005第五章測量誤差的基本知識

1、2021年6月3日星期四 1 第第5章章 測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識 2021年6月3日星期四 2 第第5 5章章 測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識 5.1 5.1 概述概述 5.2 5.2 測量誤差的種類測量誤差的種類 5.3 5.3 偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) 5.4 5.4 衡量觀測值精度的指標(biāo)衡量觀測值精度的指標(biāo) 5.5 5.5 誤差傳播定律誤差傳播定律 5.6 5.6 同精度直接觀測平差同精度直接觀測平差 5.7 5.7 不同精度直接觀測平差不同精度直接觀測平差 2021年6月3日星期四 3 測量與觀測值測量與觀測值 觀測觀

2、測與觀測值的分類與觀測值的分類 觀測條件觀測條件 等精度觀測和不等精度觀測等精度觀測和不等精度觀測 直接觀測和間接觀測直接觀測和間接觀測 獨立獨立觀測和非獨立觀測觀測和非獨立觀測 5.1 5.1 測量誤差概述測量誤差概述 2021年6月3日星期四 4 5.1 5.1 測量誤差概述測量誤差概述 測量誤差及其來源測量誤差及其來源 測量誤差的來源測量誤差的來源 （1 1）儀器誤差：儀器誤差：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。 （2 2）人為誤差：人為誤差：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗等。判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗等。 （3 3）外界條件的影響：外界條件的影響：溫度變化、風(fēng)

3、、大氣折光等溫度變化、風(fēng)、大氣折光等 測量誤差的表現(xiàn)形式測量誤差的表現(xiàn)形式 測量誤差（真誤差測量誤差（真誤差=觀測值-真值）Xl jiij ll Xl（觀測值與真值之差） （觀測值與觀測值之差） 2021年6月3日星期四 5 例：例： 誤差誤差 處理方法處理方法 鋼尺尺長誤差鋼尺尺長誤差 l ld d 計算改正計算改正 鋼尺溫度誤差鋼尺溫度誤差 l lt t 計算改正計算改正 水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng) I 操作時抵消操作時抵消( (前后視等距前后視等距) ) 經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C C 操作時抵消操作時抵消( (盤左盤右取平均盤左盤右取平均) ) 2.2.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差

4、 誤差出現(xiàn)的大小、符號相同，或按誤差出現(xiàn)的大小、符號相同，或按 規(guī)律性變化，具有規(guī)律性變化，具有積累性積累性。 系統(tǒng)誤差可以消除或減弱系統(tǒng)誤差可以消除或減弱。 ( (計算改正、觀測方法、儀器檢校計算改正、觀測方法、儀器檢校) ) 測量誤差分為：測量誤差分為：粗差粗差、系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差和和偶然誤差偶然誤差 5.2 5.2 測量誤差的種類測量誤差的種類 1.1.粗差粗差( (錯誤錯誤) )超限的誤差超限的誤差 2021年6月3日星期四 6 3.3.偶然誤差偶然誤差誤差出現(xiàn)的大小、符號各不相同，誤差出現(xiàn)的大小、符號各不相同， 表面看無規(guī)律性。表面看無規(guī)律性。 例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對中等誤

5、差，例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對中等誤差， 導(dǎo)致觀測值產(chǎn)生誤差導(dǎo)致觀測值產(chǎn)生誤差 。 準(zhǔn)確度(測量成果與真值的差異） 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） 測量平差（求解最或是值并評定精度） 4.4.幾個概念幾個概念: : 精（密）度（觀測值之間的離散程度） 2021年6月3日星期四 7 舉例舉例: : 在某測區(qū)，等精度觀測了在某測區(qū)，等精度觀測了358358個三角形的內(nèi)個三角形的內(nèi) 角之和，得到角之和，得到358358個三角形閉合差個三角形閉合差 i i( (偶然誤偶然誤 差，也即真誤差差，也即真誤差) ) ，然后對三角形閉合差，然后對三角形閉合差 i i 進(jìn)行分析。進(jìn)行分析。 分析

