專題橢圓的離心率解法大全

1、,利用定義求橢圓的離心率1,已知橢圓的長軸長是短軸長的2 倍,專題：橢圓的離心率-或e2a則橢圓的離心率 e22,橢圓42J 1的離心率為m解析當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),v4m2m 3 ；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，二4Jm16m 3綜上m 16或33,已知橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是2x4,已知m,n,m+n成等差數(shù)列，m, n, mn成等比數(shù)列，則橢圓 一m2J 1的離心率為n2n解析由n22m2m nmn2，橢圓-4m2yn1的離心率為1 25, 已知12m nx26, 設(shè)橢圓一2a1(m0.n0)則當(dāng)mn取得最小值時(shí)，橢圓2x2m2y2n1的的離心率為丄32(a b 0)的右焦

2、點(diǎn)為Fi,右準(zhǔn)線為l勺，若過F且垂直于x軸的弦的長等于點(diǎn) Fi到I 1的距離，則橢圓的離心率是1。2，運(yùn)用幾何圖形中線段的幾何意義結(jié)合橢圓的定義求離心率1,在 Rt ABC 中， A 90 , AB AC 1 ,如果一個(gè)橢圓過 AB兩點(diǎn),它的一個(gè)焦點(diǎn)為C另一個(gè)焦點(diǎn)在AB上，求這個(gè)橢圓的離心率e J6 J32,如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn),F是左焦點(diǎn)()則橢圓的離心率為解析b (-)a c3,以橢圓的右焦點(diǎn),直線AB1與BF交于D,且BDB190 ,兵12F2為圓心作圓，使該圓過橢圓的中心并且與橢圓交于2 21 a c acN兩點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為F1,直線MF與圓相切，則橢圓的離心率是 J31變式(

3、1):以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F為圓心作一個(gè)圓，使該圓過橢圓的中心I MFI = I MO，則橢圓的離心率是2 2X y4,橢圓 尹 + -=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為橢圓的離心率e?J3 1Fi、F2，以F1F2為邊作正三角形,O并且與橢圓交于M N兩點(diǎn)，如果若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則/3cc+解：| F1F2 | =2c| BF1 | =c | BF2 |22Xy變式(1):橢圓+ L=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為 F1、 ab解：連接 PF2 ,貝,OF | = | OF | = | OPI , / F1PF2 =902 2XV變式(2) 橢圓 + -=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為F1、 a bPF

4、2 / AB,求橢圓離心率？b2PF1 | =| F2 F1 | =2c | OB I =b | OA | =a a=並e 5將上題中的條件“ PF2 / AB”變換為“ PO /2.2 a =5c變式(3):寸3c=2a - e= F2，點(diǎn)P在橢圓上，使OPF為正三角形，求橢圓離心率?圖形如上圖，e3-1F2 , AB為橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且 PF丄X軸,PF 2 / AB 晉+=衛(wèi)| F2 F1 | aAB (O為坐標(biāo)原點(diǎn))”2 2Xy相似題：橢圓廠+=1(ab 0) , A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，a b解 ：| AO I =a | OF I =c | BF| =a | AB | a

5、2+b2a2+b2+a2 =(a+c) 2 =a2+2ac+c2 a 2-c 2-ac=0 兩邊同除以 a2B是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，/ ABF=90，求e?2+e-1=0 e= -1 + y5 e= 護(hù)(舍去)X2y2-1 + /5變式(1)：橢圓訂 +*丁 =1(ab 0) , e=一, A 是左頂點(diǎn)，點(diǎn)評(píng)：此題是上一題的條件與結(jié)論的互換，解題中分析各邊，由余弦定理解決角的問題。答案: 引申：此類二“號(hào)1的橢圓為優(yōu)美橢圓。性質(zhì)：(1)/ ABF=90(2) 假設(shè)下端點(diǎn)為 B ,則ABFB四點(diǎn)共圓。(3) 焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線之間的距離等于長半軸長。2 2 變式(2):橢圓X- 與 1(ab0)的四個(gè)頂

6、點(diǎn)為 A、B C、a2 b2V5 1橢圓的離心率e = .2F是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，求/ ABF?90D若四邊形 ABCD勺內(nèi)切圓恰好過橢圓的焦點(diǎn)，則提示：內(nèi)切圓的圓心即原點(diǎn)，半徑等于C,又等于直角三角形但r CAOB斜邊上的高，由面積得：ab r J a2 b2 ,2 24,設(shè)橢圓筈與1( a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 Fp F2 , a b的取值范圍。如果橢圓上存在點(diǎn) P,使 F1PF2 90，求離心率e解：設(shè) P x,y , F1c,0 , F2 c,0法1:利用橢圓范圍。由 FiP F2P得x2y2 c2，將這個(gè)方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y,可解得x22 2 Z 2 a c a

