同時持有一種 或者多種資產(chǎn)的多頭或空頭，從而存在不或者多種資產(chǎn)的多頭或空頭，從而存在不 承擔風險的情況下鎖定一個高于無風

18、險利承擔風險的情況下鎖定一個高于無風險利 率的收益。率的收益。 不花錢就能掙到錢，即免費的午餐！不花錢就能掙到錢，即免費的午餐！ 兩種套利方法：兩種套利方法： 當前時刻凈支出為當前時刻凈支出為0，將來獲得正收益（收益，將來獲得正收益（收益 凈現(xiàn)值為正）凈現(xiàn)值為正） 當前時刻一系列能帶來正收益的投資，將來的當前時刻一系列能帶來正收益的投資，將來的 凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為0）。）。 假設(shè)現(xiàn)在假設(shè)現(xiàn)在6個月即期年利率為個月即期年利率為10%（連續(xù)復（連續(xù)復 利，下同），利，下同），1年期的即期利率是年期的即期利率是12%。如。如 果有人把今后果有人把今后6個月到個月到1

19、年期的遠期利率定年期的遠期利率定 為為11%，則有套利機會。，則有套利機會。 套利過程是：套利過程是： 1.交易者按交易者按10%的利率借入一筆的利率借入一筆6個月資金（假個月資金（假 設(shè)設(shè)1000萬元）萬元） 2.簽訂一份協(xié)議（遠期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定簽訂一份協(xié)議（遠期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定 該交易者可以按該交易者可以按11%的價格的價格6個月后從市場借個月后從市場借 入資金入資金1051萬元（等于萬元（等于1000e0.10 0.5）。 ）。 3. 按按12%的利率貸出一筆的利率貸出一筆1年期的款項金年期的款項金 額為額為1000萬元。萬元。 4. 1年后收回年后收回1年期貸款，得本息年

20、期貸款，得本息1127萬萬 元（等于元（等于1000e0.12 1），并用 ），并用1110萬萬 元（等于元（等于1051e0.11 0.5）償還 ）償還1年期的債年期的債 務后，交易者凈賺務后，交易者凈賺17萬元（萬元（1127萬元萬元- 1110萬元）。萬元）。 這是哪一種套利？這是哪一種套利？ 套利不僅僅局限于同一種資產(chǎn)（組合），套利不僅僅局限于同一種資產(chǎn)（組合）， 對于整個資本市場，還應該包括那些對于整個資本市場，還應該包括那些“相相 似似”資產(chǎn)（組合）構(gòu)成的近似套利機會。資產(chǎn)（組合）構(gòu)成的近似套利機會。 無套利原則（無套利原則（non-arbitrage principle)： 根據(jù)

21、一價定律（根據(jù)一價定律（the law of one price），）， 兩種具有相同風險的資產(chǎn)（組合）不能以兩種具有相同風險的資產(chǎn)（組合）不能以 不同的期望收益率出售。不同的期望收益率出售。 套利行為將導致一個價格調(diào)整過程，最終使套利行為將導致一個價格調(diào)整過程，最終使 同一種資產(chǎn)的價格趨于相等，套利機會消失！同一種資產(chǎn)的價格趨于相等，套利機會消失！ apt的基本原理：由無套利原則，的基本原理：由無套利原則，在因子模在因子模 型下，具有相同因子敏感性的資產(chǎn)（組合）型下，具有相同因子敏感性的資產(chǎn)（組合） 應提供相同的期望收益率。應提供相同的期望收益率。 apt與與capm的比較的比較 apt對資