6、結(jié)果表明，分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測次數(shù)很多時，偶然當(dāng)觀測次數(shù)很多時，偶然 誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計學(xué)上的規(guī)律性。誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計學(xué)上的規(guī)律性。而而 且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。 5.3 5.3 偶然誤差的特性偶然誤差的特性 2021年6月3日星期四 8 2021年6月3日星期四 9 用用頻率直方圖頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計：表示的偶然誤差統(tǒng)計： 頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近， 對稱于對稱于y軸。軸。 頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū) 間

7、的頻率間的頻率k/n，而所有條形的，而所有條形的總面積等于總面積等于1。 各條形頂邊中點各條形頂邊中點 連線經(jīng)光滑后的曲連線經(jīng)光滑后的曲 線形狀，表現(xiàn)出偶線形狀，表現(xiàn)出偶 然誤差的普遍規(guī)律然誤差的普遍規(guī)律 圖5-1 誤差統(tǒng)計直方圖 2021年6月3日星期四 10 從誤差統(tǒng)計表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤從誤差統(tǒng)計表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤 差的差的四個特性四個特性： 特性(1)、(2)、(3)決定了特性(4)，特性特性(4)具有實用意義。具有實用意義。 3.3.偶然誤差的特性偶然誤差的特性 (1)(1)在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕

8、對值不會超過一定 的限值的限值( (有界性有界性) )； (2)(2)絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會多絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會多( (趨向性趨向性) )； (3)(3)絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等( (對稱性對稱性) )； (4)(4)當(dāng)觀測次數(shù)無限增加時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零當(dāng)觀測次數(shù)無限增加時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零 ( (抵償性抵償性) )： 0limlim 21 nn n n n 2021年6月3日星期四 11 偶然誤差具有正態(tài)分布的特性偶然誤差具有正態(tài)分布的特性 當(dāng)觀測次數(shù)當(dāng)觀測次數(shù)n n無限

9、增多無限增多(n(n)、誤差區(qū)間誤差區(qū)間d d 無限縮小無限縮小 ( (d d 0)0)時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線， 這條曲線稱為這條曲線稱為 “正態(tài)分布曲正態(tài)分布曲 線線”，又稱為，又稱為 “高斯誤差分高斯誤差分 布曲線布曲線”。 所以偶然誤差所以偶然誤差 具有具有正態(tài)分布正態(tài)分布 的特性。的特性。 圖5-1 誤差統(tǒng)計直方圖 2021年6月3日星期四 12 1.1.方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差與標(biāo)準(zhǔn)差 由正態(tài)分布密度函數(shù) 2 2 2 2 1 ax ex 式中 、 為常數(shù)；a =2.72828 e x= y 正態(tài)分布曲線(a=0) 令：令： ，上式為：ax

10、2 2 2 2 1 )( efy 5.4 5.4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 2021年6月3日星期四 13 標(biāo)準(zhǔn)差 的數(shù)學(xué)意義 2 2 2 2 1 )( efy 表示表示 的的 離散程度離散程度 x= y 較小 較大 nn nn lim lim 2 稱為標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差： nn n n n limlim 222 2 2 1 2 2 上式中， 稱為方差：方差： 2021年6月3日星期四 14 測量工作中，用中誤差中誤差作為衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)。 中誤差中誤差: : 觀測次數(shù)無限多時，用標(biāo)準(zhǔn)差觀測次數(shù)無限多時，用標(biāo)準(zhǔn)差 表示偶然誤差的離散情形：表示偶然誤差的離散情形： n n lim 上式中，偶然

11、誤差上式中，偶然誤差 為觀測值為觀測值 與真值與真值X之差：之差： 觀測次數(shù)觀測次數(shù)n n有限有限時，用時，用中誤差中誤差m表示偶然誤差的離散情形：表示偶然誤差的離散情形： nn m n 22 2 2 1 i=i - X 2021年6月3日星期四 15 P123表5-2 2021年6月3日星期四 16 m m1 1小于小于m m2 2, ,說明第一組觀測值的誤差分布比較說明第一組觀測值的誤差分布比較集中集中， 其其精度較高精度較高；相對地，第二組觀測值的誤差分布比；相對地，第二組觀測值的誤差分布比 較較離散，離散，其其精度較低：精度較低： m1=2.7是第一組觀測值的中誤差； m2=3.6是第

