高三復(fù)習(xí)直線(xiàn)與平面垂直的判定和性質(zhì)公開(kāi)課

1、直線(xiàn)與平面垂直的判定和性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：理解線(xiàn)面垂直的定義，總結(jié)線(xiàn)面垂直的判定方法和性質(zhì)，形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)； 樹(shù)立數(shù)學(xué)定理即數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，能從實(shí)際問(wèn)題情境中找到符合定理模型的基本元素， 從而解決問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)建模和直觀(guān)想象素養(yǎng)；通過(guò)應(yīng)用定理解決實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)等價(jià)轉(zhuǎn)換和“降維”思想，體會(huì)數(shù)學(xué)定理作為 一種基本模型的應(yīng)用價(jià)值，提高邏輯推理素養(yǎng)；通過(guò)“鱉臑”的引入，體會(huì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)人類(lèi)的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)，增強(qiáng)民族自信和民族自 豪感。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：1 .從具體幾何問(wèn)題中分離出定理模型并找到符合定理模型的基本元素，解決問(wèn)題；2. 在解決問(wèn)題時(shí)，滲透“立體問(wèn)題平面化”的“降維”處理，培養(yǎng)學(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)換

2、思想。 教學(xué)內(nèi)容與過(guò)程：一、 構(gòu)建知識(shí)框架1. 線(xiàn)面垂直的定義什么樣的直線(xiàn)和平面是垂直關(guān)系呢？直線(xiàn)I與平面a內(nèi)的任一條直線(xiàn)都垂直，則直線(xiàn) I與平面a垂直，此時(shí)直線(xiàn)I叫做平面a 的垂線(xiàn)，平面 a叫做直線(xiàn)I的垂面。2. 判定直線(xiàn)和平面垂直的方法（文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言三種形式表達(dá)）判定方法文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言如果一條直線(xiàn)與平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，則這條直線(xiàn)與這個(gè)平面垂直.AWI丄a 1I丄b II丄aacb = Oa, bcota丄3”aPi 3= ar ? I丄 aI? 3如果在兩條平行直線(xiàn)中，有一條垂直于平面，那么另一條直線(xiàn)也垂直于這個(gè)平面.如果一條直線(xiàn)垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，

3、那么也垂直于另a/alab丄a Ji_lP J性質(zhì)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言直線(xiàn)垂直于平面，則垂直于平面 內(nèi)任意直線(xiàn).I1丄 冷1 dm3.直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在 一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直 線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行.a丄al丄a Ia丄 Bl?叮f?a/ bb丄a垂直于同一直線(xiàn)的兩平面平行.線(xiàn)面垂直的性質(zhì)也不只這幾個(gè)，那么我我們?cè)谟龅綇?fù)就是要能夠其實(shí)，能夠判定線(xiàn)面垂直的方法遠(yuǎn)不止這么多，們?yōu)槭裁催x定了這些作為定理呢？其實(shí)他們都是立體幾何問(wèn)題中的基本模型， 雜的幾何問(wèn)題時(shí)，都可以分離

4、出這些基本的定理模型。我們通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí),在具體問(wèn)題中，確定需要的定理模型， 并找到符合定理模型的基本元素， 的結(jié)論。4.牛刀小試我們掌握了那么多線(xiàn)面垂直的判定方法，現(xiàn)在就試著在圖形中找找互相垂直的直線(xiàn)和平面有哪些吧。如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱 PD丄底面 ABCD,且 PD=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)你還能發(fā)現(xiàn)哪些線(xiàn)面垂直關(guān)系？對(duì)于這樣簡(jiǎn)單的幾何體，我們很快就可以從中看出定理模型， 模型中所需的元素，得到想要的結(jié)論，那么我們?cè)谶@個(gè)圖上繼續(xù)構(gòu)造， 讓圖形復(fù)雜起來(lái)，繼續(xù)探究其中的垂直關(guān)系。從而得到我們需要P*C找到B例題分析例如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABC

5、D為矩形，側(cè)棱 PD丄底面E是PC的中點(diǎn)，EF丄PB,垂足為F，連接DE,DF,BD,BE.（1）求證：PB丄平面DEF ;（2）試判斷：四面體 BDEF中有幾個(gè)面是直角三角形，并指出其中的 直角；（3）設(shè)M、N分別為AD、PB的中點(diǎn)，連接 MN, MC , NC,求證：平 面CMN丄平面 PBC.EF丄“DF丄PB”（共面垂直：從邊長(zhǎng)關(guān)）或者“ DE丄PB ”（異面垂直：從CABCD，且 PD=CD ,PAC PB丄面 DEF .引導(dǎo)分析：（1要證明PB丄平面DEF，你選擇哪個(gè)模型？（ “線(xiàn)面垂 直判定定理”模型）模型中已經(jīng)有哪個(gè)條件具備了？（已經(jīng)有“ PB”）還缺的條件應(yīng)該從哪里找？（ 系