22、產(chǎn)的評價不是基于馬克維茨模型，對資產(chǎn)的評價不是基于馬克維茨模型， 而是基于無套利原則和因子模型。而是基于無套利原則和因子模型。 不要求不要求“同質(zhì)期望同質(zhì)期望”假設(shè)，假設(shè)，并不要求人人一致并不要求人人一致 行動。行動。只需要少數(shù)投資者的套利活動就能消除只需要少數(shù)投資者的套利活動就能消除 套利機會。套利機會。 不要求投資者是風險規(guī)避的！不要求投資者是風險規(guī)避的！ apt的基本假設(shè)的基本假設(shè) 1.市場是有效的、充分競爭的、無摩擦的市場是有效的、充分競爭的、無摩擦的 （perfectly competitive and frictionless capital markets）；）； 2.投資者是不

23、知足的：只要有套利機會就投資者是不知足的：只要有套利機會就 會不斷套利，直到無利可圖為止。會不斷套利，直到無利可圖為止。 因此，不必對投資者風險偏好作假設(shè)？因此，不必對投資者風險偏好作假設(shè)？ 3.資產(chǎn)的回報可以用因子表示資產(chǎn)的回報可以用因子表示 apt假設(shè)證券回報可以用預期到的回報和未假設(shè)證券回報可以用預期到的回報和未 預期到的回報兩個部分來解釋，構(gòu)成了一預期到的回報兩個部分來解釋，構(gòu)成了一 個特殊的因子模型個特殊的因子模型 iiii rrb fe 1 ()0 tt e f 未預期到的變化未預期到的變化預期的回報預期的回報 f是證券是證券i的某個因子的變化，的某個因子的變化，基于有效市場理基于

24、有效市場理 論論，它是不可預測的。，它是不可預測的。 要依靠要依靠“舊舊”的的f來獲利是不可能的！來獲利是不可能的！ 若市場有效，則若市場有效，則t-1時刻的信息集預測時刻的信息集預測t時刻時刻 的價格無效，的價格無效，這等價于這等價于t-1時刻信息無法預時刻信息無法預 測測t時刻的因子，即對于因子的變化沒有任時刻的因子，即對于因子的變化沒有任 何傾向何傾向公平賭局（公平賭局（fair game） 從有效市場的理論來看，價格（回報）的不從有效市場的理論來看，價格（回報）的不 可預測，本質(zhì)上是信息的不可預測，可預測，本質(zhì)上是信息的不可預測，也就也就 是因子的變化不可預測，是因子的變化不可預測，這

25、些信息既有宏這些信息既有宏 觀的、也有微觀的。觀的、也有微觀的。 1 ()0 tt e f 構(gòu)建套利組合構(gòu)建套利組合 （arbitrage portfolio） 1.零投資：套利組合中對一種證券的購買所需要零投資：套利組合中對一種證券的購買所需要 的資金可以由賣出別的證券來提供，即自融資的資金可以由賣出別的證券來提供，即自融資 （self-financing）組合。）組合。 2.無風險：在因子模型條件下，因子波動導致風無風險：在因子模型條件下，因子波動導致風 險，因此，無風險就是套利組合對任何因子的險，因此，無風險就是套利組合對任何因子的 敏感度為敏感度為0。 3.正收益：套利組合的正收益：套

26、利組合的期望收益期望收益大于零。大于零。 用數(shù)學表示就是用數(shù)學表示就是 1 1 1 0 0 0 n i i n ii i n i i i w bw wr 11 1 2 1 ()( = () = ( )() nn i iiiii ii n ii i n ii i dwrdw rb fe dwb f d fwb 11 ()0,0 nn i iii ii dwrwb 若要則要 （8.1） （8.2） （8.3） 套利定價模型套利定價模型 假設(shè)投資者構(gòu)造這樣的資產(chǎn)組合：（假設(shè)投資者構(gòu)造這樣的資產(chǎn)組合：（1）無風）無風 險利率借入險利率借入1元錢；（元錢；（2） 1元錢投資在兩種資元錢投資在兩種資 產(chǎn)，