12、二組觀測值的中誤差。 2021-6-3 第 五 章 測 量 誤 差 的 基 本 知 識 17 【例例】 l有甲、乙兩組各自用相同的條件觀測了六個三角有甲、乙兩組各自用相同的條件觀測了六個三角 形的內(nèi)角，得三角形的閉合差（即三角形內(nèi)角和形的內(nèi)角，得三角形的閉合差（即三角形內(nèi)角和 的真誤差）分別為：的真誤差）分別為： 甲：甲：+3、+1、-2、-1、0、-3； 乙：乙：+6、-5、+1、-4、-3、+5。 試分析兩組的觀測精度。試分析兩組的觀測精度。 【 解解 】用中誤差公式（用中誤差公式（5-6）計算得：）計算得： 3 . 4 6 534156 0 . 2 6 301213 222222 222

13、222 ）（ 乙 甲 n m n m 18 l從上述兩組結(jié)果中可以看出，從上述兩組結(jié)果中可以看出，甲組甲組的中誤差較的中誤差較 ?。ㄐ。?2.0），所以觀測），所以觀測精度高于乙組（精度高于乙組（ 4.3）。 l而直接從觀測誤差的分布來看，也可看出而直接從觀測誤差的分布來看，也可看出甲組甲組 觀測的小誤差比較集中，離散度較小，因而觀觀測的小誤差比較集中，離散度較小，因而觀 測精度高于乙組。測精度高于乙組。 l在測量工作中，在測量工作中，普遍采用中誤差來評定測量成普遍采用中誤差來評定測量成 果的精度。果的精度。 2021年6月3日星期四 19 2.2.容許誤差容許誤差(極限誤差) 根據(jù)誤差分布的

14、密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內(nèi)的概 率為： de m dfP m 2 2 2 2 1 )()( 誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為： km km m de m kmP 2 2 2 2 1 )( 將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在 一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率： P(| m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 測量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差： |容|=3|m| 或 |容|=2|m| 2021年6月3日星期四 20 3.3.相對誤差相對誤差(相對中誤差) 誤差絕對值與觀測量之比。 用于

15、表示距離距離的精度。 用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。 分?jǐn)?shù)值較小相對精度較高；分?jǐn)?shù)值較大相對精度較低。 K2K1，所以距離，所以距離S2精度較高。精度較高。 例例2 2：用鋼尺丈量兩段距離分別得用鋼尺丈量兩段距離分別得S S1 1=100=100米米,m,m1 1=0.02m=0.02m； S S2 2=200=200米米,m,m2 2=0.02m=0.02m。計算。計算S S1 1、S S2 2的相對誤差。的相對誤差。 0.02 1 0.02 1 K1= = ； K2= = 100 5000 200 10000 解：解： 2021年6月3日星期四 21 一一.一般函數(shù)的中誤差一般函數(shù)的中誤差 令 的

16、系數(shù)為 ， (c)式為： i x i i x F f 由于 和 是一個很小的量，可代替代替上式中的 和 ： i x i dxdz n n x x F x x F x x F 2 2 1 1 (c) 代入(b)得 對(a)全微分： n n dx x F dx x F dx x F dZ 2 2 1 1 (b) 設(shè)有函數(shù)：),( 21n xxxFZ 為獨立獨立觀測值 i x 設(shè) 有真誤差 ，函數(shù) 也產(chǎn)生真誤差 i x i x Z (a) 5.5 5.5 誤差傳播定律誤差傳播定律 2021年6月3日星期四 22 )()( 22 )( 11 )( )2()2( 22 )2( 11 )2( ) 1 ()

17、 1 ( 22 ) 1 ( 11 ) 1 ( k nn kkk nn nn xfxfxf xfxfxf xfxfxf 對Z觀測 了k次， 有k個式 (d) 對(d)式中的一個式子取平方：（i，j=1n且ij） jiji nn xxffxxff xxffxfxfxf 22 2 3131 2121 222 2 2 2 2 1 2 1 2 (e) 對K個(e)式取總和： n ji ji jijinn xxffxfxfxf 1, 222 2 2 2 2 1 2 1 2 2 (f) 2021年6月3日星期四 23 n ji ji jijinn xxffxfxfxf 1, 222 2 2 2 2 1 2