7、 b2 ab22/2 2 a (c a )2 。e由橢圓的性質(zhì)知0X2 a2，得以e 呼,1)。附：還可以用參數(shù)的方法也能求出離心率的范圍(與法1類似)法2:判別式法。由橢圓定義知 |PFj |PF2| 2a |PFj2 |PF2I2 2|PFjPF2I24a，又因?yàn)镕iPF90可得 |PFi |2 |PF2|2|FiF2 |2 4c2，則 |P Fi| PF2| 2(a22、 OU 2c ) 2b ,PFi，PF2是方程2 2z 2az 2b 0的兩個(gè)根，則4a28(a2c2)e22 c2 ae 2解法3：正弦定理設(shè)記 PFi F2PF2 Fi，由正弦定理有|PFi | |PF2|IF1F2

8、I|P Fi| | PF2|sin sinsin 90sin sin|FiF2|又因?yàn)閨 Ph | PF2 |2a,|FiF2| 2c,且90sin1sin所以解法5：4a22得c.a解法6：則返 sin( -)1 , 124利用基本不等式由橢圓定義，有22|PFi| |PF2|2|PFi| PF2|巧用圖形的幾何特性由 F1PF290，知點(diǎn)P在以|Fi F2|2a |PFi| |PF2|平方后得2 22(| PFi| |PF2| )2c為直徑的圓上。又點(diǎn)P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點(diǎn)P,故有c2 2X y 變式(1):圓0 +bL=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為 F1點(diǎn)，且/ PFiF2 =5

9、 / PF2F1 ,求橢圓的離心率 e分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應(yīng)用?！板睺甲I F1F2II F1PI解：由正弦疋理：.=.匚匚Dsin F iPHsin F 1F2P(-C, 0 )、PF2根據(jù)和比性質(zhì):22|FiF2|8c2b c2 b2a2c2F2(c,0) , P是以I FiF2 I為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交sin PFF2I F1F2 Isin F 1PF!I FiP I + I PF2 IsinF 1F2P+si n PF 1F2變形得:sin F 1PF2/ PFiF2 =75/ PF2F1 =15e=sin90 sin75 +sin15點(diǎn)評(píng)：在焦點(diǎn)三角形中，使用第一

10、定義和正弦定理可知I F1F2 II PF I + I F1P I sin F 1F2P +sin PF 1F2 =更3sin F 1PF22c =e 2ae=sin F 1F2 P +sin PF 1F22 2x y變式(2):橢圓L + 土L=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為F1 (-c , 0)、F2 (c,0) , P是橢圓上一點(diǎn)，且/ a b橢圓離心率e的取值范圍？分析：上題公式直接應(yīng)用。F1PF2 =60 ，求解：設(shè)/ FiF2P=a，則/F2F1 P=120 - asin F 1PF2sin 60e= =sin F 1F2P +sin PF 1F2sin a +sin(120 - a )

11、1 1 2sin( a +30 ) X 21二產(chǎn) e1變式：2過橢圓務(wù)a2令 1(a b0)的左焦點(diǎn)Fi作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P , F2為右焦點(diǎn)，若F1PF260，則橢圓的離心率e的值解析：因?yàn)閎2P( c,)，再由aF1PF260o有空2a,從而得e -aa 3變式：若A,B為橢圓2 x2 a2白1(ab 0)的長軸兩端點(diǎn)，Q為橢圓上一點(diǎn)，使 AQB1200,求此橢圓離心率的最小值。1變式(5):8、橢圓2x2a0上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B, F為其右焦點(diǎn)，若AF BF，設(shè)ABF，且再4 ,則橢圓的離心率的取值范圍為解析：設(shè)F為橢圓左焦點(diǎn)，因?yàn)閷?duì)角線互相平分，所以四邊形AFBF為平行四邊

12、形且為矩形,AB 2c,AF 2csin , BF2ccos , 2csin2ccos 2a ,所以sincossin,-得亜12426,如圖，在平面直角坐標(biāo)系2x xoy 中, A1, A2,B1,B2為橢圓二a2yb21(ab 0)的四個(gè)頂點(diǎn),F為其右焦點(diǎn)，直線A,B2與直線B1F相交于點(diǎn)T,線段OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線段橢圓的離心率為直線A1B2的方程為 -1，直線B1F的方程為- 過a b1，兩式聯(lián)立得T的坐標(biāo)a c2ac b(a c)所以中點(diǎn)M的坐標(biāo)為Yb(a c)，因?yàn)辄c(diǎn) a c 2(a c)M在橢圓上,代人方程得 4c2 (a c)24 a0,1 所以 e 2j7 5e210e2

