容斥原理之重疊問題一教師版精編版

1、最新資料推薦7-7-1. 容斥原理之重疊問題教學目標1. 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2. 掌握容斥原理的在組合計數(shù)等各個方面的應(yīng)用知識要點、兩量重疊問題在一些計數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個數(shù)的計算求兩個集合并集的元素的個數(shù)，不能簡單地把 兩個集合的元素個數(shù)相加，而要從兩個集合個數(shù)之和中減去重復計算的元素個數(shù)，即減去交集的元素個數(shù)， 用式子可表示成： A B A B A B （其中符號 “ ”讀作“并”，相當于中文 “和”或者 “或”的意思；符號 “ 讀作 “交”，相當于中文 “且”的意思 ）則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理圖示如下: A表示小圓部分， B表示大圓部分，

2、 C表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積圖示如下 : A表示小圓部分， B表示大圓部分， C表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積先包含 A B重疊部分 A B 計算了 2次，多加了 1次；2再排除 A B A B把多加了 1次的重疊部分 A B 減去包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A、B的并集 A B 的元素的個數(shù)，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合 A、B的元素個數(shù)，然后加起來，即先求A B （意思是把 A、B 的一切元素都 “包含”進來，加在一起 ）；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數(shù)，即減去 C A B （意思是 “排除 ”了重復計算的元素個

3、數(shù) ）二、三量重疊問題A類、 B 類與 C 類元素個數(shù)的總和A類元素的個數(shù) B類元素個數(shù) C 類元素個數(shù) 既是 A類又是 B類的元素個數(shù) 既是 B類又是 C類的元素個數(shù) 既是 A類又是 C類的元素個數(shù) 同時是 A類、 B類、 C類的元 素個數(shù)用符號表示為： A B C A B C A B B C A C A B C 圖示如下：圖中小圓表示 A 的元素的個數(shù)，中圓表示 B 的元素的個數(shù)， 大圓表示 C 的元素的個數(shù)ABCA B、B C 、C A重疊了 2次，多加了 1次 ABCABBCACA B C 重疊了 3 次，但是在進行 A B C A B B C A C計算時都被減掉了3再包含： A B

4、 C A B B C A C A B C 在解答有關(guān)包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖 ）來幫助分析思考最新資料推薦例題精講兩量重疊問題例 1】 小明喜歡：踢足球、上網(wǎng)、游泳、音樂、語文、數(shù)學；小英喜歡：數(shù)學、英語、音樂、陶藝、跳繩。用圓 A、圓 B 分別表示小明、小英的愛好，如圖所示，則圖中陰影部分表示 考點】兩量重疊問題難度】 1 星關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第 3 題解析】 陰 影部分是兩人都愛好的：數(shù)學、音樂 答案】數(shù)學、音樂例 2】 四（ 1 ）班全體同學站成一排，當從左向右報數(shù)時，小華報： 那么該班有學生 名。考點】兩量重疊問題 【難度】 1 星 【題型】填空 關(guān)鍵詞】

5、希望杯，四年級，二試，第 2 題 解析】 該班學生人數(shù)為： 18 13 1 30 （名）。答案】 30 名18；當從右向左報數(shù)時，小華報：13.例 3】 實驗小學四年級二班，參加語文興趣小組的有28人，參加數(shù)學興趣小組的有 29 人，有 12人兩個小組都參加這個班有多少人參加了語文或數(shù)學興趣小組？考點】兩量重疊問題難度】 1 星解析】如圖所示， A圓表示參加語文興趣小組的人， B圓表示參加數(shù)學興趣小組的人， A與 B重合的部分C （陰影部分 ）表示同時參加兩個小組的人圖中 A 圓不含陰影的部分表示只參加語文興趣小組未參加數(shù)學興趣小組的人，有 28 12 16（人）；圖中 B 圓不含陰影的部分表

