圓冪定理講義(帶答案)

1、圓幕定理STEP 1:進門考理念：1.檢測垂徑定理的基本知識點與題型2. 垂徑定理典型例題的回顧檢測。3. 分析學生圓部分的薄弱環(huán)節(jié)。（1）例題復習。1. （ 2015?夏津縣一模）一副量角器與一塊含 30 銳角的三角板如圖所示放置，三角板的直角頂點C落在量角器的直徑MN上，頂點A，B恰好都落在量11 / 22MC N【考點】M3 :垂徑定理的應用;角器的圓弧上，且 AB / MN .若AB=8cm，則量角器的直徑 MN=cm.KQ:勾股定理；T7 :解直角三角形.【分析】作CD丄AB于點D，取圓心O，連接OA，作OE丄AB于點E，首先求得CD的長, 即OE的長，在直角厶AOE中，利用勾股定理

2、求得半徑 OA的長，貝U MN即可求解.【解答】 解：作CD丄AB于點D，取圓心O,連接OA，作OE丄AB于點E .在直角 ABC 中，/ A=30，貝U BC=丄AB=4cm， 在直角 BCD 中，/ B=90 -Z A=60， CD=BC?si nB=4 xj =2 . （cm）， 二 OE=CD=2 . 1，在厶 AOE 中，AE=丄AB=4cm，則 OA= ,|=_ i =2 ： (cm)，則 MN=2OA=4 (cm).故答案是：4. * .MO C N【點評】本題考查了垂徑定理的應用，在半徑或直徑、弦長以及弦心距之間的計算中，常用的方法是轉化為解直角三角形.2. （2017環(huán)可壩州

3、）如圖將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓【考點】M2 :垂徑定理；PB :翻折變換（折疊問題）.【分析】通過作輔助線，過點O作OD丄AB交AB于點D,根據(jù)折疊的性質可知 OA=2OD , 根據(jù)勾股定理可將 AD的長求出，通過垂徑定理可求出AB的長.【解答】解：過點O作OD丄AB交AB于點D，連接OA ,/ OA=2OD=2em ， AD= ，.二-_= I .- .= : (em)，:cm.故選：D.【點評】 本題考查了垂徑定理和勾股定理的運用，正確應用勾股定理是解題關鍵.3.（a 3）值是（2014加州）如圖，在平面直角坐標系中P的圓心坐標是（3，a），半徑為3,函數(shù)y=x的圖象

4、被。P截得的弦AB的長為-:，則a的）y03+V3【考點】M2 :垂徑定理；F8: 次函數(shù)圖象上點的坐標特征；KQ:勾股定理.【專題】11 :計算題；16 :壓軸題.【分析】PC丄x軸于C，交AB于D，作PE丄AB于E，連結PB，由于OC=3，PC=a，易 得D點坐標為（3，3），則 OCD為等腰直角三角形， PED也為等腰直角三角形.由 PEPE=1 ,丄AB ,根據(jù)垂徑定理得 AE=BE=丄AB=2 .，在Rt PBE中，利用勾股定理可計算出則 PD= .PE=所以 a=3+ .:.【解答】解：作PC丄x軸于C,交AB于D，作PE丄AB于E,連結PB,如圖，O P 的圓心坐標是（3, a）

5、, OC=3, PC=a,把x=3代入y=x得y=3 , D點坐標為（3, 3）, CD=3 , OCD為等腰直角三角形，PED也為等腰直角三角形，/ PE 丄 AB , AE=BE=-LaB=2 X 4應=2皿, 在 RtA PBE 中，PB=3 ,故選：B.并且平分弦所對的兩條弧也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質.4. (2013?內江)在平面直角坐標系xOy中，以原點0為圓心的圓過點A(13,0),直線y=kx - 3k+4與O O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為.【分析】根據(jù)直線y=kx - 3k+4必過點D (3, 4)，求出最短的弦 CB是過點D且與該圓直 徑垂直的弦，再

