線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)

1、線性代數(shù)(經(jīng)管類)考點(diǎn)逐個(gè)擊破第一章行列式(一) 行列式的定義行列式是指一個(gè)由若干個(gè)數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個(gè)式子，它實(shí)質(zhì)上 表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，其結(jié)果為一個(gè)確定的數(shù).1二階行列式由4個(gè)數(shù)aij(i, j =1,2)得到下列式子:ai1ai2稱為一個(gè)二階行列式，其運(yùn)算規(guī)a21 a22則為aiiai2=aiia22 一 &12&21a21 a222.三階行列式aiiai2ai3由9個(gè)數(shù)ajj (i, j =1,2,3)得到下列式子:a21a22a23a31a32a33稱為一個(gè)三階行列式，它如何進(jìn)行運(yùn)算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對(duì)角線 法，我們采用遞歸法，為此先要

2、定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的概念3. 余子式及代數(shù)余子式aiiai2ai3321a 22a23331a 32a 33設(shè)有三階行列式d3 =對(duì)任何一個(gè)元素aij，我們劃去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序組成一個(gè)二階行列式，稱它為元素例如a22a23,M 21 =ai2ai3M31 =ai2ai3a32a33a32a33a22a23aij的余子式，記成M ij，稱Aj為元素aij的代數(shù)余子式.MijM11 -再記Aij =(-1)宀例如Ai = Mii,A21=M21 ,A31那么，三階行列式D3定義為aiiai2ai3D3 =a21a22a23a31a32a33我們把它稱為

3、D3= aiiAii +a2iA2i +a3iA3i(iVSiiMii按第一列的展開式，經(jīng)常簡寫成33D3ailAili 4i 二4. n階行列式一階行列式Di=aii=aiiai1ai2ai nn階行列式a21a22a2nan1 an2 ann=ai1 All + a21 A21 + a n1 An1其中Aj（i, j =1,2,in，n）為元素aij的代數(shù)余子式5.特殊行列式上三角行列式耳10III0ai2a22IH0Ill川IIIIIIai na2nHI-aiia22ill annF三角行列式對(duì)角行列式（二）行列式的性質(zhì)aiia2iIIIan1耳10III0a22IHan2IIIIIIH

4、IIIIa22HI0III川HIIII性質(zhì)1行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等,ann0IIIann0Itlann=aiia22 ( H ann=aiia22ill ann性質(zhì)2用數(shù)k乘行列式D中某一行也就是說，行列式可以按行和列提出公因數(shù)性質(zhì)3互換行列式的任意兩行（列）推論1如果行列式中有某兩行（列）相同，則此行列式的值等于零.推論2如果行列式中某兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零（列）的所有元素所得到的行列式等于，行列式的值改變符號(hào).kD，性質(zhì)4 行列式可以按行（列）拆開 .性質(zhì)5把行列式 D的某一行（列）的所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)以后加到另一行 （列）的對(duì)應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為

5、D.定理1 （行列式展開定理）n階行列式D = aj n等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和，即 D =ai1A1 +ai2A2 +An （i =12，n）或 D =aijA,j+a2jAzj+anjAnj（ J 二1,2,n）前一式稱為D按第i行的展開式，后一式稱為D按第j列的展開式.本定理說明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求出它的值定理2 n階行列式D = aij n的任意一行（列）各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零.即ai1Ak1 +ai2Ak2 + ain Ak 0（Ht k）或 aij As + a2 j A2s + anj

6、 Ans = 0（ j 工 S）（三）行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算主要采用以下兩種基本方法:（1）利用行列式性質(zhì)，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，此時(shí) 要注意的是，在互換兩行或兩列時(shí)，必須在新的行列式的前面乘上（-1）,在按行或按列提取公因子k時(shí)，必須在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質(zhì)在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個(gè)“0”元素，再按這一行或這一列展開：元素可以把這一列其它兩個(gè)非零元素化為0,然后按第二列展開.例1計(jì)算行列式 D4-1解：觀察到第二列第四行的元素為0，而且第二列第一行的元素是a =1，利用這個(gè)

7、2 14 12 14 15 6 23-1212行+1x1行5 0 6 2、“，口卄按第二列展開-1-5 05 2 3 23行+ (2)x1 行1 05 07 2 57 0 2 57 0 2 5f厶xJ3125D4 =+ 5x1 列按第二行展開313737=815例2計(jì)算行列式 D4解：方法1這個(gè)行列式的元素含有文字，在計(jì)算它的值時(shí)，切忌用文字作字母，因?yàn)?文字可能取 0值.要注意觀察其特點(diǎn)，這個(gè)行列式的特點(diǎn)是它的每一行元素之和均為 a +3b （我們把它稱為行和相同行列式），我們可以先把后三列都加到第一列上去，提 出第一列的公因子+ 3b，再將后三行都減去第一行:a+3ba+3ba+3ba+3