6、示只參加數(shù)學興趣小組未參加語文興趣小組的人，有 29 12 17 （人 ）方法一：由此得到參加語文或數(shù)學興趣小組的有： 16 12 17 45（人 ） 方法二：根據(jù)包含排除法，直接可得：參加語文或數(shù)學興趣小組的人 參加語文興趣小組的人 參加數(shù)學興趣小組的人 兩個小 組都參加的人，即： 28 29 12 45（人）答案】 45 人鞏固】 芳草地小學四年級有 58 人學鋼琴， 43人學畫畫， 37人既學鋼琴又學畫畫，問只學鋼琴和只學畫畫 的分別有多少人？考點】兩量重疊問題 【難度】 1 星 【題型】解答解析】 解 包含與排除題，畫圖是一種很直觀、簡捷的方法，可以幫助解決問題，畫圖時注意把不同的對象

7、 與不同的區(qū)域?qū)?yīng)清楚建議教師幫助學生畫圖分析，清楚的分析每一部分的含義最新資料推薦如圖， A圓表示學畫畫的人， B 圓表示學鋼琴的人， C 表示既學鋼琴又學畫畫的人，圖中A圓不含陰影的部分表示只學畫畫的人，有： 43 37 6 （人），圖中 B 圓不含陰影的部分表示只學鋼琴的人， 有： 58 37 21（人 ）答案】 21人鞏固】 四 （二）班有 48名學生，在一節(jié)自習課上，寫完語文作業(yè)的有30人，寫完數(shù)學作業(yè)的有 20人，語文數(shù)學都沒寫完的有 6 人 問語文數(shù)學都寫完的有多少人？ 只寫完語文作業(yè)的有多少人？ 考點】兩量重疊問題【難度】 1 星 【題型】解答解析】 由題意，有 48 6 42

8、（ 人 ）至少完成了一科作業(yè)，根據(jù)包含排除原理，兩科作業(yè)都完成的學生有：30 20 42 8（人） 只寫完語文作業(yè)的人數(shù) 寫完語文作業(yè)的人數(shù) -語文數(shù)學都寫完的人數(shù)，即 30 8 22（人 ） 答案】 22 人鞏固】 四（ 1）班有 46人，其中會彈鋼琴的有 30 人，會拉小提琴的有 28人，則這個班既會彈鋼琴又會拉 小提琴的至少有 人?？键c】兩量重疊問題【難度】 1 星 【題型】填空關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第 6 題 解析】 至 少一項不會的最多有 （46-30）+（46-28）=34, 那么兩項都會的至少有 46-34=12 人 答案】 12 人 例 4】 如圖，圓 A 表示 1 到

9、 50 這 50 個自然數(shù)中能被 3 整除的數(shù)， 圓 B 表示這 50 個數(shù)中能被 5 整除的數(shù)，則陰影部分表示的數(shù)是考點】兩量重疊問題難度】 1 星關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第 4 題解析】 陰影部分是 A和 B共有的，即 1到50這 50個自然數(shù)中能被 35 15整除的數(shù)，即 15， 30， 45 答案】 15，30， 45例 5】 學校為了豐富學生的課余生活，組建了乒乓球俱樂部和籃球俱樂部，同學們踴躍報名參加，其中有 321 人報名參加乒乓球俱樂部， 429 人報名參加了籃球俱樂部，但學校最后發(fā)現(xiàn)有50 人既報名參加了乒乓球俱樂部，又報名參加了籃球俱樂部，還有 23 人什么俱樂部都沒

10、報名，問該學校共有 名學生考點】兩量重疊問題 【難度】 1 星 【題型】填空 關(guān)鍵詞】學而思杯， 4 年級，第 5 題 解析】 321 429 50 23 723人 答案】 723人例 6】 某班共有 46人，參加美術(shù)小組的有 12人，參加音樂小組的有 23人，有 5 人兩個小組都參加了這 個班既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的有多少人？考點】兩量重疊問題 【難度】 1 星 【題型】解答 解析】已知全班總?cè)藬?shù)，從反面思考，找出參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)，只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個人數(shù)， 就得到既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的人數(shù)根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一個小組 的總?cè)藬?shù)為 12 23 5

