數(shù)列求和的幾種方法數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題綜述

1、數(shù)列求和的幾種方法、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題一. 教學(xué)難點(diǎn)： 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題二. 課標(biāo)要求：1. 探索并掌握一些基本的數(shù)列求前 n 項(xiàng)和的方法；2. 能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)和遞推關(guān)系，并能用有關(guān)等差、等比數(shù)列知 識(shí)解決相應(yīng)的實(shí)際問題三 . 命題走向： 數(shù)列求和和數(shù)列綜合及實(shí)際問題在高考中占有重要的地位， 一般情況下都是出一道解答 題，解答題大多以數(shù)列為工具，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)，通過運(yùn)用逆推思想、 函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等各種數(shù)學(xué)思想方法， 這些題目都考查考生 靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，它們都屬于中、高檔題目有關(guān)命題趨勢：1. 數(shù)列是

2、一種特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)和數(shù)列的有效工具，三者的綜合 題是對基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗(yàn)，在三者交匯處設(shè)計(jì)試題，特別是代數(shù)推理題是高考的重點(diǎn)；2. 數(shù)列推理題將繼續(xù)成為數(shù)列命題的一個(gè)亮點(diǎn)，這是由于此類題目能突出考查學(xué)生的邏 輯思維能力，能區(qū)分學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈敏程度、靈活程度；3. 數(shù)列與新的章節(jié)知識(shí)結(jié)合的特點(diǎn)有可能加強(qiáng)，如與解析幾何的結(jié)合等；4. 有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題也一直備受關(guān)注【教學(xué)過程】 一、基本知識(shí)回顧1. 數(shù)列求通項(xiàng)與和sn sn 1n 2（ 1）數(shù)列前 n項(xiàng)和 Sn與通項(xiàng) an的關(guān)系式： an s1n 1 （2）求通項(xiàng)常用方法 作新數(shù)列法作等差數(shù)列與等比數(shù)列 累差疊加法最

3、基本的形式是： an（anan1）（ an1 an 2）（ a2 a1） a1 歸納、猜想法 （ 3）數(shù)列前 n 項(xiàng)和 重要公式：等差和等比數(shù)列的求和公式11 2 n 2 n（n 1）；11222 n2 6 n（n 1）（ 2n 1）；11323 n3（ 1 2 n）2 4 n2（n1） 2； 裂項(xiàng)相消法將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和，即anf（n1） f（n），然后累加抵消掉中間的許多項(xiàng)， 這種先裂后消的求和法叫裂項(xiàng)求和法 用裂項(xiàng)法求和， 需要掌握一些常見的裂項(xiàng)，1 1 1 1 1 1 1 an（ ）如： n （An B）（An C） C B An B An C 、 n（n 1） n n

4、1等 錯(cuò)位相減法（可用于推導(dǎo)等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式）n 項(xiàng)和，常用錯(cuò)位相減對一個(gè)由等差數(shù)列及等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前法 an bn cn ， 其中 bn 是等差數(shù)列， cn 是等比數(shù)列，記Sn b1c1 b2c2bn 1cn 1 bn cn ，則 qSn b1c2bn 1cn bncn 1， 分組轉(zhuǎn)化求和 把數(shù)列的某些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn 倒序相加法(可用于推導(dǎo)等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式)， an)稱為數(shù)列的遞歸關(guān) an 1 2an 1，及 a12. 遞歸數(shù)列 數(shù)列的連續(xù)若干項(xiàng)滿足的等量關(guān)系 ank f( ank1，ank2，系由遞歸關(guān)系及 k 個(gè)初始值可以確定的一個(gè)數(shù)列叫做遞歸