18、1 2 2(f) (f)式兩邊除以K，得(g)式： (g) n ji ji ji ji n n K xx ff K x f K x f K x f K 1, 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 由偶然誤差的抵償性知： 0lim n xx ji n (g)式最后一項極小于前面各項， 可忽略不計，則：則： 前面各項 K x f K x f K x f K n n 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 即即 222 2 2 2 2 1 2 1 2 xnnxxz mfmfmfm (h) 2021年6月3日星期四 24 222 2 2 2 2 1 2 1 2 xnnxxz mfmfmf

19、m(h) 考慮考慮 ，代入上式，得中誤差關(guān)系式：，代入上式，得中誤差關(guān)系式： i i x F f 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 n n Z m x F m x F m x F m (6-10) 上式為上式為一般函數(shù)的中誤差公式一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為，也稱為誤差傳播定律誤差傳播定律。 2021年6月3日星期四 25 通過以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們通過以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們 可以總結(jié)出可以總結(jié)出求觀測值函數(shù)中誤差的步驟求觀測值函數(shù)中誤差的步驟： 1.列出函數(shù)式；列出函數(shù)式； 2.對函數(shù)式求全微分；對函數(shù)式求全微分； 3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。套用誤差傳播定律，寫出

20、中誤差式。 2021年6月3日星期四 26 1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式 (x為觀測值，K為x的系數(shù)) 全微分 得中誤差式 xxZ KmmKm KdxdZ KxZ 22 例：例：量得 地形圖上兩點間長度 =168.5mm0.2mm, 計算該兩點實地距離S及其中誤差ms： l1000:1 m2 . 0m5 .168 m2 . 0mm2002 . 010001000 1000 1000 S mm dd lS lS lS 解：解：列函數(shù)式 求全微分 中誤差式 二二 .幾種常用函數(shù)的中誤差幾種常用函數(shù)的中誤差 2021年6月3日星期四 27 2.線性函數(shù)的中誤差線性函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式 全微分

21、 中誤差式 nn xkxkxkZ 2211 nndx kdxkdxkdz 2211 222 2 2 2 2 1 2 1nnZ mkmkmkm 例：例：設(shè)有某線性函數(shù)設(shè)有某線性函數(shù) 其中其中 、 、 分別為獨立觀測值，它們的中誤差分分別為獨立觀測值，它們的中誤差分 別為別為 求Z的中誤差 。 314 1 214 9 114 4 xxxZ 321 xxx mm6,mm2,mm3 321 mmm Z m 314 1 214 9 114 4 dxdxdxdz mm6 . 1623 2 14 1 2 14 9 2 14 4 2 33 2 22 2 11 xxxZ mfmfmfm 解：解：對上式全微分：

22、由中誤差式得： 2021年6月3日星期四 28 函數(shù)式 全微分 中誤差式 nnnnn l lllx 1 2 1 1 1 lnnlnln ddddx 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 222 n nnn x mmmm 3.算術(shù)平均值的中誤差式算術(shù)平均值的中誤差式 由于等精度觀測時， ，代入上式： 得 mmmm n 21 n m m n nm X 2 2 1 n 由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測值的中誤 差縮小了縮小了 倍。 對某觀測量進(jìn)行多次觀測(多余觀測)取平均， 是提高觀測成果精度最有效的方法。 2021年6月3日星期四 29 4.和或差函數(shù)的中誤差和或差函數(shù)的中誤差 函

23、數(shù)式： 全微分： 中誤差式： n xxxZ 21 n dxdxdxdz 21 22 2 2 1nZ mmmm 當(dāng)?shù)染扔^測時： 上式可寫成： mmmmm n 321 nmm Z 例：例：測定A、B間的高差 ，共連續(xù)測了9站。設(shè)測量 每站高差的中誤差 ，求總高差 的中 誤差 。 解：解： AB h mm2m h m AB h 921 hhhhAB mm692nmmh 2021-6-3 30 【例例】 水準(zhǔn)測量中，已知后視讀數(shù)水準(zhǔn)測量中，已知后視讀數(shù)a = =1.734 m，前視讀前視讀 數(shù)數(shù)b= =0.476 m，中誤差分別為，中誤差分別為ma= =0.002 m， mb= =0.003 m，試