8、b= (a+3b)=(a + 3b)a b=(a +3b)(a-b)3a-b方法2觀察到這個(gè)行列式每一行元素中有多個(gè)構(gòu)造一個(gè)與D4b我們采用“加邊法”來計(jì)算，即是1bbbb1bbbbabbb0abbb /-1a-b000babb1 行XJ)l2,3,4,5行0babb=-10a-b00bbab0bbab-100a-b0bbba0bbba-1000a-b有相同值的五階行列式:D4 =“箭形”則原行列式的值為零,=b，a故不妨假設(shè)a工b，行列式，如果1把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（一 1 ）化為零.a-b這樣得到一個(gè)即 a b H0，.4b1 +ab0a-bab，M（a-b）4 =（a

9、 +3b）（a-b）3I a b 丿a-b例3三階范德蒙德行列式V3Xi2XiX22X2X32X3=（X2 X1）（X3 -X1）（X3 -X2）（四）克拉默法則n個(gè)方程的n元線性方程組為定理1 （克拉默法則）設(shè)含有11X1 +a12X2 +i| +a1nXn =b1,821X1+822X2+111 +a2nXn =b2,IIIIIIHIIIIIIHIIIIHIIIIIIHan1X1 +an2X2 中川 +annXn =bn如果其系數(shù)行列式 D =aj n HO，則方程組必有唯一解:Xj牛，j =1,2，,n其中Dj是把D中第j列換成常數(shù)項(xiàng)bi,b2,，bn后得到的行列式把這個(gè)法則應(yīng)用于齊次線

10、性方程組，則有定理2設(shè)有含n個(gè)方程的n元齊次線性方程組a11X1 中 a12X2 11 + a1nXn = 0, a21X1 +a22X2 +川 +a2nXn =0,I HIIIHIIIIIIIIHIHIHHIIIHan1X1 +an2X2 +川 +annXn =0=Xn =0如果其系數(shù)行列式 D H0，則該方程組只有零解：洛=X2 =換句話說，若齊次線性方程組有非零解，則必有D = 0，在教材第二章中，將要證明,n個(gè)方程的n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零.第二章矩陣（一）矩陣的定義1. 矩陣的概念由mxn個(gè)數(shù)aj （i =1,2,，m; j =1,2,n）排成的一個(gè)

11、m行n列的數(shù)表aiiai2aina2ia22 a2n ami am2 amn j稱為一個(gè) m行n列矩陣或m X n矩陣當(dāng)m=n時(shí)，稱A =（aij h為n階矩陣或n階方陣元素全為零的矩陣稱為零矩陣，用Om沖或0表示2. 3個(gè)常用的特殊方陣:n階對(duì)角矩陣是指形如aii0 00 a22 0的矩陣0ann丿n階單位方陣是指形如En =的矩陣10 0T丿n階三角矩陣是指形如3.矩陣與行列式的差異矩陣僅是一個(gè)數(shù)表，而aiiai2 aina22 a2n100ann缶00 a2i a220n , k為任一個(gè)數(shù)，則規(guī)定kA = (kaj)mn故數(shù)k與矩陣A的乘積就是 A中所有元素都乘以 k,要注意數(shù)k與行列式

12、D的乘 積，只是用k乘行列式中某一行或某一列，這兩種數(shù)乘截然不同.矩陣的數(shù)乘運(yùn)算具有普通數(shù)的乘法所具有的運(yùn)算律.設(shè) A =(aij )m逑，4 .乘法運(yùn)算B=(bj)k：n，則規(guī)定 AB = (q )mn其中 Cj HEj + ai2b2j + + aik bkj(i 2,m; j =1,2,，n)由此定義可知，只有當(dāng)左矩陣 A的列數(shù)與右矩陣 B的行數(shù)相等時(shí)，AB才有意義， 而且矩陣AB的行數(shù)為A的行數(shù)，AB的列數(shù)為B的列數(shù)，而矩陣AB中的元素是由左矩陣 A中某一行元素與右矩陣 B中某一列元素對(duì)應(yīng)相乘再相加而得到 .故矩陣乘法與普通數(shù)的乘法有所不同，一般地： 不滿足交換律，即 AB H BA