5、數(shù)列如由 n1)2)3)4) 1，確定的數(shù)列 2 1 即為遞歸數(shù)列 遞歸數(shù)列的通項(xiàng)的求法一般說來有以下幾種： 歸納、猜想 迭代法 代換法包括代數(shù)代換，對數(shù)代數(shù)，三角代數(shù) 作新數(shù)列法最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題典型例題】1i 1 ai ai 1 例 1. 已知數(shù)列 an 為等差數(shù)列，且公差不為 n 1 n 1 1 11 1 ( 1 1 )解： 首先考慮 i 1 ai ai 1 i 1 d ai ai 1點(diǎn)評：已知數(shù)列 an 為 等差數(shù) 列，且公差不為 0，首 項(xiàng)也不為 0， 下列求 和 n 1 n ai 1aii 1ai 1 i 1 d0，首項(xiàng)也不為 0，求和：n 1 1 1( ，

6、則 i 1 ai ai 1 d a11n)an 1a1an 1 也可用裂項(xiàng)求和法1 1 *1 ,(n N*)例 2. 求 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 n121 2 k k(k 1) ，1 1 11 2 2 3ak解：Sn 2n(n 1)12 1 .n 1 n 1 n 1 點(diǎn)評： 裂項(xiàng)求和的關(guān)鍵是先將形式復(fù)雜的因式轉(zhuǎn)化的簡單一些1111122321 2nf (x)x 1例 3. 設(shè)2x2 ，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前 n項(xiàng)和的方法，可求得f( 5) f( 4) f(0) f(5) f (6)的值為 解：課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的方法為倒序相加法 .因?yàn)? 1 2f(x)

7、f (1 x) x 1 x2x 2 21 x2 22f( 5) f(6) f( 4) f (5) f (0) f(1)所以 22原式 6 2 3 2點(diǎn)評： 本題曾為上海高考題， 主要考查考生對課本的熟練程度和倒序相加法的應(yīng)用，其中有函數(shù)式子的變化，計(jì)算能力的考查例 4. 已知 a 0,a 1，數(shù)列 an 是首項(xiàng)為 a，公比也為 a 的等比數(shù)列，令 bn an lgan (n N) ，求數(shù)列 bn 的前 n項(xiàng)和 Sn nn解： an an,bn n an lga，Sn (a 2a2 3a3nan )lg a aSn (a2 2a3 3a4nan 1)lg a 2 n n 1得： (1 a)Sn

8、(a a a na )lga，Snalg a2 1 (1 n na)ann (1 a)2點(diǎn)評：設(shè)數(shù)列 an 是等比數(shù)列，數(shù)列 bn 是等差數(shù)列，則對數(shù)列 anbn 的前 n項(xiàng)和 Sn 進(jìn)行求解，均可用錯(cuò)位相減2 n 1例 5. 數(shù)列l(wèi)g1000,lg(1000 cos60 ), lg(1000 cos2 60 ),.lg(1000 cosn 160 ), 的前多少 項(xiàng)和為最大？解：Snan 3 (n 1)lg2, an 是以 3為首項(xiàng)，以 lg 2 為公差的等差數(shù)列，lg2 2 6 lg 2n n,22n3 3 (n 1)lg 26 lg 2n對稱軸 2lg 210.47, n N,10,11

9、比較起來 10 更靠近對稱軸前 10 項(xiàng)和為最大an 0另法：由 an 1 0 ，得 9.9 n 10.9 點(diǎn)評： 求和的最值關(guān)鍵在于找分界點(diǎn) .1 1 1例 6. 求數(shù)列 1，3 3，3232 ，3n 3n 的各項(xiàng)的和1 1 13n 1 1 1 3 n 1解： 其和為( 133n)( 3 3 3 ) 2 2 2 ( 3n 1 n3 ) 點(diǎn)評： 分組轉(zhuǎn)化法求和 .例 7. (2006年浙江卷 20)已知函數(shù) f(x)x3x2，數(shù)列x n(xn 0)的第一項(xiàng) x11，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線y f (x)在(xn 1 f(xn 1)處的切線與經(jīng)過( 0， 0)和( xn， f ( xn)兩點(diǎn)