27、這樣構(gòu)造一個自融資組合。產(chǎn)，這樣構(gòu)造一個自融資組合。 0 0 ()(1)()1 ()() piijj ijjijj rw rb fwrb f w rrrw bbbf 0 ij設(shè)設(shè)無無風風險險利利率率為為 ，兩兩個個資資產(chǎn)產(chǎn)是是資資產(chǎn)產(chǎn) 和和資資產(chǎn)產(chǎn)，在在因因子子 模模型型的的假假定定下下，套套利利組組合合的的收收益益為為（忽忽略略殘殘差差） l 若不存在套利機會，則該套利組合的收益為若不存在套利機會，則該套利組合的收益為0 j p ij b wr bb 時, 無風險 根據(jù)條件（根據(jù)條件（2），）， ()0 ijj w bbb當，即 0 ()0, j pijj ij b rrrr bb = 0

28、0 1 j i ij r r bb 01ii rb 1 m iiijj j rrb f 命題命題1 ：假設(shè)：假設(shè)n種資產(chǎn)其收益率種資產(chǎn)其收益率m個因子決定個因子決定 （mn），即），即 其中，其中，i=1,2,n ，j=1,2,m，則，則 0 1 m iijj j rb 01 ,., j 為常數(shù) 嚴格證明嚴格證明 證明：假設(shè)在資產(chǎn)證明：假設(shè)在資產(chǎn)i上投資上投資wi，構(gòu)造零投資，構(gòu)造零投資 且無風險的組合，即且無風險的組合，即wi滿足下列條件滿足下列條件 1 0 n t i i w w 1 1 1 22 1 1 0 0 0 n t ii i n t ii i n t iimm i wb wb w

29、b 1 w b w b w b 零投資零投資 無風險無風險 （8.5） （8.4） 即，即，1、bj（j=1,2,m)線性無關(guān)。線性無關(guān)。 如果市場有效，則不會有套利均衡，即零投如果市場有效，則不會有套利均衡，即零投 資、無風險的組合必然是無收益的，從而只資、無風險的組合必然是無收益的，從而只 要（要（8.4）和（）和（8.5）成立，則）成立，則蘊含蘊含(followed) ,1,., j jmw1,wb wr 這等價于，這等價于，只要只要 1 0 n i i i wr t w r 對于任意的對于任意的w，必然有必然有 又由于非零向量又由于非零向量1,b1,b2,bm線性無關(guān)，則線性無關(guān)，則

30、必定落在由必定落在由1,b1,b2,bm組成的向量空間組成的向量空間rm+1中，中， 也就是存在一組不全為零的數(shù)也就是存在一組不全為零的數(shù) 使使得 r 01 ,., m 01122 ,., mm r1bbb 證畢。證畢。 理解：理解： 必須落在必須落在rm+1空間中，才能必然成立空間中，才能必然成立 r wr 1和和bj是該空間的一組基是該空間的一組基 a b c d 在向量空間中，如果向量在向量空間中，如果向量a、b正交于正交于c，蘊蘊 含著含著d正交與正交與c，則，則d必須落在由必須落在由a和和b張成的張成的 二維空間上，二維空間上，d可以由可以由a、b線性表示！線性表示！ 0 示意圖：向

31、量空間示意圖：向量空間 錯誤的證明錯誤的證明 1 0 n t i i w w 1 1 1 22 1 1 0 0 0 n t ii i n t ii i n t iimm i wb wb wb 1 w b w b w b 1 0 n i i i wr t w r 01122 ,., mm r1bbb apt的意義的意義 0 1 m iijj j rb 若若bij0，則上式退化為無風險資產(chǎn)，則意味，則上式退化為無風險資產(chǎn)，則意味 著著 0 1 m fifijj j rrrb 若若bij0，則期望回報，則期望回報 隨著隨著 的增加而增大，的增加而增大， 所以所以 是因子是因子 的風險價格。的風險價格