11、 30 （人）所以，該班未參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)是46 30 16（人）答案】 16人鞏固】 四年級一班有 45人，其中 26 人參加了數(shù)學競賽， 22人參加了作文比賽， 12人兩項比賽都參加了 班有多少人兩項比賽都沒有參加？最新資料推薦 考點】兩量重疊問題 【難度】 1 星 【題型】解答解析】 由包含排除法可知，至少參加一項比賽的人數(shù)是： 26 22 12 36（人 ），所以，兩項比賽都沒有參 加的人數(shù)為： 45 36 9 （人）答案】 9 人鞏固】 實驗二校一個歌舞表演隊里，能表演獨唱的有 10 人，能表演跳舞的有 18 人，兩種都能表演的有 7 人這個表演隊共有多少人能登臺表演歌舞？考

12、點】兩量重疊問題 【難度】 1 星 【題型】解答 解析】 根 據(jù)包含排除法，這個表演隊能登臺表演歌舞的人數(shù)為：10 18 7 21（ 人）答案】 21人例 7】 全班 50 個學生，每人恰有三角板或直尺中的一種，28 人有直尺，有三角板的人中，男生是14 人，若已知全班共有女生 31 人，那么有直尺的女生有 人?？键c】兩量重疊問題 【難度】 1 星 【題型】填空 關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第 8 題12人得滿分，第一部分有25人做對，第二部分有 19 人有解析】 有 三角板的學生共 50-28=22（人），其中女生 22-14=8（人），那么有直尺的女生有 31-8=23（人）。 答案】 23 人

13、例 8】 某次英語考試由兩部分組成，結(jié)果全班有 錯，問兩部分都有錯的有多少人？只做對兩部只做對第一部分全第二部分的對的分的兩部分都有錯的考點】兩量重疊問題 【難度】 2 星 【題型】解答解析】 如圖，用長方形表示參加考試的人數(shù)， A圓表示第一部分對的人數(shù) B 圓表示第二部分對的人數(shù)， 長方形中陰影部分表示兩部分都有錯的人數(shù)已知第一部分對的有 25人，全對的有 12人，可知只對第一部分的有： 25 12 13（人 ）又因為第二 部分有 19人有錯，其中第一部分對第二部分有錯的有13人，那么余下的 19 13 6 （人）必是第一部分和第二部分均有錯的，兩部分都有錯的有6 人答案】 6 人20人，會

14、打籃球的有 25人兩項都會的有 10 人，兩項都不會的例 9】 對全班同學調(diào)查發(fā)現(xiàn)，會游泳的有 有 9 人這個班一共有多少人？考點】兩量重疊問題【難度】 2 星【題型】解答解析】 如圖，用長方形表示全班人數(shù)， A 圓表示會游泳的人數(shù)， B 圓表示會打籃球的人數(shù)，長方形中陰影 部分表示兩項都不會的人數(shù)由圖中可以看出，全班人數(shù) 至少會一項的人數(shù) 兩項都不會的人數(shù)，至少會一項的人數(shù)為：20 25 10 35（人），全班人數(shù)為：35 9 44 （人 ）答案】 44人鞏固】 某班組織象棋和軍棋比賽，參加象棋比賽的有32 人，參加軍棋比賽的有 28人，有 18 人兩項比賽都參加了，這個班參加棋類比賽的共有

