有關(guān)矩陣最小多項(xiàng)式的探討

1、編號(hào)：09005110201南陽師范學(xué)院2013屆畢業(yè)生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題 目： 關(guān)于矩陣最小多項(xiàng)式的探討 完 成 人： 李菊花 班 級(jí)： 2009-02 學(xué) 制： 4 年 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師： 袁玉卓 完成日期： 2013-04-12 目錄摘要.(1)0引言.(1)1預(yù)備知識(shí).(1)2矩陣最小多項(xiàng)式的求法.(2)2.1利用不變因子求矩陣最小多項(xiàng)式.(3)2.2利用特征函數(shù)求矩陣的最小多項(xiàng)式.(4)2.3利用標(biāo)準(zhǔn)型計(jì)算矩陣的最小多項(xiàng)式.(5)3 矩陣最小多項(xiàng)式的應(yīng)用.(7) 3.1矩陣最小多項(xiàng)式在矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用.(7) 3.1.1已知方陣和多項(xiàng)式，求.(7) 3.1.2為方陣

2、確定非奇異及求的逆.(8) 3.2矩陣最小多項(xiàng)式在矩陣相似中的應(yīng)用.(10) 3.3矩陣最小多項(xiàng)式在微分方程組中的應(yīng)用.(12)參考文獻(xiàn).(13)abstract.(14)第14頁（共14頁）關(guān)于矩陣最小多項(xiàng)式的探討作 者：李菊花指導(dǎo)老師：袁玉卓摘要：總結(jié)矩陣最小多項(xiàng)式的若干求法，并舉例說明了矩陣最小多項(xiàng)式在代數(shù)問題、常微分方程組求解問題上的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：矩陣;最小多項(xiàng)式;最小多項(xiàng)式的應(yīng)用0引言在高等代數(shù)教材中，對(duì)矩陣最小多項(xiàng)式的概念有所闡述，但對(duì)其求法和應(yīng)用討論較少.事實(shí)上，矩陣的最小多項(xiàng)式在判斷矩陣相似、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型、矩陣函數(shù)、矩陣方程和研究線性變換的結(jié)構(gòu)中都有極為重要的應(yīng)用，也是現(xiàn)在研究矩

3、陣最小多項(xiàng)式的主要方向之一.目前，國內(nèi)很多學(xué)者對(duì)矩陣最小多項(xiàng)式的求法已有較深入的研究.為了更好地掌握矩陣最小多項(xiàng)式的求法，挖掘其應(yīng)用價(jià)值，本文給出了矩陣最小多項(xiàng)式的若干求法，并舉例說明了最小多項(xiàng)式的相關(guān)應(yīng)用.1預(yù)備知識(shí)為了敘述的需要,我們首先引入以下符號(hào).表示復(fù)數(shù)域上的一元多項(xiàng)式環(huán).表示上的全體階矩陣對(duì)矩陣的加法與數(shù)乘矩陣運(yùn)算構(gòu)成的向量空間.表示方陣的特征多項(xiàng)式.表示方陣的最小多項(xiàng)式.為了便于證明，有必要引入矩陣最小多項(xiàng)式的相關(guān)概念.定義1 設(shè)，若=0，則稱為的零化多項(xiàng)式.定義2 在的零化多項(xiàng)式中，次數(shù)最低的首項(xiàng)系數(shù)是1的多項(xiàng)式稱為的最小多項(xiàng)式，記作.引理1 若當(dāng)塊的最小多項(xiàng)式為.若當(dāng)塊的最小