10、的直線平行(如圖) 求證：當(dāng) n N 時(shí)：( I)1 n 1 1 n 2 ( )n 1 xn ( )n 2 ( II) 2 22解：(I)因?yàn)?f (x) 3x2 2x,2 所以曲線 y f(x)在(xn1,f(xn 1)處的切線斜率 kn 1 3xn1 2xn 1.2 因?yàn)檫^ (0,0) 和 (xn, f ( xn )兩點(diǎn)的直線斜率是 xn xn, 所以 xn2 xn 3xn2 1 2xn 1. (II)因?yàn)楹瘮?shù) h(x) x2 x當(dāng) x 0時(shí)單調(diào)遞增，2 2 2 而 xn xn 3xn 1 2xn 1 4xn 1 2xn 1xn 1 1,22(2xn 1) 2xn 1所以 xn 2xn 1

11、 ，即 xn xn 1x2xn 222(xn21 xn 1),yn 1 1.2xn xn 因此xn 12 又因?yàn)?xn xnx11 n 1(2)n 1.令 ynxn, 則 yn1 n 1 x2 x 2,yn ( )x1 x1 2, 所以22 1 n 2xn xn ( ) ,21 n 1 1 n 2( )n 1 xn ( )n 2 .2因?yàn)?y1y1(12)n2xn 因此 n1 故2 點(diǎn)評： 數(shù)列與解析幾何問題結(jié)合在一塊， 系數(shù)列的通項(xiàng)與線段的長度、 點(diǎn)的坐標(biāo)建立起聯(lián)例 8. （2005上海高考 20.）假設(shè)某市 2004 年新建住房 400萬平方米，其中有 250萬平方米是中低價(jià)房 .預(yù)計(jì)在今

12、后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50 萬平方米 .那么，到哪一年底，（ 1）該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積（以2004 年為累計(jì)的第一年）將首次不少于4750 萬平方米 ?（ 2）當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?解：（ 1）設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列 an ，由題意可知 an 是等差數(shù)列，例 9. 某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，1 萬元，以后每年比前一年增加 30% 的利潤； 元，以后每年比前一年增加 銀行兩種形式的貸款都按年息1.0510 1.629,1.310 13.786,1.5解：

13、甲方案是等比數(shù)列，乙方案是等差數(shù)列，1萬 若甲方案獲利：元），1 (1 30%) (1 30%) 2 (1 30%) 91.310 1 42.630.3銀行貸款本息：故甲方案純利：10(1 5%)10 16.29 (萬元)，42.63 16.29 26.34 (萬元)，1 (1 0.5) (1 2 0.5) (1 9 0.5)乙方案獲利：32.50 （萬元）；29銀行本息和： 1.05 1 （1 5%） （1 5%）2 （1 5%）9 1.0510 11.05 13.210.05 （萬元） 故乙方案純利： 32.50 13.21 19.29 綜上可知，甲方案更好 點(diǎn)評：這是一道比較簡單的數(shù)列應(yīng)

14、用問題， 通項(xiàng)公式并運(yùn)用所學(xué)過的公式求解萬元）；10 1 10 9 0.5由于本息與利潤是熟悉的概念，因此只建立n（n 1）50 2其中 a1 250， d 50，則 Sn250n2 25n2 225n，令 25n 2225n 4750，即 n29n1900，而 n 是正整數(shù)， n10到 2013 年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于 4750 萬平方米（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列 bn ，由題意可知 bn 是等比數(shù)列， 其中 b1400，q1.08，則 bn 400（1.08）n10.85由題意可知 an 0.85 bn，有 250（n1）50400（1.08）n10.85 由計(jì)

