直線與平面平面與平面平行的判定

1、2會用圖形語言、直線與平面、平面與平面平行的判定學習目標1.理解直線與平面平行、平面與平面平行判定定理的含義文字語言、符號語言準確描述直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理，并知道其地位 和作用3能運用直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的判定定理證明一些空間線 面關(guān)系的簡單問題.知識點一直線與平面平行的判定定理語言敘述符號表示圖形表示平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平a? ab? a ?a / ba IIa行，則該直線與此平面平行思考 若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線和這個平面平行嗎?答根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知該結(jié)論錯誤 知識點二平面與平面平行的判定定理語言敘

2、述符號表示圖形表示一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行a? a , b? a an b = A?a /卩，b/ 3a / 3思考如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行，那么這條直線與另一個平面也平行嗎?答 不一定.這條直線與另一個平面平行或在另一個平面內(nèi)題型一 直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用 例1 如圖，空間四邊形 ABCDK E、F、G H分別是 AB BC CD DA的中點.求證：（1） EH/平面BCDBD/平面EFGH證明ABD的中位線, EH/ BD/ EH?平面 BCD BD?平面 BCD EH/平面 BCD(2) BD/ EH BD?平面 EFGHEH? 平

3、面 EFGH， BD/平面 EFGH跟蹤訓練1 在四面體 A- BCD中, M N分別是 ABDFHA BCD的重心，求證：MN/平面ADC證明如圖所示，連接 BM BN并延長，分別交 AD DC于 P, Q兩點，連接PQ因為M N分別是 ABDA BCD的重心,所以BM： MP= BN： NQ= 2 : 1.所以MN/ PQ.又因為 MN平面ADC PC?平面ADC所以MN/平面ADC題型二 面面平行判定定理的應(yīng)用 例2 如圖所示，在三棱柱 AB（- ABC中，點D, E分別是BC與BC的中點.求證：平面AEB/平面 ADC1.證明 由棱柱性質(zhì)知，BCi/ BC BC= BC又D, E分別為

4、BC BC的中點,所以CE綊DB則四邊形 CDBE為平行四邊形,因此 EB/ C D又 CD? 平面 ADCEB?平面ADC所以EB/平面ADC 連接DE同理,EB綊BD 所以四邊形EDBB為平行四邊形，貝U ED綊B B.因為B B/ AiA,Bi B= A A 棱柱的性質(zhì)）,所以ED綊A A,則四邊形 EDAA為平行四邊形,所以所以A El平面ADCA Ell AD 又 Ai E?平面 ADC, AD?平面 ADC由 AE/平面 ADC, EB/平面 ADC,A E? 平面 A EB EB? 平面 A EB且A EQ EB= E,所以平面 Ai EB/平面 ADC跟蹤訓練2 已知ABCDA

5、 B CD是棱長為3的正方體，點 E在AA上,點F在CC上 ,點G 在BB上,且AE= FC = B G= 1 , H是B C的中點.求證： ( ) E B F D 四點共面；平面A GH/平面BEDF.證明 （1） T AE= BiG= 1 ,. BG= AE= 2.又 BGI AE,.四邊形 AiEBG是平行四邊形, AiG/ BE連接 FG / CF= BG, CF/ BG,四邊形C FGB是平行四邊形, FG= CB = DA, FG/ CB / DA,四邊形Ai GFD是平行四邊形, Ai G/ D F,. DF/ EB故E, B, F, D四點共面.3（2） H是 B C 的中點，

6、 B H= 2.Bi G 2又 BBiH= 3.FC 2又BCr 3,且/ FCB=/ GBH= 90,:丄 B GH=/ CFB=/ FBG HG/ FB又由（1 ）知，A G/ BE 且 H6 Ai G= G FBn BE= B,平面 AiGH/ 平面 BEDF.題型三線面平行、面面平行判定定理的綜合應(yīng)用 例3在正方體 ABCD A B CD中，O為底面ABCD勺中心,P是DD的中點，設(shè) Q是CG上的點.問：當點Q在什么位置時，平面 D BQ/平面PAO請說明理由.解 當Q為CG的中點時，平面 DBQ/平面PAO理由如下:連接PQ Q為CC的中點，P為DD的中點, PQ/ DC/ AB P

7、Q= DC= AB四邊形ABQPi平行四邊形， QB/ PA又 O為 DB的中點， DB/ PO又 P6 PA= P, DBQ QB= B,平面DBQ/平面PAO跟蹤訓練3如圖，三棱柱 ABC- AiBC的底面為正三角形，側(cè)棱 AA1底面ABC E, F分別是棱CC, BB上的點，EC=是線段AC上的動點，當點 M在何位置時，BM/平面AEF請說解 當M為AC中點時，BM/平面AEF理由如下: 方法一如圖1,取AE的中點O連接OF OM O, M分別是AE AC的中點, OM/ EC OM= 2EC 又 BF/ CE EC= 2FB OI/ BF, OIMk BF,四邊形OMB為平行四邊形，