13、在AB =0時(shí)，不能推出 A = 0或B = 0，因而也不滿足消去律.特別，若矩陣 A與B滿足AB = BA，則稱A與B可交換，此時(shí) A與B必為同階 方陣.矩陣乘法滿足結(jié)合律，分配律及與數(shù)乘的結(jié)合律.5. 方陣的乘幕與多項(xiàng)式方陣設(shè)A為n階方陣，則規(guī)定Am =m個(gè)特別A = E又若 f(X)=amXm +am斗Xmd +in+a1x+a0，則規(guī)定f (A) =amAm +am 屛mSA + aoE稱f (A)為A的方陣多項(xiàng)式，它也是一個(gè)n階方陣6. 矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)A為一個(gè)mxn矩陣，把A中行與列互換，得到一個(gè)nx m矩陣，稱為 A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為 at，轉(zhuǎn)置運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律:(aT)t =A,

14、(A + B)t =At +Bt , (kA)T=kAT , (AB)T = BTAT由轉(zhuǎn)置運(yùn)算給出對(duì)稱矩陣，反對(duì)稱矩陣的定義 設(shè)A為一個(gè)n階方陣，若A滿足At = A，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A滿足AT = - A ,則稱A為反對(duì)稱矩陣.7.方陣的行列式矩陣與行列式是兩個(gè)完全不同的概念，但對(duì)于n階方陣，有方陣的行列式的概念n,稱為方陣設(shè)A = (aj)為一個(gè)n階方陣，則由A中元素構(gòu)成一個(gè)n階行列式ajA的行列式，記為 A方陣的行列式具有下列性質(zhì)：設(shè)A, B為n階方陣，k為數(shù)，則kA =kn|A(三) 方陣的逆矩陣1. 可逆矩陣的概念與性質(zhì)設(shè)A為一個(gè)n階方陣，若存在另一個(gè) n 稱為A的逆矩陣，且說

15、A為一個(gè)可逆矩陣，意指階方陣B,使?jié)M足AB = BA = E，則把B A是一個(gè)可以存在逆矩陣的矩陣， 把A的逆矩陣B記為A 4，從而A與A J首先必可交換,且乘積為單位方陣E.逆矩陣具有以下性質(zhì)：設(shè) A, B為同階可逆矩陣，k H0為常數(shù)，則A4是可逆矩陣，且(A J A ；AB是可逆矩陣，且(AB)- = B一A一 ；kA是可逆矩陣，且(kA)/ =-AkA是可逆矩陣，且/ aT、4.七T(A )=(A )可逆矩陣可從矩陣等式的同側(cè)消去，即AP = BP- A = B設(shè)P為可逆矩陣，則PA = PB - A = B2. 伴隨矩陣設(shè)A = (aj)為一個(gè)n階方陣，Aj為A的行列式ajn中元素a

16、ij的代數(shù)余子式，則矩陣*AiiA21 Ani、A12 A22 An2稱為A的伴隨矩陣，記為A* (務(wù)必注意A*中元素排列(AinA2n Ann 丿的特點(diǎn))伴隨矩陣必滿足*IAA = A A = AE=|A(n為A的階數(shù))3. n階陣可逆的條件與逆矩陣的求法定理:n階方陣A可逆二推論:設(shè)A, B均為n階方陣，且滿足 AB = E，則A, B都可逆，且 A，=A設(shè) Ta；(1)求A的伴隨矩陣A*(2)a, b, c, d滿足什么條件時(shí)， A可逆？此時(shí)求 A，解:(1)對(duì)二階方陣A,求A*的口訣為“主交換，次變號(hào)”即Id矩陣此時(shí)(2)由 A=ad -be，故當(dāng) ad -be HO時(shí)，即A_d -b

17、ad -bclc a 丿Jc分塊矩陣1.分塊矩陣的概念與運(yùn)算對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表示方便和運(yùn)算簡潔，常用一些貫穿于矩陣的橫 線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個(gè)小塊叫做矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的 矩陣叫做分塊矩陣.在作分塊矩陣的運(yùn)算時(shí)，加、減法，數(shù)乘及轉(zhuǎn)置是完全類似的，特別在乘法時(shí)，要 注意到應(yīng)使左矩陣 A的列分塊方式與右矩陣 B的行分塊方式一致，然后把子塊當(dāng)作元 素來看待，相乘時(shí) A的各子塊分別左乘 B的對(duì)應(yīng)的子塊.2.準(zhǔn)對(duì)角矩陣的逆矩陣形如的分塊矩陣稱為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，其中A1, A2/- ,A均為方陣空白處都是零塊.若Ai,A2,A都是可逆矩陣，則這個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣也可逆，并且%

