(1)群表示理論基礎(chǔ)

1、 1 TI 1 th ! * L b 川 q .JT 1 *| 卜 * :=- T1 * l- - 丄” 1- 11 s ； ; L ;_ J! . - - a! t-，一、對稱元素(symmetry elements)與 對稱操作(symmetry operations)I J 二 i ；!，:T1 L ： I/-： . - T - ：二 1 n J r L- - L ：丄1.對稱操作：每一次操作都能夠產(chǎn)生11Iiki li! J潔2.對稱元素：對分子幾何圖形施行對胡 | | 丁， 一 . ” 五種對稱元素及相應(yīng)的對稱操作：1)恒等元素(identity element E) 恒等操作(id

2、entity operation E)(操作后，分子保 持完全不動)ikJiE! ka Ji3上二 7 i ； ?112)對稱軸(proper axes Cn)L . I - 旋轉(zhuǎn)操作 (proper rotations C n,Cn2, Cn3 il3）對稱面（symmetry planes 彷）r aiI反映操作（reflections 彷,彷2=E）(XV、彷 h、彷 d114）對稱中心（symmetry center,Ii)I11:Ji反演操作11E)i1IE真軸5)IJiIimproper axes)JJn)rotation S n, Sn inversion i, i2| Ih J

3、iL |_亠.J象轉(zhuǎn)軸；:I I i A . . F- L inversion center：Ji =aii i mm! aHftai L ： i s kJL禪 g I ”n 二 i s M* . “ 己吒二 旋轉(zhuǎn)反映操作(improper11節(jié)冷 Ji!-idlA, ,4J Hl,-.rh-QI -嚴-1 *4*” t J_ |F 1=r .: ，J3 I| 亡斫ri II 1 b1 -1 w *re R s 1 ba1 y _i H - ”- - ! - .”F , 1 1 - *_! iill J”二:iSi = （X hS2 = C2 （X h = i ；I1j H J1 j 1 .

4、- Tj-f!-%H H M 1 J MXn I *n 1 Snk = Cnk（k 為偶數(shù)）,Snk = Cnk X h（k 為奇數(shù)）Hit1|lji3IJi個或多個其他操作連續(xù)作用的結(jié)果n11 I .一小.| Ji -I I - - - J g _ *;=二上優(yōu) 1；訂對稱操作的乘積(product of symmetry operations)如果一個操作產(chǎn)生的結(jié)果和兩J上二十 討! 相同，則稱這一操作為其他操作的Ji乘積。lbii例：對分子先后施行B和A操作,結(jié)果相當(dāng)于對分子單純施行 C操作，則稱C是A與B的乘積記為AB =|C3C31!C32C3C3iliC332I I （t -il

5、H K- & Hr,iM 1若AB = BA，則稱對稱操作A與B 是可交換的I!pif.- iiJTJIJ 11 1 ,n- Uli!fb/嚴；丿I 1 B 4 i i f L - 皿 i. f 1 j i Q Jl j * !. - - . i j jJ a.r 1.-二、群（group）的基本知識1、群的定義：一個集合G含有A、B、 . Ju J J ；b 討.C、元素，在這些元素之間定義一；卄.；冃.-. LM-III-*.: X L m* ；Z : B .! H -. t.*-S *-: F 嚴 I = r -i . J 亠:-1* Fl11ILI種運算（通常稱為乘法”。若滿足如下四個

6、條件，則稱集合 G為群:f .i j JlS1) 圭寸閉 性(enclosed property): 若I?A、B為G中任意兩個元素，且II Itzz-AB=C , A2 =D，貝U C、D 仍為 G 中元素。|ljlI.JiLI2) 締合性：G中各元素之間的運算it滿足結(jié)合律(associate law):(AB)C=A(BC)i?i!3) 有單位元素 E (unit element)，使任一元素A滿足：AE = EA = AI.|ljlJiHitIIA3IInA4. A5(order h)A6 h11 J 二匚- J 二 j _| Jl -I I - - - J g _ *;=二上優(yōu) 1；

