導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義及其運(yùn)算

1、導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義及其運(yùn)算常見(jiàn)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和常用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式：C=O(C 為常數(shù));(xn)二 nxnn N ;x xx x(sinx)二cosx; (cosx) = -sinx; (e ) =e ； (a ) = a Ina ；1(In x) ;x1(log x) log e a x aIII法則 1：u(x) _v(x)二u(x)_v(x)法則3：U(x).=U(x)v(x)2-U)(x)v(x)(v(x) v(x)v (X)法則2:u(x)v(x) = u (x)v(x) u(x)v (x)(一)基礎(chǔ)知識(shí)回顧：1.導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)y = f(x)在x0處的瞬時(shí)變化率Vf(X

2、LX)- f (Xa )/limlim -稱為函數(shù)y = f(x)在x = x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f (x0)或x丸一。.xf/(x-r 啊f(X-. ：x) - f(X-)=x如果函數(shù)y =f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)x (a,b)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f /(X)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)f /(X)。稱這個(gè)函數(shù)f /(X)為函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的 導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，也可記作y/，即f/(x) = y/ =f (x . ：x) - f (x)：x導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱為導(dǎo)數(shù)，這要加以區(qū)分：求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)；求函數(shù)y = f(x)在X-處的導(dǎo)數(shù)y/

3、x翟，就是導(dǎo)函數(shù)f/(x)在X-處的函數(shù)值，即f/(x-)。X=x-2.由導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù) y = f(X)的導(dǎo)數(shù)的一般方法是：(1).求函數(shù)的改變量 f = f(X ： =x) - f(x);3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y二f (x)在x-處的導(dǎo)數(shù)是曲線 y二f (x)上點(diǎn)(x-, f(x-)處的切(2).求平均變化率-= f (x x) - f (x) ；( 3) 取極限，得導(dǎo)數(shù) y/ = lim 丄。ZZAx線的斜率。基礎(chǔ)練習(xí):1.曲線y =x3 -2x 4在點(diǎn)(1,3)處的切線的傾斜角為()A. 3-B. 45C. 60D. 1202.設(shè)曲線y = ax2在點(diǎn)(1, a )處的切線與直線2

4、x - y - 6 =。平行，則a二()A. 1B.C.D. -13. 設(shè)P為曲線C： y =x 2x 3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為0,，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為()IL 4A.1-1,- -1B.11,0】C.101D.| - ,1 11 2 2 一14. 直線y x b是曲線y =ln x x 0的一條切線，貝U實(shí)數(shù)b=5. 設(shè)曲線y二一1在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線axyT=0垂直，則a =()x-11 1A. 2B.C.D. -22 26. 曲線y =ex在點(diǎn)(2, e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為()A. 9e2B. 2e2C. e2 D.427. 曲線y

5、 * x在點(diǎn)必處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為()A.B.C.D.丄,則a=611、(2008北京理)的坐標(biāo)分別為&過(guò)點(diǎn)(一1, 0)作拋物線y =x2 x 1的切線，則其中一條切線為(A) 2x y 2 = 0(B) 3xy 3=0(C) x y1=0( D) xy1=09、 如果質(zhì)點(diǎn)A按規(guī)律S=2t3運(yùn)動(dòng)，則在t=2秒時(shí)的瞬時(shí)速度為()(A) 6(B) 8(C) 16(D)243310、 (2005重慶理科)曲線y=x在點(diǎn)(a,a )(a = 0)處的切線與x軸、直線x = a所圍成的三角形的面積為爐0f (：x) - f (1)心X(用數(shù)字作答)12經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與曲線 y=lnx相切的直

6、線的方程是13(2008海南、寧夏文)設(shè)函數(shù)b，曲線y = f (x)在點(diǎn)(2 f (2)處的切線f (x) = ax -x方程為 7x-4y -12 =0。(1 )求y = f(X)的解析式；導(dǎo)數(shù)的概念、1.B 2.A 3.A 4. l n2幾何意義及其運(yùn)算答案15.D6. D7. ( A )&解：yN，1，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,y0)，則切線的斜率為2xo 1，且y xo xo 12于是切線方程為y-滄-Xo-1=(2xo1)(x-Xo)，因?yàn)辄c(diǎn)(一1,0)在切線上，可解得X。= 0或4,代入可驗(yàn)正D正確。選D9、D ；10_亠；11_2_ ,2_ ； 12 1 y = _ x e13、解：