18、 、AA2+J=A2+J、-A丿、一A；（五）矩陣的初等變換與初等方陣1.初等變換交換A的某兩行（列）；用一個(gè)非零數(shù) k乘A的某一行（列）； 把A中某一行（列）的 k倍加到另一行（列）上.對(duì)一個(gè)矩陣 A施行以下三種類型的變換，稱為矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱為 初等變換，（1）（2）（3）注意：矩陣的初等變換與行列式計(jì)算有本質(zhì)區(qū)別，行列式計(jì)算是求值過程，用等號(hào) 連接，而對(duì)矩陣施行初等變換是變換過程用“T ”連接前后矩陣.初等變換是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)常用的運(yùn)算，而且最常見的是利用矩陣的初等行變換把 矩陣化成階梯形矩陣，以至于化為行簡化的階梯形矩陣.2.初等方陣由單位方陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱

19、為初等方陣T (k)，容易證明，初等方陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣還是同一類的初等方陣3. 初等變換與初等方陣的關(guān)系設(shè)A為任一個(gè)矩陣，當(dāng)在A的左邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì)A作同類型的初等行變換；在A的右邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì)A作同類型的初等列變換.4. 矩陣的等價(jià)與等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形若矩陣A經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)锽,則稱A與B等價(jià)，記為A三B對(duì)任一個(gè)mxn矩陣A，必與分塊矩陣價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.即對(duì)任一個(gè) m咒n矩陣A，必存在E O2n階可逆矩陣P及n階可逆矩陣 Q,使得。丿等價(jià)，稱這個(gè)分塊矩陣為A的等5. 用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣設(shè)A為任一個(gè)n階可逆矩陣，構(gòu)造 nx 2n矩陣(A, E)

20、然后 （A,E）t （E,A）注意：這里的初等變換必須是初等行變換214 的逆矩陣r12 -4丿解:f1 -1 3 101価 行f（A,E Ai 2- 1 4 0 1 Ot-2- 4 0 0丿11-1IT2行X什行 A2行空_1孑行 T 0|0I10V 0曲行行 （0T i丿1 I0-0-42 一1、A，=-1 2一1 1丿n階方陣A滿秩呂A可逆，即存在B，使AB = BA = E例3 求解矩陣方程1 -1 31 1、解：令A(yù) =2-14,B =4 3日2 -4J 2，則矩陣方程為矩陣，是可逆的，在矩陣方程兩邊左乘A，得AX = B，這里A即為例2中丫1 1、13 0I4 3=2 5A1 2丿

21、卩24-12AB4 2 -113-11也能用初等行變換法,1-1311、00030、(A, B)=2-1443T010252-41200102勺0、=A B =251。2丿A，而直接求不用求出X-(EAB)(六)矩陣的秩1.秩的定義設(shè)A為mx n矩陣，把A中非零子式的最高階數(shù)稱為A的秩，記為秩(A)或r(A)#113、q 1、2 -1 4X =4 3廠1 2 一4丿V1 2丿零矩陣的秩為0,因而0秩(A)minm,n,對(duì)n階方陣A，若秩(A) =n，稱A為滿秩矩陣，否則稱為降秩矩陣2.秩的求法由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數(shù)，又矩陣初等變換不改變矩陣的秩對(duì)任一個(gè)矩陣 A,只要用初等行變

22、換把 A化成階梯形矩陣 T,則秩(A)=秩(T)=T中非零 行的行數(shù).3.與滿秩矩陣等價(jià)的條件A非奇異，即A H 0A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為EA可以表示為有限個(gè)初等方陣的乘積 齊次線性方程組 AX =0只有零解 對(duì)任意非零列向量 b，非齊次線性方程組 AX = b有唯一解向量組線性無關(guān)A的行（列）A的行（列）向量組為 Rn的一個(gè)基任意n維行的線性組合，且表示法唯一（列）向量均可以表示為A的行（列）向量組（七）線性方程組的消元法aiiXi +ai2X2 + +ainXn =bi+a22x2 +a2nXn =b2 對(duì)任一個(gè)線性方程組2i i 22 22am1X1*am2x2+amnX bm可以表示成矩陣形

