數學與應用數學畢業(yè)論文關于一類矩陣秩的恒等式猜想的注記

1、 編號 莆田學院畢 業(yè) 論 文課題名稱：關于一類矩陣秩的恒等式猜想的注記系 別 數學系 學生姓名 學 號 專 業(yè) 數學與應用數學 年 級 03級 指導教師 2007 年 6 月目 錄摘 要iiabstractiii原創(chuàng)性聲明（學生）iv原創(chuàng)性聲明（指導老師）v0引言10.1 記號說明10.2 研究現狀11 預備知識22 主要定理及證明23 猜想1與猜想2的解決84 猜想的應用9參考文獻12致 謝13關于一類矩陣秩的恒等式猜想的注記摘 要采用分塊矩陣，初等變換以及數學歸納法，證明了文獻1中提出的猜想并對這個猜想進行推廣。探討sylvester不等式的等號成立問題，從而得到矩陣秩的和與矩陣乘積的秩

2、兩者之間的關系。【關鍵詞】分塊矩陣 初等變換 矩陣秩the remark to the speculation of a class of matrix rank identitiesabstractby using the block matrix, the elementary transformation as well as the mathematical induction, we had proven the speculation in the literature 1 and generalized the it .we discussed the question that

3、 made the sylvester inequality be equal, thus obtained the rela- tionship between the sum of the rank of matrix and the rank of the product of matrix.【key words】 block matrix; elementary transformation; matrix rank莆田學院學士學位畢業(yè)論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學位論文，是本人在導師的指導下，獨立進行研究工作所取得的成果。除文中已經注明引用的內容外，本論文不含任何其他個人或集

4、體已經發(fā)表或撰寫過的作品成果。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明。本人完全意識到本聲明的法律結果由本人承擔。學位畢業(yè)設計（論文）作者簽名：日期： 年 月 日 莆田學院學士學位畢業(yè)論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學位論文，是在本人的指導下，獨立進行研究工作所取得的成果。除文中已經注明引用的內容外，本論文不含任何其他個人或集體已經發(fā)表或撰寫過的作品成果。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明。指導教師簽名：日期： 年 月 日0 引言0.1 記號說明本文使用以下記號：表示矩陣的秩；表示矩陣是數域上的階矩陣；表示矩陣是復數域上的階矩陣；表示數域上

5、多項式環(huán)；表示相應階數的單位矩陣.0.2 研究現狀本文所研究是矩陣秩的恒等式問題。眾所周知，sylvester不等式是矩陣秩的一個著名的結果，在求矩陣秩的相關問題中處于重要的地位，我們感興趣的是其不等式何時取等號。如果sylvester不等式能取等號，這將是一個很好的公式。文獻1將sylvester不等式中的矩陣限定為的形式，給出矩陣秩的一些恒等式結果并提出下列猜想：猜想1 設，當滿足適當條件時，則猜想2 設且，當滿足適當條件時，則其中是關于的多項式。2007年文獻2將討論的數域限制在復數域上，然后利用矩陣的jordan標準形的性質證明了猜想1是正確的。jordan標準形是個很好的研究工具，但

6、是它也存在局限性即jordan標準形僅在復數域中有效。本文討論的數域將不作限制，采用分塊矩陣的性質及初等變換證明猜想1成立，進而證明猜想2亦成立，并對相關的矩陣的恒等式作進一步推廣。1 預備知識引理13（著名的sylvester不等式） 設則引理23 初等方陣從左邊乘以矩陣a相當于對a作初等行變換. 初等方陣從右邊乘以矩陣a相當于對a作初等列變換. 初等變換不改變矩陣的秩.引理34 設則 則引理42 設 兩兩可交換,那么當可逆時,引理55 設 ，若且矩陣的特征值全不為，則。2 主要定理及證明定理1 設，,當兩兩互異時,那么等價于證明 （采用數學歸納法） 當t=2時所以等價于故當t=2時結論成立

7、. 當t=3時， 所以等價于故當t=3結論成立. 假設對所有結論成立，則有等價于于是存在可逆矩陣使得=那么當 時， 由于互不相同，那么多頂式為兩兩互素。根據帶余除法定理6知其中且.（若，則，這與兩兩互素矛盾）因此，矩陣多項式,. 等價于故所以當 時結論成立。即定理1得證。定理2 設 兩兩可交換。那么當可逆時, 等價于。其中 證明 證明過程同定理1。3 猜想1與猜想2的解決猜想1 設，,當兩兩不相同時,則有證明 由定理1可知 由引理3可得，即猜想1得證。注 由此可知猜想1正確性。對猜想1文獻2也給出的證明，但文獻2討論的數域僅僅限制在復數域內，而本文對猜想1的討論可以不受數域限制。猜想2 設且

8、且為兩兩, 則有，其中是關于的多項式。證明 由猜想1可知，當為兩兩互異時，不妨設其中因為,所以故其中都是關于的多項式。 所以，猜想2是正確的。4 猜想的應用命題1設， ，若時，必滿足的特征值全不為，那么證明不妨設兩兩互異,而且的特征值全不為。于是矩陣多項式皆為可逆矩陣。由猜想1及引理5可知 由 兩式相加得則故有即命題1得證。命題2 設,兩兩可交換且當可逆時, 證明 由引理3可知由定理2及引理2可知故結論得證。注明 猜想1將不等式中的矩陣限定為的形式, 命題2把不等式中的矩陣推廣為的形式。命題3 設,，且互不相同，則證明 令，則由于且互不相同，所以，是兩兩互素，根據猜想1可知故命題成立。參考文獻

9、1 李書超等.一類矩陣秩的恒等式及其推廣j.武漢科技大學學報(自然科學版), 2004.3,27(1):9698 2 王廷明等.一類矩陣秩恒等式的證明j.山東大學學報(理工版)j. 2007.2，42（3）:43453 張賢科等.高等代數學m.北京：清華大學出版社,19974 樊惲,錢吉林等.代數學辭典m.武漢：華中師范大學出版社，1994.12 5 姚慕生.高等代數m.上海：復旦大學出版社，2002.86 北京大學數學系幾何與代數教研室數學組編.高等代數(第二版)(m).北京:高等教育出版社,1988.37 李師正.高等代數解題方法與技巧m.北京：高等教育出版社，2004.28 方煒.關于矩陣秩的一個不等式的注記j.黃山學院學報，2005.7 ,7（3）：789 蔣永泉.互素多項式在矩陣秩中的應用j.徐州師范大學學報(自然科學版),2004.9,22(3):7173致 謝本文是在楊忠鵬教授悉心指導下完成的。楊教授以其嚴謹求實的教學態(tài)度、高度的敬業(yè)精神和孜孜以求的工作作風