代數(shù)綜合解析版

1、精品文檔1 1b c a cab全國(guó)聯(lián)賽代數(shù)問(wèn)題選1.已知實(shí)數(shù)a,b, c滿足a b c 1 ,a b cabc .【答】0.由題意知11 2c1 11 2a 1 2b1，所以(1 2a)(1 2b)(1 2b)(1 2 c)(1 2a)(1 2 c) (12a)(1 2b)(1 2c)整理得22(a bc) 8abc，所以 abc 0.2.使得不等式 對(duì)唯一的整數(shù)k成立的最大正整數(shù)n為17 n k 15由條件得-k8由k的唯一8n92 k1k 1871，所以n 144nnn9872當(dāng)n144 時(shí)，由7k88可得126 k8n9【答】144.故滿足條件的正整數(shù) n的最大值為144.性，得匕-且

2、匕-，所以n 8 n 91113.已知x, y為整數(shù)，且滿足()(2xy x【答】由已知等式得2 2x y x y22 2xyx y3或 3xy 2(x y).若 3xy 2(x y),則(3x 2)(3y2)有個(gè)128 , k可取唯一整數(shù)值127.12 112)( 44)，則x y的可能的值y3 xy44x 4 y ,顯然x, y均不為0,所以x y = 0x yx 14 .又x,y為整數(shù)，可求得或y 2,x 2所以x y 1或x y 1. y 1.因此，x y的可能的值有3個(gè).4.已知非負(fù)實(shí)數(shù)x, y, z滿足x y z1，則t 2xy yz 2zx的最大值為 1 22x(y z) 4(y

3、 z)4【答】47t 2xy yz 2zx 2x(y z) yz精品文檔42x(1易知：當(dāng)xx) 1(1437，y zx)2Z(x 3)247I時(shí),2xyyz2zx取得最大值5.張不同的卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字所寫(xiě)的數(shù)字可以作為三角形的三邊長(zhǎng)的概率是253張卡片上的數(shù)字互不相同，有 2X 2 X 2 = 8種取法； 有 3X 4 = 12種取法.所以，從6張不同的卡片中取出【答】2,2, 4,74, 6, 6，從中取出3張，則這3張卡片上【 】若取出的 數(shù)字有相同的， 種取法要使得三個(gè)數(shù)字可以構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)，只可能是： 6), (4, 6, 6),由于不同的卡片上所寫(xiě)數(shù)字有重復(fù)，所以, 可以作為

4、三角形的三邊長(zhǎng)的情況共有4 X 2=8種.因此，所求概率為2.205(2, 4,取出的6.設(shè)t表示不超過(guò)實(shí)數(shù)t的最大整數(shù)，令t t則x 丄x【答】a，貝U x3所以a(a2(x-)(x2x12x1)3)18，因式分解得(a3)(a23a6)若取出的3張卡片上的3張，共有8+ 12= 204), (4, 4, 6), (2, 6,3張卡片上所寫(xiě)的數(shù)字3t.已知實(shí)數(shù)x滿足xA 18, x(x1 1-)(x -)x所以a 3.3a(a2 3),A3 解得 x -(3 x 5)，顯然 0 x1,027.小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售筆和圓珠筆共350支，當(dāng)天雖然筆沒(méi)有全部賣完，丄x4元，圓珠

5、筆每支售 7元.開(kāi)始時(shí)他有鉛 但是他的銷售收入恰好是1,所以x-1.x2013元.則他至少賣出了支圓珠筆.【答案】207【解答】設(shè)x, y分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，則4xx7y 2013, y 350,所以(503 2y) J ,4411 是整數(shù)又 20134(x y) 3y 4 350 3y ,所以y204，故y的最小值為207，此時(shí)141.8.實(shí)數(shù)a, b, c, d滿足：一元二次方程cx d 0的兩根為b, 一兀二次方程x2 axb 0的兩根為 c , d ,所有滿足條件的數(shù)組(a, b Cd)精品文檔3，則b9，于是可解得b 11, b 5.為【答案】(1,2,1,2) ,

6、 (t, 0t , 0)（t為任意實(shí)數(shù)）a bc,【解答】由韋達(dá)定理得ab d ,c da,cdb.由上式，可知b ac d .若b d0,則ad 1, cb1,進(jìn)而b da c 2.bd若b d0,則ca ,有(a, bc d) (t , Q t , 0) ( t為任意實(shí)數(shù)).經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)組(1,2, 12)與(t, 0t, 0)（t為任意實(shí)數(shù)）滿足條件9.已知正整數(shù)a,b , c滿足a b22c220 , 3a 8b c 0 ,貝U abc的最大值【答案】2013【解答】由已知a2 2b 2c 20, 3a 8bb 8 若a 2，貝V b 840，無(wú)正整數(shù)解;6a2 a66 .由a為正整數(shù)及