7、訂-i!.卜.ia j.IR dll- -j - 盧二斗 11i a .-4) G中任意一元素1(inverse element)AA A-1群中元素的數(shù)目稱為群的階訃 pi -*a -L i_* .1A1 , A2-4 u 宀尸!6J上二十 討A均有其逆元素A-1亦屬于G中A-1A = Ef .i j JlSoI阿貝爾群：A、B為群G中任意兩個工f宅丄D K -1 it IL J C,- -LlJ!工7尸.!苗）JJ fl wurilJ 1上目二;x. S左（A.tLrKnPifAJt杷* I魚耳f 払 j.二L!亠/蘋!卜）馬;“ 元素，若AB = BA，則G為阿貝爾群=，r(Abel g

8、roup )。.- i - | * i -r . - = . . H P - ” .r -.| I 廣 f rI 子群(subgroup):若群g的全元素包含 在另一個群G中，則g群成為G群的子 群。記為gGM iw I 1 b *r* - ?。?k| J i 1 1-* 性！ ：鳥 a :*和# j A1，A2，A3，A4，A5,A6A1，A2，A3f I i i - i L . L子群的階g是群的階h的整數(shù)因子，h/g =正整數(shù)。Lagrange 定理I_X ! I I i .” I nf .i j JlS1p L非真子群（improper subgroup 平凡子 群）：E、G 真子群（

9、proper subgroup 固有子群）： 1 g |17. . | . t M L 1 MH . J-.-_L 1.訴.I I - = 甲口 .三.嚴廠U ji m ”* wfaji P-Hj i 弓十 f r ”t i- .fcri - . S- n -r i”E j ra n I I BBMII ? I IB n I K I I M i b SB Bn i _ i m a- c n n i h ra n Wr i-_ n.VF 3mim m If r u il ei rnB_ u i i a fW1 aahaBMI 丄 BM la 1； = . . nwBBM j： iIm ,_#?_

10、. _,aAbt 4h,a- 1二!*口 b二 _ -Lt $j,1J1isl : r i 1 to-1 - f： ： 1 =r- si-1-I-1 -ii _ r- a I- 1 ri 11 jL：-r 1J 1 i 81 I二: E壬茁茫,ii.二=1 ! 1O| s JvClvH2CC2Hiv/Cl2v/ Hi、./ v/HZ” /C2Cl11ClivV/H” /C2Cl2v1v1C2C21=C2JiCH2vC1vvC211vC1vC2vC2Illi iIillC2C2 = E! rJ 1I. _.丄 -單位元素：EC2C2CT V )CT V =(X締合性：（C2 X v） 亡v x

11、v = EH1Ch2X v-/Cbv/H2、 /時 /Ch幫霊.4 ; J ii F 上，. Il .忡，l - J ra B -| B-.訂卜-!i -4 - i *hi益話 -:丁r E r?- rEI r -0 SL j :： JI逆元素：C2C2 = E,(Tv d vL_ .DLSiiiE,，=E ；C2-1 = C2,|i -_ . t1 i-1 - (X v =(X v,CT v*逆元素為自身。I Ji -C3v群(NH3)的子群:1 |a JIL |_亠.1Ji|l11IEIJi:E, E2、共軛元素(conjugate elements)和群真子群3, C32, 3?C3,

12、C323? !.-人右 B I 3 j.Ji ( !_；=B? 3?E, 3?| H Ji *s.i二二/ -J - T-l:丄血口 ； J IIf .i j JlSJ上二 討|l的類(class)若X和A是群G中的兩個元素， 且B = X-1AX，則B仍為G中的元素 - -(上式稱為：B是A借助于Xsimilarity相 似 變 換transformation )，則稱A和B為共軛 元素群元素均有自共軛性：E-1AE = A單位元素E只有自共軛性：A-1EA=E類：群中相互共軛的元素的完整 集合稱為群的類。i - - ； -4. i J i - - iia | F 11 - B s J *

13、E i ； ； ；.呻h I .* _ ；. L H-：”； u ；A1，A2，A3，A4，A5, A6，A7 , A8 , A9I-X ! I I i .” I n11ILIit(X v ,CT v例 1： C2V 群(CH2C12)E , C2,求與C2共軛的元素:E-1C2E E-1C2 EC2 C2,tzz-I?C2-1C2C2 EC2 C2,cr-1CT vC2-1cr=C2,C2(X v(X v(T v d v d vC2|l可見C2自成一類。jlI.Jiit同理可證:類。(X viii因此C2V群共有四類，每個元素自成一類。1f .i j JlS. i1II利小 1 - *a i