4、多項(xiàng)式恰好是其特征多項(xiàng)式時(shí)， .引理 2相似矩陣有相同的最小多項(xiàng)式，即若相似于，則.引理3任取中的階可逆矩陣，設(shè)其最小多項(xiàng)式為，則的最小多項(xiàng)式是引理4設(shè)=，記的最小多項(xiàng)式為，的最小多項(xiàng)式為，則.引理 5的根必是的根.2 矩陣最小多項(xiàng)式的求法 在給出了矩陣的最小多項(xiàng)式的相關(guān)概念之后，我們?nèi)菀椎玫揭韵聨追N計(jì)算矩陣最小多項(xiàng)式的方法.2.1利用不變因子求矩陣最小多項(xiàng)式定理1 階復(fù)數(shù)矩陣的最小多項(xiàng)式就是的最后一個(gè)不變因子. 證明 任取中矩陣，則相似于某一個(gè)若當(dāng)塊.其中，由引理2知， （1）又由引理4， （2）再有引理1， （3） 其中，是的階數(shù)，是主對(duì)角線的元素，結(jié)合（1），（2），（3）得：.由引理4

5、及初等因子的概念，是各若當(dāng)塊的初等因子（即的初等因子組）的最小公倍式，恰好等于從各組同底初等因子中抽取次數(shù)最高的一個(gè)作乘積的結(jié)果.根據(jù)用初等因子組確定不變因子的方法知，從而.由定理1得出求的步驟如下：（1）首先，求出矩陣的特征多項(xiàng)式.（2）其次，求出矩陣的各階行列式因子.（3）最后，利用不變因子與行列式因子之間的關(guān)系求出矩陣的最后一個(gè)不變因子即為矩陣的最小多項(xiàng)式.由定理1可以得到計(jì)算矩陣最小多項(xiàng)式的第一種方法，即通過求矩陣的最后一個(gè)不變因子，得到矩陣的最小多項(xiàng)式.例1求矩陣的最小多項(xiàng)式.解 矩陣特征多項(xiàng)式為：.各階行列式因子分別為：，.則有 . 于是 .由于的不變因子即為的不變因子，從而有定理

6、1知，的最后一個(gè)不變因子就是的最小多項(xiàng)式，即.注 由例1可以看出運(yùn)用定理1求矩陣的最小多項(xiàng)式有以下特點(diǎn)：(1)優(yōu)點(diǎn): 具有普遍適用性.(2)缺點(diǎn): 由于該方法結(jié)合了矩陣的初等因子、行列式因子等的計(jì)算，計(jì)算過程比較復(fù)雜.為了減少運(yùn)算，我們能否從矩陣的特征多項(xiàng)式出發(fā)，不用計(jì)算矩陣的各階行列式因子以及利用不變因子與行列式因子之間的關(guān)系，得出求解矩陣的最小多項(xiàng)式的方法呢？下面我們先介紹一下另一個(gè)定理.2.2利用特征多項(xiàng)式求矩陣最小多項(xiàng)式定理2 若矩陣的特征多項(xiàng)式其中為的所有互不相同的特征值，且均大于等于1，則，其中. 由此定理2得出求的步驟如下：(1)首先求出矩陣的特征多項(xiàng)式.(2)其次將分解不同的一

7、次因式的冪積.(3)最后取包含一切不同的一次因式的冪積,由低次像高次逐一試驗(yàn)，求出使零化的次數(shù)最低的這樣的冪積即為.由定理2可以得到計(jì)算矩陣的最小多項(xiàng)式的第二種方法，即通過計(jì)算矩陣的特征多項(xiàng)式，并分解成含的形式，通過檢測，可以得到矩陣的最小多項(xiàng)式.例2求矩陣的最小多項(xiàng)式.解 矩陣的特征多項(xiàng)式為：.矩陣的最小多項(xiàng)式為：由于 所以故的最小多項(xiàng)式為：注 由代數(shù)基本定理，我們知道在復(fù)數(shù)域上肯定可以作標(biāo)準(zhǔn)分解，但是有時(shí)候做標(biāo)準(zhǔn)分解時(shí)有一定的難度，也有一定的技巧.那么有沒有較易的方法來計(jì)算矩陣的最小多項(xiàng)式呢？下面是計(jì)算矩陣的最小多項(xiàng)式的另外一種方法.2.3利用標(biāo)準(zhǔn)型計(jì)算矩陣的最小多項(xiàng)式 北大教材高等代數(shù)第