24、求兩點的高差及其中誤差。試求兩點的高差及其中誤差。 解解：函數(shù)關(guān)系式為函數(shù)關(guān)系式為h=a- -b，屬和差函數(shù)，得，屬和差函數(shù)，得 mm mmm mbah bah 004.00036.0 003.0002.0 258.1476.0734.1 22 22 兩點的高差結(jié)果可寫為兩點的高差結(jié)果可寫為1.258 m0.004 m。 2021-6-3 31 【例例 】 在斜坡上丈量距離，其斜距為在斜坡上丈量距離，其斜距為L= =247.50 m，中誤，中誤 差差mL= =0.05 m，并測得傾斜角，并測得傾斜角= =1034，其中，其中 誤差誤差m= =3，求水平距離，求水平距離D及其中誤差及其中誤差mD

25、 cosLD mD303.2433410cos50.247 864 3 .453410sin50.2473410sin 830 9 . 03410cos L D L D 解解: : 1 1）首先列出函數(shù)式）首先列出函數(shù)式 2 2）水平距離）水平距離 這是一個非線性函數(shù)，所以對函數(shù)式進(jìn)行全微分，這是一個非線性函數(shù)，所以對函數(shù)式進(jìn)行全微分， 3 3）先求出各偏導(dǎo)值如下）先求出各偏導(dǎo)值如下 2021-6-3 32 5 5）得結(jié)果）得結(jié)果 ： D= =243.30 m0.06 m。 m m D m L D m LD 063. 0 3438 3 )3864.45(05. 09830. 0 2 222 2

26、 2 2 2 4 4）寫成中誤差形式：）寫成中誤差形式： 2021-6-3 第 五 章 測 量 誤 差 的 基 本 知 識 33 【例例】 圖根水準(zhǔn)測量中，已知每次讀水準(zhǔn)尺的中誤差為圖根水準(zhǔn)測量中，已知每次讀水準(zhǔn)尺的中誤差為 m mi i= =2 mm2 mm，假定視距平均長度為，假定視距平均長度為50 m50 m，若以，若以3 3倍中倍中 誤差為容許誤差，試求在測段長度為誤差為容許誤差，試求在測段長度為L L km km的水準(zhǔn)路的水準(zhǔn)路 線上，圖根水準(zhǔn)測量往返測所得高差閉合差的容許線上，圖根水準(zhǔn)測量往返測所得高差閉合差的容許 值。值。 解解:1):1)每站觀測高差為：每站觀測高差為： 2)2

27、)每站觀測高差的中誤差：每站觀測高差的中誤差： 因視距平均長度為因視距平均長度為50 m，則每公里可觀測，則每公里可觀測10個測站，個測站， L公里共觀測公里共觀測10L個測站，個測站，L公里高差之和為：公里高差之和為： L(km)(km)高差和的中誤差為：高差和的中誤差為： bah mm 222 ih mm L hhhh 1021 mm 54 221010 L LmLm h 2021-6-3 34 往返高差的較差（即高差閉合差）為：往返高差的較差（即高差閉合差）為： 高差閉合差的中誤差為：高差閉合差的中誤差為： 以以3倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許值為：倍中誤差為容許誤差，則高差閉合

28、差的容許值為： 在第二章中，在第二章中，取取 作為閉合差的容許作為閉合差的容許 值是考慮了除讀數(shù)誤差以外的其它誤差的影響值是考慮了除讀數(shù)誤差以外的其它誤差的影響（如外界如外界 環(huán)境的影響、儀器的環(huán)境的影響、儀器的i角誤差等）角誤差等）。 mm 3810123LLmf h fh 容 mm 1042Lmm h f 返往 hhfh mm40 Lfh 容 2021年6月3日星期四 35 觀測值函數(shù) 中誤差公式 匯總 觀測值函數(shù)中誤差公式匯總觀測值函數(shù)中誤差公式匯總 函數(shù)式 函數(shù)的中誤差 一般函數(shù) 倍數(shù)函數(shù) 和差函數(shù) 線性函數(shù) 算術(shù)平均值 ),( 21n xxxFZ 2 2 2 2 2 2 2 1 2