6、求出 OD的長，再根據(jù)以原點 O為圓心的圓過點 A (13, 0)，求出OB的 長，再利用勾股定理求出 BD，即可得出答案.【解答】 解：直線 y=kx - 3k+4=k (x - 3) +4, k (x- 3) =y - 4, k 有無數(shù)個值， x- 3=0, y - 4=0 ,解得 x=3 , y=4 ,直線必過點 D (3, 4),最短的弦CB是過點D且與該圓直徑垂直的弦， 點D的坐標是(3, 4), OD=5 ,以原點0為圓心的圓過點 A （ 13, 0）, 圓的半徑為13, 0B=13 , BD=12 , BC的長的最小值為 24;故答案為：24.【點評】此題考查了一次函數(shù)的綜合，用

7、到的知識點是垂徑定理、勾股定理、圓的有關性質,關鍵是求出BC最短時的位置.STEP 2:新課講解教學目標1、熟練掌握圓幕定理的基本概念。2、熟悉有關圓幕定理的相關題型，出題形式與解題思路3、能夠用自己的話敘述圓幕定理的概念。4、通過課上例題，結合課下練習。掌握此部分的知識。學習內容一、相交弦定理相交弦定理（1）相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等（經(jīng)過圓內一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）.幾何語言：若弦 AB、CD交于點P，則PA?PB=PC?PD （相交弦定理）（2 ）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.幾何語言：

8、若 AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC2=PA?PB （相交弦定理推論）? 基本題型：【例1】（2014秋?江陰市期中）如圖，。O的弦AB、CD相交于點P,若AP=3,BP=4，CP=2，貝U CD 長為（BA. 6 B. 12 C. 8 D .不能確定【考點】M7 :相交弦定理.【專題】11 :計算題.【分析】 由相交線定理可得出 AP?BP=CP?DP,再根據(jù)AP=3 , BP=4 , CP=2，可得出PD的 長，從而得出CD即可.【解答】 解：I AP?BP=CP?DP, PD=,CP/ AP=3 , BP=4 , CP=2 , PD=6 , CD=PC+PD=2+6=8 .故選C.

9、【點評】 本題考查了相交線定理，圓內兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等.【練習1】（2015?南長區(qū)一模）BC=3，點E為BC上一點,【考點】M7:相交弦定理.【分析】由矩形的性質和勾股定理求出如圖，矩形ABCD為。O的內接四邊形，AB=2 , 且BE=1,延長AE交。O于點F,則線段AFAE，再由相交弦定理求出 EF，即可得出AF的長.【解答】 解：四邊形 ABCD是矩形, AE=仏衣+B巴牛Q / +1足朋，/ BC=3 , BE=1 , CE=2 , 由相交弦定理得：AE?EF=BE?CE,BE-CB1X22V5飛5 AF=AE+EF=故選：A.相交弦定理；熟練掌握矩形的性質和相交

10、弦定【點評】本題考查了矩形的性質、勾股定理、 理，并能進行推理計算是解決問題的關鍵.? 綜合題型【例2】 （2004?福州）如圖，AB是。O的直徑，M是。O上一點，MN丄AB ,垂足為N . P、Q分別是I 1 上一點（不與端點重合），如果/ MNP= /MNQ，下面結論：/ 仁/2;/ P+Z Q=180 ;/Q=Z PMN :PM=QM ; mn2=pn?qn.其中正確的是（）A.B .C. D .【考點】M7 :相交弦定理；M2 :垂徑定理；M4 :圓心角、弧、弦的關系；M5 :圓周角定理；S9:相似三角形的判定與性質.【專題】16 :壓軸題.【分析】根據(jù)圓周角定理及已知對各個結論進行分

11、析，從而得到答案.【解答】解：延長MN交圓于點 W，延長QN交圓于點E,延長PN交圓于點F,連接PE,QF/Z PNM= Z QNM , MN 丄 AB ,Z 1 = Z 2 （故正確），/Z 2與Z ANE是對頂角， Z 1 = Z ANE ,/ AB是直徑，可得 PN=EN ,同理NQ=NF ,/點 N 是 MW 的中點，MN?NW=MN 2=PN?NF=EN?NQ=PN?QN （故正確）， MN : NQ=PN : MN ,/Z PNM= Z QNM , NPM NMQ , Z Q=Z PMN （故正確）.故選B .【點評】 本題利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性質，垂徑定理求解.?

