線性代數中的若干個充要條件

1、線性代數中的若干個充要條件一、n階方陣可逆的充要條件A是n階可逆方陣AB （ BA） Edet A 0 （非奇異）rank A n （滿秩）A 的最高階非零子式的階數等于 nA E （等價）A的伴隨矩陣A可逆rank（ AB） rank（ B）存在n階可逆矩陣P ,使AP E存在n階可逆矩陣Q,使QA EP1P2 Ps的線性表示存在有限個初等方陣 Pi , 1 i s,使AAx 0只有零解Ax 0解空間的維數是零Rn, Ax總有唯一解A的行（列）向量組線性無關Rn, 總可以由 1, 2, n 唯一A 的特征值均不為零A實對稱A 的正、負慣性指數的和 p q nA A是正定矩陣A 的行（列）向量

2、組是 Rn 的一組基A 的列向量組與單位向量組 110,20 等價00A是Rn的某兩組基之間的過渡矩陣、 Am nx有（ 無）解的充要條件Am nx有（無）解rankA rank（ A, ） （ rank A rank（ A, ）向量可以（不能）被A的列向量組 1, 2, n線性表示三、Am nx 有唯一（無窮多）解的充要條件Am n x 有唯一（無窮多）解 rankA rank（ A, ） n（ n）A的列向量組1, 2, n線性無關，且 可以被1, 2, n唯一線性表示（1, 2, , n線性相關， 的表示法不唯一）四、Am nx 0只有零（有非零）解的充要條件Am nx 0 只有零（有非

3、零）解rank A n （ n）A 列滿秩（列虧秩）A A可逆（ata不可逆）A A正定（A A非負定）存在矩陣Qn m，使QA En nA 的列向量組 1, 2, n 線性無關（線性相關）1, 2, ,個線性表出n 中每一個 （至少有一個） 都不能 （可以） 由其余 n 1向量組 1,解空間維數2,門與n維單位向量組1, 2, n （不）等價s 0（ s n -rank A ）沒有基礎解向量（基礎解系中有 n - rank A 個基礎解向量）五、Rm,Am nx總有解的充要條件Rm, Am nx總有解rank A m（行滿秩）det（ AAT ） 0 （det（ AAT） 0）aat可逆（a

4、at不可逆）存在矩陣 Pn m ，使 AP Em ma的行向量組 T, T, m線性無關rank （ 1, 2, n） m （若m n， A的列向量組線性相關）A的列向量組1, 2, n可線性表示任意一 m維列向量Rm ，存在常數 k1,k2, ,kn 使 1, 2k1k2 nkn向量組1 , 2, n與m維單位向量組1, 2, m等價六、An n可以相似對角化的充要條件An n可以相似對角化 存在可逆矩陣P，使P 1AP A （對角矩陣）A有n個線性無關的特征向量A的任一特征值的重數與該特征值線性無關特征向量的個數相等對A的任一 k重特征值，（ oE A）x 0有k個基礎解向量 對 A 的任

5、一 k 重特征值 0， rank （ 0E A） n k附 1:An n可以相似對角化的充分條件An 口有門個不同的特征值A可以相似對角化An n是實對稱矩陣A可以相似對角化附2:兩個n方陣A與B相似的必要條件A B （相似）det( E A) det( E B)(特征值相同)ntr A trB i （等跡且等于特征值的和，ntrAaii )i1i1rank A rank B （等秩） detA detB （行列式相等）七、n元二次型xtAx正定的充要條件n元二次型xTAx正定x Rn,x 0 ， xTAx 0A 是正定矩陣A 的正慣性指數 p nA E （合同） 存在可逆矩陣D，使A DTD a的特征值均為正數A 的順序主子式均大于零附： n 元二次型 xT Ax 正定的必要條件a是正定矩陣A 的主對角元 aii 0, i 1,2, ,n det A 0八、矩陣合同的