13、x7,橢圓 a的取值范圍？分析： MF MF =0 以F1F2為直徑作圓，M在圓 解： c2c 2 0eb 0)的兩焦點(diǎn)為 F1(-c ,b0)、F2 (c,0)，滿足mfMF =0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部,如圖所示,畫圖可知點(diǎn)M的軌跡是以Jb,故7O上，與橢圓沒有交點(diǎn)。FiF2為直徑的圓，則它在橢圓內(nèi)部c bc2.2 2 2 b a c,Q02x8,橢圓一2a2+ yb=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為F1恰過F2點(diǎn)，求e的取值范圍？分析：思路1,如圖F1P與F2M垂直，根據(jù)向量垂直, 思路2:根據(jù)圖形中的邊長之間的不等關(guān)系，求0)、F2 (c,0)，P為右準(zhǔn)線2aL: x=上一點(diǎn)，F(xiàn)1 P的垂直平分線c

14、解法一：F1 (-c , 0) F 2 (c,0) P(2a,y 0 ) M(c找e2a-c c2a、b、c的不等關(guān)系。.2 既(藥少) 矗=-(2-02a(-+c) (則 PR =-(2a嚴(yán),y0 )2PF1 -MF =0( 一+c,cyo)b22y 022才=0a2-3c w 02b2 yo h 22 a 則 2c -c c2 a 一 c2a=2c I PE I一-ccJ3 則專w eb 0），過左焦點(diǎn)橢圓的離心率e的值解：設(shè)I BF1 I =m 貝,AF2 I =2a-am |，設(shè)ADFi2c,則EA J3c, ED c，由橢圓定義,-43 11且傾斜角為60的直線交橢圓與 AB兩點(diǎn)，若

15、IFiA| =2 I BFi I ,求在 AFF2 及 BF1F2 中,練習(xí)題：由余弦定理得:I =2a-m-c =m(2a-c)2 2、BFa2 a2(a 2-c 2)=m(2a+c)2ac 1兩式相除：=22e=32詁1(ab 0）上有一點(diǎn)Fi, F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),MFMF22b2，求橢圓的離心率.解析：由橢圓的定義，可得 MFMF22a 又 MFMF222b ,所以MFMF2是方程2x 2ax2 22b 0的兩根，由 （2a）24 2b20,可得a2b2,2 2 2即a 2(c a )所以所以橢圓離心率的取值范圍是% ,1）232,在 ABC 中，A 90, tanB .若以 A,4

16、ABB為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，則該橢圓的離心率解析AB 4k, AC 3k, BC 5k,eAC BC3,已知F1,F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn)，若 為 _.解析爲(wèi)1三角形三邊的比是1:J3:2丄2PF1 F2 :PF2F1 :F1PF21:2:3,貝毗橢圓的離心率4,在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓2 2x y,T 721( a ba b0）的焦距為2 a 2，以O(shè)為圓心，a為半徑的圓，過點(diǎn),0c作圓的兩切線互相垂直,2解析王 J2ac則離心率-晅25,在ABC 中,300,|AB| 2, S ABC 託.若以 AB為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C ,則該橢圓的離心率【解題思路】由條件知三角形可解，然后用

17、定義即可求出離心率1Sabc ?|AB| AC |si nA 吳|AC| 2J3|BC|J|AB|2 |AC |2 2| AB| |AC|cosA 2|AB| AC| |BC| 243 226，已知橢圓ya2 b221(a b則該橢圓的離心率的取值范圍為解析PFi即 |pf2|0）的左、右焦點(diǎn)分別為PF2在pF1F2中，由正弦定理得sinpF1F2cPF2，由橢圓的定義知a2，由解法三知cc a2II2 a27,已知橢圓M :篤a2十1(a的最大值的取值范圍是22c ,3c解析:設(shè)P Xo,yo2Xo2yopo3c2F1c,0 , F2 c,0，若橢圓上存在一點(diǎn) P使sin PRF2asin PF2F1 cPFisin PF2F1，則由已知，得a PF21PF212a，0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi c,0 , F2，其中cULUr ULUU，則 PF1gPF2caPF2橢圓的離心率c一，即 aPF1 CPF2，PF1e72 1,1 ouur uuuuc,0 , P為橢圓M上任意一點(diǎn)，且PF1gPF2Ja2 b2，則該橢圓