12、 與代數(shù)結合的綜合題【例3】（2016沖山市模擬）如圖，正方形ABCD內接于。O,點P在劣弧AB 上，連接DP,交AC于點Q.若QP=QO,則二的值為（）A.- I B.；C. f 十心 D.-【考點】M7 :相交弦定理；KQ:勾股定理.【專題】11 :計算題.【分析】 設O O的半徑為r, QO=m，則QP=m , QC=r+m, QA=r - m .利用相交弦定理，求 出m與r的關系，即用r表示出m,即可表示出所求比值.【解答】 解：如圖，設O O的半徑為r, QO=m，貝U QP=m , QC=r+m,QA=r - m.在O O中，根據(jù)相交弦定理，得 QA?QC=QP?QD.即（r- m

13、）（ r+m） =m?QD，所以 QD=.連接DO,由勾股定理，得 QD2=DO2+QO2,所以,二 J，故選D .【點評】本題考查了相交弦定理，即圓內兩弦相交于圓內一點，各弦被這點所分得的兩線段的長的乘積相等”.熟記并靈活應用定理是解題的關鍵.需要做輔助線的綜合題【例4】（2008秋?蘇州期末）如圖，O O過M點，O M交O O于A，延長O O 的直徑AB交O M于C，若AB=8，BC=1，則AM=.【考點】M7 :相交弦定理；KQ:勾股定理；M5 :圓周角定理.【分析】 根據(jù)相交弦定理可證 AB?BC=EB?BF= (EM +MB )( MF - MB ) =AM 2 - MB 2=8 ,

14、 又由直徑對的圓周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6 .【解答】 解：作過點M、B的直徑EF,交圓于點E、F,貝U EM=MA=MF ,由相交弦定理知， AB?BC=EB?BF= (EM+MB )( MF - MB ) =AM 2 - MB 2=8,/ AB是圓0的直徑，/ AMB=90 ,由勾股定理得， AM 2+MB 2=AB 2=64 , AM=6 .【點評】 本題利用了相交弦定理，直徑對的圓周角是直角，勾股定理求解.、割線定理割線定理割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積 相等.幾何語言： PBA , PDC是O 0的割線 PD?PC=PA?P

15、B (割線定理)由上可知：pt2=pa?pb=pc?pd.? 基本題型【例5】(1998?紹興)如圖，過點P作O 0的兩條割線分別交O 0于點A、B 和點C、D，已知PA=3, AB=PC=2，則PD的長是():切割線定理.【考點】MHPA?PB=PC?PD即可求得PD的長.【分析】由已知可得PB的長，再根據(jù)割線定理得【解答】解：I PA=3, AB=PC=2 , PB=5,/ PA?PB=PC?PD, PD=7.5 , 故選B .【點評】主要是考查了割線定理的運用.AB的長;【練習 2】（2003/天津）如圖，Rt ABC 中，/ C=90 , AC=3, BC=4,以點 C 為圓心、CA為

16、半徑的圓與AB、BC分別交于點D、E.求AB、AD的長.延長BC交O C于點F,根據(jù)割線定理，得 BE?BF=BD?BA，由此可求出 BD的長，進而可 求得AD的長.【解答】 解：法1:在Rt ABC中，AC=3，BC=4 ; 根據(jù)勾股定理，得 AB=5 .延長BC交O C于點F，則有：EC=CF=AC=3 （O C 的半徑），BE=BC - EC=1，BF=BC+CF=7 ; 由割線定理得，BE?BF=BD?BA，是BD=BA 5 ?18所以 AD=AB - BD=5法2:過C作CM丄AB，交AB于點M，如圖所示,3由垂徑定理可得 M為AD的中點,/ Saabc=AC?BC=丄AB?CM，且

