容斥原理之重疊問題一教師版精編版

1、最新資料推薦7-7-1. 容斥原理之重疊問題教學(xué)目標(biāo)1. 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2. 掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用知識(shí)要點(diǎn)、兩量重疊問題在一些計(jì)數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡單地把 兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)， 用式子可表示成： A B A B A B （其中符號(hào) “ ”讀作“并”，相當(dāng)于中文 “和”或者 “或”的意思；符號(hào) “ 讀作 “交”，相當(dāng)于中文 “且”的意思 ）則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理圖示如下: A表示小圓部分， B表示大圓部分，

2、 C表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積圖示如下 : A表示小圓部分， B表示大圓部分， C表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積先包含 A B重疊部分 A B 計(jì)算了 2次，多加了 1次；2再排除 A B A B把多加了 1次的重疊部分 A B 減去包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合A、B的并集 A B 的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：第一步：分別計(jì)算集合 A、B的元素個(gè)數(shù)，然后加起來，即先求A B （意思是把 A、B 的一切元素都 “包含”進(jìn)來，加在一起 ）；第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去 C A B （意思是 “排除 ”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)

3、數(shù) ）二、三量重疊問題A類、 B 類與 C 類元素個(gè)數(shù)的總和A類元素的個(gè)數(shù) B類元素個(gè)數(shù) C 類元素個(gè)數(shù) 既是 A類又是 B類的元素個(gè)數(shù) 既是 B類又是 C類的元素個(gè)數(shù) 既是 A類又是 C類的元素個(gè)數(shù) 同時(shí)是 A類、 B類、 C類的元 素個(gè)數(shù)用符號(hào)表示為： A B C A B C A B B C A C A B C 圖示如下：圖中小圓表示 A 的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示 B 的元素的個(gè)數(shù)， 大圓表示 C 的元素的個(gè)數(shù)ABCA B、B C 、C A重疊了 2次，多加了 1次 ABCABBCACA B C 重疊了 3 次，但是在進(jìn)行 A B C A B B C A C計(jì)算時(shí)都被減掉了3再包含： A B

4、 C A B B C A C A B C 在解答有關(guān)包含排除問題時(shí)，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖 ）來幫助分析思考最新資料推薦例題精講兩量重疊問題例 1】 小明喜歡：踢足球、上網(wǎng)、游泳、音樂、語文、數(shù)學(xué)；小英喜歡：數(shù)學(xué)、英語、音樂、陶藝、跳繩。用圓 A、圓 B 分別表示小明、小英的愛好，如圖所示，則圖中陰影部分表示 考點(diǎn)】兩量重疊問題難度】 1 星關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第 3 題解析】 陰 影部分是兩人都愛好的：數(shù)學(xué)、音樂 答案】數(shù)學(xué)、音樂例 2】 四（ 1 ）班全體同學(xué)站成一排，當(dāng)從左向右報(bào)數(shù)時(shí)，小華報(bào)： 那么該班有學(xué)生 名。考點(diǎn)】兩量重疊問題 【難度】 1 星 【題型】填空 關(guān)鍵詞】

5、希望杯，四年級(jí)，二試，第 2 題 解析】 該班學(xué)生人數(shù)為： 18 13 1 30 （名）。答案】 30 名18；當(dāng)從右向左報(bào)數(shù)時(shí)，小華報(bào)：13.例 3】 實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級(jí)二班，參加語文興趣小組的有28人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有 29 人，有 12人兩個(gè)小組都參加這個(gè)班有多少人參加了語文或數(shù)學(xué)興趣小組？考點(diǎn)】兩量重疊問題難度】 1 星解析】如圖所示， A圓表示參加語文興趣小組的人， B圓表示參加數(shù)學(xué)興趣小組的人， A與 B重合的部分C （陰影部分 ）表示同時(shí)參加兩個(gè)小組的人圖中 A 圓不含陰影的部分表示只參加語文興趣小組未參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，有 28 12 16（人）；圖中 B 圓不含陰影的部分表