8、七章中關(guān)于矩陣的最小多項(xiàng)式有這樣一個(gè)定理，現(xiàn)敘述如下： 定理3 設(shè)是一個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣并設(shè)的最小多項(xiàng)式為，的最小多項(xiàng)式為，那么的最小多項(xiàng)式為，的最小公倍式. 這個(gè)結(jié)論可以推廣到為若干個(gè)矩陣組成的準(zhǔn)對(duì)角的情形，即如果的最小多項(xiàng)式為，其中，那么的最小多項(xiàng)式為.從上述定理和推論中，我們可以得出利用標(biāo)準(zhǔn)型計(jì)算矩陣最小多項(xiàng)式的步驟如下：(1)將矩陣化成若干個(gè)矩陣組成的準(zhǔn)對(duì)角的形式.(2)分別求出各個(gè)分塊矩陣的最小多項(xiàng)式.(3)求出各個(gè)分塊矩陣的最小多項(xiàng)式的最小公倍式，即為矩陣的最小多項(xiàng)式.由定理3及其推廣我們可以得到計(jì)算矩陣的最小多項(xiàng)式的第三種方法，即只要求出矩陣的分塊矩陣的最小多項(xiàng)式，然后求出它們的最小公

9、倍式，即為矩陣的最小多項(xiàng)式.例3設(shè)，求矩陣的最小多項(xiàng)式. 解 設(shè)，其中，.因矩陣的最小多項(xiàng)式為.矩陣的最小多項(xiàng)式為.故由上述定理可得矩陣的最小多項(xiàng)式為從例3中可以看出，用標(biāo)準(zhǔn)型計(jì)算矩陣的最小多項(xiàng)式雖然比較容易計(jì)算，但是運(yùn)算量比較大.那么計(jì)算矩陣的最小多項(xiàng)式還有其它的方法呢？ 目前計(jì)算矩陣的最小多項(xiàng)式的方法有四種，第一種是利用矩陣的最后一個(gè)不變因子，第二種是利用矩陣矩陣的特征多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解，第三種是利用標(biāo)準(zhǔn)型，第四種是利用矩陣的冪系列的相關(guān)性.上面給出了求矩陣的最小多項(xiàng)式的前三種最常用的方法.最后一種方法在此不再論述.當(dāng)給出一個(gè)矩陣要求計(jì)算其最小多項(xiàng)式的時(shí)候，我們要靈活地選擇計(jì)算矩陣最小多項(xiàng)式

10、的方法.這樣不僅可以有效地達(dá)到預(yù)計(jì)目的，而且可以大大地減少運(yùn)算過程.我們知道矩陣的最小多項(xiàng)式在研究線性變換的結(jié)構(gòu)及矩陣的對(duì)角化方面起著十分重要的作用，然而它在實(shí)際運(yùn)算中有哪些作用呢？下面從三個(gè)方面簡要敘述. 3 矩陣最小多項(xiàng)式的應(yīng)用 我們?cè)诰仃嚨淖钚《囗?xiàng)式的相關(guān)概念以及兩種基本求法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討矩陣的最小多項(xiàng)式，簡要地總結(jié)出了矩陣的最小多項(xiàng)式在矩陣函數(shù)、矩陣相似和微分方程組中的相關(guān)應(yīng)用.下面從這三個(gè)角度逐一論述.3.1 矩陣最小多項(xiàng)式矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用3.1.1已知方陣和多項(xiàng)式，求設(shè)是任意多項(xiàng)式，為方陣的最小多項(xiàng)式，有帶余除法知，用除，得到商式和余式，即由哈密頓-凱萊定理可知 再由引理5得