17、 AC=3 , BC=4 , AB=5 ,2 - CM=1 9在Rt ACM中，根據(jù)勾股定理得： AC2=AM 2+CM2,即卩9=AM 2+()5解得：AM, AD=2AM=【點評】此題主要考查學生對勾股定理及割線定理的理解及運用.? 綜合題型【例6】(2015?武漢校級模擬)如圖，兩同心圓間的圓環(huán)的面積為圓上任意一點P作大圓的弦AB，則PA?PB的值是()16 n過小A. 16 B. 16nC. 4 D. 4n【考點】MH :切割線定理.【分析】過P點作大圓的直徑 CD,如圖，設大圓半徑為 R，小圓半徑為r, 理得到 PA?PB= (OC - OP) ? (OP+OD) =R2- r2,再

18、利用 nR-冗話16 n 得到 以 PA?PB=16.【解答】 解：過P點作大圓的直徑 CD，如圖，設大圓半徑為 R，小圓半徑為/ PA?PB=PC?PD，根據(jù)相交弦定R2- r2=16，所r， PA?PB= (OC - OP) ? ( OP+OD )=(R - r)( R+r)=R2_ r2,兩同心圓間的圓環(huán)(即圖中陰影部分)的面積為16n,nR2- nri6 n R2- r2=i6, PA?PB=16.故選A .13/22【點評】本題考查了垂徑定理： 平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考 查了相交弦定理.【思考】觀察講義課后練習最后一道題，是否有思路?三、切割線定理切割線定

19、理這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的切割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線, 積相等.幾何語言： PBA , PDC是O O的割線 PD?PC=PA?PB （割線定理）由上可知：PT2=PA?PB=PC?PD.【例7】（2013?長清區(qū)二模）如圖，PA為OO的切線，A為切點，O O的割線PBC過點O與OO分別交于B、C，PA=8cm, PB=4cm,求O O的半徑.【專題】11 :計算題.【分析】 連接OA，設O O的半徑為rcm，由勾股定理，列式計算即可. 【解答】解：連接OA ,設O O的半徑為rcm ,（ 2分）則 r2+82= （r+4） 2,（ 4 分）解得r=6,二0 O的半徑

20、為6cm.( 2分)26 / 22【點評】 本題考查的是切割線定理，勾股定理，是基礎知識要熟練掌握.【練習3】(2013秋?東臺市期中)如圖，點P是OO直徑AB的延長線上一點,PC切O O于點C,已知0B=3 , PB=2.貝U PC等于()【考點】MH :切割線定理.【專題】11 :計算題.【分析】根據(jù)題意可得出PC2=PB?PA，再由0B=3 , PB=2，則PA=8，代入可求出PC.【解答】解： PC、PB分別為O O的切線和割線， PC2=PB?PA，9B=3，PB=2， PA=8， PC2=PB?PA=2X 8=16， PC=4. 故選C.【點評】本題考查了切割線定理，熟記切割線定理

21、的公式pc2=pb?pa.四、切線長定理切割線定理(1 )圓的切線長定義：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這 點到圓的切線長.(2) 切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角.(3) 注意：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.(4) 切線長定理包含著一些隱含結論： 垂直關系三處； 全等關系三對； 弧相等關系兩對，在一些證明求解問題中經(jīng)常用到.【例8】（2015嗪皇島校級模擬）如圖，一圓內切四邊形 ABCD，且BC=10,【考點】MG：切

22、線長定理.【分析】根據(jù)切線長定理，可以證明圓外切四邊形的性質：圓外切四邊形的兩組對邊和相等，從而可求得四邊形的周長.【解答】 解：由題意可得圓外切四邊形的兩組對邊和相等，所以四邊形的周長 =2X（ 7+10） =34 .故選：B.【點評】此題主要考查了切線長定理，熟悉圓外切四邊形的性質：圓外切四邊形的兩組對邊和相等是解題關鍵.【練習4】（2015%池縣模擬）如圖，PA，PB切。O于A，B兩點，CD切。O 于點E交PA，PB于C，D，若。O的半徑為， PCD的周長為3r,連接D .尋【考點】MG:切線長定理；MC :切線的性質.【分析】利用切線長定理得出 CA=CF，DF=DB，PA=PB，進而