6、示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參加語文興趣小組的人，有 29 12 17 （人 ）方法一：由此得到參加語文或數(shù)學(xué)興趣小組的有： 16 12 17 45（人 ） 方法二：根據(jù)包含排除法，直接可得：參加語文或數(shù)學(xué)興趣小組的人 參加語文興趣小組的人 參加數(shù)學(xué)興趣小組的人 兩個(gè)小 組都參加的人，即： 28 29 12 45（人）答案】 45 人鞏固】 芳草地小學(xué)四年級(jí)有 58 人學(xué)鋼琴， 43人學(xué)畫畫， 37人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫，問只學(xué)鋼琴和只學(xué)畫畫 的分別有多少人？考點(diǎn)】兩量重疊問題 【難度】 1 星 【題型】解答解析】 解 包含與排除題，畫圖是一種很直觀、簡捷的方法，可以幫助解決問題，畫圖時(shí)注意把不同的對(duì)象

7、 與不同的區(qū)域?qū)?yīng)清楚建議教師幫助學(xué)生畫圖分析，清楚的分析每一部分的含義最新資料推薦如圖， A圓表示學(xué)畫畫的人， B 圓表示學(xué)鋼琴的人， C 表示既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫的人，圖中A圓不含陰影的部分表示只學(xué)畫畫的人，有： 43 37 6 （人），圖中 B 圓不含陰影的部分表示只學(xué)鋼琴的人， 有： 58 37 21（人 ）答案】 21人鞏固】 四 （二）班有 48名學(xué)生，在一節(jié)自習(xí)課上，寫完語文作業(yè)的有30人，寫完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 20人，語文數(shù)學(xué)都沒寫完的有 6 人 問語文數(shù)學(xué)都寫完的有多少人？ 只寫完語文作業(yè)的有多少人？ 考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】 1 星 【題型】解答解析】 由題意，有 48 6 42

8、（ 人 ）至少完成了一科作業(yè)，根據(jù)包含排除原理，兩科作業(yè)都完成的學(xué)生有：30 20 42 8（人） 只寫完語文作業(yè)的人數(shù) 寫完語文作業(yè)的人數(shù) -語文數(shù)學(xué)都寫完的人數(shù)，即 30 8 22（人 ） 答案】 22 人鞏固】 四（ 1）班有 46人，其中會(huì)彈鋼琴的有 30 人，會(huì)拉小提琴的有 28人，則這個(gè)班既會(huì)彈鋼琴又會(huì)拉 小提琴的至少有 人?？键c(diǎn)】兩量重疊問題【難度】 1 星 【題型】填空關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第 6 題 解析】 至 少一項(xiàng)不會(huì)的最多有 （46-30）+（46-28）=34, 那么兩項(xiàng)都會(huì)的至少有 46-34=12 人 答案】 12 人 例 4】 如圖，圓 A 表示 1 到

9、 50 這 50 個(gè)自然數(shù)中能被 3 整除的數(shù)， 圓 B 表示這 50 個(gè)數(shù)中能被 5 整除的數(shù)，則陰影部分表示的數(shù)是考點(diǎn)】兩量重疊問題難度】 1 星關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第 4 題解析】 陰影部分是 A和 B共有的，即 1到50這 50個(gè)自然數(shù)中能被 35 15整除的數(shù)，即 15， 30， 45 答案】 15，30， 45例 5】 學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活，組建了乒乓球俱樂部和籃球俱樂部，同學(xué)們踴躍報(bào)名參加，其中有 321 人報(bào)名參加乒乓球俱樂部， 429 人報(bào)名參加了籃球俱樂部，但學(xué)校最后發(fā)現(xiàn)有50 人既報(bào)名參加了乒乓球俱樂部，又報(bào)名參加了籃球俱樂部，還有 23 人什么俱樂部都沒

