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1、第五章二元一次方程組知識(shí)點(diǎn)整理1知識(shí)點(diǎn)1:二元一次方程(組)的定義1、二元一次方程的概念含有兩個(gè)未知數(shù),且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程注意:1、(1)方程中的元指的是未知數(shù),即二元一次方程有且只有兩個(gè)未知數(shù)含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.(3)二元一次方程的左右兩邊都必須是等式.(三個(gè)條件完全滿足的就是二元一次方程)即若axm+by n=c是二元一次方程,則 a豐0, b豐0且2.含有未知數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)不等于零,且兩未知數(shù)的次數(shù)為m=1, n=1已知(a- 2) X by|a| 1= 5是關(guān)于X、y的二元一次方程,則下列方程為二元一次方程的有2x5 y, x 41, xy2,2x

2、 y 3, x2,1xy 2x y 2,一 y 7x3x2y, a b c 1【鞏固練習(xí)】下列方程中是二元一次方程的是(2A. 3x-y =02 1B. + =1x yC.x 5-y=63 24xy=32、二元一次方程組的概念1。方程組中每個(gè)方程均為整式方程。由兩個(gè)二元一次方程所組成的方程組叫二元一次方程組 注意:方程組中有且只有兩個(gè)未知數(shù)。方程組中含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為例:下列方程組中,是二元一次方程組的是A、x y 42x 3y 72a 3b B.5b 4c11C.D.【鞏固練習(xí)】1,已知下列方程組:(1)3y22x3x2,(3)其中屬于二元一次方程組的個(gè)數(shù)為(C.B. 2卄3m1、右X-

3、3n 3m5y7是關(guān)于X、y二兀一次方程,則m=知識(shí)點(diǎn)2:元一次方程組的解定義般地,使二元一次方程組中兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值叫做二元一次方程組的解。類型題1根據(jù)定義判斷例:方程組2x2的解是(4xB.D.C.y【鞏固練習(xí)】y m 1滿足方程2x0,則2、下面幾個(gè)數(shù)組中,哪個(gè)是方程7x+2y=19 的一個(gè)解()。A、B、c、類型題2已知方程組的解,而求待定系數(shù)。此類題型只需將解代入到方程中,求出相應(yīng)系數(shù)的值,從而求代數(shù)式的值x 一 2例1:已知是方程組y 13mx 2y 1的解,則m2- n2的值為4x n y 72例2:若滿足方程組3xkx2y(2k4的X、y的值相等,則k

4、=1)y 6【鞏固練習(xí)】2xy2kx(k3x4yaxb -y1、若方程組2、若方程組1)y,類型10的解互為相反數(shù),則k的值為ax by 43有相同的解,則a=2x y 5列方程組求待定字母系數(shù)是常用的解題方法.,b=1例:a+ b的值為1都是關(guān)于X、y的方程ax+ by = 6的解,則3例:關(guān)于x,y的二元一次方程 ax+ b = y的兩個(gè)解是【鞏固練習(xí)】如果xy21是方程組:bycyA、a+ 4c= 2B、4a+ c= 22 一,則這個(gè)二元一次方程是10的解,1那么,下列各式中成立的是()C、a+4c+ 2= 0D、4a + c+ 2 = 0知識(shí)點(diǎn)3 :二元一次方程組的解法方法一:代入消元

5、法【典型例題】 例2x 7y 83x 8y 100我們通過代入消去一個(gè)未知數(shù),將方程組轉(zhuǎn)化為一個(gè) 一元一次方程 來解,這種解法叫做 代入消元法。用代入消元法解二元一次方程組的步驟:從方程組中選取一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程,把其中的某一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來把(1 )中所得的方程代入另一個(gè)方程,消去一個(gè)未知數(shù)解所得到的一元一次方程,求得一個(gè)未知數(shù)的值從而確定方程組的解把所求得的一個(gè)未知數(shù)的值代入(1)中求得的方程,求出另一個(gè)未知數(shù)的值,【鞏固練習(xí)】1,方程 x 4y15用含y的代數(shù)式表示,x是(A. x 4y 15B. x 15 4yC. x 4y 154y 152、把方程7x 2y