23、得出PAr，求出即可.2【解答】 解：I PA，PB切O O于A，B兩點，CD切O O于點E交PA，PB于C，D， CA=CF，DF=DB，PA=PB， PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r，0APAr233的值是:故選：D.【點評】 此題主要考查了切線長定理，得出PA的長是解題關鍵.【例9】（2014秋?夏津縣校級期末）如圖，P為。O外一點，PA, PB分別切。 O于A , B, CD切。O于點E,分別交PA, PB于點C, D 若PA=5,貝仏 PCD的周長和/ COD分別為（）【考點】【分析】MG :切線長定理.根據(jù)切線長定理，即可得到7,90C.10,90 冷/P D.10

24、,90PA=PB,ED=AD , CE=BC ,從而求得三角形的周長 =2PA ;連接0A、OE、OB根據(jù)切線性質，/ P+Z AOB=180，再根據(jù)CD為切線可知/ CODAOB .【解答】 解：I PA、PB切O O于A、B , CD切O O于E, PA=PB=10 , ED=AD , CE=BC ; PCD 的周長=PD+DE+PC+CE=2PA，即 PCD 的周長=2PA=10 ,; 女口圖，連接OA、OE、OB.由切線性質得， OA 丄 PA, OB 丄 PB , OE丄 CD , DB=DE , AC=CE ,/ AO=OE=OB ,易證 AOC EOC (SAS), EOD BO

25、D ( SAS),Z AOB , Z AOC= Z EOC ,Z EOD= Z BOD , 目 Z AOB=180 -Z P, Z COD=90 - Z P.2【點評】本題考查了切線的性質，運用切線的性質來進行計算或論證， 常通過作輔助線連接 圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題，是基礎題型.五、圓幕定理請嘗試解出下列例題：【例10】（2005站州）如圖，在直徑為6的半圓上有兩動點M、N ,弦AM、BN相交于點P，則AP?AM+BP?BN的值為.【考點】M7 :相交弦定理；KQ:勾股定理；M5 :圓周角定理.【專題】16 :壓軸題；25 :動點型.【分析】連接AN、BM，根據(jù)圓周角定

26、理，由 AB是直徑，可證/ AMB=90 ，由勾股定理 知, BP2=MP2+BM2，由相交弦定理知， AP?PM=BP?PN，原式=AP (AP+PM ) +BP (BP+PN) =AP2+AP?PM+BP2+BP?PN=AP2+BP2+2AP?PM=AP2+MP2+BM 2+2AP?PM=AP2+ ( AP +PM ) 2=ap2+AM 2=AB2=36.【解答】解：連接AN、BM，/ AB是直徑，/ AMB=90 . bp2=mp2+bm2/ AP?PM=BP?PN原式=AP (AP+PM ) +BP ( BP+PN) =AP2+AP?PM+BP2+BP?PN=AP2+BP2+2AP?P

27、M=AP2+MP2+BM 2+2AP?PM=BM 2+ (AP+PM ) 2=BM 2+AM 2=AB 2=36 .【點評】 本題利用了圓周角定理和相交弦定理，勾股定理求解.以上四條定理統(tǒng)稱為圓幕定理。（部分參考書以前三條為圓幕定理）圓幕定理：過平面內任一點P （P與圓心O不重合）做。O的（切）割線，交。O與點A、B，則恒有PA PB op2 r2。 （“ OP2 r2 ”被稱為點P到OO的幕。）II山IVPracticeSTEP 3:落實鞏固一一查漏補缺理念：找到自己本節(jié)課的薄弱環(huán)節(jié)。STEP 4:總結理念：本結課復習了什么？學到了什么?方法：學生口述+筆記記錄。STEP 5:課后練習一 選

