實數(shù)(實數(shù)的概念、運算、及大小比較

1、實數(shù)（實數(shù)的概念、運算、及大小比較） 一. 教學內容：第一單元 實數(shù)（實數(shù)的概念、運算、及大小比較） 二. 教學目標：1. 使學生復習鞏固有理數(shù)、實數(shù)的有關概念（1）了解有理數(shù)、無理數(shù)以及實數(shù)的有關概念；理解數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值等概念，了解數(shù)的絕對值的幾何意義。（2）會求一個數(shù)的相反數(shù)和絕對值，會比較實數(shù)的大小（3）畫數(shù)軸，了解實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，能用數(shù)軸上的點表示實數(shù)，會利用數(shù)軸比較大小。2. 通過復習，使學生能熟練進行實數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開方的混合運算，絕對值、非負數(shù)的有關應用等。（1）了解有理數(shù)的加、減、乘、除的意義，理解乘方、冪的有關概念、掌握有理數(shù)運算法則、運算律和運算

2、順序，能熟練地進行有理數(shù)加、減、乘、除、乘方和簡單的混合運算。（2）了解有理數(shù)的運算律和運算法則在實數(shù)運算中同樣適用，復習鞏固有理數(shù)的運算法則，靈活運用運算律簡化運算，能正確進行實數(shù)的加、減、乘、除、乘方運算。（3）了解近似數(shù)和準確數(shù)的概念，會根據(jù)指定的精確度或有效數(shù)字的個數(shù)，用四舍五入法求有理數(shù)的近似值（在解決某些實際問題時也能用進一法和去尾法取近似值），會按所要求的精確度運用近似的有限小數(shù)代替無理數(shù)進行實數(shù)的近似運算。（4）了解計算器使用的基本過程。 三. 教學重點和難點：1. 有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)、非負數(shù)概念；2. 相反數(shù)、倒數(shù)、數(shù)的絕對值概念；3. 在已知中，以非負數(shù)a2、|a|、（a

3、0）之和為零作為條件，解決有關問題。4. 使學生能熟練進行實數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開方的混合運算，絕對值、非負數(shù)的有關應用等。 四. 課堂教學：（一）知識要點：知識點1：實數(shù)分類方法（1），方法（2）注：有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，可化為分數(shù)；無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù) 知識點2：實數(shù)的有關概念（1）數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意1：上述規(guī)定的三要素缺一個不可，2：實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的，3：數(shù)軸上任一點對應的數(shù)總大于這個點左邊的點對應的數(shù)）（2）相反數(shù) 實數(shù)的相反數(shù)是一對數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)，叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零）注意：從數(shù)軸上看，

4、互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應的點關于原點對稱（3）絕對值 注意：從數(shù)軸上看，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離 （4）倒數(shù) 實數(shù)a（a0）的倒數(shù)是（乘積為1的兩個數(shù)，叫做互為倒數(shù)）；注意：零沒有倒數(shù) 知識點3：平方根、算術平方根、立方根若x2a，則x叫做a的平方根。記作，而正的平方根叫做算術平方根 知識點4：零指數(shù)、負整指數(shù)冪a01（a0）；（a0） 知識點5：科學記數(shù)法、近似數(shù)、有效數(shù)字把一個數(shù)寫成a10n（1a10，n是整數(shù)）的形式一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位，四舍五入得到的數(shù)從左邊第一個非零數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字叫做這個近似數(shù)的有效數(shù)字 知識點6：

5、三種重要的非負數(shù)（絕對值、偶次方、算術平方根） 知識點7：常見的幾種無理數(shù)（開方開不盡的數(shù)、含圓周率的數(shù)、無限不循環(huán)的數(shù)） 知識點8：實數(shù)的運算 實數(shù)的運算法則（1）加法同號兩數(shù)相加，取原來的符號，并把絕對值相加； 異號兩數(shù)相加。取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值； 任何數(shù)與零相加等于原數(shù)。 （2）減法 （3）乘法兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；零乘以任何數(shù)都得零即 （4）除法 （5）乘方 （6）開方 如果x2a且x0，那么；如果x3a，那么在同一個式子里，先乘方、開方，然后乘、除，最后加、減有括號時，先算括號里面的實數(shù)的運算律： （1）加法交換律 abba