7、6a2為c 0消去C,并整理得a 66,可得 K a 3.2若a 1，則b 859，無(wú)正整數(shù)解;(i)若 b 11，則 c(ii )若 b 5，則 c61，從而可得 abc 3 11 61 2013 ；13，從而可得 abc 3 5 13 195.綜上知abc的最大值為2013.10.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x, y, z,定義運(yùn)算“ *”為:c 3 c 2233x y 3x y xy 45x y3x 1y3,1 60且x y zx yz ,則 20132012L32的值為（).5463【答案】967【解答】設(shè) 20132012 L4 m,則c 3-3m33m29 m27 4520132012 L4 3m

8、39 ,32m 3m 3m 164 60是 2013 2012 L 32 9 23 93 2 3 92 229 2345103 33 60546396711.設(shè)非零實(shí)數(shù)a ,2b3b3e4e00則ab be cap的值為（e)【答案】【解答】由已知得a b e (2 a3b4e)(a2b3e)e)20 于是 ab be ea12(abeea222abb e )，所以22a b e12. 如果關(guān)于丁的方程 二1-有兩個(gè)有理根，那么所有滿足條件的正整數(shù)戈的個(gè)數(shù)是答案：2解：由于方程的兩根均為有理數(shù)，所以根的判別式丄0，且為完全平方數(shù).A 二 16-+刀=4（2 - JlO-仃）o，又 22- J1

9、0- m，所以,當(dāng) -1時(shí)，解得當(dāng)： 時(shí)，解得2141m13. 設(shè)an=(n為正整數(shù))，貝U a1+a2+a2012的值1.（填“”,“=”或 “V”）【答案】VT1 _ 1解：由an=T二廣一，得門(mén)111.,11a1+a2+ +a2012=14. 紅、黑、白三種顏色的球各10個(gè)把它們?nèi)糠湃爰?、乙兩個(gè)袋子中，要求每個(gè)袋子里三種顏色的球都有，且甲、乙兩個(gè)袋子中三種顏色的球數(shù)之積相等，那么共有種放法.【答案】25解：設(shè)甲袋中紅、黑、白三種顏色的球數(shù)分別為門(mén)匚，則有精品文檔(1)1W 二門(mén)9, - 丨丨:I . : I -J:= 500- 50(4-+ zj + 5(xy+,于是I- 因此-中必有

10、一個(gè)取5 不妨設(shè) 0,且 x 1 0,得 1 w x W 1 .2 2y2 1 2 %212J(x 4)216由于2333 0，由已知條件得、4 4 4 311322X22Xy267.精品文檔另解：由已知得：(2)x(一2 )3x0 2，顯然22 y ,以2 ,y2為根的一元(y2)2 y3 0xx一次方程為t2 t30 ,所以(勻y21,(4)y23xx故弓y4 =(環(huán)2i2y 2 (f) y2(1)2 2 (3)7XXx31.將1, 2, 3, 4, 5這五個(gè)數(shù)字排成一排，最后一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個(gè)數(shù)之和都能被這三個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)整除，那么滿足要求的排法有種【答】5種解：設(shè)旦

11、，a?, a3, a4,是1，2，3，4，5的一個(gè)滿足要求的排列.首先，對(duì)于a“ a2, a3,，不能有連續(xù)的兩個(gè)都是偶數(shù)，否則，這兩個(gè)之后都是偶數(shù)，與已知條件矛盾.又如果ai (K i 0,所以山 20.是-10 ,占胡10,從而01+卜1/+広B+01+k當(dāng)”1鼻:-工-：時(shí)，等號(hào)成立.36.求關(guān)于a, b, c, d的方程組10必十10處十10m = 9dtabe d的所有正整數(shù)解.解：將 abc=d 代入 10ab+10bc+10ca=9d 得10ab+10bc+10ca=9 abc.1119+ + =因?yàn)閍bcz0,所以，-、- 二.不妨設(shè)a w b w c,貝U丄 -:- 0.11

12、113十+于是，- ：匚 w -；,即_、_=_、,io 30v a .從而，a=2，或3.1 1 2+ =若a=2，則1. i . 耳2222因?yàn)?l. v ；w 】，所以，vw , v bw 5.20從而，b=3, 4, 5.相應(yīng)地，可得 c=15,1 (舍去),5.當(dāng) a=2 ,b=3 ,c=15 時(shí),d=90;當(dāng)a=2 ,b=5 ,c=5 時(shí)，d=50.1_117若a=3 ,則TT C 3011+ 1 211723060因?yàn)?l. vw ，所以，v -w ,v b w 1 .從而，b=2 （舍去），3.30當(dāng)b=3時(shí)，c(舍去).因此，所有正整數(shù)解為(a, b, c, d)=(2 ,