32、。 ij b i r j i f 自變量自變量 1 ,1,., ifi rrb in在單因子條件下，有 12 1 12 ,., ffnf n rrrrrr bbb apt 1 對于所有風險資產(chǎn)則有 由此可見，方程的斜率 實際上是因子1的風險價格。 結(jié)論：當所有證券關(guān)于因子的風險價格相等時，結(jié)論：當所有證券關(guān)于因子的風險價格相等時， 則證券之間不存在套利。則證券之間不存在套利。 apt的意義的意義 0 1 i r i b h r l r h l hl bb 若給定等投資額的證券若給定等投資額的證券h多頭和證券多頭和證券l空頭，則形成套空頭，則形成套 利組合。投資者為獲利必定盡可能地購入證券利組合

33、。投資者為獲利必定盡可能地購入證券h，從從 而使其價格上升，預期收益率下降，而使其價格上升，預期收益率下降，最終到達最終到達apt定定 價線價線。在均衡時，所有的證券都落在套利定價線上，。在均衡時，所有的證券都落在套利定價線上， 只要證券偏離只要證券偏離apt定價線就會有套利機會。定價線就會有套利機會。 apt定價線定價線 apt的另一種表達的另一種表達 1 1 p pf bp rr 在單因子模型下，考慮一個使的（資產(chǎn)）組合 ， 即，則有 , () m ifmfi r rrrr b 特別地，當即純因子組合為市場組合時有 1pf rr 1 01 , () pf iiffi rr rbrr b 令

34、即風險價格,則 則稱該組合則稱該組合p為純因子組合為純因子組合(類似于類似于capm的市場組合的市場組合) 在兩因子模型下，我們有在兩因子模型下，我們有 1122ifii rrbb 112 1 1,0, ii pbb 若存在純因子組合 ，使得 且其期望收益為 則 11if rr 11f r 即即 212 222 0,1, , ii f pbb r 同理，若存在純因子組合 ，使得 其期望收益為 ，則=從而 第第1因子的風險價格因子的風險價格 第第2因子的風險價格因子的風險價格 1122 () iffifi rrr br b( 22f r 這樣可將這樣可將apt的表達式可以改寫為的表達式可以改寫為

35、 在多因子模型下在多因子模型下 01122 ,., iiimim rbbb 證券的期望收益率等于無風險收益率，加上證券的期望收益率等于無風險收益率，加上j個因個因 素的風險補償（風險價格素的風險補償（風險價格風險因子載荷）；風險因子載荷）； 資產(chǎn)對風險因子的敏感度（因子載荷）越大，則資產(chǎn)對風險因子的敏感度（因子載荷）越大，則 其應得到的風險補償越大。其應得到的風險補償越大。 1122 (),., () ffifimfim rr br br b（ j 1,.,j jm其中， 為因子 （）的純因子組合的期望收益 11 1 () () ,aptcapm ififfi ifimf mii rrbrrb

36、 rrrr rb 顯然，若純因子組合是市場組合 即代表 ，則與一致。 apt與與capm的比較的比較 apt與與capm的一致性的一致性 若只有一個風險因子，且純因子組合是市場組若只有一個風險因子，且純因子組合是市場組 合，則當合，則當apt與與capm均成立時有均成立時有 命題命題2：若純因子組合不是市場組合，若純因子組合不是市場組合，apt與與 capm可能不一致?？赡懿灰恢?。 證明：只要證明存在一個反例證明：只要證明存在一個反例 cov( ,)cov(,) cov(,)cov( ,) iiii imiiim imiim rab fe r rab fe r bf rbe r 由單因子模型可

37、得 上式兩邊同除以上式兩邊同除以 2 m 并且定義并且定義 , 2 cov( ,) m f m m f r 由于由于 2 cov( ,) im m e r 很小，不妨把它忽略，則有很小，不妨把它忽略，則有 , 2 cov( ,) im if mi m r r b 如果如果apt 也成立，且滿足也成立，且滿足capm，則，則 , 1 () ifif mmf ifi rrbrr rrb 1, () mff m rr 得到得到 若因素若因素f與市場組合正相關(guān)，那么與市場組合正相關(guān)，那么 , 2 cov( ,) cov( ,)00 m mf m m f r f r 0, mf rr且由于從而 1, (

