數(shù)列通項(xiàng)公式與求和的常見解法

1、、公式法數(shù)列通項(xiàng)公式的十種求法例1已知數(shù)列an滿足am2an3 2n,a2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：an 12an3 2n兩邊除以2甘，得開即 3 am an2a 2,人2門1歹2,以豈21為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，21 2 231所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(n-)2no得魚2n故數(shù)列得丐,評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式am 2an是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求岀2轉(zhuǎn)化為開Qn-，說明數(shù)列21)3,進(jìn)而求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。二、累加法例2已知數(shù)列an滿足aman2n 1,3求數(shù)列(an)的通項(xiàng)公式。解：由 am an2n 1 得 aman 2n 1

2、 則(an1 an 2)2(n1)2(n1)2a 1)n21 2(n 2) (n2)(n1)3 a2) (a2ai)41L(2 21) (2 1 1)12 1 (n 1) 1(n1)(n2n1)1所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式an為評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 1 an 2n1轉(zhuǎn)化為an 1 an 2n 1,進(jìn)而求出(anam) (am an2) L (a3a2)(a?印) ai,即得數(shù)列an的通項(xiàng)公式。1 / 18例3已知數(shù)列an 滿足aman2 3n1,a 3,求數(shù)列 為 的通項(xiàng)公式。解由3n 1an 2 31得an 1 an 23an即an 1)(an 13n 2)L(a3a?)(a?

3、 apa|(2 3n11) (23n2 1)L (2321) (2 311)32(3n 1 3n2 L3231)(n 1)323(1 3n1)(n1)33n 3 n 1 33 n 1n所以缶3 n 1.評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式進(jìn)而求岀 an (ananl) (an 1 an 2)L3n 1 an 2 31 轉(zhuǎn)化為 an 1 an 2 31,(a3 a2)(a2 ai) ai,即得數(shù)列an的通項(xiàng)公式。3,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。已知數(shù)列an滿足am3an2 3n 1, ai解：am3an2 3 1兩邊除以3 -得孑3333an 213n 1 3n 3n3n3nan 2)%22(n1)3n

4、3n12(n 1)39n3n1)2n3n13/18則3n評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式a約轉(zhuǎn)化為罷33n3naa 亠c亠c 的3.,譯3i彳，即得數(shù)列進(jìn)而求出（3n1（3n13n2 尹）l 的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。三、累乘法令滿足 an2(n 1)5n an解:因?yàn)镠n 12(n1)5nSn, 31%anda3 a2a.I%an 1 an2a2a2(n11)5112(n2 1)5n2n1n(n1)Ln(n 1)3 2(n1)(n53 2n152n!例5已知數(shù)列n（n1） 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an 3 2n13,所以an0,則也an2(n 1)5n ,故2 L 2(21)

5、 522(11)5132)L2 13E卩3,求數(shù)列（an）的通項(xiàng)公式。n!.評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系am 2（n 1）5n&轉(zhuǎn)化為 Hn2(n1)5n,進(jìn)而求r 3n 1出亠4 L.3an 1 an 2a3 a22ai,即得數(shù)列an的通項(xiàng)公式。a2 a1例6（ 2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列2a?3a3L （n 1總dn2）,求an的通項(xiàng)公式。缶滿足 ai 1, an ai解：因?yàn)?an a-i 2a2 3禺 L (n 1)an n 2)所以 an 1 ai 2a23a3 L (n 1 )an 1 na*用式一式得an 1 annan.則 am (n 1)an(n 2

6、)n1(n 2)所以，an的通項(xiàng)公式為ann!h i、i 小Sn羽 1L所以an一an 1an22 32 n(n 1) L4 3a2n a2.2由 an ai 2a2 3a3 L(n 1)am (n 2),取 n2 得 a? ai 2a2,則 a2 ai,又知，則，代入得an2評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式ani (n 1)an(n卻轉(zhuǎn)化為一nun 2),進(jìn)而求出電旦L色比，從而可得當(dāng)n2B寸，a的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列%的aman2a2 通項(xiàng)公式。四、待定系數(shù)法例7已知數(shù)列an滿足am 2an 3 5n, ai 6,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an 1 x 5n 1 2(anx5n)將

7、an 12an 3 5n代入式，得2a- 3 5nx5n1 2a2x 5n,等式兩邊消去2an,得3 5nx5n1 2x 5n,兩邊除以5,得3 5x 2x,則x1,代入式得am5n1 2(an5n)由ai 516 510及式得an5n0,則加一2,則數(shù)列5叮 是以3n 5ai51 1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則an5n 2n1,故務(wù)2n1 5%評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 1 2an 3 5轉(zhuǎn)化為am 5n1 2 5n),從而可知數(shù)列an5n是等比數(shù)列，進(jìn)而求岀數(shù)列an5n的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列例8已知數(shù)列an滿足an 13an52n 4,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：設(shè)ani