6、15寫成用含x的代數(shù)式表示y的形式,得(A. x=77B.x15x 2y7C.y 7x 15D.y157x3、用代入法解方程組2x 5yx 3y21較為簡(jiǎn)便的方法是()A 先把變形B.先把變形C.可先把變形,也可先把變形D 把、同時(shí)變形方法二:加減消元法x例:對(duì)于方程組:2xy 20y 40?利用這種關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)新的消元方法嗎?分析:這個(gè)方程組的兩個(gè)方程中,y的系數(shù)有什么關(guān)系?解:得,2x yx y 40 2218,把x 18代入得y所以x=18定義:兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí),把這兩個(gè)方程的兩邊分別 相加減,就能消去這個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元一次方程這種方法 叫做加減消元法

7、,簡(jiǎn)稱加減法。,所以我們只要將兩式,?就可以消去未知數(shù),2m 3n 1例1、方程組5m 3n 4中,n的系數(shù)的特點(diǎn)是化成一個(gè)一元一次方程,達(dá)到消元的目的.例2、用加減法解 3x 4y2x 3y1時(shí),將方程兩邊乘以6,?把方程兩邊乘以,可以比較簡(jiǎn)便地消去未知數(shù)【方法掌握要訣】用加減法解二元一次方程組時(shí),兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)必須相同或互為相反數(shù),?即它們的絕對(duì)值相等.當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)的符號(hào) 相同時(shí),用兩式相減;當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)的符號(hào) 相反時(shí),用兩式相加。方程組的兩個(gè)方程中,如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不互為相反數(shù),又不相等,就用適當(dāng)?shù)恼麛?shù)乘方程兩邊,使一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等;把兩個(gè)方程的

8、兩邊分別 相加或相減,消去一個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元一次方程;解這個(gè)一元一次方程;將求出的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個(gè)方程中,求出另一個(gè)未知數(shù)的值,從而得到方程組的解.【鞏固練習(xí)】1、用加減法解方程組3x 2y2x 3y6時(shí),要使方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù),必須適當(dāng)變形,以下四種變形正確的是(9x4x6y 66y 2(1 ) ( 2)4x 6y 184x6y4x 6y 24x6yB. (2) ( 3)C.(3)(4)186x 4y 126x 4y 3D. (4) (1)2x對(duì)于方程組3x3y 5而言,你能設(shè)法讓兩個(gè)方程中4y 33x的系數(shù)相等嗎?你的方法是2、兩個(gè)方程中y的系

9、數(shù)互為相反數(shù),你的方法是3、用加減消元法解方程組2x 3y3y5正確的方法是()A.得2x 5B.得3x 12C.得3x 7D.先將變?yōu)閤 3y 7,再得x 2以下教科書中沒有的幾種解法(一)加減-代入混合使用的方法.例 1,13x+14y=41(1)14x+13y=40(2)解:(2)-(1)得 x-y=-1(可以作為培優(yōu)學(xué)生的拓展)把代入(1)得 13(y-1)+14y=41x=y-1(3)13y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入得x=1 所以:x=1, y=2特點(diǎn):兩方程相加減,單個(gè)x或單個(gè)y,這樣就適用接下來的代入消元.(二)換元法例 2,(x+5)+(y-4)=8(x

10、+5)-(y-4)=4令 x+5=m,y-4=n 原方程可寫為m+n=8m-n=4所以 x+5=6,y-4=2 所以 x=1,特點(diǎn):兩方程中都含有相同的代數(shù)式,如題中的(三)另類換元例 3,x:y=1:45x+6y=29令 x=t, y=4t方程2可寫為:解得 m=6,n=2y=6x+5,y-4之類,換元后可簡(jiǎn)化方程也是主要原因。5t+6*4t=2929t=29t=1所以 x=1,y=4知識(shí)點(diǎn)4:實(shí)際問題與二元一次方程組列二元一次方程組解應(yīng)用題 的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步,即:(1)審:通過審題,把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題,分析已知數(shù)和未知數(shù),并用字母表示其中的兩個(gè)未知數(shù);找:

11、找出能夠表示題意兩個(gè)相等關(guān)系;列:根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式,從而列出方程組;(4)解:解這個(gè)方程組,求出兩個(gè)未知數(shù)的值;答:在對(duì)求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上,寫出答案列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系1.行程問題:,用圖便于理(1)追擊問題:追擊問題是行程問題中很重要的一種,它的特點(diǎn)是同向而行。這類問題比較直觀,畫線段解與分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差=開始時(shí)兩者相距的路程;麗墜時(shí)間醴 路程=遠(yuǎn)冥時(shí)ra. 時(shí)間.速度相遇問題 相遇問題也是行程問題中很重要的一種,它的特點(diǎn)是相向而行。這類問題也比較直觀,因而也畫線段圖 幫助理解與分析。這類問題的等量關(guān)系是:雙方所走的路程

