2-第二章力矩與力偶理論要點(diǎn)

1、理 論 力 學(xué)教案第二章力矩與力偶理論2.1力在坐標(biāo)軸上的投影、合力投影定理22、力的投影1力在平面上的投影是一個(gè)分力，是矢量F xoy = Fxy2.力在軸上的投影是代數(shù)量a直接投影法：設(shè)力F與x、y、z軸的夾角為：、，則:Z = F cosb二次投影法：先將F向xoy平面投影，再向x、y軸投影F Xoy 二 Fxy = F sinX = F sin cosY = F sin sin :3.設(shè)Fx、Fy、Fz、是力F沿三軸的分力，i、j、k代表三軸的坐標(biāo)矢量，則分力與投影之間的關(guān)系:Fx =XiFy =YjF = Xi Yj Zk cosF,x 二X FFz =ZkF =F = Jx2 +Y

2、2 +Z2co F,y 二丫 FcoiF,z 二Z F、合力的投影定理（合力的投影與分力投影之間的關(guān)系）定理：合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和:Rx YXRy=YRz 才 Z證明：設(shè)空間匯交力系 F1, F2Fn作用于剛體上，根據(jù)力的多邊形法則，其 合力R為空間多邊形的封閉邊，其作用點(diǎn)仍通過匯交點(diǎn) 0。F1 F FF于二XizYj zZkR = UXi ZYj ZZk又用Rx、Ry、Rz表示R在三軸上的投影R = Rxi Ryj Rzk結(jié)論：RxRy =三丫Rz七大小：R = J（!X $ +（工丫 丫十（HZ 丫方向：cosR,x=3XRcosR,y=3YRcosR,z=

3、ZR思考：F -40i 20kF2 =50i 40j -10kF3 二 20i -10k 三力匯交 O 點(diǎn)，求合力：解：2X = -40 50 20 = 30 三丫=0 40 0 =40Z = 20 -10 - 10 = 0R =30i40 jR= . 302402 =50cos R, x = 35三、基本力系：匯交力系和力偶系（一）匯交力系的簡(jiǎn)化與平衡1. 幾何法簡(jiǎn)化（合成）圖2-2結(jié)論：R= ZF 合力作用線通過匯交點(diǎn)平衡 * R = 0幾何意義：力多邊形自形封閉適應(yīng)范圍：常用于三力平衡問題例1：如圖2-3所示，曲柄壓機(jī)，已知力F =3kN , AB = BC、H = 200mm L =

4、1500mm求壓塊對(duì)地面的壓力和AB桿所受的力F BAbFbaFcy圖2-3解：1）首先研究BD桿，受力如圖2-3（b）LX =0Fbacos： -FBCcos：03Y =0Fba si nJ Fbc si n： F =02）以壓塊C為研究對(duì)象，受力如圖2-3（ C）iX =0- FCxFbc cos ：二 0-Y - 0- Fcb sin-：i r Fcy =0連解方程組得Fcy =1.5kN2）解析法：（適應(yīng)于多力匯交平衡）（1）簡(jiǎn)化 R = iF根據(jù)合力投影規(guī)律：RX 三XRY -YRZR =三X 21Y2iZ 2cos：=匸X R cos 1 =計(jì) Rcos三Z R(2) 平衡：R =

5、 0 RX =0 Ry =0 Rz =0 7X = 0 三丫 = 0 Z = 0若力系為平面匯父力系，貝U:ZX =0 lY = 0例2:如圖2-4所示機(jī)構(gòu)，不計(jì)輪重及輪的尺寸、大小，求 AB BC桿的內(nèi)力。 解：不計(jì)輪的尺寸，則可看成 B點(diǎn)的受力為匯交力，AB和BC桿件為二力桿，以 輪B為研究對(duì)象，則B受力如圖2-4c。ZX =0- PFba cos60Fbc cos60 工 0ZY =0-P FBAsi n30 Fbc si n30 =0F baF BC132PADCFJ.yFb0/Fbc PxP例3:兩輪A和B,各重為PA -2P，Pb = P，桿 AB為 L，連接兩輪，可自由AB與水平

6、線的地在光滑面滾動(dòng)，不計(jì)桿重，試求當(dāng)物體系統(tǒng)處于平衡時(shí)，桿 夾角。解：1）先研究輪A,進(jìn)行受力分析1X =0NaCOS90 -二 Tab COS： =01Y =0 Na sin90 - J - FA -Tabsin 0刁曰.T得：Tab =Pacot v cos ： - sin :2）再研究輪AB廠2PP *9Nb COST -Tba COS：二 0Nb sin jTba sin: - PB = 0刁曰.-r得：Tba aPbtan v cos：亠 sin :又 Tba = Tab所以：tan：3cos2 v - 2x3sin)cos2-42.2力對(duì)點(diǎn)的矩、合力矩定理、力對(duì)點(diǎn)的矩：是指力使剛體