6、 （2）加法結合律 （ab）ca（bc） （3）乘法交換律 abba （4）乘法結合律 （ab）ca（bc） （5）分配律 a（bc）abac其中a、b、c表示任意實數(shù)運用運算律有時可使運算簡便 知識點9：實數(shù)的大小比較（常見的方法數(shù)軸比較法；差值比較法；商值比較法；絕對值比較法） 【典型例題】例1 判斷題：（1）兩有理數(shù)的和、差、積、商是有理數(shù)；（2）有理數(shù)與無理數(shù)的積是無理數(shù)；（3）有理數(shù)與無理數(shù)的和、差是無理數(shù)；（4）小數(shù)都是有理數(shù)；（5）零是整數(shù)，是有理數(shù)，是實數(shù)，是自然數(shù)；（6）任何數(shù)的平方是正數(shù)；（7）實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應；（8）兩無理數(shù)的和是無理數(shù)。解：（1）對（2）不對（3

7、）對（4）不對（5）對（6）不對（7）對（8）不對 例2 選擇題：（1）如果a是實數(shù)，下列四種說法：和都是正數(shù)，那么一定是負數(shù)，a的倒數(shù)是，a和的兩個數(shù)表示的點分別在原點的兩側，其中正確的說法有（ A ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3（2）下列說法中，正確的是（ B ）A. |m|與m互為相反數(shù) B. 與互為倒數(shù)C. 1998.8用科學記數(shù)法表示為1.9988102D. 0.4949用四舍五入法保留兩個有效數(shù)字的近似值為0.50（3）近似數(shù)1.30所表示的準確數(shù)A的范圍是（ C ）A. 1.25A1.35B. 1.20A1.30C. 1.295A1.305D. 1.300A1.305（

8、4）2006年全年國內生產總值按可比價格計算，比上年增長9.5%，達到億元，億元用科學記數(shù)法表示（保留4個有效數(shù)字）為（ B ）A. 元 B.元C. 元 D.元 例3 填空題：（1）下列各數(shù)中：，0，1.，2，.有理數(shù)集合 ； 正數(shù)集合 ；整數(shù)集合 ； 自然數(shù)集合 ；分數(shù)集合 ； 無理數(shù)集合 ；絕對值最小的數(shù)的集合 ；解：略（2）無理數(shù)a滿足不等式，請寫出兩個符合條件的無理數(shù)_、_（3）觀察下列數(shù)表： 1 2 3 4 第一行 2 3 4 5 第二行 3 4 5 6 第三行 4 5 6 7 第四行 第 第 第 第 一 二 三 四 列 列 列 列 根據(jù)表中所反映的規(guī)律，猜想第6行與第6列的交叉點上

9、的數(shù)應為_11_，第n行（n為正整數(shù)）與第n列的交叉點上的數(shù)應為_2n1_（4）已知：，若（a、b都是正整數(shù)），則ab的最小值是_ 19_ 例4 有條件化簡：當1a2時，化簡；a，b，c為三角形的三邊，化簡；如圖，化簡。解：因為1a2所以 原式因為|abc|abc |abc|bca所以原式abcbca2b 例5 無條件化簡：化簡解：步驟找零點；分段；討論。當m2時m23m2m1當2m3時m23m5當m3時m2m32m1 例6 閱讀下面材料并完成填空：你能比較兩個數(shù)和的大小嗎？為了解決這個問題先把問題一般化，要比較nn1和（n1）n的大小（的整數(shù)），先從分析n1，2，3，這些簡單的情況入手，從中

10、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經過歸納，猜想出結論。通過計算，比較下列各組中兩個數(shù)的大?。ㄔ跈M線上填“、”號12 21 ；23 32；34 43；45 54；56 65；67 76；78 87（2）對第（1）小題的結果進行歸納,猜想出nn1和（n1）n的大小關系是 （3）根據(jù)上面的歸納結果猜想得到的一般結論是： 解：（1） （2）當n3時，nn1（n1）n當n3時，nn1（n1）n（3） 例7 計算：（1）（2）解：（1）原式3144（2）0.31（）24331（3）0tg23036641分析：本題運用方根的概念，零指數(shù)冪的法則，負整數(shù)指數(shù)冪的法則，特殊三角函數(shù)值，分母有理化等知識加以計算。 例8 化簡：分析：這

