專(zhuān)題5第2講橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的基本問(wèn)題

1、第2講 桶圓、玖曲線(xiàn)、拋揚(yáng)線(xiàn)的基本問(wèn)題 提升解題技能對(duì)接高考 04 強(qiáng)化訓(xùn)練 (建議用時(shí)：60分鐘) 一、選擇題 1. 拋物線(xiàn)r=4x的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)疋一牙=1的漸近線(xiàn)的距離是(). 1芒 A-2B* 2 C. 1D. V5 解析 拋物線(xiàn)/ = 4.v的焦點(diǎn)F( 1,0),雙曲線(xiàn)X2 導(dǎo)1的漸近線(xiàn)是廠(chǎng)x , 即V3av = 0 ,故所求距離為/ 辰=車(chē)選B. 丸(書(shū)尸+ (1)2 2 答案B 2. (2013-新課標(biāo)全國(guó)I卷)已知橢圓E：務(wù)+石=1(小0)的右焦點(diǎn)為F(3,O),過(guò) 點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng), B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1, -1),則E的方程 () A-45 + 36 B, 36

2、+27=1 D 二+J 5 18 十 91 0+ 1 i 解析直線(xiàn)AB的斜率 =, 3 - 1 2 設(shè) A(x , y) , B(X2 , T2),所以 y y yib2 m +小 -得一2又Xi + X2 - 2 ,yi-2，所以k = xi xia y + yi b2 2 1 - ?X, ” -2 所以沁 又= c2 = 9 , 2 2 由得= 18 ,滬=9.故橢圓E的方程為y + -= 1. 答案D ? .2 3. 已知雙曲線(xiàn)令一缶=1(0, b0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)護(hù)=4x的焦點(diǎn)重合，且 雙曲線(xiàn)的離心率等于審，則該雙曲線(xiàn)的方程為(). 4Y- V- A. 5“一尹2=1b. y-=l

3、 V2 r2S c.寸一才=1D. 5”_孝=1 解析 由于拋物線(xiàn)/ = 4a-的焦點(diǎn)為F(1,O),即1，又e吒訐,可得“ 二誓，結(jié)合條件有a2 + b2 = c2= ,可得b2 = |,又焦點(diǎn)在;r軸上，則所求的 雙曲線(xiàn)的方程為5/齊2= 答案D F v2 4. (2014-湖州一模)已知拋物線(xiàn)y2=4px(p0)與雙曲線(xiàn)京一左=10, b0)有 相同的焦點(diǎn)廠(chǎng)，點(diǎn)q是兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)，且af丄兀軸，則雙曲線(xiàn)的離心率為 () A.WjIB. a/2+ 1 廠(chǎng)，2邁+1 C.筋+1D. 解析 依題意，得F(”,0),因?yàn)锳F_v軸，設(shè)A(p , ) ,)0 , y2 = 4/?2 ,所以y = 2

4、.所以A(j2p).又點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)上，所以$1.又因?yàn)? /70), 則有土 = |=1 , = - = 22 - 12 = 3，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2 +二1.因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上，則由雙曲線(xiàn)的定義，可得IPFilPFi = 2a = 2 ,又PF2 = 4 ,所以IPFil = 6.因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)O為F02的中點(diǎn)，M為 PF2的中點(diǎn). 所以 MO = PFi = 3. 答案A 92 6. (2014-重慶卷)設(shè)尺，鬥分別為雙曲線(xiàn)手一石=1(0, b0)的左、右焦點(diǎn)，雙 9 曲線(xiàn)上存在一點(diǎn)P,使得PFi + PF2 = 3b9 PFi-PF2=ah,則該雙曲線(xiàn)的 離心率為(). A.

5、扌B. | C. ID. 3 解析 不妨設(shè)P為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn),IPFil = n , PF2 = r2 ,根據(jù)雙曲線(xiàn)的 3b + 2a 3b 2a93b + 2a 3b - 2a 又 門(mén) + 門(mén)=3b ,故門(mén)二 ,n = 又 rvn = ah ,所以 答案B 7. （2013-山東卷）拋物線(xiàn)C1：=寺0）的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)C2： f-r = 1的右焦 點(diǎn)的連線(xiàn)交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線(xiàn)平行于C2的一條漸 () 近線(xiàn)，則= A普B.羋 C普D普 解析 拋物線(xiàn)C1 : y二扌尹2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 = 2py ,其焦點(diǎn)為4 2）；雙曲 線(xiàn)Ci :y - y2 = 1的右焦點(diǎn)F為（2,0）

6、,其漸近線(xiàn)方程為y = 由）J =x , 所以*斗，得辱，所以點(diǎn)“的坐標(biāo)為|當(dāng)，件由點(diǎn)F ,F , M三 點(diǎn)共線(xiàn)可求廠(chǎng)羋 答案D 二、填空題 8. （2013-陜西卷）雙曲線(xiàn)召一=1伽0）的離心率為占 則也等于 解析由題意得e = 6 + m，所以 答案9 %- y- 9. (2014-遼寧卷)已知橢圓C： +才=1,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合，若M關(guān) 于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為A, B,線(xiàn)段MN的中點(diǎn)在C上，則L4M + IBNI 解析橢圓f+ =1中，3. 如圖，設(shè)MN的中點(diǎn)為D ,則IDFil + DF2 = 2a = 6. D , Fi , F2分別為MN , AM , BM的中點(diǎn)， :.BN