7、繞支點(diǎn)時(shí)鐘時(shí)力矩為正，順時(shí)鐘時(shí)為負(fù)。力F對(duì)點(diǎn)0的矩表示為Mo FMo F =r FM（F 卜 Fh = 2SoAB（或矩心）轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量。轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)是逆舉例：板手轉(zhuǎn)動(dòng)螺母（圖2-4）圖2-3a.力矩大?。篗o F 二r F sin F,r 二 F h =2- OABb. 力矩方位：垂直于力與矩形 O構(gòu)成的平面c. 轉(zhuǎn)向：按右手螺旋法則確定所以：Mo F =r F （力矩是一個(gè)矢量）Mo FAx,y,zMo F =r F sin F,r = F h以矩心為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系 OXYZ設(shè)：A x, y,z F在x、y、z軸上投影為X、Y、Y*r 二 xi yj zk圖2-4F =Fxi FyjF

8、zki j kx y z =(yFzzFy(zFxxFz)j+(xFyyFxkFx Fy FzMo F x 二 yFz-zFyMo F ly =zFx-xFzMio F lz =xFy -yFx注意：在平面中力矩是代數(shù)量（因?yàn)榉轿淮_定）理 論 力 學(xué)教案規(guī)定：逆時(shí)鐘轉(zhuǎn)動(dòng)為正，順時(shí)鐘轉(zhuǎn)動(dòng)為負(fù)。1、合力矩定理：合力對(duì)某點(diǎn)的矩等于各力對(duì)同一點(diǎn)的矩的矢量和M。R = 2M。Fi證明：設(shè)空間的匯交力系FjFn交于A點(diǎn)R =已亠F2亠 亠Fn = TFi取任一點(diǎn)，設(shè)。至A點(diǎn)的矢量為r，貝UMo R 二 r R二 r Fj F2Fn=r R r F2 亠 亠r FnT r Fj = M。Fjr Fn = M

9、。Fn Mo R 二M。FjMo Fn二 UM。Fi2.3力對(duì)軸的矩，力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩三者之間的關(guān)、力對(duì)軸的矩A（首先舉例說明力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩的區(qū)別） 力對(duì)軸的矩：是指力使物體使某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量 設(shè)：力F作用于A點(diǎn)，使剛體繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，取與Z軸 垂直的平面xoy，交點(diǎn)為QhbFxyF Xoy二Fxy , O到Fxy的垂直距離為h，則Mz F = -Fxy h力對(duì)軸之矩是一個(gè)代數(shù)量，逆時(shí)計(jì)為正，順時(shí)計(jì)為負(fù)。分析：（j）當(dāng)力的作用方向平行于軸時(shí)，或與某軸相交，則力對(duì)該軸之矩2-5j8理 論 力 學(xué)教案等于零。(2) 力沿其作用線運(yùn)動(dòng)，力對(duì)軸之矩不變。二、力對(duì)軸的矩與力對(duì)點(diǎn)的矩之間的關(guān)

10、系定理：定理：力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的軸上投影，等于力對(duì)軸的矩，即：Mo F UMx fMo(F )y = M y(F )Mo F z 二Mz F證明：從 2.2 中得 MO F X 二 yFz-zFyMo F 】y 二 zFx-xFzMo F z = xFy - yFx力 F 對(duì) Z 軸的矩：Mz F 1=M。Fxy = M O Fx M O FyM o Fx yFxMo Fy = xFyM z F = xFy - yFx同理有 My F =zFx-xFzMx F 二 yFz-zFy結(jié)論：Mo F x 二 Mx FMo F - M y FMo F !z = M z F分析：求力對(duì)軸之矩有兩種

11、方法：(1) 根據(jù)定義：將力F投影在與軸垂直的平面Fxy，再求力Fxy對(duì)匯交點(diǎn)O之矩，Mz F 二-Fxy d(2) 如果投影很困難，貝首先求出力 F對(duì)軸上任意一點(diǎn)之矩MO F再對(duì)該軸進(jìn)行投影，即Mz F - MO F lz。29思考：如圖所示，求Mac P及MX F解:m AC p = Me p AcPabx a2 b2 e2Mx F = Fzy aFae、a2 b2r2.4力偶理論、力偶矩矢的概念力偶：指作用在剛體上等值，反向，平行不共線的兩個(gè)力所組成的力系 特點(diǎn)：(1)力偶無合力；(2) 力偶不是平衡力系；(3) 力偶使剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。力偶矩矢：使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的力偶的度量：M轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取