7、(I)方程 7x -4 y -12 = 0 可化為 y x - 3 .4當(dāng) x=2時(shí)，y =.2于是2aW1274解得“1故 f (x)x函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值與導(dǎo)數(shù)1函數(shù)單調(diào)性的充分條件：函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，若f (x) . 0 ,則函數(shù)y = f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增；若f (x) ： 0，則在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減2、函數(shù)單調(diào)性的必要條件：函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，若y =f (x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f (x) _0 ；若在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減，則f (x)豈0 3、 函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法：(注意單調(diào)區(qū)間的表達(dá))首先，確定函數(shù) y =

8、 f (x)的定義域；其次，求 f (x);最后，在定義域中解不等式f(x) 0得增區(qū)間，解不等式 f (x) ： 0得減區(qū)間1極值的概念：設(shè)函數(shù)y = f (x)在x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)，都有f(x) ： f x0 (f(x) f)，我們就說(shuō)f x0是函數(shù)f (x)的一個(gè)極大(小)值，記作y極大值二f x (y極小值二f X。)，把x0點(diǎn)叫做函數(shù)的極大(小)值點(diǎn)特別地，若函數(shù)y = f (x)可導(dǎo)，f x0 =0 ，而且在點(diǎn)x = x0附近的左側(cè)f x 0 f x 0，右側(cè)f x 0 f x a0 ，則稱f x0是函數(shù)f (x)的一個(gè)極大(小)值2、求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：確定

9、函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)f X :解方程X=0 ；當(dāng)f X0 =0時(shí),(1) 如果在x0附近的左側(cè) X 0，右側(cè)X : 0，那么f x0是極大值；(2)如果 在x0附近的左側(cè)f X . 0，右側(cè)X 0，那么f x0是極小值3、 ” f Xo i；=0 ”是”x0是函數(shù)極值點(diǎn)”的必要不充分條件.4、函數(shù)最值的概念：函數(shù)y=：f(x)在la,b上所有點(diǎn)處最大(小)的函數(shù)值，稱為 y=：f(x)的最大(小)值5、函數(shù)最值的判斷: 求函數(shù)y二f (x)在區(qū)間 a,b內(nèi)的極值； 將f (x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f a、f b比較，其中最大的一個(gè)是最大值， 最小的一個(gè)是最小值6、極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系：(

10、1) 函數(shù)極值是局部性質(zhì)，最值是整體性質(zhì)；(2) 函數(shù)在定義區(qū)間上最大、最小值最多各有一個(gè)，但極值可能不止一個(gè)，也可能不存在;(3) 當(dāng)函數(shù)在某區(qū)間上的圖像連續(xù)，并有且僅有一個(gè)極值時(shí)， 該極值必為函數(shù)的最值基礎(chǔ)練習(xí)：R有大于零的極值點(diǎn)，則(1D. a :e，那么導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖像可能是()1. (2008廣東文)設(shè)a R，若函數(shù)y二ex ax1A. a ： -JB. a -1 C. a ?e2. (2008福建文)如果函數(shù) y= f (x)的圖像如右圖3. (2004全國(guó)卷n理科)函數(shù)y = xcosx sinx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)()1 3 i3 i5 -(A)( ，)( B)(二

11、，2 二)(C) (,)( D) (2 二，3 二)2 2 2 24. ( 2007廣東文)函數(shù)f(x)=xlnx(x0)的單調(diào)遞增區(qū)間是 .35. ( 2007江蘇)已知函數(shù)f (X)= X 12 x 8在區(qū)間-3,3上的最大值與最小值分別為M ,m，則 M - m =.6. 已知函數(shù)f (x) = -x3 3x2 9x a- (I)求f (x)的單調(diào)減區(qū)間；(n)若f(x)在區(qū)間2,2.上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值 .3 2 27、已知函數(shù)f(x)二x ax bx c在x 與x=1時(shí)都取得極值. 3(1 )求a, b的值及函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)x-1,2，不等式f

12、(x)cc2恒成立，求c的取值范圍.328.(2008 北京文)已知函數(shù) f(x)二 x ax 3bx c(b = 0),且g(x) = f(x)2 是奇函數(shù).(I)求a,c的值；(n)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.9.( 2004 浙江文)已知 a 為實(shí)數(shù)，f (x) =(x2 -4)(x-a) (I)求導(dǎo)數(shù) f (x);(n)若f (-1)=0，求f(x)在-2, 2上的最大值和最小值；(川)若f(x)在(-8,-2和2 , +8)上都是遞增的，求 a的取值范圍。10. (2005全國(guó)卷II文科)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)32f (x)二 x - x - x a . (I)求 f (x)的極值;(Il)