11、出因此由此看出，由來求要比直接計(jì)算簡單些.下面通過實(shí)際運(yùn)算來體現(xiàn)矩陣的最小多項(xiàng)式在求矩陣函數(shù)中的作用.例4設(shè)求.解 矩陣的特征多項(xiàng)式為：因?yàn)闆]有重根，故由帶余除法得：計(jì)算可知因此：在利用矩陣的最小多項(xiàng)式求解矩陣函數(shù)時(shí)，從例4中可以看出，當(dāng)多項(xiàng)式的次數(shù)比較高時(shí)，直接將帶入求解運(yùn)算量會(huì)很大，而由帶余除法知利用最小多項(xiàng)式可以使的次數(shù)降到低于的次數(shù)，再將帶入求解，從而簡化了運(yùn)算過程.注 如果已知矩陣的特征多項(xiàng)式，而矩陣的最小多項(xiàng)式尚未求出，為了求出，可以用除得到余式，此時(shí)依然有3.1.2為方陣確定非奇異及求的逆.(是多項(xiàng)式). 定理4 設(shè)是方陣的最小多項(xiàng)式，是次數(shù)大于等于1的多項(xiàng)式.（1）若，則降秩（

12、奇異）.（2）若則秩=秩.（3）非異的充要條件是、互質(zhì). 我們從以下兩個(gè)例題來說明上述定理的簡單應(yīng)用.例5 設(shè)多項(xiàng)式，矩陣，試判斷矩陣多項(xiàng)式和的奇異性，并求出的秩. 解：由例2知，矩陣的最小多項(xiàng)式為：由多項(xiàng)式理論求得和的最大公因式為：由定理3知，是非奇異矩陣.和的最大公因式為：由定理3知，是奇異矩陣，且秩秩，而.顯然，秩秩.從例5中我們可以得出：利用定理3可以判斷矩陣多項(xiàng)式的奇異性并可以求出的秩.在矩陣的運(yùn)算中,求矩陣的逆一般是比較麻煩的,對(duì)于一些特殊的矩陣可以利用矩陣的最小多項(xiàng)式來化簡.我們通過下面的例子來說明.例6 設(shè)求的逆矩陣.解 矩陣的特征多項(xiàng)式為：所以或由于故易知于是存在使得其中于是

13、.由于因此從而 在例6中，如果直接將帶入求解，在求解的逆，雖然可以求出最終的結(jié)果，但是計(jì)算過程復(fù)雜繁瑣的多.由此可以看出，利用矩陣最小多項(xiàng)式求解矩陣函數(shù)的逆，可以簡化計(jì)算過程.從以上的例題中，我們可以得出：矩陣最小多項(xiàng)式能起到簡化多項(xiàng)式的作用.3.2矩陣最小多項(xiàng)式在矩陣相似中的應(yīng)用由北大數(shù)學(xué)教材高等代數(shù)第七章定理，我們知道 ： 數(shù)域上的級(jí)矩陣與對(duì)角陣相似的充要條件為的最小多項(xiàng)式是上的互素的一次因式的乘積.由此得出的推論如下：推論1若的某一零化多項(xiàng)式?jīng)]有重根，則與對(duì)角方陣相似，且對(duì)角陣的元素都是此零化多項(xiàng)式的根.證明 設(shè)多項(xiàng)式?jīng)]有重根且，由于 (4) 故也沒有重根，所以存在對(duì)角陣，使得則都是的特

14、征根,同時(shí) 都是的根.由(4)知都是的根. 我們由北大數(shù)學(xué)教材高等代數(shù)第七章第九節(jié)中的推論可以知道：復(fù)數(shù)矩陣與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是的最小多項(xiàng)式?jīng)]有重根.有推論1可以判斷方陣能否與對(duì)角陣相似.下面舉例說明與對(duì)角矩陣相似的一些特殊矩陣.例7 證明在以下三種條件下矩陣是否可以對(duì)角化. 證明（1）由于，得到，取使零化. 由于無重根，故其中.（2）由，得，故使零化.由于沒有重根，故，.（3）由于故得為零化多項(xiàng)式.但是它有重根，由推論2知不可對(duì)角化.3.3矩陣最小多項(xiàng)式在微分方程組中的應(yīng)用在歷年研究生入學(xué)考試中,對(duì)矩陣的最小多項(xiàng)式的考查綜合性較強(qiáng),能力要求較高,是個(gè)難點(diǎn).下面通過線性微分方程組的定

