專題七--二次函數(shù)全等三角形的存在性問題PPT課件

1、專題七專題七 二次函數(shù)綜合題二次函數(shù)綜合題 類型五全等三角形的存在性問題類型五全等三角形的存在性問題 (銅仁2017.25(2) 【方法指導(dǎo)】【方法指導(dǎo)】全等的兩個(gè)三角形，在沒指明對(duì)應(yīng)點(diǎn)的情況下，理論上應(yīng)分 六種情況討論，但實(shí)際問題中通常不超過四種，常見有如下兩種類型，每 類分兩種情況討論就可以了 兩個(gè)三角形有一條公共邊兩個(gè)三角形有一條公共邊 確定方法：以公共邊為對(duì)稱軸在兩邊作對(duì)稱圖形，則ABCABE；作ABC， ABE關(guān)于AB的垂直平分線對(duì)稱的圖形，則ABCBAD，ABEBAF 有一組對(duì)應(yīng)角相等有一組對(duì)應(yīng)角相等 ABC與DEF全等，BE(或等于90)則 ABCDEF； ABCFED. 注：B

2、E90時(shí)，通常根據(jù) 勾股定理求解 典例精講典例精講 例例(2017銅仁25(1)(2)如圖，拋物線yx2bxc經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，B(0， 2)，并與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸l上任意一點(diǎn)(點(diǎn)M、B、C三 點(diǎn)不在同一直線上) (1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式； 例題圖 【思維教練】將點(diǎn)A、B分別代入拋物線的表達(dá) 式，通過解方程組，可得到b，c的值 解：解：將點(diǎn)A(1，0)，B(0，2)代入yx2bxc中，得 ， 解得， 二次函數(shù)表達(dá)式為yx2x2； 10 2 bc c 1 2 b c (2)在拋物線上找出兩點(diǎn)P1、P2，使得MP1P2與MCB全等，并求出P1、 P2的坐標(biāo) 【思維

3、教練】利用全等時(shí)對(duì)應(yīng)邊相等，結(jié)合拋物線 的對(duì)稱性，分兩種情況：分別作B、C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱 軸對(duì)稱的點(diǎn)，所作對(duì)稱點(diǎn)即為所求P1，P2點(diǎn)；作 BC的平行線，與拋物線的交點(diǎn)，即為所求P點(diǎn) 例題圖 解：解：令yx2x20，得 x11，x22， 所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，0) 易得拋物線對(duì)稱軸為x， 如解圖，取點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸l的對(duì)稱點(diǎn)A， 點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸l的對(duì)稱點(diǎn)為B(1，2)， 則當(dāng)點(diǎn)P1，P2與A，B重合時(shí)，有MP1P2與MBC全等， 此時(shí)，P1(1，0)，P2(1，2) 例題解圖 1 22 b a 過點(diǎn)M作MP1BC，交拋物線于點(diǎn)P1，如解圖， 若MP1CCBM，則MP1CB. 四邊形MBCP1為平行四邊

4、形，xMxBxP1xC； xMxBxC02. 將x代入yx2x2中，得y， P1(，)，此時(shí)P2與C點(diǎn)重合，P1(，)， P2(2，0) 綜上所述，滿足條件的P1，P2點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P1(1，0)， P2(1，2)；P1(，)，P2(2，0) 1 2 5 2 5 2 7 4 5 2 7 4 5 2 7 4 5 2 7 4 例題解圖 1 p x 針對(duì)演練針對(duì)演練 1.(2017包頭)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 y x2bxc與x軸交于A(1，0)，B(2，0)兩點(diǎn)，與 y軸交于點(diǎn)C. (1)求該拋物線的解析式； (2)直線yxn與拋物線在第四象限內(nèi)交于點(diǎn)D，與 線段BC交于點(diǎn)E，與x軸

5、交于點(diǎn)F，且BE4EC. 求n的值； 連接AC，CD，線段AC與線段DF交于點(diǎn)G，AGF 與CGD是否全等？請(qǐng)說明理由 3 2 第1題圖 解：(1)拋物線y x2bxc與x軸交于A(1，0)，B(2，0)兩點(diǎn)， 將A(1，0)，B(2，0)代入拋物線解析式可得 ， 解得 ， 該拋物線的解析式為y x2 x3； 3 2 3 0 2 620 bc bc 3 2 3 b c 3 2 3 2 (2) 如解圖，過點(diǎn)E作EEx軸于點(diǎn)E，EEOC， ， BE4CE，BE4OE，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x，y)， OEx，BE4x. 點(diǎn)B坐標(biāo)為(2，0)，OB2， x4x2，x ， 拋物線y x2 x3與y軸交于點(diǎn)C

6、， 當(dāng)x0時(shí)，y3， C(0，3) BE OE BE CE 2 5 3 2 3 2 第1題解圖 設(shè)直線BC的解析式為ykxb1， B(2，0)，C(0，3)，將B、C兩點(diǎn)代入解析式，得 ， 解得k ， 直線BC的解析式為y x3. 當(dāng)x 時(shí)，代入直線BC的解析式，得y ， E(， ) 點(diǎn)E在直線yxn上， n ，n2； 1 1 20 3 kb b 3 2 3 2 2 5 12 5 2 5 12 5 2 5 12 5 全等；理由如下： 直線EF的解析式為yx2，當(dāng)y0時(shí)，x2， F(2，0)，OF2. A(1，0)，OA1，AF1， 拋物線與直線yx2相交于點(diǎn)D，聯(lián)立方程，得 ， 解得 或 .

