整數(shù)參數(shù)的最值

1、整數(shù)參數(shù)的最值設函數(shù)f( )exx2 ，若 kZ ，當 x0 時， (xk) f (x)x10 ，求 k 的最大值x【簡析】： f(x)ex1，由任意 x0， ( xk )(ex1)x10 恒成立，則令 x1(1k )(e1) 20k12，又 121(2,3) ，猜測 k 的最大整數(shù)為 2，e 1e下面證明 k2 適合題意，即證x0(x2)(ex1)x 10等價于當 x 0時， ( x2)ex3 0( )(2)x3()(1)x01 ，則設xeg xxexg xx(0,1)g (x) 0g( x) 在 (0,1)上為減； x(1,)g ( x)0g(x) 在 (1,) 上為增；x1g (x) 有

2、最小值g ( x) ming(1)3e 0，故有g ( x)( x2)ex3 0 ，故 k 的最大整數(shù)為 2【點評】不等式恒成立，由特殊值縮小參數(shù)范圍，先猜測后證明，從而轉化為證明不等式，故可以待證不等式進行等價變形！（山東師范大學附屬中學2016 屆高三上第二次模擬考試20）已知函數(shù)fxln xx2x（ 1）求函數(shù)fx 的單調遞減區(qū)間；（ 2）若對于任意的x0 ，不等式 fxa1 x2ax1 的恒成立，求整數(shù)a的最小值 .2【答案】（ 1） (1,) ；（ 2）2.試題解析：（）解：（） f ( x)12x12 x2xx1 (x0)，由 f ( x)0 ，得2x2x1 0 ，x又 x0 ，所

3、以 x1 所以 f ( x) 的 f(x) 的單調減區(qū)間為(1,) .-4分（）令 g( x )f ( x)( a1) x2ax1ln x1 ax2(1a) x1，所以22g ( x)1ax(1a)ax 2(1 a) x1xx當 a0時，因為 x0 ，所以 g (x)0所以 g( x) 在 (0,) 上是遞增函數(shù)，又因為g (1)ln11a12(1 a)13a20 ，所以 f ( x) ( a1)x 2ax1不能恒成立 6 分22211) ，令 g (x)1當 a0 時，ax2(1a)x1a( xa )( x0，得 xg ( x)xxa所以當 x(0, 1 ) 時， g (x)0；當 x( 1

4、 ,) 時， g (x)0，因此函數(shù) g(x) 在 x(0, 1 ) 是增函數(shù)，在aaax (1,) 是減函數(shù)故g(x) 的最大值為 g(1)ln11a(1)2(1a)111ln a 8 分aaa2aa2a令 h( a)1ln a ，因為 h(1)10 ， h(2)1ln 20，又因為 h(a) 在 a (0,)是減函數(shù)2a24所以當 a 2 時， h(a)0所以整數(shù) a 的最小值為2 12 分解法二 . x0, fxa1x2ax1恒成立 ，2所以 f 13a2a4Z ,a2 ( 必要性 ), -4分2又 a3下面證明充分性 ,當 a2 時 , 設 gxln xx2x 1g x12x112xx1xxx0, 1, g x0, gx遞增 ; x1 ,