12、之和=總路程。(3)航行問題:船在靜水中的速度+水速=船的順?biāo)俣?;船在靜水中的速度-水速=船的逆水速度;順?biāo)俣?逆水速度= 2X水速。注意:飛機(jī)航行問題同樣會(huì)出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行,解題方法與船順?biāo)叫小⒛嫠叫袉栴}類似。2 .工程問題:工作效率X工作時(shí)間=工作量.3 .商品銷售利潤(rùn)問題:(1)利潤(rùn)=售價(jià)一成本(進(jìn)價(jià));(2)進(jìn)價(jià);(3)利潤(rùn)=成本(進(jìn)價(jià))X利潤(rùn)率;標(biāo)價(jià)=成本(進(jìn)價(jià))x(1 +利潤(rùn)率);實(shí)際售價(jià)=標(biāo)價(jià)X打折率;打幾折就是按標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷售。(例如八折就是按標(biāo)價(jià)的十分之八即五分之四或者百分之八十)4 .儲(chǔ)蓄問題:利息=本金X利率X期數(shù)本息和=本金+利息=本金+本

13、金X利率X期數(shù)=本金X (1 +利率X期數(shù)) 利息稅=利息X利息稅率=本金X利率X期數(shù)X利息稅率。稅后利息=利息X (1 -利息稅率)。5.配套問題:解這類問題的基本等量關(guān)系是:總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。6 .增長(zhǎng)率問題:解這類問題的基本等量關(guān)系式是:原量X(1 +增長(zhǎng)率)=增長(zhǎng)后的量;原量X (1 減少率)=減少后的量.7 和差倍分問題:解這類問題的基本等量關(guān)系是:較大量=較小量+多余量,總量=倍數(shù)X倍量8.數(shù)字問題:解決這類問題,首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n為整數(shù)時(shí),奇數(shù)可表示為2n +1(或2n-1),偶數(shù)可表示為2n等,有關(guān)兩位數(shù)

14、的基本等量關(guān)系式為:兩位數(shù)=十位數(shù)字卞10+個(gè)位數(shù)字9 .優(yōu)化方案問題:在解決問題時(shí),常常需合理安排。需要從幾種方案中,選擇最佳方案,如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購(gòu)票等, 般都要運(yùn)用方程解答,得出最佳方案。經(jīng)典例題透析類型一:列二元一次方程組解決行程冋題1小時(shí)20分相遇.相遇后,例:甲、乙兩地相距 160千米,一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時(shí)由甲、乙兩地相向而行,拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn),汽車在相遇處停留1小時(shí)后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回, 在汽車再次出發(fā)半小時(shí)后追上了拖拉機(jī).這時(shí),汽車、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米?舉一反三:【變式1】甲、乙兩人相距 36千米,相向而行,如果甲比乙先走2小時(shí),那么他們?cè)谝页霭l(fā)2.5小時(shí)后相遇

15、;如果乙比甲先走 2小時(shí),那么他們?cè)诩壮霭l(fā) 3小時(shí)后相遇,甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米?類型二:列二元一次方程組解決工程問題例:一家商店要進(jìn)行裝修,若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工,8天可以完成,需付兩組費(fèi)用共3520元;若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天,再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可完成,需付兩組費(fèi)用共3480元,問:(1)甲、乙兩組工作一天,商店應(yīng)各付多少元?(2)已知甲組單獨(dú)做需12天完成,乙組單獨(dú)做需 24天完成,單獨(dú)請(qǐng)哪組,商店所付費(fèi)用最少?6周完成需工錢 5.2萬元;若甲公司單舉一反三:【變式3】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房,若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作獨(dú)做4周后,剩下的由乙公司來做,還需9周完成,需工錢4.8萬