7、點(diǎn)D在第四象限，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，3) 2 33 3 22 2 yxx yx 1 1 2 3 4 3 x y 2 2 1 3 x y 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)， CDx軸，CD1， AFGCDG， FAGDCG， CDAF1， AGFCGD(ASA) 2. 如圖，一次函數(shù)y x2與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y x2bxc經(jīng)過點(diǎn)A，B，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 射線BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AO運(yùn)動(dòng)， 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒 (1)求此拋物線的表達(dá)式； (2)求當(dāng)APQ為等腰三角形時(shí)，所有滿足條件的t的值； (3)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)

8、直接寫出t為何值時(shí)，APQ的 面積達(dá)到最大？此時(shí)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)T，使得APTAPO？ 若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 3 3 2 3 第2題圖 解：(1)把x0代入y x2中，得y2. 把y0代入y x2中，得x2. A(2，0)，B(0，2)， 把A(2，0)，B(0，2)分別代入y x2bxc中，得b ，c2， 拋物線的表達(dá)式為y x2 x2； 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (2)OA2，OB2，由勾股定理，得AB 4， BAO30. 運(yùn)動(dòng)t秒后，AQt，BP2t. 由APQ為等腰三角形，有QAQP，APAQ，PAPQ三種情況， 3 22

9、 OAOB 當(dāng)QPQA時(shí)，如解圖，過點(diǎn)Q作QDAB于點(diǎn)D，則D為AP的中點(diǎn) 在RtADQ中，QD AQ t， ADPD AQ t， AP t， BPAPAB， 2t t4. 解得t84； 1 2 1 2 3 2 3 2 3 3 3 第2題解圖 當(dāng)APAQ時(shí)， ()若點(diǎn)P在x軸上方的直線AB上，APt，BP2t， BPAPAB， t2t4， 解得t . ()若點(diǎn)P在x軸下方的直線AB上， APBPABAQ， 2t4t， 解得t4； 4 3 當(dāng)PAPQ時(shí)，如解圖，過點(diǎn)P作PEAO于點(diǎn)E. 則AE AQ t， 在RtPEA中，PE AE t. AP2PE t. BPAPAB， 2t t4. 解得t

10、. 綜上所述，當(dāng)APQ為等腰三角形時(shí)，t的值為84 或 或4或 ； 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 244 3 11 3 4 3 244 3 11 第2題解圖 (3)如解圖，過點(diǎn)P作PFAO于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FP交拋物線于點(diǎn)T，連接AT. PF為APQ底邊AQ上的高 AP42t，BAO30， PF AP2t. SAPQ AQPF t(2t) (t1)2 . 當(dāng)t1時(shí)，APQ的面積最大 此時(shí)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，且P(，1) 連接OP，則OPAPBP， 點(diǎn)P(，1)，點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為 ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 第2題解圖 33 將x 代入拋物線的解析式，得y3. TPO

11、P2. 在RtTFA中，由勾股定理可知：TA2， AOTA. APTAPO. 存在點(diǎn)T，使APTAPO， 點(diǎn)T的坐標(biāo)為(，3) 3 3 3 類型六切線問題類型六切線問題 (遵義2015.27(3)；銅仁2015.23(3) 【方法指導(dǎo)】【方法指導(dǎo)】拋物線中有關(guān)圓的切線的問題，一般為兩種類型：已知直 線與圓相切的相關(guān)計(jì)算；已知直線與圓相切，求直線解析式對(duì)這兩種 問題，一般解題方法如下： 已知圓與直線相切時(shí)，連接切點(diǎn)與圓心，得到垂直，再結(jié)合題干中的已 知條件，利用直角三角形或相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；若判斷拋物線對(duì) 稱軸與圓的位置關(guān)系，只要根據(jù)圓心到對(duì)稱軸距離與圓半徑大小關(guān)系即可 確定；若已知圓與

