北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊3 .正方形(基礎(chǔ))知識講解+練習

1、 正方形（基礎(chǔ)）【學(xué)習目標】1理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；2掌握正方形的性質(zhì)及判定方法【要點梳理】【高清課堂 特殊的平行四邊形（正方形） 知識要點】要點一、正方形的定義四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.要點詮釋：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個角是直角的菱形.要點二、正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1.邊四邊相等、鄰邊垂直、對邊平行；2.角四個角都是直角；3.對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；

2、4.是軸對稱圖形，有 4條對稱軸；又是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心.要點詮釋：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對角線將正方形分為四個等腰直角三角形.【典型例題】類型一、正方形的性質(zhì)1、（2015揚州校級一模）如圖，在正方形abcd中，邊長為 2的等邊三角形 aef的頂點 e、f分別在 bc和 cd上下列結(jié)論：ce=cf；aeb=75；be+df=ef；s正方形=2+ 其中正確的個數(shù)為（abcd）a.1b.2c.3d.4【思路點撥】根據(jù)三角形的全等的知識可以判斷的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和為 180判斷的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識可以判斷的正誤，

3、利用解三角形求正方形的面積等知識可以判斷的正誤【答案與解析】解：四邊形 abcd是正方形，ab=ad，aef 是等邊三角形，ae=af，在 rtabe 和 rtadf 中，rtabertadf（hl）， be=df，bc=dc，bcbe=cddf，ce=cf，說法正確；ce=cf，ecf 是等腰直角三角形，cef=45，aef=60，aeb=75，說法正確；如圖，連接 ac，交 ef 于 g 點，acef，且 ac 平分 ef，cafdaf，dffg，be+dfef，說法錯誤；ef=2，ce=cf= ，設(shè)正方形的邊長為 a，在 rtadf 中，a +（a ） =4，22解得 a=，則 a =2

4、+ ，2s=2+ ，正方形 abcd說法正確，正確的有故選 c【總結(jié)升華】本題主要考查正方形的性質(zhì)的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點麻煩舉一反三：【變式 1】已知：如圖，e 為正方形 abcd 的邊 bc 延長線上的點，f 是 cd 邊上一點，且cecf，連接 de，bf求證：debf 【答案】證明：四邊形 abcd是正方形，bcdc，bcd90e 為 bc延長線上的點，dce90，bcddce在bcf 和dce 中，bc dc=bcf = dcecf = ce，bcfdce（sas），bfde【高清課堂 特殊的平行四邊形（正方形）

5、 例 1】【變式 2】（2015咸寧模擬）如圖，在正方形 abcd外側(cè)，作等邊三角形 ade，ac，be相交于點 f，則bfc 為（）a75b60c55d45【答案】b；提示：四邊形 abcd是正方形，bad=90，ab=ad，baf=45，ade 是等邊三角形，dae=60，ad=ae，bae=90+60=150，ab=ae，abe=aeb= （180150）=15，bfc=baf+abe=45+15=60；故選：b2、如圖，四邊形 abcd是邊長為 2的正方形，點 g是 bc延長線上一點，連接 ag，點 e、f分別在 ag上，連接 be、df，12，34 （1）證明：abedaf；（2）若

6、agb30，求 ef 的長【思路點撥】要證明abedaf，已知12，34，只要證一條邊對應(yīng)相等即可要求 ef 的長，需要求出 af 和 ae 的長【答案與解析】（1）證明：四邊形 abcd 是正方形，adab，12，34，dafabe（2）解：四邊形 abcd 是正方形，agb30，adbc，1agb30，14dab90，34，1390，afd180（13）90，dfag，1ad =1df2af 3abedaf，aedf1，3 -1ef【總結(jié)升華】通過證三角形全等得到邊和角相等，是有關(guān)四邊形中證邊角相等的最常用的方法而正方形的四條邊相等，四個角都是直角為證明三角形全等提供了條件舉一反三：【變式

