矩陣分析第3章習(xí)題答案

1、第三章 1、已知A =（呦）是n階正Hermite矩陣，在n維線性空間C”中向雖 =（西,兀2，,暫）,0=（必,兒,兒）定義內(nèi)積為a戸）=z40 （1）證明在上述左義下，C是酉空間： （2）寫(xiě)岀C中的Canchy-Schwarz不等式 2 1-11-3 2、已知A=求N（4）的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 .1110 1. 提示：即求方程AX =0的基礎(chǔ)解系再正交化單位化。 3、已知 3 0 8 -1 -2 6 (1M = 3 -1 6 ,(2)A = -1 0 3 -2 0 -5 -1 一1 4 試求酉矩陣（/,使得UllAU是上三角矩陣。 提示：參見(jiàn)教材上的例子 4、試證：在C上的任何一個(gè)正交投影矩陣P

2、是半正左的Hermite矩陣。 5、驗(yàn)證下列矩陣是正規(guī)矩陣，并求酉矩陣使UHAU為對(duì)角矩陣.已知 1_ i 3?27/6 心 _i_ 62館 i 1 2?32 0 -1 (2)A= I 0 i 0 4 + 3/ (3)4 = - -4/ 9 6 + 2/ 4/ 4-3/ -2-6/ -6-2/ -2-6/ 0 (4) A = J -1 1 6、試求正交矩陣0,使QtAQ為對(duì)角矩陣，已知 1 1 0 -1 _ 2 -2 0_ 1 1 -1 0 d)A = -2 1 -2 ，(2)A = 0 -1 1 1 0 -2 0 -1 0 1 1 7、試求矩陣P, PnAP = E （或PAP=E已知 1

3、i 1 +廠 2 2 -2 (1)A = -z 0 1 ，(2)A = 2 5 -4 1-/ 1 2 -2 -4 5 8、 9設(shè)n階酉矩陣U的特征根不等于一 1,試證:矩陣E + U滿秩，且H = i(E-U)(E + Uyl 是Hermite矩陣。反之，若H是Hermite矩陣，則E + iH滿秩，且U = (E + iH)(E-iH)_， 是酉矩陣。 證明：若E + U=O,觀察AE-U = 0知一 1為的特征值，矛盾，所以矩陣E + U滿 秩 Hu =(/(-)(+)_,)，/ =-iE+UHyE-Uu),要 H = H ,只要 -i(E + Un )_1(E-t/) = /(E-(7)

4、(E + t7)-1 (E-U)(E + U) =(E + U)(E-U) nJ _U f _U 故 Hn =H 由E + iH=-i(iE-H) = Oi為H的特征值。由Hermite矩陣只能有實(shí)數(shù)特征值可得 E+iHO,即 E + iH 滿秩。 UflU=(E + iH11 )_,(E- iH7/ )(E + iH )(E - iH )_1 = (E + iHf (E - iH )(E + iH)(E - iH = (E+iHyl(E + iH)(E-iH)(E-iHYl =E 10、若S,T分別是實(shí)對(duì)稱和實(shí)反對(duì)稱矩陣，且det(E TfS)H0,試證： (E + T + iSE-T-iS

5、y1 是酉矩陣。 證明： (E + T + iSE-T-iSrytE + T + iSE-T-iSy1 =(E + T + iS)-E-T-iS)(E+T+iS)(E-T-iS)l = (E+T + iSYE + T + iSXE-T-iS)(E-T-iSr=E 11、. 丄 設(shè)A,B均是實(shí)對(duì)稱矩陣，試證：A與3正交相似的充要條件是A與3的特征值相同。 證明：相似矩陣有相同的特征值。4與正交相似二人與3的特征值相同。 若A與3的特征值相同，又人3均是實(shí)對(duì)稱矩陣。所以存在正交陣Q，P使 QtAQ = A = PrBP n (QPTy A(QPr) = B 其中 QPT 為正交陣。 13、設(shè)均是H

6、ermite矩陣，試證：A與酉相似的充要條件是A與3的特征值相同。 證明：同上一題。 14、設(shè)A B均是正規(guī)矩陣，試證：與3酉相似的充要條件是4與B的特征值相同。 同上 r o 15、設(shè)A是Hermite矩陣，且A2 = A ,則存在酉矩陣U ,使得U”AU = r 0 0 16、1 E 0 設(shè)A是Hermite矩陣，且A2 = E,則存在酉矩陣(/,使得U”AU= r。 _0n-r_ 18、設(shè)A為正泄Hermite矩陣，B為反Hermite矩陣，試證：AB與34的特征值實(shí)部為0。 證：A為正Hermite矩陣=A = LZ/L, J為滿秩的。 AE - AB = AE -1!1 LB = |