29、1 n n Z m x F m x F m x F m xxZ KmmKmKxZ 22 n xxxZ 21 nmm Z nn xkxkxkZ 2211 222 2 2 2 2 1 2 1nnZ mkmkmkm nnnnn l lllx 1 2 1 1 1 n m m X 2021年6月3日星期四 36 誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用 用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形內(nèi)角時，每個內(nèi)角觀 測4個測回取平均，可使得三角形閉合差 m m1515 。 例例1：要求三角形最大閉合差m15 ，問用DJ6 經(jīng)緯儀觀測三角形每個內(nèi)角時須用幾個測回？ 1 2 3 =(1+2+3)-180 解：解：由題意：2m= 1

30、5,則 m= 7.5 每個角的測角中誤差：3 . 4 3 5 . 7 m 測回即4 3 . 4 5 . 8 , 5 . 8 3 . 4, 2 2 n nn m mx 由于DJ6一測回角度中誤差為： 由角度測量n測回取平均值的中誤差公式： 5 . 826 m 3 . 4 3 5 . 7 x m 2021年6月3日星期四 37 誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用 例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。 解:(1)測量水平距離的精度 基本公式： 2 cosKlD 求全微分： d KldlK dD dl l D dD)cossin2(cos2 水平距離中誤差： 2 2222 )2sin()co

31、s( m KlmKm lD )206265( 其中： 2021年6月3日星期四 38 誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用 例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。 解: (2)測量高差的精度 基本公式： 求全微分： d KldlK dD dl l D dD)cossin2(cos2 高差中誤差： 2 22 2 )2cos(2sin 2 1 m KlmKm lh 2sin 2 1 Klh )206265( 其中： 2021年6月3日星期四 39 誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用 例3:(1)用鋼尺丈量某正方形一條邊長為 求該正方形的周長S和面積A的中誤差. 解: (1)周長 , l m

32、l (2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為 其中: 求該正方形的周長S和面積A的中誤差. i li ml lllll mmmmmlllll 4321 4321 且 lS4 lS mm4 面積 , 2 lA lA lmm2 周長的中誤差為 dldS4全微分: 面積的中誤差為 全微分:ldldA2 2021年6月3日星期四 40 解:(1)周長和面積的中誤差分別為 例3:(2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為 其中: 求該正方形的周長S和面積A的中誤差. i li ml lllll mmmmmlllll 4321 3321 且 lS mm4 lA lmm2 (2)周長 ;周長的中誤差為 lllll

33、S4 4321 面積 llllllS mmmmmmm24 22222 4321 得周長的中誤差為 2 2 4321 4 L llll A 全微分: 4321 4 1 4 1 4 1 4 1 dldldldldL 但由于 LdLdA2 llllllA lmmLm L m L m L m L m 222 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2222 4321 2021-6-3 41 三、注意事項三、注意事項 應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)注意以下兩點：應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)注意以下兩點： 1要正確列出函數(shù)式要正確列出函數(shù)式 例：用長例：用長30 m的鋼尺丈量了的鋼尺丈量了10個尺段，若每尺段的中個尺段，若每尺段的

34、中 誤差為誤差為ml=5 mm，求全長，求全長D及其中誤差及其中誤差mD。 1）函數(shù)式）函數(shù)式 按倍數(shù)函數(shù)式求全長中誤差，將得出按倍數(shù)函數(shù)式求全長中誤差，將得出 2）實際上全長應(yīng)是）實際上全長應(yīng)是10個尺段之和，故函數(shù)式應(yīng)為個尺段之和，故函數(shù)式應(yīng)為 用和差函數(shù)式求全長中誤差，因各段中誤差均相等，用和差函數(shù)式求全長中誤差，因各段中誤差均相等， 故得全長中誤差為故得全長中誤差為 按實際情況分析用和差公式是正確的，而用倍數(shù)公式按實際情況分析用和差公式是正確的，而用倍數(shù)公式 則是錯誤的。則是錯誤的。 m 300301010lD 1021 lllD mm 1610 lD mm mm5010 lD mm