7、】如圖，a、b、c 三點在同一條直線上，ab2bc，分別以 ab，bc 為邊做正方形 abef和正方形 bcmn 連接 fn，ec求證：fnec【答案】證明：在正方形 abef 中和正方形 bcmn 中， abbeef，bcbn，fenebc90，1ab2bc，即 bcbn ab21bn be ，即 n為 be的中點，2ennbbc，fneecb，fnec要點三、正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直（即菱形）.類型二、正方形的判定3、如圖所示，在 rtabc

8、中，c90，bac、abc的平分線相交于點 d，且 debc于點 e，dfac于點 f，那么四邊形 cedf是正方形嗎?請說明理由【答案與解析】解：是正方形，理由如下：作 dgab于點 g ad平分bac，dfac，dgab， dfdg同理可得：dgde dfde dfac，debc，c90， 四邊形 cedf是矩形 dfde 四邊形 cedf是正方形【總結(jié)升華】(1)本題運用了“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”來判定正方形(2)證明正方形的方法還可以直接通過證四條邊相等加一個直角或四個角都是直角來證明正方形舉一反三：【變式】如圖，點 o是線段 ab上的一點，oaoc，od平分aoc 交 ac于

9、點 d，of平分cob，cfof 于點 f（1）求證：四邊形 cdof是矩形；（2）當aoc 多少度時，四邊形 cdof是正方形？并說明理由 【答案】（1）證明：od 平分aoc，of 平分cob（已知），aoc2cod，cob2cof，aocboc180，2cod2cof180，codcof90，dof90；oaoc，od 平分aoc（已知），odac，addc（等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)），cdo90，cfof，cfo90四邊形 cdof 是矩形；（2）當aoc90時，四邊形 cdof 是正方形；理由如下：aoc90，addc，oddc；又由（1）知四邊形 cdof 是矩形，則四邊形

10、cdof 是正方形；因此，當aoc90時，四邊形 cdof 是正方形要點四、特殊平行四邊形之間的關(guān)系或者可表示為： 要點五、順次連接特殊的平行四邊形各邊中點得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形.（2）順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是菱形.（3）順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形.（4）順次連接正方形各邊中點得到的四邊形是正方形.要點詮釋：新四邊形由原四邊形各邊中點順次連接而成.（1）若原四邊形的對角線互相垂直，則新四邊形是矩形.（2）若原四邊形的對角線相等，則新四邊形是菱形.（3）若原四邊形的對角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.類型三、正方形綜合應(yīng)

11、用4、如圖，在平面直角坐標系xoy中，邊長為 ( 為大于 0的常數(shù))的正方形 abcd的a a對角線 ac、bd相交于點 p，頂點 a在 軸正半軸上運動，頂點b在 軸正半軸上運動( 軸x y x的正半軸、 軸的正半軸都不包含原點 o)，頂點 c、d都在第一象限y(1)當bao45時，求點 p的坐標；(2)求證：無論點 a 在 軸正半軸上、點 b 在 軸正半軸上怎樣運動，點 p 都在aobx y的平分線上；【答案與解析】解：(1)當bao45時，pao90，2222在 rtaob中，oaab，在 rtapb中，paabaa222222a,a 點 p的坐標為 22(2)如圖過點 p分別作 軸、 軸

12、的垂線垂足分別為 m、n，x y則有pmapnbnpmbpa90，bpnbpmapmbpm90apmbpn，又 papb， pampbn， pmpn，又 pnon，pmom于是，點 p在aob的平分線上.【總結(jié)升華】根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造全等的直角三角形是解題關(guān)鍵. 【鞏固練習】一.選擇題1. 正方形是軸對稱圖形，它的對稱軸共有（）a1條2. （2015 漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（a. 四條邊相等 b. 對角線互相垂直平分c. 對角線平分一組對角 d. 對角線相等b2條c3條d4條）3. 如圖，正方形 abcd的邊長為 4，則圖中陰影部分的面積為( )cm 2cma.64

13、. 順次連結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊的中點，所得的四邊形是 ( )a. 矩形 b. 菱形 c. 正方形 d. 梯形5.如圖，在邊長為 2的正方形 abcd中，m為邊 ad的中點，延長 md至點 e，使 memc，以de為邊作正方形 defg，點 g在邊 cd上，則 dg的長為（b.8c.16d.不能確定）3 -1b.3- 55 +15 -1ac.d.6.如圖，正方形 abcd中，對角線 ac，bd相交于點 o，則圖中的等腰三角形有（）二.填空題7若正方形的邊長為 ，則其對角線長為_，若正方形 acef的邊是正方形 abcd的對a角線，則正方形 acef與正方形 abcd的面積之比等于_8.