13、3, 15, 90), (2, 15, 3, 90), (3, 2, 15, 90),(3, 15, 2, 90), (15, 2, 3, 90), (15, 3, 2, 90),(2, 5 , 5 , 50),2x ax b 0 的(5 , 2 , 5 , 50) , (5 , 5 , 2 , 50).兩個(gè)根都大1,求abc的值.解：設(shè)方程x2axb 0的兩個(gè)根為,其中，為整數(shù)，且w則方程x2 cxa0的兩根為1 ,1 ,由題意得237.已知關(guān)于x的一元二次方程 x cx a0的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程兩式相加，得2 210，即(2)(2)3,2 1,23,所以，或10分2 3;21.解得1或5

14、,1；3.又因?yàn)閍(),b,c(1)(1),所以a0, b1, c2 ；或者 a 8, b 15,c 6,故a b c3，或 29.-20分為三角形的三邊長(zhǎng)，滿足a2 b2 c238.設(shè)整數(shù) a,b,c ( a b c)abac bc 13,求符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)解由已知等式可得30的三角形的個(gè)數(shù).2 2(a b) (b c)(ac)226令 a b m,b c則a c m n，其中m,n均為自然數(shù).于是，等式變?yōu)閚2 (m2n) 26，即m2 n2 mn 136,由于m, n均為自然數(shù),(1)7，8,(2)判斷易知,當(dāng)m 3,n1時(shí),a，即(c 1) c使得等式成立的 m, n只有兩組:13

15、,和 m 31,1, a b 3 c 4.又a,b,c為三角形的三邊長(zhǎng)，所4，解得c 3.又因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)不超過(guò)30，即30 ,解得c .因此3 c ，所以c可以取值4, 5,33對(duì)應(yīng)可得到5個(gè)符合條件的三角形.(c 4) (c 1)當(dāng) m 1,n3 時(shí)，bc 3 , a b 1 c 4.又a,b,c為三角形的三邊長(zhǎng)，所a，即(c 3) c c 4，解得c 1 .又因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)不超過(guò)30，即2323(c 4) (c 3) c 30，解得c.因此1 c ，所以c可以取值2，3,334,5，6,7,對(duì)應(yīng)可得到6個(gè)符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)30的三角形的個(gè)數(shù)為 5+ 6=

16、 11.39.已知a,b,c為正數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件:a b c 32bcacababcl bccaab 4是否存在以.a,、b, c為三邊長(zhǎng)的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角解法1將兩式相乘，得(b 匸 c a b a b c) b c) 8, bccaab22 22 22即(bc)a(c a) b (a b)c 8bccaab22 22 22即(bc)a4 (c a)b 4 (a b) c 0bccaabbca2(c a)2 b2 (a b)2 c2caab(b c a)(b c a) (c a b)(c a b) (a b c)(a b c)即0 ,bccaab即(b c_ a(b

17、 c a) b(c a b) c(a b c)0,abc即(b c a)2ab a2 b2 c20，即世 -ac2 (a b)20,abcabc即(b c_a) (c a b)(c a b) 0,abc所以 b c a 0或 c a b 0或 c a b 0，即 b a c或 c a b或 c b a.因此，以.、a,；b,、. c為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90 .解法2結(jié)合式，由式可得32 2abc32 2bca1變形，得 1024 2(a2 b2 C2)-abc32 2cab又由式得(a b c)21024，即 a2 b2 c21024 2(ab bc ca),1 代入式

18、，得 1024 21024 2(ab bc ca) abc,4即 abc 16( ab bc ca) 4096.(a 16)(b 16)(c 16) abc 16(ab bc ca) 256(a b c) 16334096 256 32 160 , 精品文檔所以a 16或b 16或c 16. 結(jié)合式可得 ba c或c a b或c b a.因此，以.a,為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90240.已知a,b為正整數(shù)，關(guān)于 x的方程x2ax b 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為Xi, X2，2關(guān)于y的方程y2ay b 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 ，y?，且滿足所以b的最小值為：b最小值 25i24=62997XigyiX2gy2 2008.求b的最小值.解：由韋達(dá)定理，得XiX2 2a,Xigx2b ； yiy22a,yigy2 byiy22a （為 X2）（為）（X2）yigy2 b （ xjg； x?）解得：yiN或yiy2X2y2X2Xiyi,y2的值分別代入Xigyix2gy22008Xig（