10、報(bào)名，問該學(xué)校共有 名學(xué)生考點(diǎn)】兩量重疊問題 【難度】 1 星 【題型】填空 關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯， 4 年級(jí)，第 5 題 解析】 321 429 50 23 723人 答案】 723人例 6】 某班共有 46人，參加美術(shù)小組的有 12人，參加音樂小組的有 23人，有 5 人兩個(gè)小組都參加了這 個(gè)班既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的有多少人？考點(diǎn)】兩量重疊問題 【難度】 1 星 【題型】解答 解析】已知全班總?cè)藬?shù)，從反面思考，找出參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)，只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個(gè)人數(shù)， 就得到既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的人數(shù)根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一個(gè)小組 的總?cè)藬?shù)為 12 23 5

11、 30 （人）所以，該班未參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)是46 30 16（人）答案】 16人鞏固】 四年級(jí)一班有 45人，其中 26 人參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽， 22人參加了作文比賽， 12人兩項(xiàng)比賽都參加了 班有多少人兩項(xiàng)比賽都沒有參加？最新資料推薦 考點(diǎn)】兩量重疊問題 【難度】 1 星 【題型】解答解析】 由包含排除法可知，至少參加一項(xiàng)比賽的人數(shù)是： 26 22 12 36（人 ），所以，兩項(xiàng)比賽都沒有參 加的人數(shù)為： 45 36 9 （人）答案】 9 人鞏固】 實(shí)驗(yàn)二校一個(gè)歌舞表演隊(duì)里，能表演獨(dú)唱的有 10 人，能表演跳舞的有 18 人，兩種都能表演的有 7 人這個(gè)表演隊(duì)共有多少人能登臺(tái)表演歌舞？考

12、點(diǎn)】兩量重疊問題 【難度】 1 星 【題型】解答 解析】 根 據(jù)包含排除法，這個(gè)表演隊(duì)能登臺(tái)表演歌舞的人數(shù)為：10 18 7 21（ 人）答案】 21人例 7】 全班 50 個(gè)學(xué)生，每人恰有三角板或直尺中的一種，28 人有直尺，有三角板的人中，男生是14 人，若已知全班共有女生 31 人，那么有直尺的女生有 人?？键c(diǎn)】兩量重疊問題 【難度】 1 星 【題型】填空 關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第 8 題12人得滿分，第一部分有25人做對(duì)，第二部分有 19 人有解析】 有 三角板的學(xué)生共 50-28=22（人），其中女生 22-14=8（人），那么有直尺的女生有 31-8=23（人）。 答案】 23 人

13、例 8】 某次英語考試由兩部分組成，結(jié)果全班有 錯(cuò)，問兩部分都有錯(cuò)的有多少人？只做對(duì)兩部只做對(duì)第一部分全第二部分的對(duì)的分的兩部分都有錯(cuò)的考點(diǎn)】兩量重疊問題 【難度】 2 星 【題型】解答解析】 如圖，用長方形表示參加考試的人數(shù)， A圓表示第一部分對(duì)的人數(shù) B 圓表示第二部分對(duì)的人數(shù)， 長方形中陰影部分表示兩部分都有錯(cuò)的人數(shù)已知第一部分對(duì)的有 25人，全對(duì)的有 12人，可知只對(duì)第一部分的有： 25 12 13（人 ）又因?yàn)榈诙?部分有 19人有錯(cuò)，其中第一部分對(duì)第二部分有錯(cuò)的有13人，那么余下的 19 13 6 （人）必是第一部分和第二部分均有錯(cuò)的，兩部分都有錯(cuò)的有6 人答案】 6 人20人，會(huì)

14、打籃球的有 25人兩項(xiàng)都會(huì)的有 10 人，兩項(xiàng)都不會(huì)的例 9】 對(duì)全班同學(xué)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，會(huì)游泳的有 有 9 人這個(gè)班一共有多少人？考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】 2 星【題型】解答解析】 如圖，用長方形表示全班人數(shù)， A 圓表示會(huì)游泳的人數(shù)， B 圓表示會(huì)打籃球的人數(shù)，長方形中陰影 部分表示兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù)由圖中可以看出，全班人數(shù) 至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù) 兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù)，至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)為：20 25 10 35（人），全班人數(shù)為：35 9 44 （人 ）答案】 44人鞏固】 某班組織象棋和軍棋比賽，參加象棋比賽的有32 人，參加軍棋比賽的有 28人，有 18 人兩項(xiàng)比賽都參加了，這個(gè)班參加棋類比賽的共有