14、如圖，在四邊形abcd中，abbccdda，對角線 ac與 bd相交于點 o，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形 abcd是正方形，則還需增加一個條件是_. 9. 如圖，將邊長為2cm 的正方形 abcd 沿其對角線 ac 剪開，再把abc 沿著 ad 方向平移， 得到 a b c ，若兩個三角形重疊部分的面積是 1，則它移動的距離 aa 等于2cm_cm .10. 如圖，邊長為 2 的正方形 abcd 的對角線相交于點 o，過 點 o 的直線分別交 ad、bc 于 e、f，則陰影部分的面積是_.11. 如圖邊長為 1 的兩個正方形互相重合，按住其中一個不動，將另一個繞頂點 a 順時針旋轉(zhuǎn)

15、45，則這兩個正方形重疊部分的面積是_12.（2015 長春）如圖，點 e 在正方形 abcd 的邊 cd 上若abe 的面積為 8，ce=3，則線段 be 的長為三.解答題13已知：如圖，正方形 abcd 中，點 e、m、n 分別在 ab、bc、ad 邊上，cemn，mce35，求anm 的度數(shù) 14（2015鐵力市二模）如圖，點 p 是正方形 abcd 的對角線 bd 上一點，pebc 于點 e；pfcd 于點 f，連接ef，給出下列五個結(jié)論：ap=ef；apef；pfe=bap；222pd=ec；pb +pd =2pa ，正確的有幾個？15如圖，邊長為 3 的正方形 abcd 繞點 c

16、按順時針方向旋轉(zhuǎn) 30后，得到正方形efcg，ef交 ad 于 h，求 dh 的長【答案與解析】一.選擇題1.【答案】d；【解析】正方形的對稱軸是兩對角線所在的直線，兩對邊中點所在的直線，對稱軸共4條2.【答案】d；【解析】正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊相等，四個角都是直角，對角線互相垂直平分且相等，并且每一條對角線平分一組對角；菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊相等，對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是：對角線相等；故選：d3【答案】b；【解析】陰影部分面積為正方形面積的一半.4.【答案】a；5.【答案】d；【解析】利用勾股定理求出 cm 5 ，即 m

17、e 的長，有 dmde，所以可以求出 de進而得到 dg 的長5 1， 6.【答案】c；二.填空題2a7.【答案】，21 ；【解析】正方形 acef 與正方形 abcd 的邊長之比為8.【答案】acbd 或 abbc；2 :1.【解析】在四邊形 abcd 中，abbccdda四邊形 abcd 是菱形要使四邊形 abcd是正方形，則還需增加一個條件是 acbd 或 abbc.9.【答案】1；( )2- =1，所以 x ，得 =【解析】移動距離為 b c x ，重疊部分面積為 ce b c =1x( )x -1 = ，所以 x = .2 0110.【答案】1；【解析】由題可知deobfo，陰影面積

18、就等于三角形boc 面積11.【答案】2 -1；( )1 = = 2 -1【解析】 d e d c2 1 2 -1 = 2 -1，重疊部分面積為.212.【答案】5；【解析】解：過 e 作 emab 于 m，四邊形 abcd 是正方形，ad=bc=cd=ab，em=ad，bm=ce，abe 的面積為 8， abem=8，解得：em=4，即 ad=dc=bc=ab=4，ce=3，由勾股定理得：be=5，故答案為：5三.解答題13.【解析】解：作 nfbc 于 fabcd 是正方形，cdbcfn則在 rtbec 和 rtfmn 中，bnfm90， =ce mn= fnbcrtbecrtfmn mnfmce35anm90mnf5514.【解析】