8、x21 y 3(anx 2y)將 3n 1 3Sn 52n 4代入式，得3an 5 2n42門1y 3(anx2n y)整理得(52x)2“y 3x2 3yo2x3x,則y3y巧代入式得2an 12n13(%5 2n 2)由 a-i211 1213 0及式,得 an2n0,則am 5 2n1an5 2nan的通項(xiàng)公式。1 1213為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列,故數(shù)列an5 2n2是以ai5 21因此 an52n2 133n1,則 an13 3n1 5 2 2。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 1 3an 5 2n4 轉(zhuǎn)化為am5 2n1 2 3(an5 2n 2),從而可知數(shù)列佝5 2n

9、2是等比數(shù)列，進(jìn)而求岀數(shù)列an5 2n2的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。例9已知數(shù)列an滿足an 1 2an3n2 4n 5,ai 1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：設(shè) ani x(n 1)2 y(n 1) z2(an xn2 yn z)222an 3n 4n 5 x(n 1)y(n 1)z2( anxn2 yn z),22an (3 x)n (2x y24)n (x y z 5) 2an 2xn 2yn 2z等式兩邊消去2an,得(3 x)n2(2x y 4)n (x y z 5)則2xn2 2yn 2z,x33 x 2x解方程組2x y 4 2y ,則y10,代入式，得x y z 5

10、2z z 1822am 3(n 1)10( n 1) 182(an3 n 10n 18)22由 ai 3 110 1 181 31320 及式，得 an 3n 10n則牛1)l2八?an3n210n 182,故數(shù)列(an03n2 10n 18為以2ai3 1 10 1 18 1 31 32 為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列，因此2an3n 10 n 18n 1n 4232 2 ,則 an 2 3n 10n評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式ani 2an 3n2 4n 5轉(zhuǎn)化為22am 3(n 1)10(n 1) 182(a.3n 10n 18),從而可知數(shù)列解：因?yàn)?3n 12 3n 3； , &

11、7,所以務(wù)0 o 在 3n22an3n 10n 18是等比數(shù)列,進(jìn)而求出數(shù)列a.3n 10nn52 3 an式兩邊取18的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。五、對數(shù)變換法n5例10已知數(shù)列an滿足am2 3a.,印7,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。常用對數(shù)得lg an 1 5lg缶 n Ig3 Ig 2設(shè) lgan 1x(n 1) y 5(lg a. xn y)將式代入(11式，得5lg an n Ig3 Ig 2 x(n 1) y 5(lg anxny),兩邊消去5lg an 并整理，得(Ig3 x)n x y Ig 2 5xn 5y,則Ig3 x 5xx y Ig2 5y代入rp,得|g3n

12、 1Ig34Ig3Ig3 z76x7(n1)12216Ig245(lg an4164由 igaiIg3 14Ig316ig7!g34Ig3 Ig2花得iganIg376Ig an 則IganIg316趙、所以數(shù)列Ig an比數(shù)列，WJ|ganIg316Ig316g 是以Ig 7晉(Ig7AIg34Ig34Ig316Ig3162為首項(xiàng)，以5為公比的等4A)5n1,因此4Ig an (Ig 7(ig7Ig341ig 341134 31611lg3 lg216lg(7 34316lg(75n1 3 4lg36124)5n124)5n 1n 5n1n14Ig24)5tIg3411nig(34nIg34

13、13162411lg3 lg2641Ig 316 Ig213 162 4)5n 4n 1 5ni (lg(34 316 24)5n1 1lg(75n1 3 1625n 4n 15n1 1則 an 75-13 162T評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式an 1 2 3n a：轉(zhuǎn)化為lg am 里(n 1)4lg an 骨4Ig376寵2 5(Lg an-nS 丿，從而可知數(shù)列4164爭是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 lg an公式，最后再求出數(shù)列(an)的通項(xiàng)公 式。Ig3 Ig3 Ig2n的通項(xiàng)4164六、迭代法例11已知數(shù)列an滿足ani an3(n 1)2ai 5,求數(shù)列an的通項(xiàng)公

14、 式。口 3(n 1)2*2 3nfL32(nan21)n2(n2) n1)a翟33(n如32)2 332(n i)n2(n2Hn1)1) n 2(n3) (n 2) (nl)2)(n解：因?yàn)?n 1 a；1)2,所以Qn 3J；3n1 2 3L L (n 2) (n 1)n21 2LL n 3) (n 2) 3o評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將,1 24an的換元為bn1 1bn丨形式，從而可知數(shù)列最后再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公 式。九、不動點(diǎn)法例14已知數(shù)列an滿足am從而可知數(shù)列3an的通項(xiàng)公 式。anan求數(shù)列an的通項(xiàng)公 式。3x 11是函數(shù)廠的不動點(diǎn)。o,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化bn3為等比