15、多少人？最新資料推薦考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】 2 星 【題型】解答解析】 如圖， A圓表示參加象棋比賽的人， B圓表示參加軍棋比賽的人， A與B 重合的部分表示同時(shí)參加 兩項(xiàng)比賽的人圖中 A圓不含陰影的部分表示只參加象棋比賽不參加軍棋比賽的人，有 32 18 14（人）；圖中 B圓不含陰 影的 部分表 示只 參加軍 棋比 賽不參加象 棋比賽 的人，有 28 18 10（人 ）由此得到參加棋類比賽的人有 14 18 10 42（人） 或者根據(jù)包含排除法直接得： 32 28 18 42（ 人）答案】 42人例 10】在 46人參加的采摘活動(dòng)中，只采了櫻桃的有18人，既采了櫻桃又采了杏的有 7人，

16、既沒采櫻桃又沒采杏的有 6 人，問：只采了杏的有多少人？考點(diǎn)】兩量重疊問題 【難度】 2 星 【題型】解答解析】 如圖，用長方形表示全體采摘人員 46人， A圓表示采了櫻桃的人數(shù)， B 圓表示采了杏的人數(shù)長方 形中陰影部分表示既沒采櫻桃又沒采杏的人數(shù) 由圖中可以看出，全體人員是至少采了一種的人數(shù)與兩種都沒采的人數(shù)之和，則至少采了一種的人 數(shù)為： 46 6 40（ 人），而至少采了一種的人數(shù)只采了櫻桃的人數(shù) 兩種都采了的人數(shù) 只采了杏的人數(shù)，所以，只采了杏的人數(shù)為： 40 18 7 15（人 ）答案】 15人例 11】甲、乙、丙三個(gè)小組學(xué)雷鋒，為學(xué)校擦玻璃，其中68 塊玻璃不是甲組擦的， 52塊

17、玻璃不是乙組擦的，且甲組與乙組一共擦了 60 塊玻璃那么，甲、乙、丙三個(gè)小組各擦了多少塊玻璃？ 考點(diǎn)】兩量重疊問題 【難度】 2 星 【題型】解答解析】 68 塊玻璃不是甲組擦的，說明這 68 塊玻璃是乙、丙兩組擦的； 52塊玻璃不是乙組擦的，說明這 52 塊玻璃是甲、丙兩組擦的如圖，用圓 A 表示乙、丙兩組擦的 68塊玻璃， B 圓表示甲、丙兩組擦的 52塊玻璃因甲乙兩組共擦 了 60塊玻璃， 那么 68 52 60 60（塊），這是兩個(gè)丙組擦的玻璃數(shù) 60 2 30（塊）丙組擦了 30塊 玻璃乙組擦了： 68 30 38（ 塊）玻璃，甲組擦了： 52 30 22（塊）玻璃15 幅畫不是五年

18、級(jí)的，五、答案】甲組擦了： 52 30 22 （塊）玻璃，乙組擦了： 68 30 38 （塊）玻璃，丙組擦了 30 塊玻璃。例 12】 育 才小學(xué)畫展上展出了許多幅畫，其中有16 幅畫不是六年級(jí)的，有六年級(jí)共展出 25 幅畫，其他年級(jí)的畫共有多少幅？考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】 2 星 【題型】解答解析】 通過 16 幅畫不是六年級(jí)的可以知道，五年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量之和是16，通過 15 幅畫不是五年級(jí)的可以知道六年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量之和是15，那也就是說五年級(jí)的畫比六年級(jí)多1 幅，我們還知道五、六年級(jí)共展出 25 幅畫，進(jìn)而可以求出五年級(jí)畫作有 13 幅，六年級(jí)畫作有 12 幅，那 么