6、，中線(xiàn)長(zhǎng)度等平面幾何辦法入手） 平移成共面或線(xiàn)面垂直入手） 證明：/ PD 丄面 ABCD，且 BC?面 ABCD，二 PD 丄 BC ,又 BC丄 CD , CD nPD=D, CD,PD?面 PCD , BC 丄面 PCD. / DE?面 PCD , BC 丄 DE.又 DE 丄 PC, BCn PC=C, BC, PC?面 P BC,； DE 丄面 PBC. / PB?面 PBC, DE 丄PB又 EF丄 PB, DE nEF=E, DE,EF?面 DEF ,pCB/M(2) 找直角就是找線(xiàn)線(xiàn)垂直，線(xiàn)線(xiàn)垂直可以由“線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理模型”，先找線(xiàn)面垂直關(guān)系。(PB丄平面DEF可以得到 PB

7、丄DF ,PB丄EF，還有沒(méi)有其他的線(xiàn)面垂直關(guān)系？DE丄面PBC,所以DE丄EF , DE丄EB,四個(gè)面都是直角三角形。)(3) 要得到面面垂直，要利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理模型，先找線(xiàn)面垂直關(guān)系。對(duì)于平面 CMN和平面PBC來(lái)說(shuō)，第一問(wèn)已 經(jīng)找到面PBC的垂線(xiàn)DE 了，可以考慮線(xiàn)面垂直的性質(zhì)模型， 在平面CMN中能找到DE的平行線(xiàn)即可。課堂小結(jié)處理空間中線(xiàn)面垂直相關(guān)問(wèn)題的一般方法：1. 通過(guò)邏輯分析和空間想象，分離出具體問(wèn)題中包含的定理模型;2. 尋找定理模型所需的基本元素，完成邏輯推理的過(guò)程；3. 對(duì)照定理模型，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇硎鲎C明的過(guò)程。解決具體問(wèn)題的過(guò)程中，注意“轉(zhuǎn)化”和“降維”思想。四、數(shù)學(xué)文

8、化一一“鱉臑”與“陽(yáng)馬”在今天上課的例題中，有兩個(gè)幾何體中國(guó)很早就有研究，而且他們還擁有自己的名字： 一個(gè)是底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的名字叫“陽(yáng)馬”，另一個(gè)四個(gè)面都為直角三角形的四面體叫“鱉臑”。這兩個(gè)名稱(chēng)還曾經(jīng)出現(xiàn)在高考卷上，今天我們上課這道 例題就是2015年湖北高考題改編的。原題是這樣的：九章算術(shù)中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)C之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑.如圖，在陽(yáng)馬 P ABCD中，側(cè)棱PD丄底面ABCD，且PD =CD，過(guò)棱PC的中點(diǎn)E，作EF丄PB交PB于點(diǎn)F，連接 DE, DF, BD, BE.(I)證明：PB丄平面D

9、EF .試判斷四面體 DBEF是否為鱉 臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角(只需寫(xiě)出結(jié)論)；若不是，說(shuō)明理由；DC(II)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 丄，求的值.3 BC(2)兩個(gè)小題就改編自這題，只是沒(méi)有用它的名稱(chēng),九章算術(shù)里是這樣描述的：得兩塹堵。斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑。陽(yáng)馬大家可以看出，我們例題的(1) 實(shí)際上，“陽(yáng)馬”和“鱉臑”怎么來(lái)的，九章算術(shù)商功：“斜解立方，居二，鱉臑居一，不易之率也?！比∫婚L(zhǎng)方體，按下圖斜割一分為二,陽(yáng)馬和鱉臑是我國(guó)古代對(duì)一些特殊錐體的稱(chēng)謂, 兩個(gè)一模一樣的三棱柱，稱(chēng)為塹堵 .再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)，得四棱錐和三棱錐各一個(gè).以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱(chēng)為陽(yáng)馬 .余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱(chēng)為鱉 臑.我們可以看出來(lái)，“陽(yáng)馬”和“鱉臑”是截長(zhǎng)方體所得，那么如果有需要也可以補(bǔ)形回 去。而且“陽(yáng)馬”和“鱉臑”的最長(zhǎng)的棱就是對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)。關(guān)于“鱉臑”這個(gè)幾何體，浙江省也考過(guò)