35、2021-6-3 42 2 2在函數(shù)式中各個觀測值必須相互獨立，即互在函數(shù)式中各個觀測值必須相互獨立，即互 不相關(guān)不相關(guān)。 如有函數(shù)式：如有函數(shù)式： 而：而： 若已知若已知x的中誤差為的中誤差為mx，求，求Z的中誤差的中誤差mz。 1 1）直接用公式計算）直接用公式計算, ,由（由（a a）式得：）式得： 由（由（b b）式得：）式得： 代入（代入（c c）式得）式得 （上面所得的結(jié)果是（上面所得的結(jié)果是 錯誤）錯誤） (a) 1221yyz )(22321bxyxy； xyxymmmm2321， )(421 22 cmmmyyz x xxz mmmm5)2(4)3( 22 2021-6-3

36、43 上面所得的結(jié)果是錯誤的。上面所得的結(jié)果是錯誤的。 因為因為y1和和y2都是都是x的函數(shù)，它們不是互相獨立的的函數(shù)，它們不是互相獨立的 觀測值，因此在觀測值，因此在（a）式的基礎(chǔ)上不能應(yīng)用誤差式的基礎(chǔ)上不能應(yīng)用誤差 傳播定律。傳播定律。 正確的做法是：先把正確的做法是：先把(b)式代入式代入(a)式，再把同類式，再把同類 項合并，然后用誤差傳播定律計算項合并，然后用誤差傳播定律計算。 x mxxz7m 57x 1)22(23 z 2021-6-3 第 五 章 測 量 誤 差 的 基 本 知 識 44 等精度直接觀測平差等精度直接觀測平差 l多余觀測多余觀測:對一個未知量，進(jìn)行重復(fù)觀測對一個

37、未知量，進(jìn)行重復(fù)觀測. l多余觀測目的多余觀測目的 :提高觀測成果的質(zhì)量，發(fā)現(xiàn)和消除錯提高觀測成果的質(zhì)量，發(fā)現(xiàn)和消除錯 誤。有一個多余觀測，就會產(chǎn)生一個矛盾（閉和誤。有一個多余觀測，就會產(chǎn)生一個矛盾（閉和 差），消除矛盾的過程，稱為差），消除矛盾的過程，稱為測量平差測量平差。 l直接觀測平差直接觀測平差:重復(fù)觀測重復(fù)觀測.也就產(chǎn)生了觀測值之間互不也就產(chǎn)生了觀測值之間互不 相等這樣的矛盾。如何由這些互不相等的觀測值求相等這樣的矛盾。如何由這些互不相等的觀測值求 出觀測值的最佳估值，同時對觀測質(zhì)量進(jìn)行評估，出觀測值的最佳估值，同時對觀測質(zhì)量進(jìn)行評估， 即對一個未知量的直接觀測值進(jìn)行平差即對一個未知

38、量的直接觀測值進(jìn)行平差. l根據(jù)觀測條件，有根據(jù)觀測條件，有等精度直接觀測平差等精度直接觀測平差和和不等精度不等精度 直接觀測平差直接觀測平差。 2021年6月3日星期四 45 觀測值的算術(shù)平均值觀測值的算術(shù)平均值(最或是值) 用觀測值的改正數(shù)用觀測值的改正數(shù)v v計算觀測值的計算觀測值的 中誤差中誤差 (即:白塞爾公式) 5.6 5.6 同（等）精度直接觀測平差同（等）精度直接觀測平差 2021年6月3日星期四 46 一一. .觀測值的觀測值的算術(shù)平均值算術(shù)平均值(最或是值、最可靠值) 證明算術(shù)平均值為該量的最或是值： 設(shè)該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為 1= 1- X 2= 2- X

39、n= n- X 對某未知量未知量進(jìn)行了n 次觀測，得n個觀測值1,2,n, 則該量的算術(shù)平均值為： x= = 1+2+n n n 上式等號兩邊分別相加得和： lnX L= n l n lll L n 21 nXl 2021年6月3日星期四 47 當(dāng)觀測無限多次時： n l X n nn lim lim 得 X n l n lim 兩邊除以n： 由 lnX n l X n 當(dāng)觀測次數(shù)無限多時，觀測值的算術(shù)平均值就是該 量的真值；當(dāng)觀測次數(shù)有限時，觀測值的算術(shù)平均 值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值,或最 可靠值。也稱最或然值。常用x表示。 L X nXl XLX n l n 0)( lim