19、久可以求出其他年級(jí)的畫作共有 3 幅答案】 3 幅最新資料推薦例 13】 47名學(xué)生參加數(shù)學(xué)和語文考試，其中語文得分95 分以上的 14 人，數(shù)學(xué)得分 95分以上的 21人，兩門都不在 95 分以上的有 22人問：兩門都在 95分以上的有多少人？語文兩門數(shù)學(xué)95分95分95分以上以上以上的A的的兩門都不在95分以上的考點(diǎn)】兩量重疊問題 【難度】 2 星 【題型】解答解析】如圖，用長方形表示這 47名學(xué)生， A 圓表示語文得分 95分以上的人數(shù)， B 圓表示數(shù)學(xué)得 95分以上 的人數(shù)， A與 B 重合的部分表示兩門都在 95分以上的人數(shù)，長方形內(nèi)兩圓外的部分表示兩門都不在 95分以上的人數(shù)由圖中

20、可以看出， 全體人數(shù)是至少一門在 95分以上的人數(shù)與兩門都不在 95 分以上的人數(shù)之和， 則至 少一門在 95分以上的人數(shù)為： 47 22 25（人）根據(jù)包含排除法，兩門都在 95 分以上的人數(shù)為： 14 21 25 10（人 ）答案】 10人鞏固】 有 100位旅客，其中有 10人既不懂英語又不懂俄語，有 75人懂英語， 83人懂俄語問既懂英語又 懂俄語的有多少人？考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】 2 星 【題型】解答關(guān)鍵詞】迎春杯解析】 方法一：在 100人中懂英語或俄語的有： 100 10 90（人 ） 又因?yàn)橛?75人懂英語，所以只懂俄語的 有： 90 75 15（ 人 ）從 83位懂俄語的

21、旅客中除去只懂俄語的人，剩下的83 15 68（ 人 ）就是既懂英語又懂俄語的旅客方法二：學(xué)會(huì)把公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，由包含與排除原理，得：A B A B A B 75 83 90 68（人）答案】 68 人例 14】 一個(gè)班 48人，完成作業(yè)的情況有三種：一種是完成語文作業(yè)沒完成數(shù)學(xué)作業(yè)；一種是完成數(shù)學(xué)作 業(yè)沒完成語文作業(yè)；一種是語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成了已知做完語文作業(yè)的有37 人；做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 42人這些人中語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的有多少人？考點(diǎn)】兩量重疊問題 【難度】 2 星 【題型】解答解析】不妨用下圖來表示：DB 表示做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)，重線段 AB表示全班人數(shù)，線段 AC 表示做完語

22、文作業(yè)的人數(shù)，線段 疊部分 DC 則表示語文、數(shù)學(xué)都做完的人數(shù)根據(jù)題意，做完語文作業(yè)的有 37 人，即 AC 37 做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 42人，即 DB 42AC DB 37 42 79（人）AB 48（人）式減 式，就有 DC 79 48 31（人）,所以，數(shù)學(xué)、語文作業(yè)都做完的有31人答案】 31人鞏固】 四年級(jí)科技活動(dòng)組共有 63 人在一次剪貼汽車模型和裝配飛機(jī)模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師 到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車模型的同學(xué)有42人，裝配好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有34人每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)問：同時(shí)完成這兩項(xiàng)活動(dòng)的同學(xué)有多少人？考點(diǎn)】兩量重疊問題 【難度】 2 星 【題型】解答解析

23、】 因 42 34 76，76 63 ，所以必有人同時(shí)完成了這兩項(xiàng)活動(dòng) 由于每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)， 根據(jù)包含排除法知， 42 34 （完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù) ） 全組人數(shù)，即 76 （完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人 數(shù)） 63由減法運(yùn)算法則知，完成兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)為76 63 13（人 ）也可畫圖分析最新資料推薦答案】 13人鞏固】 科技活動(dòng)小組有 55人在一次制作飛機(jī)模型和制作艦艇模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師到時(shí)清 點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：制作好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有 40 人，制作好一艘艦艇的同學(xué)有 32人每個(gè)同學(xué)都至少完 成了一項(xiàng)制作問兩項(xiàng)制作都完成的同學(xué)有多少人？考點(diǎn)】兩量重疊問題難度】 2 星解析】 因?yàn)?40 32 72， 72 55 ，所以必有人兩項(xiàng)制作都完成了由于每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)制作，