點集拓?fù)湔n堂教學(xué)的幾點體會

1、點集拓?fù)湔n堂教學(xué)的幾點體會點集拓?fù)涫谴髮W(xué)數(shù)學(xué)的一門重要的基礎(chǔ)課程，其顯著特點為高度的抽象性與概括性，這使得它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多分支如泛函 分析、微分幾何、微分方程等以及理論物理、計算機(jī)、電子通訊 以至原子核的構(gòu)造理論等自然科學(xué)及工程技術(shù)領(lǐng)域的諸多學(xué)科 都有廣泛的應(yīng)用。但也正因為此，學(xué)生在初次接觸時常感到非常 抽象，不易于接受。因此，如何使這門課讓學(xué)生易于接受，樂于 接受是學(xué)生能否講好這門課程的關(guān)鍵。在此，筆者從以下幾方面進(jìn)行了探討。一、增強(qiáng)趣味性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣興趣是學(xué)習(xí)的動力。對于本科階段的學(xué)生來說， 興趣仍然是 很重要的。在這幾年的教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生們普遍存在的一個 疑問就是為什么要學(xué)數(shù)

2、學(xué)， 學(xué)數(shù)學(xué)到底有什么用。在很多學(xué)生看 來，數(shù)學(xué)不但枯燥乏味，而且不像物理、化學(xué)、計算機(jī)等專業(yè)有 用。因此在學(xué)習(xí)的時候往往感到很茫然，勁頭不足，只是為了學(xué) 習(xí)而學(xué)習(xí)。有的學(xué)生甚至認(rèn)為平時聽不聽課也無所謂，只要考試前突擊一下，考試及格就可以了。時間一長，不但影響學(xué)生的成 績，而且使得教學(xué)只流于形式，學(xué)生的綜合素質(zhì)也不斷下降。因 此，有必要為學(xué)生解答好這些問題，激發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)的興趣，使 學(xué)生能夠以飽滿的熱情投入到學(xué)習(xí)中去。數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，已經(jīng)成為自然科學(xué)中一門重要的基礎(chǔ)性學(xué) 科，對自然科學(xué)諸領(lǐng)域有著深刻而廣泛的影響， 在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng) 新精神和思維能力等方面也起到重要作用 1-3 。然而，由于課 程

3、本身的特點以及一些客觀原因， 使得我們在教學(xué)中對理論知識 的講解相當(dāng)重視， 但對這些知識在實踐中的應(yīng)用或與實際問題的 聯(lián)系則講解得偏少。 時間一長， 使得學(xué)生感到所學(xué)的東西不但枯 燥，而且不知有何作用，似乎只是在為學(xué)習(xí)而學(xué)習(xí)。這就要求教 師在課堂上或課下有意識地與學(xué)生多進(jìn)行交流活動， 同時結(jié)合課 程本身， 向?qū)W生講解數(shù)學(xué)各分支的背景知識、 在實踐中的應(yīng)用及 一些趣味性話題等。下面我們結(jié)合點集拓?fù)涞慕虒W(xué)談兩點體會。第一，要重視緒論部分的講解。 緒論是對課程的整體性概括。 一般來說，緒論中包括了本課程的起源、發(fā)展歷程、在本課程發(fā) 展中起到重要作用的典型問題等內(nèi)容。 講好緒論對于學(xué)生明確學(xué) 什么，為

4、什么學(xué)和怎么學(xué)很有幫助。因此，在課程開始的時候， 我們都要對緒論作一個較為詳細(xì)的介紹。 一方面， 讓學(xué)生對本課 程有一個較為全面的了解與認(rèn)識， 另一方面， 通過對本課程中一 些典型問題和趣味問題的講解， 激發(fā)學(xué)生對本課程的興趣。 如在 點集拓?fù)渲?，我們從一筆畫問題、哥尼斯堡七橋問題、地圖著色 問題等入手，通過分析，逐步引出點集拓?fù)涞难芯績?nèi)容，及其與 微分幾何的區(qū)別與聯(lián)系等。 這些都是很典型的實際問題， 也很有 趣，容易引起學(xué)生的興趣。在此基礎(chǔ)上，我們再對這門課程的起 源、發(fā)展史等作一個全面的介紹，學(xué)生就很樂意接受。這樣既讓 學(xué)生學(xué)到了知識，又達(dá)到了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的。第二，在課程中間穿插一

5、些趣味性話題， 有利于活躍課堂氣 氛，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。但這樣的話題不能隨意選取，要與 課程本身有一定關(guān)聯(lián)， 以實現(xiàn)與課堂的自然銜接。 如在集合論中， 會講到羅素悖論。 羅素悖論本身比較抽象， 但它有一個通俗的版 本，就是理發(fā)師問題 4 。這樣的問題學(xué)生聽得懂，也樂意聽， 感覺有意思。先從這樣的問題入手，在此基礎(chǔ)之上，再講羅素悖 論的起因， 以及由此引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)等。 這樣不但激發(fā)了學(xué)生學(xué) 習(xí)的興趣，同時也讓學(xué)生對集合論有了更深層次的理解與認(rèn)識。實際上，數(shù)學(xué)兼具美與實用的性質(zhì)。數(shù)學(xué)本身具有美感，但 數(shù)學(xué)這門學(xué)科能夠屹立數(shù)千年不倒， 并得到蓬勃發(fā)展， 除自身美 感之外， 更重要的還在于它的實