16、元.若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成,從節(jié)約開支的角度考慮,小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司?請(qǐng)你說明理由類型七:列二元一次方程組解決和差倍分問題例:有甲、乙兩件商品,甲商品的利潤(rùn)率為5%乙商品的利潤(rùn)率為 4%共可獲利46元。價(jià)格調(diào)整后,甲商品的利潤(rùn)率為 4%乙商品的利潤(rùn)率為 5%共可獲利44元,則兩件商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元?舉一反三:【變式4】某商場(chǎng)用36萬元購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品,銷售完后共獲利 6萬元,其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表:進(jìn)價(jià)(元/件)AB12001000售價(jià)(元/件)13801200(注:獲利=售價(jià)一進(jìn)價(jià))求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品各多少件;類型四:列二元一次方程組解決銀行儲(chǔ)蓄問題例:小明的媽媽為了準(zhǔn)備小

17、明一年后上高中的費(fèi)用,現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢,一種是年利率為2.25%的教育儲(chǔ)蓄,另一種是年利率為 2.25%的一年定期存款,一年后可取出2042.75元,問這兩種儲(chǔ)蓄各存了多少錢?(利息所得稅=利息金額X 20%教育儲(chǔ)蓄沒有利息所得稅)舉一反三:李明以兩種形式分別儲(chǔ)蓄了2000元和1000元,一年后全部取出,扣除利息所得稅可得利息43.92元已知兩種儲(chǔ)蓄年利率的和為 3.24%,問這兩種儲(chǔ)蓄的年利率各是百分之幾?(注:公民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額X 20%類型五:列二元一次方程組解決生產(chǎn)中的配套問題例:某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝,已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個(gè)或衣

18、袖5只.現(xiàn)計(jì)劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗),應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套?舉一反三:【變式7】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子,每張鐵皮做 8個(gè)盒身或22個(gè)盒底,一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整盒子,問用多少?gòu)堣F皮制盒身,多少?gòu)堣F皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子?類型六:列二元一次方程組解決增長(zhǎng)率問題例:某工廠去年的利潤(rùn)(總產(chǎn)值一總支出)為200萬元,今年總產(chǎn)值比去年增加了20%,總支出比去年減少了 10%,今年的利潤(rùn)為780萬元,去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元?【變式10】某城市現(xiàn)有人口 42萬,估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%農(nóng)村人口增加1.1%這樣全市人口增

19、加 1%求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。例:“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計(jì)劃每周生產(chǎn)帳篷共9千頂,現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂,兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷.為此,全體職工加班加點(diǎn),“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來的1.6倍、1.5倍,恰好按時(shí)完成了這項(xiàng)任務(wù).求在趕制帳篷的一周內(nèi),“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂? 舉一反三:【變式11】(2011年北京門頭溝區(qū)中考一模試題)“地球一小時(shí)”是世界自然基金會(huì)在2007年提出的一項(xiàng)倡議.號(hào)召個(gè)人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個(gè)星期六 20時(shí)30分一21時(shí)30分熄燈一小時(shí),旨在通過一個(gè)人人可為的

20、活動(dòng),讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化,倡導(dǎo)低碳生活.中國(guó)內(nèi)地去年和今年共有119個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng),且今年參加活動(dòng)的城市個(gè)數(shù)比去年的3倍少13個(gè),問中國(guó)內(nèi)地去年、今年分別有多少個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng).類型八:列二元一次方程組解決數(shù)字問題例:一個(gè)兩位數(shù),減去它的各位數(shù)字之和的3倍,結(jié)果是23;這個(gè)兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和,商是5,余數(shù)是1 ,這個(gè)兩位數(shù)是多少?舉一反三:【變式12】一個(gè)兩位數(shù),十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5,如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置,那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9,求這個(gè)兩位數(shù)?類型九:列二元一次方程組解決濃度問題例:現(xiàn)有兩種酒精溶液,甲種酒精溶液的酒精與水的比是3 : 7,乙種酒精溶液的酒精與水的比是4 : 1,今要得到酒精與水的比為3 : 2的酒精溶液50kg,問甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少?舉一反三:【變式14】要配濃度是45%的鹽水12千克,現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水,這兩種鹽水各需多少?類型十:列二元一次方程組解決幾何問題例:用長(zhǎng)48厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形,若將此矩形的長(zhǎng)邊剪掉3厘米,補(bǔ)到較短邊上去,則得到一個(gè)正方形,求正方形的面積比矩形面積大多少?舉一反三:【變式16】一塊矩形草坪的長(zhǎng)比寬的2倍

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