28、擇題（共5小題）1 如圖所示，已知。O中，弦AB , CD相交于點P, AP=6, BP=2, CP=4,則PD的長是（）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【分析】 可運用相交弦定理求解，圓內的弦AB , CD相交于P,因此AP?PB=CP?PD,代入已知數(shù)值計算即可.【解答】 解：由相交弦定理得 AP?PB=CP?PD,AP=6 , BP=2 , CP=4,二 PD=AP?PB - CP=6 X 2-4=3 .故選D .【點評】本題主要考查的是相交弦定理圓內兩弦相交于圓內一點，各弦被這點所分得的兩線段的長的乘積相等”.2.00的兩條弦 AB與 CD相交于點 P, PA=3cm PB=4c

29、m PC=2cm 則 CD=()A. 12cm B. 6cm C. 8cmD . 7cm【分析】根據(jù)相交弦定理進行計算.【解答】 解：由相交弦定理得：PA?PB=PC?PD,. dp=：- =_-_A=6cm , CD=PC+PD=2+6=8cm .故選 C.PC 2【點評】本題主要是根據(jù)相交弦定理圓內兩弦相交于圓內一點，各弦被這點所分得的兩線段的長的乘積相等”進行計算.3. 如圖O中，弦AB與直徑CD相交于點P,且PA=4, PB=6, PD=2，貝UOO的半徑為（）A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【分析】 根據(jù)相交弦定理得出 AP X BP=CP X DP，求出CP,求出CD即可.【

30、解答】 解：由相交弦定理得：AP X BP=CP X DP，/ PA=4， PB=6， PD=2，.CP=12， DC=12+2=14，/ CD是O O直徑， O O半徑是7.故選C.【點評】 本題考查了相交弦定理的應用，關鍵是能根據(jù)定理得出AP X BP=CP X DP.4. 如圖，A是半徑為1的圓O外的一點，OA=2，AB是O O的切線，B是切點, 弦BC / OA，連接AC ,則陰影部分的面積等于（）D.7T.Vs8【分析】連接OB , OC,易證： BOC是等邊三角形，且陰影部分的面積 = BOC的面積, 據(jù)此即可求解.【解答】解：連接OB, OC ,/AB是圓的切線，/ ABO=90

31、 ,在直角 ABO 中，OB=1 , OA=2 ,/ OAB=30，/ AOB=60 ,/ OA / BC, / COB= / AOB=60，且 S 陰影部分=Sboc , BOC是等邊三角形，邊長是 1 , S陰影部分故選A .【點評】本題主要考查了三角形面積的計算，以及切割線定理，正確證明BOC是等邊三角形是解題的關鍵.5 如圖，PA, PB分別是。O的切線，A , B分別為切點，點E是。O上一點， 且/ AEB=60，則/ P為（ ）A. 120 B . 60 C. 30 D . 45【分析】連接OA，BO，由圓周角定理知可知/ AOB=2 / E=120，PA、PB分別切O O于點 A

32、、B，禾U用切線的性質可知/OAP= / OBP=90，根據(jù)四邊形內角和可求得/P=180AOB=60 .【解答】解：連接OA，BO ;/ AOB=2 / E=120，/ OAP= / OBP=90，/ P=180 -Z AOB=60 .故選B .B【點評】 本題考查了切線的性質，切線長定理以及圓周角定理，禾U用了四邊形的內角和為360度求解.解答題（共3小題）6如圖，P為弦AB上一點，CP丄OP交。O于點C, AB=8 , 千，求PC的 PB 3長.【分析】延長CP交O O于D .由垂徑定理可知CP=DP,由 AB=8，得至U AP- AB=2PB=AB=6 .再根據(jù)相交弦定理得出PC?PD=AP?PB,代入數(shù)值計算即可求解.4【解答】解：如圖，延長CP交O O于D./ CP 丄 OP， CP=DP . AB、CD是O O的兩條相交弦，交點為 P， PC?PD=AP?PB， PC2=2 X 6， PC=2 :；.【點評】本題考查了相交弦定理： 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.同時考查了垂徑定理，準確作出輔助線是解題的關鍵.7.如圖，AB，BC，CD 分別與O O 相切于 E，F(xiàn), G,且 AB / CD，BO=6cm, CO=8cm .求 BC 的長.【分析】根