8、BM/ OF又 OF?面 AEF BM面 AEFBM/ 平面 AEF方法二 如圖2,取EC的中點P,連接PM PB/ PM ACE的 中位線, PM/ AE EC= 2FB= 2PE CC/PE= BF, PE/ BF,四邊形BPEF是平行四邊形， PB/ EF又 Pl?平面 AEF PB?平面 AEF PM/平面 AEF PB/平面 AEF又 PMT PB= P,.平面 PBM 平面 AEF又 BM?面 PBM BM/平面 AEF面面平行的判定 例4 已知在正方體 ABCB A B C D中，M N分別是A D , A B的中點，在該正方體中是否存在過頂點且與平面 AMt平行的平面？若存在，

9、試作出該平面，并證明你的結(jié)論;若不存在 請說明理由 分析 根據(jù)題意畫出正方體， 根據(jù)平面AMN勺特點，試著在正方體中找出幾條平行于該平面 的直線 然后作出判斷 并證明 解 如圖，與平面 AMN平行的平面有以下三種情況:面以圖為例進行證明如圖，取B C的中點E,連接BD BE DE ME B D , 可知四邊形ABEM是平行四邊形, 所以 BE/ AM.又因為BE平面BDE AM?平面BDE所以AM/平面BDE 因為M是 A B D的中位線,所以MN B D .因為四邊形BDD B是平行四邊形,所以 BD/ B D .所以MN/ BD又因為BD?平面BDE MN平面BDE所以MN/平面BDE又因

10、為AM平面AMN MN平面AMN且AMT MN= M所以由平面與平面平行的判定定理可得，平面AMN平面BDE1. 過直線 l 外兩點，作與 l 平行的平面，則這樣的平面 ()A.不可能作出B.只能作出一個C.能作出無數(shù)個D. 上述三種情況都存在2. 經(jīng)過平面 a 外兩點，作與a平行的平面，則這樣的平面可以作 ()個或 2 個個或 1 個3.若線段AB BC CD不共面,M N, P分別為線段 AB BC CD的中點，則直線 BD與平面MNP勺位置關(guān)系是()A. 平行B. 直線在平面內(nèi)C.相交D. 以上均有可能4.在正方體 EFGH- EFiGH中,下列四對截面彼此平行的一對是 ()A. 平面

11、E1FG1 與平面 EGH1B.平面FHG與平面FiHGC.平面FiHH與平面FHED.平面EiHG與平面EHG5.梯形ABCD中, AB/CD AB?平面a , CD?平面a,則直線CD與平面a的位置關(guān)系是一、選擇題1 .下列說法正確的是 () 若一個平面內(nèi)有兩條直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行; 若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行; 若一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行; 若一個平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行A. B. C.D.2.平面a與平面 卩平行的條件可以是(A. a內(nèi)有無窮多條直線與卩平行B.直線a

12、/ a , a/卩，且直線a不在a與C.直線a? a，直線b?卩，且b/ a , a/D. a內(nèi)的任何直線都與卩平行 3. 六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有對對4. 如果直線 a 平行于平面 a ，那么下列命題正確的是A. 平面 a 內(nèi)有且只有一條直線與 a 平行 B.平面a 內(nèi)有無數(shù)條直線與 a 平行C.平面a內(nèi)不存在與a平行的直線D.平面a 內(nèi)的任意直線與直線 a 都平行5.在空間四邊形 ABC中，E, F分別為AB AD上的點，且AE： EB= AF： FD= 1 : 4,又 H, G分別為BC CD的中點，貝y ()/平面EFG且四邊形EFGH是平行四邊形/平面BCD且四邊形EFG

13、H是梯形/平面ABD且四邊形EFGH是平行四邊形/平面ADC且四邊形EFGH是梯形6.平面 a 內(nèi)有不共線的三點到平面 3 的距離相等且不為零， 貝 a 與3 的位置關(guān)系為 ()A. 平行B. 相交 C.平行或相交 D. 可能重合7.已知直線I, m平面， 3 ，下列命題正確的是 ()/3， I? a?a/ 3/ 3 , m/ 卩，I ? a ,n?a/ 3/ m， I ? a， m? 3 ? a/ 3 , m/ 3 , I ? a , a , l n m= MPa / 3二、填空題8.三棱錐SABC中,ABC的重心，E在棱SA上，且AE= 2ES貝U EG與平面SBC的關(guān)系9. 如圖是正方體