12、直線相切，需根據(jù)題意分析，切線只存在一條，還是 兩條，若為兩條，常要進(jìn)行分類討論計(jì)算，然后根據(jù)勾股定理或相似列方 程求出點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線解析式 典例精講典例精講 例例如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，B(2，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，2) (1)求拋物線的解析式； 【思維教練】根據(jù)題意設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式， 將C(0，2)代入即可得解 例題圖 解：解：拋物線過點(diǎn)A(4，0)，B(2，0)， 設(shè)拋物線解析式為：ya(x4)(x2)，把C(0，2)代入，得 2a4(2)，即a， 所求拋物線的解析式為 y(x4)(x2)x2x2； 1 4 1 4 1 4 1 2 (2)若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

13、且在直線AC上方，當(dāng)以A、C、D三點(diǎn) 為頂點(diǎn)的三角形面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及此時(shí)三角形的面積； 【思維教練】求解此題，關(guān)鍵是用D的坐標(biāo)表示 出ACD的面積，且由題意知yD0，將ACD 拆分成同底，且以點(diǎn)A、C為頂點(diǎn)的兩個(gè)三角 形求解 例題圖 解：解：依題意可設(shè)D(x，x2x2)(4x0)， 如解圖，連接AC，過點(diǎn)D作DFx軸交AC于點(diǎn)F， 設(shè)直線AC的解析式為ykxb(k0)，將點(diǎn)A(4，0)，C(0，2)代入， 得，解得， 直線AC的解析式為yx2， F(x，x2)， 1 4 1 2 40 2 kb b 1 2 2 k b 1 2 1 2 SADCSADFSCDF (xDxA)(yDyF)

14、(xCxD)(yDyF) (xCxA)(yDyF) 4(x2x2x2) x22x (x2)22， 0，4x0，MQEQ，ME5，MQ3， 由勾股定理得EQ4， ，解得或(舍去)， 點(diǎn)Q(，)，同理可得點(diǎn)P(，)， 例題解圖 2222 53MEMQ 2 2 22 13 154 mn mn 1 1 7 5 9 5 m n 2 2 17 5 9 5 m n 7 5 9 5 17 5 9 5 設(shè)直線l1和直線l2的解析式分別為y1k1xb1，y2k2xb2， 則，解得；，解得. 直線l1、l2的解析式分別是 y1x，y2x. 直線l的解析式是 yx或yx. 11 11 179 55 5 kb kb 1

15、 1 4 3 19 3 k b 22 22 79 55 5 kb kb 2 2 4 3 11 3 k b 4 3 19 3 4 3 11 3 4 3 19 3 4 3 11 3 針對(duì)演練針對(duì)演練 1. 如圖，拋物線yax2bx3(a0)與x軸交于A(3，0)、 B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸是直線x1， D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在y軸C點(diǎn)的上方，且CE. (1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)； (2)求證：直線DE是ACD的外接圓的切線 第1題圖 1 2 (1)解：解：拋物線的解析式為yax2bx3，對(duì)稱軸為直線x1， x1，即b2a， 點(diǎn)A(3，0)在拋物線上，9a3b30， 聯(lián)立得，

16、解得， 拋物線的解析式為yx22x3. 當(dāng)x1時(shí)，y1234， 頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)； 2 b a 2 9330 ba ab 1 2 a b (2)證明：點(diǎn)C是拋物線yx22x3與y軸的交點(diǎn)， 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)， AC3，CD ，AD2， AC2CD2AD2， ACD是直角三角形，且ACD90， AD是ACD外接圓的直徑 如解圖，過點(diǎn)E作EFCD于點(diǎn)F， tanECD 1， ECD45，EFCF CE ， 225 D DC x yy 1 43 2 2 2 4 第1題解圖 CD ，DFCDCF ， tanEDF ， tanCAD tanCDE， CADCDE， CDECDACDACAD

17、90， 即EDA90， DE是ADC的外接圓的切線 22 2 4 2 4 EF DF 2 4 3 2 4 1 3 CD AC 1 3 2 3 2 2. 如圖，拋物線yax2bxc(c0)經(jīng)過x軸上的兩點(diǎn) A(x1，0)、B(x2，0)和y軸上的點(diǎn)C(0， )，P的圓 心P在y軸上，且經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，若b a，AB2. (1)求拋物線的解析式； (2)D在拋物線上，且C、D兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì) 稱，問直線BD是否經(jīng)過圓心P？并說明理由； (3)設(shè)直線BD交P于另一點(diǎn)E，求經(jīng)過點(diǎn)E的P的切線 的解析式 3 2 33 第2題圖 解：(1)y軸上的點(diǎn)C(0， )，c ， 由題意知，b a，AB2， 令ax2 ax 0，|x1x2|2， 解得a ，b ； 拋物線的解析式是：y x2 x ； 3 2 3 2 33 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3 2 (2)直線BD經(jīng)過圓心P.理由如下： 由(1)知對(duì)稱軸為x ，D( ， )， 3 2 3 3 2 令 x2 x 0，得x1 ，x2 ， 即A( ，0)，B(，0)， 則直線BD的解析式為y x ， 如解圖，連接BP，設(shè)P的半徑