38、)0 mff m rr 也就是，如果也就是，如果capm成立，則必然要求上述條件成立，則必然要求上述條件 成立，它構(gòu)成了對成立，它構(gòu)成了對apt中中 的約束。的約束。 1 但是，如果但是，如果apt成立，不受成立，不受capm約束，即約束，即 僅從僅從apt本身推斷，必有本身推斷，必有 1 00 f r或者 只有當只有當 m r才成立才成立 1 0 反之，如果反之，如果 m r，則可能有 1 0 f r 則對于證券則對于證券i的定價就會出現(xiàn)不同的定價就會出現(xiàn)不同 即如果純因子組合不是市場組合，即如果純因子組合不是市場組合，apt與與capm 可能不一致。可能不一致。 , ()() ifif m

39、mf r capmrbrr ()() ifif r aptrbr , , 0,0,0, ()0()0 if mf if mmfif br brrbr 若 ， 1. 若純因子組合不是市場組合，則若純因子組合不是市場組合，則apt與與 capm不一定一致，不一定一致，capm僅僅是僅僅是apt的的 特例。當且僅當純因子組合是市場組合時，特例。當且僅當純因子組合是市場組合時， capm與與apt等價。等價。 2. 在在capm中，市場組合居于不可或缺的地中，市場組合居于不可或缺的地 位（若無此，則其理論瓦解），但位（若無此，則其理論瓦解），但apt即即 使在沒有市場組合條件下仍成立。使在沒有市場組合

40、條件下仍成立。 apt模型可以得到與模型可以得到與capm類似的期望回報類似的期望回報- b b直線關(guān)系，但并不要求組合一定是市場組合，直線關(guān)系，但并不要求組合一定是市場組合， 可以是任何風險分散良好的組合可以是任何風險分散良好的組合 capm與與apt的區(qū)別的區(qū)別 1 () () ifif ifimf rrbr rrrr 注意二者并注意二者并 不一致不一致 由于市場組合在實際中是無法得到的，因此，由于市場組合在實際中是無法得到的，因此， 在實際應用中，只要指數(shù)基金等組合，其即可在實際應用中，只要指數(shù)基金等組合，其即可 滿足滿足apt。所以。所以apt的適用性更強！的適用性更強！ 3.capm

41、屬于單一時期模型，但屬于單一時期模型，但apt并不受到單并不受到單 一時期的限制。一時期的限制。 4.apt的推導以無套利為核心，的推導以無套利為核心，capm則以均值則以均值 方差模型為核心，隱含投資者風險厭惡的假方差模型為核心，隱含投資者風險厭惡的假 設(shè)，但設(shè)，但apt無此假設(shè)。無此假設(shè)。 5.在在capm中，證券的風險只與市場組合的中，證券的風險只與市場組合的相關(guān)，相關(guān)， 它只給出了市場風險大小，而沒有表明風險來它只給出了市場風險大小，而沒有表明風險來 自何處。自何處。apt承認有多種因素影響證券價格，承認有多種因素影響證券價格， 從而擴大了資產(chǎn)定價的思考范圍（從而擴大了資產(chǎn)定價的思考范圍（capm認為認為 資產(chǎn)定價僅有一個因素），也為識別證券風險資產(chǎn)定價僅有一個因素），也為識別證券風險 的來源提供了分析工具。的來源提供了分析工具。 apt對資產(chǎn)組合的指導意義對資產(chǎn)組合的指導意義 apt對系統(tǒng)風險進行了細分，使得投資者能對系統(tǒng)風險進行了細分，使得投資者能 夠測量資產(chǎn)對各種系統(tǒng)因素的敏感系數(shù)，因夠測量資產(chǎn)對各種系統(tǒng)因素的敏感系數(shù)，因 而可以使得投資組合的選擇更準確。例如，而可以使得投資組合的選擇更準確。例如