14、的平面展開圖 . 在這個正方體中，BM/平面DECN/平面 AF;平面 BDM平面 AFN平面 BD/平面NCF以上四個命題中，正確命題的序號是10.右圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E, F, G, H分別為PA PDPC PB的中點，在此幾何體中，給出下面五個結(jié)論:平面EFGH平面 ABCDPA/平面BDGEF/平面PBCFH/平面BDGEF/平面BDG 其中正確結(jié)論的序號是 三、解答題 11.如圖，在已知四棱錐 P- ABCD中，底面ABCD平行四邊形，點 M N, Q分別在PA BDPD上，且 PM： MA= BN： ND= PQ： QD 求證：平面 MNQ 平面

15、 PBC12.如圖，在正四棱柱 ABCD ABCD中，M是棱AB的中點，點N在側(cè)面AADD上運動，點N滿足什么條件時，MN/平面 BBDD?當堂檢測答案1 .答案 D解析設(shè)直線外兩點為A B,若直線AB/ I，則過A B可作無數(shù)個平面與I平行；若直線AB與I異面，則只能作一個平面與平行；若直線 AB與I相交，則過 A B沒有平面與I平行.2.答案 B解析當經(jīng)過兩點的直線與平面平行時，可作出一個平面 卩使卩/當經(jīng)過兩點的直線與平面a相交時，由于作出的平面又至少有一個公共點，故經(jīng)過兩點的平面都與平面a相交,不能作出與平面 a平行的平面.故滿足條件的平面有 0個或1個.3.答案 A解析連接NP因為N

16、P分別是BC CD的中點，M是AB的中點，AB BC CD不共面，所以直線BD不在平面 MNPh. 直線 BD與平面 MNPR亍.4.答案 A 解析如圖， EG/ EG,EC?平面 EFG,EG?平面 EFG, EG/平面 EiFG,又 GF/ HE,同理可證HE/平面Ei FG,又 HEQ EG= E,平面EiFG /平面EGH5.答案 CD/ a解析 因為AB/ CD AB?平面a , CD?平面a，由線面平行的判定定理可得CD/課時精練答案、選擇題1 .答案 D解析 如圖，長方體ABCD A BCD 中,在平面ABC內(nèi)，在AB上任取一點E,過點E作EF/ AD,交CD于點F,則由線面平行

17、的判定定理，知EF, BC都平行于平面 ADDA，用同樣的方法可以在平面ABCD作出無數(shù)條直線都與平面 ADDA平行，但是平面ABCDT平面ADDA不平行,因此都錯；正確，事實上，因為一個平面內(nèi)任意一條直線都平行于另一個平面,所以這兩個平面必無公共點（要注意“任意一條直線”與“無數(shù)條直線”的區(qū)別 ）；是平面與平面平行的判定定理，正確2.答案 D解析對于A項，當卩相交時，a內(nèi)也有無數(shù)條直線都與交線平行，故A錯誤；對于B項，當a平行于卩的交線時，也能滿足，但此時a與卩相交，故B錯誤；對于C項，當a和b 都與卩的交線平行時，也能滿足，但此時 a與卩相交，故C錯誤;對于D項，a內(nèi)的任何直線都與 卩平行

18、，故在一個平面內(nèi)存在兩條相交直線平行于另一平面，故D正確.3.答案 C解析 側(cè)面中有3對，對面相互平行，上下兩底面也相互平行4.答案 B解析 如圖，直線 B C /平面 ABCD B C/ BC B C / AD BC/ ERE, F為中點）等，平面ABC吶平行于BC的所有直線均與 BC平行.但AB與BC不平行.5.答案 B解析易證EF/平面BCD由 AE： EB= AF： FD 知 EF/ BD 且 EF=-BD5又因為H, G分別為BC CD的中點,所以 HG/ BD 且 HG= 2BD綜上可知，EF/ HG EFM HG所以四邊形EFGH是梯形，且EF/平面BCD6.答案 C解析 若三點

19、分布于平面卩的同側(cè)，則a與卩平行，若三點分布于平面卩的兩側(cè)，則a與卩相交.7.答案 D解析 如圖所示，在長方體 ABCDACD中,AB/ CD則AB/平面 DC, AB?平面 AC但是平面AC與平面DC不平行,所以A錯誤；取BB的中點E, CC的中點F,則可證EF/平面ACBCi/平面？平面BC, BC?平面BG,但是平面 AC與平面BC不平行，所以 B錯誤；可證AD/ B C, AD?平面AC B C ?平面BC,又平面AC與平面BC不平行，所以C錯誤；很明顯D是面面平行的判定定理，所以 D正確.二、填空題8. 答案平行 解析 如圖，延長 AG交BC于 F,連接SE則由G為 ABC勺重心知AG： GF= 2，又AE： ES=2 , EG/ SF,又 SF?平面 SBC EG平面 SBC EG/平面 SBC9. 答案 解析 以ABCD下底面還原正方體，如圖:則易判定四個命題都是正