13、當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線y = f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn).函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值與導(dǎo)數(shù)(答案)1. A ;_1 )2. A ;3. B;4.| +=c i ; 5.32.丿6、解：(I) f (x)二-3x2 6x 9.令 f (x) ： 0，解得 x 1或x 3,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一：，_1),(3, ：)(II )因?yàn)?f(2) =812 -18 a = 2 a, f (2) = -8 1218 a = 22 a,所以f(2) f (-2).因?yàn)樵?1, 3) 上 f (x) 0,所以f(x)在1, 2上單調(diào)遞 增，又由于f(x)在2, 1上單調(diào)遞減，因此 f (2

14、 )和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間2,2上的最大值和最小值.于是有22 a = 20，解得a二-2.故 f(x)二-x3 3x2 9x- 2.因此 f(-1) =13-9 -2 二-7,即函數(shù)f (x)在區(qū)間2, 2上的最小值為一7.7、解：(1) f (x) = x3+ ax2 + bx+ c, f (x) = 3x2 + 2ax+ b2 1241由 f (一 一)= a+ b = 0, f (1) = 3+ 2a+ b= 0 得 a= , b= 23 932f (x) = 3x2 x 2=( 3x+ 2) (x 1),函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間如下表：x(-O0，-)323(-，1)31(

15、1，+ O0)f (x )+0一0+f (x):極大值1極小值一 2 2所以函數(shù)f (x)的遞增區(qū)間是(一叫一-)與(1,+血)。遞減區(qū)間是(一-,1)3 33 1 2 222(2) f (x) = x3 丄x2 2x + c, xe一 1, 2，當(dāng) x=上時(shí)，f (x)=二 + c2327為極大值，而f (2) = 2+ c,則f (2) = 2+ c為最大值。要使 f (x) f (2) = 2+ c 解得 cc 1 或 c28解:(I)因?yàn)楹瘮?shù) g(x)=f(x)-2 為奇函數(shù)，所以，對(duì)任意的 x R,g(-x)=-g(x),即 f(-x)- 2=-f(x)+2.323232又 f(x)

16、=x +ax +3bx+c,所以-x +ax -3bx+c-2=-x - ax -3bx-c+2.a a,所以解得a=0，c= 2.c 2 = c + 2.(n)由(I)得 f(x)=x3+3bx+2.所以 f (x)=3x2+3b(bz 0).當(dāng) bv 0 時(shí)，由 f (x)=0 得 x= 土 - b.x變化時(shí)，f (x)的變化情況如下表：x(-，- J- b )-J-b(-J - b )V-b(匚b，+)f (x)+0-0+所以，當(dāng)bv 0時(shí)，函數(shù)f (x)在(4，- , - b )上單調(diào)遞增，在(-I - b，. -b )上單調(diào) 遞減，在(.、- b， + 上單調(diào)遞增.當(dāng)b 0時(shí)，f (

17、x) 0所以函數(shù)f (x)在(-3 + R)上單調(diào)遞增.9.解：(I)由原式得 f (x) = x3 -ax2 -4x 4a, f (x)二 3x2 -2ax -4.1 2 1 2(n )由 f (-1) =0 得 a ,此時(shí)有 f (x) = (x2 -4)(x), f (x) = 3x2 - x - 4.2 24由 f (-1)=0 得 x=或 x=-1 ,3又 f(4)八50, f(-1) =9, f(-2) = 0, f(2) =0,32729 ,50所以f(x)在-2,2上的最大值為 一，最小值為227(川)解法一 ：f (x) =3x2 -2ax -4的圖象為開(kāi)口向上且過(guò)點(diǎn)(0,-4)的拋物線，由條件得 f ( -2) -0, f (2) -0, 即 浮 / - ? -2 0,從而X1二2, X2W 2,：a2 +12 a+6即一_a 6解不等式組得：-2w aw 2.a212 乞6-a. a的取值范圍是卜-2,2.2 110、【解】(1) f (x) =3x2 -2x -1，若 f (x)=0,則 x ,13當(dāng)x變化時(shí)，f (x), f (x)變化情況如下表:x1(3)13冷，1)1(1,畑)f (x)+0一0+f(x)U極大值U極小值U15所以f (x)的極大值是f(_Q - a，極小值是f(1) = a-1.327(2)函數(shù) f(x) =X3 -