11、道題隱含著a0是解此題的關鍵，而a0時，|a|a，這一點是該題錯誤的根本原因，另外，在化簡時，注意計算步驟要嚴謹。解：原式aa2（）（a）a 例9 若|a|3，ab0，則ab 分析：本題主要是運用絕對值的意義、二次根式成立的條件等數(shù)學知識。解：因為|a|3 所以 a3 或a3 b4 又因為ab0所a3，b4所以ab7拓展：此類命題拓展的思路是將絕對值、方根、代數(shù)式的化簡綜合構建考題。如計算：（1）當時， 。（2）若互為相反數(shù)，則a2006a2007 。 例10 已知：值解：因為x所以x2 例11 給出下列算式：3212881523216827252248392723284觀察上面一系列等式，你

12、能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？用代數(shù)式來表示這個規(guī)律。解：（2n1）2（2n1）28n （n取正整數(shù)）預測：本題以列代數(shù)式為載體，體現(xiàn)了用字母表示數(shù)的簡明性和普遍性，蘊含著一種數(shù)學簡潔的美。同時可考查觀察能力和抽象概括能力，滲透著從特殊到一般的辯證關系。該題是通過觀察給出的運算，找到反映其規(guī)律的表達式。這是中考中的熱點問題，此類問題不僅考查對知識的掌握，同時考查觀察分析的能力。 【模擬試題】（答題時間：30分鐘）一. 選擇題1. 下列說法正確的是（）A. 無限小數(shù)都是無理數(shù)B. 無理數(shù)都是無限小數(shù)C. 帶根號的數(shù)都是無理數(shù)D. 不帶根號的數(shù)一定不是無理數(shù)。2. 和數(shù)軸上的點一一對應的數(shù)是（）A. 整數(shù) B.

13、 有理數(shù) C. 無理數(shù) D. 實數(shù)3. 若2a與1a互為相反數(shù)，則a等于（）A. 1 B. 1 C. D.4. 當a時，實數(shù)a在數(shù)軸上對應的點在（）A. 原點右側 B. 原點左側C. 原點或原點的右側 D. 原點或原點的左側5. 代數(shù)式的所有可能的值有（）A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 無數(shù)個6. 下列命題中：（1）幾個有理數(shù)相乘，如果負因數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，則積必為負；（2）兩數(shù)之積為1，那么這兩數(shù)都是1或都是1；（3）兩個實數(shù)之和為正數(shù)，積為負數(shù)，則兩數(shù)異號，且正數(shù)的絕對值較大；（4）一個實數(shù)的偶次冪是正數(shù)，那么這個實數(shù)一定大于零，其中錯誤的命題的個數(shù)是（）A. 1個 B. 2個 C.

14、 3個 D. 4個 二. 填空題7. 0的相反數(shù)是，3的相反數(shù)是，的相反數(shù)是；的絕對值是，0的絕對值是，的倒數(shù)是8. 把下列語句譯成式子：（1）a是負數(shù) （2）a、b兩數(shù)異號 （3）a、b互為相反數(shù) （4）a、b互為倒數(shù) （5）x與y的平方和是非負數(shù) （6）c、d兩數(shù)中至少有一個為零 （7）a、b兩數(shù)均不為0 9. 數(shù)軸上點A表示數(shù)1，若AB3，則點B所表示的數(shù)為 10. 2006年底國家統(tǒng)計局公布我國總人口萬人，如果以億為單位保留兩位小數(shù)，可以寫成約為 億人。11. 若（x1）x21，則x的值是 。12. 我國數(shù)學家劉徽，是第一個找到計算圓周率方法的人，他求出的近似值是3.1416，如果取3.142是精確到位，它有個有效數(shù)字，分別是。13. 我國的國土面積約為平方千米，用科學記數(shù)法表示為平方千米。14. 若n為自然數(shù)時，（1）2n1（1）2n .15. 已知：x|4，y2且x0,y0，則xy。16. 若a，b滿足，則的值是 三. 實驗、操作題17. 數(shù)軸上作出表示，的點。 四. 解答題18. 已知等腰三角形一邊長為，一邊長為，且（2）2920 。求它的周長。19. 若3，5為三角形三邊，化簡：20. 已知x、y是實數(shù)【試題答案】1. B 2. D 3. B 4. D 5. A 6. C7