7、 = 2DF2 , 1AM = 2IDF1I , .L4M + IBM = 2(IDFil + IDF)=12. 答案12 10. (2014合肥二模)設(shè)拋物線(xiàn)尸=張的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為/, P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)， 必丄2, A為垂足，如果AF的斜率為一羽，那么IPFI=. 解析 拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F(2,0)，準(zhǔn)線(xiàn)為兀=2 ,因?yàn)閬A準(zhǔn)線(xiàn)/，設(shè)P(加,n), 則A(2 , n),因?yàn)锳F的斜率為3 ,所以 一=羽，得n = 43，點(diǎn) -2-2 P 在拋物線(xiàn)上，所以 8m = (4/3)2 = 48 , m = 6.因此 P(6,4萌),PF = PA = 16 ( 2)1 = 8. 答案8 y2 v2

8、11. (2013-福建卷)橢圓T：卩+恭=1”0)的左、右焦點(diǎn)分別為尺，F(xiàn)2,焦距 為2u若直線(xiàn)y=V3(x+c)與橢圓T的一個(gè)交點(diǎn)M滿(mǎn)足ZMFlF2=2ZMF2Fl, 則該橢圓的離心率等于 解析 直線(xiàn)y = V3(x + c)過(guò)點(diǎn)Fi ,且傾斜角為60 ,所以aMFFi = 60 ,從而 zMFiFi = 30 ,所以 MFi丄ME ,在 R2MF1F2 中,IMFil = c , IMF2I =,所 以該橢圓的離心率 1. 答案羽T 12. (2013-浙江卷)設(shè)F為拋物線(xiàn)C： y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P(-l,0)的直線(xiàn)/交拋 物線(xiàn)C于A(yíng), 3兩點(diǎn)，點(diǎn)。為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，若FQ = 2,

9、則直線(xiàn)/的斜率 等于. 解析設(shè)直線(xiàn) I 的方程為 y = k(x + 1) , A(xi , yi) , B(x2 , yi) , 0)的焦點(diǎn)，斜率為2邁的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng)(xi,yi), 3(X2, y2)(Ai，2=4返， 即 A(l, -2問(wèn)，5(4,42)； 設(shè) C(X3,比)，則OC=(x3f 旳)=(1，一2返)+久(4,4血)=(飆+14少/1一2邁), 乂$ = 8%3， 即2 邁(22 1) 2 = 8(42 +1), 即(22 1)2=42+1,解得久=0 或 2=2. 14. 設(shè)拋物線(xiàn)C： r=4x, F為C的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)/與C相交于A(yíng), B兩點(diǎn). (1) 15/的斜

10、率為1,求L4BI的大小； (2) 求證：示囲是一個(gè)定值. 解山題意可知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F為(1,0), 準(zhǔn)線(xiàn)方程為/=一1, 直線(xiàn)/的方程為y=xl, 設(shè) A(xi, !) B(X2, 2) y=x1, 由 lr4x 得 x26x+1 = 0, /XI +兀2 = 6, 山直線(xiàn) / 過(guò)焦點(diǎn)，則L4BI = L4Fl + IBfl=xi+x2+2 = 8 證明 設(shè)直線(xiàn)/的方程為x=ky+, Illi 人=幼+1, .v2=4x 得 y24 炒一4=0. yi+，2=4匕)】)壯=_4, OA = (xi9 yi), OB=(x29 J2). T OAOB=xxi+yyi =(幼i +1)(幼2 +

11、1 )+yiy2 =lcyy2+k(y +)壯)+1 +yyi =一4疋+4疋+14=一3 ：.OAOB是一個(gè)定值. ? 2 15. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：卡+石=lb0)的左焦點(diǎn)為尺(一 1,0),且點(diǎn) P(0, 1)在 Ci 上. (1) 求橢圓Ci的方程； (2) 設(shè)直線(xiàn)/同時(shí)與橢圓G和拋物線(xiàn)C2： /=4x相切，求直線(xiàn)/的方程. 解 因?yàn)闄E圓Ci的左焦點(diǎn)為Fi(-l,0), 所以c=l. 將點(diǎn)p(o,i)代入橢圓方程召+$=1， 得卜1， 即 b=l. 所以 a2=b2+c2=2. 所以橢圓G的方程為號(hào)+尸=1. (2)111題意可知，直線(xiàn)/的斜率顯然存在且不等于0,設(shè)直線(xiàn)/的方程為y=lcx | 叫2 消去y并整理得(1+2疋)疋+4皿卄2,_2=0 因?yàn)?/p>