15、數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列bn3的通項(xiàng)公式,21 an 2443n 14,求數(shù)列an的通項(xiàng)公 式。19/21x242解：令x4x 1兩個不動點(diǎn)。囪為得 4x 20x 24 0,則 x, 2,X2 3是函數(shù)f (x)的4x 121/21 an 24/ 2所以數(shù)列24an121 處24 2(4/1)13an2613 an2am 321 an24q 21 an24 3(4an1)9an279 an34an 13n2是以旦4 23n334322為首項(xiàng)，以則13n2(-)n 191O評注：本題解題的關(guān)鍵是先求岀函數(shù)f(X)個根X,2X23,an 12進(jìn)而可推出an13為公比的等比數(shù)列，9故色an21x2421-

16、X-24-, ”的兩4x 1的不動點(diǎn)，4x 1即方程X価-,從而可知數(shù)列an29 an33n為等比數(shù)3列，再求出數(shù)列a2的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列a“的通項(xiàng)公式。%3例15已知數(shù)列an滿足2an 32,求數(shù)列an的通項(xiàng)公7x2解：令x,得2x2 4x 22x30,則x 1是函數(shù)f (x)3x 14x7的不動 點(diǎn)。因?yàn)閍n 17亦 2 -j2an35an2Sn55,所以3、利用常用求和公式求和1、等差數(shù)列求和公式：SnSn印(1 qn) a1 qanq1 q數(shù)列求和n an)2n(n 1)d2、等比數(shù)列求和公式:(q1)(q1)例1已知log 3 xi求2X X Xlog 23的前n項(xiàng)和解：由lo

17、g 3 Xlog 空 1093log 32由等比數(shù)列求和公式得:Sn例 2設(shè) S 二 1+2+3+n, nN*,求 f (fl)Sn的最大值.(n 32) S n 1解：由等差數(shù)列求和公式得A(nSn1,5尹D(n2)如）（n 32）Snn2 n3416434 c, 64 nn(n)5050即 n 二 8 時，f( n)max50二.錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列a n bn的前 n例3求和：Sn 13x 5x27x3(2nn 11)x解：由題可知， （2n1）xn1）的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n - 1的通項(xiàng)與等比數(shù) 列xn11的通項(xiàng)之積:設(shè)

18、 XSn 1X5x37x4(2n1）xn-（設(shè)制錯位）一得(1 X)Sn1 2x 2x2 2x32x42xn1(2n1)xn（錯項(xiàng)和，位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：（1 x）sn 1 2X - bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列(2n 1)xn其中 an 、23/n 1(2n 1)x(2n1)x“(1 x)例4求數(shù)列22(1 x)2前n項(xiàng)的和解：由題可知，2n尹的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n）的通項(xiàng)與, 1等比數(shù)列_的通項(xiàng)之積2462n設(shè)Sn32A22231 CSn22462n一得尹孑2421 c (1222222 2n2n2222324nn 1222m2mn 2Sn 4n1三、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等

19、差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（6 an）22222sin 88 sin 89 的值例 6求 sin 1 sin 2 sin 3解：設(shè) S si n21sin2 3sin2 88 si n 2 8929/例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和：14,27,1m 3n2,aaa解：設(shè) Sn (11) (1 4)(17)(13n 2)aaa將其每一項(xiàng)拆開再重Sn (11191)(1 473n 2)（分組）常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可新aaa時,Sn曲膽二衛(wèi)（分組求和）22(3n 1)n2當(dāng)a二1時，Sn將式右邊反序得:Ssi n2

20、 89 si n288si n23 si n22sin21又因?yàn)閟incos90 x),siinx cosx 1,+得2S (sir1 co2!) 用 2cos2)22(sin89 cos39) = 89S= 44. 5a四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為兒個等差、等比或1 n a a (3n 1)na 12重新組合，使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：(1) anf(nsi n1cosncos( n 1)tan(n 1) tannn(n1)(2n)2an(2n 1)(2 n 1)(5)3n1n(n 1)(n(n 1)(n 2)I n2(n1)nn(n1)1 1n 1n 2 (n 1)2(n 1)2n1M 9求數(shù)列1.22.3 n-x n 13nn(n1)的前n項(xiàng)和.例8求數(shù)列n（n+l） （2n+l） 的前n項(xiàng)和.解:設(shè) ak k(k1)(2k1) 2k3 3k2 knSnk(k 1)(2k1)k 1n(2k3k 13k2將其每一-項(xiàng)拆開再重新組合得：Sn =nnn2 k3 3 k2kk 1k 1k 1332(1 2n3) 3(1 22n2)(1 2n)n2(n 1)