12、決于:a. 力偶矩的大小，取決于力的大小與力臂的乘積,b. 力偶轉(zhuǎn)向e.力偶作用面的方位，按右手螺旋法則：力偶矩矢是一個(gè)矢量：MM 二 AB F大小：M二d F方向：沿力偶作用面的垂直方向指向：用右手螺旋法則注：在同一平面內(nèi)，力偶矩矢量一個(gè)代數(shù)量，只取決于力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向，逆為正，順為負(fù)二、力偶的性質(zhì)1.力偶矩矢與矩的選擇無點(diǎn)即：力偶中兩力對(duì)任意點(diǎn)的力矩之和等于力偶矩矢證：Mo F Mo F =rB F rA FT F a -FNg rA F二 AB F 二 M2. 只要力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變，力偶可以在其作用平面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移，也可 以改變力和力臂的大小。（有的書上稱：力偶的等效定律：作

13、用在剛體上同一平面內(nèi)兩個(gè)力偶等效的 重要條件是：兩個(gè)力偶力偶矩的計(jì)算值相等）。注：若轉(zhuǎn)向不同，則不能等效舉例：（1）作用在汽車方向盤的力偶；（2）作用在絲錐板手上的力偶分析：1）此結(jié)論不適合于變形效應(yīng)的研究；2）只在其作用平面內(nèi)轉(zhuǎn)移。3. 只要力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變，力偶可以從一個(gè)平面移至另外一個(gè)平行平面。結(jié)論：空間力偶可以在平行平面內(nèi)任意移動(dòng)而不影響力偶對(duì)剛的效應(yīng) 所以：力偶矩矢是一個(gè)自由矢量（而力對(duì)點(diǎn)的矩是一個(gè)定位矢量）（1）與矩的無關(guān)（2）可在作用平面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移（3）其作用平面內(nèi)可以任意平移。注：力偶的可移動(dòng)性，只適應(yīng)于一個(gè)剛體內(nèi)的移動(dòng).三、合力偶矩定理：（力偶系的合成）合力偶矩矢等于各分

14、力偶矩矢的矢量和：M =3m提示：合力投影定律：R =亍 & = 3X Ry = 3Y Rz = 3Z 合力矩定理：M。R =UM R合理偶矩定理：M =證明：設(shè)作用在剛體上有任意個(gè)力偶，其力偶矩矢，mi, m2,mn根據(jù)力偶矩矢是一個(gè)自由矢量的性質(zhì)，可移至剛體任意一點(diǎn)，根據(jù)矢量多邊形法，可得：M =耳 m2恥-卷叫二7m設(shè)Mx,My,Mz為M在x,y，z軸上的投影i , j , k代表x,y,z單位矢量M = M xi M yj M zkMz=7Mz四、力偶系的平衡條件剛體在力偶系作用下，平衡的充要條件:即：剛體在力偶系作用下：1）若平衡：貝U ZM =02）若二m=0貝U剛體平衡餉=0是解

15、平面力偶系的基本方程，利用這個(gè)方程求出一個(gè)未知量。例1:如圖所示，電動(dòng)機(jī)通過聯(lián)軸與工作軸相連接，聯(lián)軸四個(gè)螺拴A、B、C、D均勻分布在同一周圍上。此軸半徑為150mm電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸外力偶矩m=2.5kN.m，試求每個(gè)螺拴所受的力。解：假設(shè)四個(gè)螺拴受力均勻，取連軸為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析P=F2=P3 = = PZM =0M 一 P R - P R =0M =2PRP=M,2R=2.5 2 0.35=4.17kN例 2:如圖所示：已知： M20N m , M2=40N m，匕=60: =30 ,AB=a=1m求 A、B 處反力.例3:框架尺寸如圖所示M=40N m ,A為固定的鉸支座,C、D E為中間鉸,解：1）先研究整體Ya與Yb組力偶ZM =0-YAa -M, M2 =0Ya Yb = _10N2）研究AC桿（或BC桿）Ya與Yc組成一個(gè)力偶,Xa與Xc組成一個(gè)力偶ZM =0 YkACcos ： XAACsin 一M2=