7、Z/71 E - LBl!11 |(L/Z )_11, (LBlJ1 )H = LB” B = -LBl!1 LB芒是反Hermite矩陣，反Hermite矩陣的特征值實(shí)部為0,所以AB的特征值實(shí)部為0。 19、設(shè)A,B均是Hermite矩陣，且A正定，試證：AB與BA的特征值都是實(shí)數(shù)。 證明：同上題。|2：-/13| =卜一/伉科=片|加?一5/5(1尸|, (LB0 ) = LB止=LBL! , LBI11是Hermite矩陣，Hermite矩陣的特征值為實(shí)數(shù)，所 以A3的特征值是實(shí)數(shù)。 20、 m.設(shè)A為半正泄Hermite矩陣，且AH0,試證：A + Ei. 證明：A的特征值為人no,

8、矩陣的行列式等于特征值之積。A + E特征值為人+1, |4 + 勻=口（人+1）1 22、設(shè)A為半正泄Hermite矩陣，AHO, B是正泄Hermite矩陣，試證：A + BBO 證明：B = L!,L. L為滿秩的。 a+b=a+l=|z/|（Z/ r1 AU1+e|l| = |（厶 ）* AU1+el = |（Z/）-,A7,+E|B| （厶“尸AL為半正定Hermite矩陣,由上題|（ f* AZ71 + E| 1 , A + B = |（廠）_, AU + |B| B 23、設(shè) A 為正泄 Hermite 矩陣，且 AeC7,xn,則 A = E。 證明：存在 UeUnxA=U A

9、U, A= 加gOp人 0。又 A e Unxn , A E = AnA = （t/AtZ） UMJU = A2 = A/= 1 = 1 = A = CMQ” = UEUn = E 24、試證：（1）兩個(gè)半正泄Hermite矩陣之和是半正左的：（2）半正泄Hermite矩陣與正 定Hermite矩陣之和是正定的。 提示：考査X（A + B）X 25、設(shè)A是正定Hermite矩陣，B是反Hermite矩陣，試證：A+B是可逆矩陣。 提示:A為正定Hermite矩陣=A = L, L為滿秩的。A + B =片再+（疋尸卅斗 （“尸是反Hermite矩陣，特征值人實(shí)部為0,忻+（1尸8口| = 口（

10、1+人）H 0 ,所 以+ 3卜0 26、設(shè)A, B是n階正規(guī)矩陣，試證：A與B相似的充要條件是A與B酉相似。 證明：充分性，酉相似二相似。 必要性，A, B是n階正規(guī)矩陣，A = U；1 A|U|,B=t/y入卩小點(diǎn)葉,又A與 B相似，A與3的特征值相同，可設(shè) A】=人2，A=U；lAlUl =U；,U2BU,Ul9UilUl eUnxn 27、（ 縱 設(shè)A11 =A.試證：總存在/0,使得A + tE是正定Hermite矩陣，A-tE是負(fù)定 Hermite 矩陣。 提示：A的特征值為人，則A + tE的特征值為人+f 29、設(shè)A是正泄Hermite矩陣，且A還是酉矩陣，則A = E 提示：

11、 30、設(shè)A、B均為正規(guī)矩陣。且=則AB與34均為正規(guī)矩陣。 提示：用P 1 5 0泄理，可以同時(shí)酉對(duì)角化。 31、設(shè) A, = -A ,試證：U = (A+ E)(A-E)l 是酉矩陣。 提示： UhU=(A + E)(A - )-* (A + E)(A - E)l =(-A - E)-1 (-A + E)(A + E)( A - E)-1 =(A + E)_1 (A + E)(A - E)(A - E)_, = E 32、設(shè)A為n階正規(guī)矩陣，人,人為A的特征值，試證：AA的特征值為 1人|2,|久2卩,1幾”卩。 A 提示：UnAU = ,uhahau = ,所以A/1的特征值 Ar Ar

12、 為 AA = | A |2 33、設(shè)A e Cnx,t,試證：(1) AA和44都是半正定的Hermite矩陣;(2) AA和A4 的非零特征值相同。 提示：(1) XHAl,AX=(AX)H(AX)0 (2) A/,AX=AiX =AA/,AX=A. AX ,特征值的重?cái)?shù)也相同，參見(jiàn)P191 34、設(shè)A是正規(guī)矩陣，試證：(1)若Ar=0 (尸為自然數(shù))，則A = 0： (2)若A2=A, 則A=A；(3)若A3=A2f 則A2=A. 35、設(shè)A =A.Bh =-B ,求證以下三條件等價(jià)： (1) A + B為正規(guī)矩陣 (2) AB = BA (3) (AB)h =-AB 解：(1) = (2) (A + B)n(A + B) = (A + B)(A+ B)HA11 B + BuA = ABU + BA由 A11 = A, Bu =-B AB = BAO (2) = (3)= 由 A =A,B =3=-04) (2) = (1) (A + By (A + B) = (A- B)(A + B)