14、 =1l_*I u I ：-=4 | t V* i HitV LM J _ _1*1 1 mj lM I： .3mvS* - - :- j JfcwO二、分子對稱操作群(分子點群point IL T -. i.4rJ-t Igroup)1、可以證明：對于任意分子完全而不重復(fù)的對稱操作集合構(gòu)成一個群，I?稱為分子對稱操作群（分子點群）。2、分子點群的確立（見結(jié)構(gòu)化學(xué)）IIjlI.第二節(jié)分子對稱操作的矩陣表示Ji一、矩陣（matrix ）的基本知識:TZZ-e J p ! n d I I * 9 - ng 匚 nu i | . d I fa J i 二J c 4 R s n I ba i - *

15、aii = 1，其他元素單位矩陣（unit matrix與群的單位元 素對照）：對角元素均為0的方陣（E）。111 節(jié)學(xué)110100H010000100001Ji則訂JiIh|I 11 L2、矩陣的乘法id Ji1）若A的列數(shù)等于 r ji liknra 曙 ii i * L 77* n fril p V M I wd rataB 7 L 8 丁_A(n xh)B(h m)= C(nm)亠；“ I ;兒.- 1 匚 ” .上 J - . J q I R- ; 亠I B的行數(shù)乘O1 a i；i 1- .； % J * L i n - -y -TI - 5 - F ；：1上-i - - , - I

16、FF 1.r Y1 1 h-a_- -,-4 11 f.;_ -ic,-i I - !d 4- . i g. - I - .1 11 aA R| F|4-I, a- J - j 111 $-a +| 嚴.1 * -I j i |-j-川 1 I-” r 卜i iM ILItzz-I?CijItaikbkjL_ .DLS乘法服從結(jié)合律:(AB)C=A(BC);般不服從交換律:AB 工 BA.I.IIjlJiI10120010X11_011 _012010111X01001 -_011 _無法運算* - * = han3*kbann1 a. j 0匚云;iM iinthn (+口=i!1j11*7

17、aphi“ T呼4 左氏 二.r 出 別苗釧J = J_lf_.J；*.c ins% J * : -i u - T= 和高階行列式A低階仃列式二階行列式的計算a11 312Xax a22 ax a?1|a21 寵2 l_ | 11 !- _ L；c T -1 - i t ,rJL-77)J - ： J - 8 ,牛_447|J _ 41 _ H nHriHFTIIIL* - kl 1 節(jié)：-iBR ! Sr _U ?B- : L邛嚴 6 a I! -*V!Tfi 1H- r二F I i B - id, . ar - 4 | 1 wJ 11 upl IT .j s _ - gd i 1 1l*

18、, VP -iik q11:_L_ .Z 勒.j h _. - -1三階行列式的計算=L ! io| . Ji Ia11233313a11 a22 a33+ a12 a23 83什 a?i 832 a3-a13 a22 a3i ai2 a21 a33 a23 032 ail4- ” f i * ： _-= -I J i j_. ： t -若|A| = 0,則A為奇異矩陣，其逆矩陣無法確定;1 I . j . - . I - T J - 1 i . i. UL 乜 丄+二 i - a , ! - . 1 S -若|A|半0,則A為非奇異矩陣，具有唯一的逆矩陣。! rJiL 1 i_ 亠 JmSC rS llfr-JTiLIit3)共軛矩陣(conjugate matrix) 與群中共軛元素概念對照B、X為三個矩陣，若AX-1BX，則稱A與B為共軛矩陣。一f .i j JlS. I葉M環(huán)-匸JI汕I * J_- 譏w*共軛矩陣具有相等的跡。首先要證明，若AB=C，BA=D，* . - -1BX，貝U A和B具IIIIInA1的X11 i JIL |_亠.1 J 二匚-J 二 j _L| Ji -|i p A 的X4）矩陣乘法的一種特例 對角方塊矩陣I I - - - - g _ *(X的 X =X-1BX B)X 的 x=X(X -1B)-1)B