15、算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n 685% 關(guān)鍵是如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題， 注到 2009 年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于 點(diǎn)評： 本題考查等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題， 意解應(yīng)用題的設(shè)、列、解、答四個(gè)步驟甲方案： 一次性貸款 10 萬元， 第一年便可獲利 乙方案：每年貸款 1 萬元，第一年可獲利 5 千元；兩種方案的使用期都是 10 年，到期一次性歸還本息5%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？（取10 57.665 ）a1 3a2 32 a3 3n 1an3 ，a N 例 10. （ 2007 山東理 17）設(shè)數(shù)列 an 滿足 （）求數(shù)列 an

16、的通項(xiàng)；）設(shè)an ，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Sn a1 3a2 32 a3 .3n 1an n 解：( I) 32 n 2 n 1a1 3a2 3 a3 .3 an 1(n 2),313 （n 2）.n 1 n n 1 3n 1 ann 3 31 an3n （n 2）.驗(yàn)證 n 1 時(shí)也滿足上式， 3n（ II） bn n 3 ，Sn 1 3 2 3 3 3 .n 32Sn 3 3 3 3 n 3n13 3 n 12Snn 3n 1 3 ，Sn n 3n 1 1 3n 1 3n 244例 11. （2007山東文 18）設(shè)an是公比大于 1的等比數(shù)列， Sn為數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和已 知

17、 S3 7 ，且 a1 3，3a2， a3 4構(gòu)成等差數(shù)列（1）求數(shù)列 an 的等差數(shù)列（ 2）令 bn ln a3n 1， n 1，2， ，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tna1 a2 a3 7，3a2.: （a1 3） （ a3 4）解：（1）由已知得解得 a2 2 設(shè)數(shù)列 an的公比為 q，由 a2 22 2 2q 7又 S3 7 ，可知 q ，2即 2q2 5q 2 0 ，1q1 2， q2解得 2 由題意得 q 1， q 2 a1 1 可得2a1， a3q2q故數(shù)列 an的通項(xiàng)為 an 2n 1（ 2）由于 bn ln a3n 1， n 1，2， ， 3n由（ 1）得 a3n 1 2

18、bn ln 23n 3nln2又 b n 1 b n 3 ln 2bn 是等差數(shù)列Tn b1 b2bnn(b1 bn )2 n(3ln 2 3nln 2)2 3n(n 1)ln 2.2Tn 3n(n 1)ln 2故 2 點(diǎn)評： 2007 年山東高考文科和理科數(shù)列的題目都在大題的前兩題的位置，理科考查的 是錯(cuò)位相減法求和，文科為等差和等比數(shù)列公式的應(yīng)用，都考查了考生的運(yùn)算能力例 12. (2007福建文 21)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為 Sn，a1 1，an 1 2Sn(n N*) ()求數(shù)列 an 的通項(xiàng) an ；()求數(shù)列 nan 的前 n 項(xiàng)和 Tn 解：()an 1 2Sn ，Sn 1 S

19、n 2Sn ，SSnn1 3又 S1 a1 1 ，Sn 3n 1(n N *)數(shù)列 Sn 是首項(xiàng)為 1，公比為 3 的等比數(shù)列， 當(dāng) n 2時(shí)， an 2Sn 1 2 3 (n 2) ，1, n 12 3n 2n2) Tn a1 2a2 3a3nan ，當(dāng) n 1 時(shí)， T1 1 ；當(dāng) n 2 時(shí)， Tn 1 4 30 6 312n 3n 2 ，3Tn 3 4 31 6 32 2n 3n 1 得： 2Tn 2 4 2(31 32 3n 2 ) 2n 3n 1n23(1 3 ) n 12 2 2n 3 n 1 131 (1 2n) 3n 1 Tn 21 n 12 3n 1(n2) 又 T1 a1

20、 1 也滿足上式，Tn 1 n 1 3n 1（n N* ） n 2 2 點(diǎn)評： 本小題考查數(shù)列的基本知識(shí)， 考查等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，考 查分類討論及化歸的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理和運(yùn)算能力滿分 12 分思維小結(jié)1. 數(shù)列求和的常用方法（1）公式法：適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；c（2）裂項(xiàng)相消法：適用于 部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等；anan 1其中 an 是各項(xiàng)不為 0 的等差數(shù)列， c 為常數(shù)；（3） 列（4）（5）錯(cuò)位相減法：適用于anbn 其中 an 是等差數(shù)列， bn 是各項(xiàng)不為 0 的等比數(shù)倒序相加法：類似于等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法