15、解問題和有關(guān)定理來說明矩陣的最小多項(xiàng)式在常微分方程組中的靈活運(yùn)用.在線性控制系統(tǒng)中，常常涉及求解線性微分方程組的問題，用矩陣函數(shù)理論給計(jì)算帶來很大方便.對(duì)于一階線性微分方程組的定解問題：，其中易得方程組的唯一解為： 上述求解可歸納為的計(jì)算，一般都用矩陣標(biāo)準(zhǔn)型來求解矩陣函數(shù)或,但是若矩陣與對(duì)角陣不相似，計(jì)算過程會(huì)很復(fù)雜.如果運(yùn)用矩陣的最小多項(xiàng)式理論，計(jì)算過程將大大簡化.如何運(yùn)用矩陣的最小多項(xiàng)式理論快速地求出基解矩陣呢？為此我們引入下述定理：定理5 若矩陣的最小多項(xiàng)式為次多項(xiàng)式，其中為的所有互不相同的特征值，又與收斂的復(fù)變冪級(jí)數(shù)相應(yīng)的是的收斂冪級(jí)數(shù)，則可表為的次多項(xiàng)式，并且其中系數(shù)，由以下方程組確

16、定：對(duì)例8 求下列微分方程組的定解. 其中解 有定解理論得出方程組的解為：其特征方程為. 易得矩陣的最小多項(xiàng)式 設(shè)，得 解之得：則有故定解為： 從例8中我們可以看出，如果利用特征多項(xiàng)式來求解，由于特征多項(xiàng)式.特征根有兩個(gè)，且特征值1的次數(shù)為2，計(jì)算量顯然要比例題中的解法復(fù)雜.由此可見，用矩陣最小多項(xiàng)式計(jì)算微分方程組的標(biāo)準(zhǔn)矩陣和齊次線性微分方程組的初值問題能起到簡化計(jì)算的目的. 此題通過利用矩陣的最小多項(xiàng)式靈活地求出了微分方程組的定解,體現(xiàn)了其在交叉學(xué)科中的重要地位. 參 考 文 獻(xiàn) 1 趙禮峰.矩陣最小多項(xiàng)式求法探討j.淮北煤師院學(xué)報(bào).1993,3(14):60-65.2 吳潔華.矩陣最小多項(xiàng)

17、式的求解及應(yīng)用j.韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào).2010,6(31):19-24.3 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論m.北京：高等教育出版社，2003.4 韓振芳，楊小姝，王宇紅.有關(guān)最小多項(xiàng)式定理及其應(yīng)用j.河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)報(bào)）2006，3（22）：4-5.5 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)m.北京：高等教育出版社，2003. 6 龍小胖.最小多項(xiàng)式的求法j.井岡山師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)）.2004，5（25）：54-55.7 賀加來.矩陣的最小多項(xiàng)式的進(jìn)一步探討j.巢湖學(xué)院學(xué)報(bào).2006,3(8):157-159.8 朱思銘，王壽松，李艷會(huì).常微分方程m.北京：高等教育出版社，2006.9 靳艷芳.最小多項(xiàng)式的性質(zhì)、求法及應(yīng)用d.河南鄭州：鄭州華信學(xué)院綜合教育部,1994. 10 王子瑜，陳華如.矩陣最小多項(xiàng)式在微分方程組中的應(yīng)用j.銅陵學(xué)院學(xué)報(bào).2004(3):67-71. discussion on minimal polynomial of matrix li ju-huaabstr