6、用性， 在于其對社會發(fā)展的不可 替代的推動作用。 數(shù)學(xué)家 L.Bers 的一句話 5 很好地闡釋了數(shù)學(xué) 之于社會的作用： “社會十分尊重數(shù)學(xué)， 這可能不是因為這個學(xué) 科的內(nèi)在美， 而是因為數(shù)學(xué)是社會極其需要的一種藝術(shù)。 ”很平 常的一句話，道出了數(shù)學(xué)在人類社會中所占的地位及其重要性。 因此，我們在講課時要多注意將理論知識與實際問題相結(jié)合， 讓 學(xué)生體會所學(xué)課程的應(yīng)用， 這樣將有利于學(xué)生以積極的心態(tài)去學(xué) 習(xí)。二、恰當(dāng)?shù)呐e例可以使抽象的內(nèi)容形象化， 起到事半功倍的 效果相對于大一大二所學(xué)過的數(shù)學(xué)分析、 線性代數(shù)而言， 拓?fù)鋵W(xué) 是一門相當(dāng)抽象的數(shù)學(xué)分支， 理論性很強(qiáng)。 因此學(xué)生在初次接觸 到這門課時

7、一方面感覺比較抽象，另一方面感到比較枯燥乏味， 興趣不大。在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，某些課堂上定理講得比較多，學(xué) 生在一開始聽得還比較認(rèn)真， 但到后面發(fā)現(xiàn)定理一個接一個， 注 意力就會下降。根據(jù)學(xué)生的反映，結(jié)合課程本身，我們在課堂上 要盡可能地引入一些直觀、 具體的實例， 結(jié)合實例解釋抽象的問 題。這在很多時候都收到了很好的效果。如在講度量子空間時， 用到如下結(jié)論 ：設(shè)X=X1X X2為度量空間X1與X2的度量積空 間，x= (x1, x2) X。則對任意的 e 0有B1 (x1,)X B2 ( x2 ,)?奐 B (x, e)?奐 B1 (x1 , e )X B2 (x2, e ),( * ) 其中

8、，B (x, e )表示積空間X中 以點為中心，以 e 為半徑的球形鄰域； Bi(xi，e)(i=1， 2) 表示X的坐標(biāo)空間Xi中以xi為中心，以e為半徑的球形鄰域。這個公式看起來很抽象。 當(dāng)把這一公式寫在黑板上時， 學(xué)生 的第一反應(yīng)是： “為什么?怎么得來的?”我對學(xué)生說： 對于這 個公式， 我們可以直接證明， 即證明一個集合中的點都包含在另 一個集合之中。當(dāng)然這是理論上的，學(xué)生仍然有疑問：到底這個 公式有著什么樣的含義呢?于是，我們給出了下面一個例子?？紤]歐氏平面R2。設(shè)x= (x1 , x2)為R2中任一點，e 0 為一正的實數(shù)。貝U B (x, e )為R2中以為中心，以e為半徑 的

9、開圓盤K,而Bi (xi , e )(i=1 , 2)則為坐標(biāo)直線上以xi 為中心，長度為2e的開區(qū)間。于是，B1 (xi , e )X B2 ( x2, e )與Bi (xi ,)X B2 x2 ,)分別為中心在點 x，邊長為2與的正方形，它們實際上是開圓盤的外切正四邊形與內(nèi)接正四邊形。如下圖所示。由圖可以看出，公式（ * ）所表示的含義實際上就是：以 X為中心，以為半徑的開圓盤一 定包含它的內(nèi)接正四邊形，同時還包含于它的外切正四邊形之 中。這在幾何上很顯然是成立的。從這個示例我們可以看出，在 形式上看起來很抽象復(fù)雜的問題， 換個角度來看或許就很容易理 解了。三、注意與數(shù)學(xué)分析中對應(yīng)概念及其

10、性質(zhì)的區(qū)別與聯(lián)系數(shù)學(xué)分析中所討論的空間是 n維歐氏空間Rnn=2時為歐氏 平面， n=3 時即為我們所熟知的 3 維空間。歐氏空間實際上是度 量空間的一個特例。將歐氏空間再推廣即得到拓?fù)淇臻g。因此， 拓?fù)鋵W(xué)中所討論的問題有許多都與數(shù)學(xué)分析中的相關(guān)問題是平 行的。對這些問題，它們有相同之處，也有區(qū)別。如在數(shù)學(xué)分析 中和拓?fù)鋵W(xué)中，我們都討論序列。但對于序列的性質(zhì)，它在不同 空間中其實是有很大差別的。 如在歐氏空間中， 序列如果收斂則 它的極限必定是唯一的， 但在一般的拓?fù)淇臻g中， 收斂序列的極 限則不一定是唯一的， 也就是說， 如果一個序列收斂它的極限可 能不止一個。 這是一個很有趣的現(xiàn)象， 出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因則是 由于所處空間的拓?fù)洳煌?另一方面， 由于度量空間也可以看作 拓?fù)淇臻g，因此也自然有許多共同之處。 如“常值序列均收斂”、 “一個序列如果收斂， 則它的任一子序列也必然收斂”等， 這些 性質(zhì)不管是在歐氏空間還是在一般的拓?fù)淇臻g中都是成立的。 在平時的教學(xué)中，多鼓勵學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這些共