21、. 分組求和法2. 常用結(jié)論 nkk1n（2k 1） 2135.（2n1） n1 n（n 1）（2n 1）61）2）3）k1nk2k11 2 3 . nn(n 1)212 22 32 n 24）n(n 1)11 n n 1n(n 2) 2 (nn2pq（5）3. 數(shù)學(xué)思想1 1 11 (1 1)q p p q(p q)1）迭加累加（等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法）an an 1 f ( n),( n 2)，則；ang(n)(n 2)an 1，則；設(shè)、列、解、答四步驟不可（2）迭乘累乘（等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法）若（3）逆序相加（等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法）（4）錯(cuò)位相減（等比數(shù)列求和公式的推

22、導(dǎo)方法）4. 應(yīng)用題注意審清題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列中的問題 少模擬試題】A. 98B.99C.96D.972. 在等差數(shù)列an 中，若 S4 1,S8 4 ，則a17 a18 a19 a20的值為（）A. 9B.12C.16D.173. 在等差數(shù)列an 中，a1 a2 . a50200, a51 a52.100 2700 ，則 a1 為ann n 1 ，則該數(shù)列的前（ ）項(xiàng)之和等于 9.1. 數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式)A. 22.54. 已知等差數(shù)列 等于( )A. 38B. 21.5 C. 20.5 D. 20 an的前n項(xiàng)和 Sn,若m 1,且am 1 am 1 am2 0,S2m 1

23、38,則mB.20C.10D. 9Sn2nan5.等差數(shù)列 an2A. 3bn6.已知數(shù)列的SnB.2n的前 n 項(xiàng)和分別為2n 13n 1n17.在等差數(shù)列d公差，則12a8Sn ， Tn ，若 Tn 3n 1 ，則 bn ()2n 1 2n 13n 1 D. 3n 4 a9 a10 a11 a12 C.，前 100 項(xiàng)的和 S100 45 ，則 a1 a3 a5 . a99a3 a7 a10 8,a11 a4 4, 則 S13q為10. (2007 北京理)若數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和 Sn n 10n(n 1，2，3， ) ，則此數(shù)列的通；數(shù)列 nan 中數(shù)值最小的項(xiàng)是第已知數(shù)列 an 的

24、前 n 項(xiàng)和 Sn 3 2 ，求 an 一個(gè)有窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為 1，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，如果其奇數(shù)項(xiàng)的和為 85 ，偶數(shù)項(xiàng)的和為 求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)數(shù)列 lg 1000, lg(1000 cos60 ), lg(1000 cos2 60 ),.lg(1000 cosn 1 60 ), 的前多少項(xiàng)項(xiàng)公式為項(xiàng)11.12.170 ，13. 和為最大？14. 已知數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和 Sn 1 5 一個(gè)等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且它的任何一項(xiàng)都等于它的后面兩項(xiàng)的和，則公比 13 . ( 1) (4n 3) ，求 S15 S22 S31 的值試題答案】ann 1 n,Sn2 1 3 2 . n 1 n1. B n n 1Snn 1 1 9, n 1 10,n 992. A S4 1,S8 S4 3,而 S4,S8 S4, S12 S8 , S16 S12 , S20 S16, 成等差數(shù)列即 1,3,5,7,9, a17 a18 a19 a20 S20 S16 9502700 200 50d 50,d 1,S50(a1 a50) 2003. Ca14. C2， a5 0 8, 2a1 49d 8,a214a11,20. 5am am am2 0,am (am 2) 0,am 2,S2m 12m 1(a 1 a m2 ) 1 (2m 1)a m 2 38,2m 1 192， m