15、多少人？最新資料推薦考點】兩量重疊問題【難度】 2 星 【題型】解答解析】 如圖， A圓表示參加象棋比賽的人， B圓表示參加軍棋比賽的人， A與B 重合的部分表示同時參加 兩項比賽的人圖中 A圓不含陰影的部分表示只參加象棋比賽不參加軍棋比賽的人，有 32 18 14（人）；圖中 B圓不含陰 影的 部分表 示只 參加軍 棋比 賽不參加象 棋比賽 的人，有 28 18 10（人 ）由此得到參加棋類比賽的人有 14 18 10 42（人） 或者根據(jù)包含排除法直接得： 32 28 18 42（ 人）答案】 42人例 10】在 46人參加的采摘活動中，只采了櫻桃的有18人，既采了櫻桃又采了杏的有 7人，

16、既沒采櫻桃又沒采杏的有 6 人，問：只采了杏的有多少人？考點】兩量重疊問題 【難度】 2 星 【題型】解答解析】 如圖，用長方形表示全體采摘人員 46人， A圓表示采了櫻桃的人數(shù)， B 圓表示采了杏的人數(shù)長方 形中陰影部分表示既沒采櫻桃又沒采杏的人數(shù) 由圖中可以看出，全體人員是至少采了一種的人數(shù)與兩種都沒采的人數(shù)之和，則至少采了一種的人 數(shù)為： 46 6 40（ 人），而至少采了一種的人數(shù)只采了櫻桃的人數(shù) 兩種都采了的人數(shù) 只采了杏的人數(shù)，所以，只采了杏的人數(shù)為： 40 18 7 15（人 ）答案】 15人例 11】甲、乙、丙三個小組學雷鋒，為學校擦玻璃，其中68 塊玻璃不是甲組擦的， 52塊

17、玻璃不是乙組擦的，且甲組與乙組一共擦了 60 塊玻璃那么，甲、乙、丙三個小組各擦了多少塊玻璃？ 考點】兩量重疊問題 【難度】 2 星 【題型】解答解析】 68 塊玻璃不是甲組擦的，說明這 68 塊玻璃是乙、丙兩組擦的； 52塊玻璃不是乙組擦的，說明這 52 塊玻璃是甲、丙兩組擦的如圖，用圓 A 表示乙、丙兩組擦的 68塊玻璃， B 圓表示甲、丙兩組擦的 52塊玻璃因甲乙兩組共擦 了 60塊玻璃， 那么 68 52 60 60（塊），這是兩個丙組擦的玻璃數(shù) 60 2 30（塊）丙組擦了 30塊 玻璃乙組擦了： 68 30 38（ 塊）玻璃，甲組擦了： 52 30 22（塊）玻璃15 幅畫不是五年

18、級的，五、答案】甲組擦了： 52 30 22 （塊）玻璃，乙組擦了： 68 30 38 （塊）玻璃，丙組擦了 30 塊玻璃。例 12】 育 才小學畫展上展出了許多幅畫，其中有16 幅畫不是六年級的，有六年級共展出 25 幅畫，其他年級的畫共有多少幅？考點】兩量重疊問題【難度】 2 星 【題型】解答解析】 通過 16 幅畫不是六年級的可以知道，五年級和其他年級的畫作數(shù)量之和是16，通過 15 幅畫不是五年級的可以知道六年級和其他年級的畫作數(shù)量之和是15，那也就是說五年級的畫比六年級多1 幅，我們還知道五、六年級共展出 25 幅畫，進而可以求出五年級畫作有 13 幅，六年級畫作有 12 幅，那 么

19、久可以求出其他年級的畫作共有 3 幅答案】 3 幅最新資料推薦例 13】 47名學生參加數(shù)學和語文考試，其中語文得分95 分以上的 14 人，數(shù)學得分 95分以上的 21人，兩門都不在 95 分以上的有 22人問：兩門都在 95分以上的有多少人？語文兩門數(shù)學95分95分95分以上以上以上的A的的兩門都不在95分以上的考點】兩量重疊問題 【難度】 2 星 【題型】解答解析】如圖，用長方形表示這 47名學生， A 圓表示語文得分 95分以上的人數(shù)， B 圓表示數(shù)學得 95分以上 的人數(shù)， A與 B 重合的部分表示兩門都在 95分以上的人數(shù)，長方形內(nèi)兩圓外的部分表示兩門都不在 95分以上的人數(shù)由圖中