40、lim XL n nn 2021年6月3日星期四 48 觀測值改正數(shù) 特點 二二. .觀測值的改正數(shù)觀測值的改正數(shù)v v ： 以算術(shù)平均值 為最或是值，并據(jù) 此計算各觀測值的 改正數(shù) v ，符合 vv=min 的“最小 二乘原則”。 Vi = L - i (i=1,2,n) 特點特點1 改正數(shù)總和為零：改正數(shù)總和為零： 對上式取和： 以 代入： 通常用于計算檢核 L= n v=nL- n v =n -=0 v =0 特點特點2 vv符合符合“最小二乘原則最小二乘原則”： 則 即 vv=(x-)2=min =2(x-)=0 dvv dx (x-)=0 nx-=0 x= n 2021-6-3 49

41、 二、評定精度二、評定精度 （一）觀測值的中誤差（一）觀測值的中誤差 1 1由真誤差來計算由真誤差來計算 當(dāng)觀測量的真值已知時當(dāng)觀測量的真值已知時, ,可根據(jù)中誤差估值的定義即可根據(jù)中誤差估值的定義即 由觀測值的真誤差來計算其中誤差。由觀測值的真誤差來計算其中誤差。 n m 2 2由改正數(shù)（最或然值誤差由改正數(shù)（最或然值誤差v v）來計算）來計算 在實際工作中，觀測量的真值除少數(shù)情況外一般在實際工作中，觀測量的真值除少數(shù)情況外一般 是不易求得的。是不易求得的。因此在多數(shù)情況下，我們只能按觀測因此在多數(shù)情況下，我們只能按觀測 值的最或然值來求觀測值的中誤差。值的最或然值來求觀測值的中誤差。 1

42、n vv m 2021年6月3日星期四 50 精度評定 比較前面的公式，可以證明，兩式根號內(nèi)的 部分是相等的， 1 n vv n n m n vv m 1 即在 與 中： 精度評定精度評定 用觀測值的改正數(shù)v計算中誤差 1 n vv m 一.計算公式(即白塞爾公式)： 2021年6月3日星期四 51 1 n vv n 證明如下：證明如下： nnnn lxvlX lxvlX lxvlX 2222 1111 真誤差：真誤差：改正數(shù)：改正數(shù)： 證明兩式根號內(nèi)相 等 Xl Xl Xl nn 22 11 nn lLv lLv lLv 22 11 ii ii v XLv 對上式取n項的平方和 vvvn2

43、2 由上兩式得 其中: 0lnLv 2021年6月3日星期四 52 證明兩式 根號內(nèi)相 等 2 2 22 22 )( nn Xl n nX n l XL n ji ji jinn 1, 22 2 2 1 2 21 2 2)( 0 22 2 2 nn vvnvvvn 22 2 n vv nn 2 1 n vv n 中誤差 定義: n m 白塞爾 公式: 1 n vv m 2021年6月3日星期四 53 解：解：該水平角該水平角真值未知真值未知，可用，可用算術(shù)平均值的改正數(shù)算術(shù)平均值的改正數(shù)V V計計 算其中誤差：算其中誤差： 例：例：對某水平角等精度觀測了5次，觀測數(shù)據(jù)如下表， 求其算術(shù)平均值及

44、觀測值的中誤差。 算例1: 次數(shù)觀測值VV V備注 176424 9 -416 276424 0 +525 376424 2 +39 476424 6 -11 576424 8 -39 平均76424 5 V =0 VV =60 983 15 60 1 . n VV m 471 5 983 . . n m M 7642451. 74 2021年6月3日星期四 54 距離丈量精 度計算例 算例算例2：對某距離用精密量距方法丈量六次，求對某距離用精密量距方法丈量六次，求該距離的算術(shù)該距離的算術(shù) 平均值平均值 ； 觀測值的中誤差觀測值的中誤差 ； 算術(shù)平均值的中誤算術(shù)平均值的中誤 差差 ； 算術(shù)平均值的相對中誤差算術(shù)平均值的相對中誤差 ： x x m MxM / 凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。 2021-6-3 55 1）應(yīng)設(shè)法提高單次觀測的精度，）應(yīng)設(shè)法提高單次觀測的精度， 如如: 使用精度較高的儀器、使用精度較高的儀器、 提高觀測技能提高觀測技能 在較好的外界條件下進(jìn)行觀測。在較好的外界條件下進(jìn)行觀測。 2）進(jìn)行多