20、可以看出， 全體人數(shù)是至少一門在 95分以上的人數(shù)與兩門都不在 95 分以上的人數(shù)之和， 則至 少一門在 95分以上的人數(shù)為： 47 22 25（人）根據(jù)包含排除法，兩門都在 95 分以上的人數(shù)為： 14 21 25 10（人 ）答案】 10人鞏固】 有 100位旅客，其中有 10人既不懂英語又不懂俄語，有 75人懂英語， 83人懂俄語問既懂英語又 懂俄語的有多少人？考點】兩量重疊問題【難度】 2 星 【題型】解答關(guān)鍵詞】迎春杯解析】 方法一：在 100人中懂英語或俄語的有： 100 10 90（人 ） 又因為有 75人懂英語，所以只懂俄語的 有： 90 75 15（ 人 ）從 83位懂俄語的

21、旅客中除去只懂俄語的人，剩下的83 15 68（ 人 ）就是既懂英語又懂俄語的旅客方法二：學會把公式進行適當?shù)淖儞Q，由包含與排除原理，得：A B A B A B 75 83 90 68（人）答案】 68 人例 14】 一個班 48人，完成作業(yè)的情況有三種：一種是完成語文作業(yè)沒完成數(shù)學作業(yè)；一種是完成數(shù)學作 業(yè)沒完成語文作業(yè)；一種是語文、數(shù)學作業(yè)都完成了已知做完語文作業(yè)的有37 人；做完數(shù)學作業(yè)的有 42人這些人中語文、數(shù)學作業(yè)都完成的有多少人？考點】兩量重疊問題 【難度】 2 星 【題型】解答解析】不妨用下圖來表示：DB 表示做完數(shù)學作業(yè)的人數(shù)，重線段 AB表示全班人數(shù)，線段 AC 表示做完語

22、文作業(yè)的人數(shù)，線段 疊部分 DC 則表示語文、數(shù)學都做完的人數(shù)根據(jù)題意，做完語文作業(yè)的有 37 人，即 AC 37 做完數(shù)學作業(yè)的有 42人，即 DB 42AC DB 37 42 79（人）AB 48（人）式減 式，就有 DC 79 48 31（人）,所以，數(shù)學、語文作業(yè)都做完的有31人答案】 31人鞏固】 四年級科技活動組共有 63 人在一次剪貼汽車模型和裝配飛機模型的定時科技活動比賽中，老師 到時清點發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車模型的同學有42人，裝配好一架飛機模型的同學有34人每個同學都至少完成了一項活動問：同時完成這兩項活動的同學有多少人？考點】兩量重疊問題 【難度】 2 星 【題型】解答解析

23、】 因 42 34 76，76 63 ，所以必有人同時完成了這兩項活動 由于每個同學都至少完成了一項活動， 根據(jù)包含排除法知， 42 34 （完成了兩項活動的人數(shù) ） 全組人數(shù)，即 76 （完成了兩項活動的人 數(shù)） 63由減法運算法則知，完成兩項活動的人數(shù)為76 63 13（人 ）也可畫圖分析最新資料推薦答案】 13人鞏固】 科技活動小組有 55人在一次制作飛機模型和制作艦艇模型的定時科技活動比賽中，老師到時清 點發(fā)現(xiàn)：制作好一架飛機模型的同學有 40 人，制作好一艘艦艇的同學有 32人每個同學都至少完 成了一項制作問兩項制作都完成的同學有多少人？考點】兩量重疊問題難度】 2 星解析】 因為 40 32 72， 72 55 ，所以必有人兩項制作都完成了由于每個同學都至少完成了一項制作，