23、式 AX =b，其中A = （aij）m4i為系數(shù)矩陣，b = （bi,b2,，bm）T為常數(shù)列矩陣，X =（Xi,X2,，Xn）T為未知元列矩陣.從而線性方程組 AX = b與增廣矩陣A = （A, b） 一一對(duì)應(yīng).對(duì)于給定的線性方程組，可利用矩陣的初等行變換，把它的增廣矩陣化成簡化階 梯形矩陣，從而得到易于求解的同解線性方程組，然后求出方程組的解.第三章向量空間（一） n維向量的定義與向量組的線性組合1. n維向量的定義與向量的線性運(yùn)算由n個(gè)數(shù)組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n維向量，若用一行表示，稱為 n維行向量，即1xn矩陣，若用一列表示，稱為 n維列向量，即nxl矩陣與矩陣線性運(yùn)算類似，有

24、向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律2.向量的線性組合設(shè)a02,，am是一組n維向量，k1,k2- ,km是一組常數(shù)，則稱如1 +k2a2 + kmCtm為01,02,，Ctm的一個(gè)線性組合，常數(shù) 匕*2,，km稱為組合系數(shù).若一個(gè)向量P可以表示成P =皿1卄2叫+kmam則稱P是g 2 .的線性組合，或稱P可用.口2 .am線性表出.1)2)1)2)解：考慮方程組 x1a1 +X2a2 +X3a3 =0X1% +X2a2+xmam = P有解，且每一個(gè)解就是一個(gè)組合系數(shù)3.矩陣的行、列向量組設(shè)A為一個(gè)mx n矩陣，若把 A按列分塊，可得一個(gè)m維列向量組稱之為 A的列向量組.若把A按行分塊，可得一個(gè) n維行

25、向量組稱之為 A的行向量組.4. 線性表示的判斷及表出系數(shù)的求法.1)2)向量P能用a “.a?,am線性表出的充要條件是線性方程組例 1 問 P = (-1.1.5)t 能否表示成，“1 = (1,2,3) (0.1.4)t , a(2.3.6)T 的線 性組合?對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換:彳 0 2 i*10 0 1、(A, P) =(8 ,a2,a3, P)=2 13 1T0 10 2.3 4 6 5 丿0 0 1-1則方程組有唯一解為=1, X2 = 2, x3 = -1所以P可以唯一地表示成的線性組合，且P =% + 25 -3（二）向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)1. 線性相關(guān)性概念

26、設(shè)a 1 2 /xm是m個(gè)n維向量，如果存在m個(gè)不全為零的數(shù)k1, k2,km，使k1 +k2a2 +kmam =0，則稱向量組 Ct 1, Ct 2m 線性相關(guān)，稱 *2； ,km 為相關(guān)系數(shù).否則，稱向量 02,Otm線性無關(guān).由定義可知，1,2,Qm線性無關(guān)就是指向量等式krk- +k0當(dāng)且僅當(dāng) k1 =k2 二=km =0時(shí)成立.特別單個(gè)向量a線性相關(guān)二a =0 ；單個(gè)向量a線性無關(guān)U a H 02. 求相關(guān)系數(shù)的方法1)2)設(shè),02，m為m個(gè)n維列向量，則0102,Fm線性相關(guān)一m元齊次線性方程組xx- +x0有非零解，且每一個(gè)非零解就是一個(gè)相關(guān)系數(shù) 二矩陣A = （%,口2,，am

27、）的秩小于m例2設(shè)向量組W =（2, 1,7）丁,口2 =（1,4,11）丁嚴(yán)3 =（3,6,3）t，試討論其線性相關(guān)性.廣213 310 2其系數(shù)矩陣A =（0,012,03）=-1 4 -6T0 1 -1卩0 0丿Xi+ 2x3 = 0X3 = 0令X3 = 1，得一個(gè)非零解為Xi = 2, X2 = 1, X3 = 1于是，秩（A） =2 .00001丿易見B的秩為4, A的秩為4,從而秩G 1,2,3,4,口5=4，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相應(yīng)地235為向量組的一個(gè)極大無關(guān)組,向量空間1.向量空間及其子空間的定義定義1 n維實(shí)列向量全體（或?qū)嵭邢蛄咳w）構(gòu)成的集合稱為實(shí)

28、n維向量空間,記作Rn定義2設(shè)V是n維向量構(gòu)成的非空集合，若V對(duì)于向量的線性運(yùn)算封閉，則稱集合V是Rn的子空間，也稱為向量空間2.向量空間的基與維數(shù)設(shè)V為一個(gè)向量空間，它首先是一個(gè)向量組，把該向量組的任意一個(gè)極大無關(guān)組 稱為向量空間V的一個(gè)基，把向量組的秩稱為向量空間的維數(shù).顯然，n維向量空間Rn的維數(shù)為n,且Rn中任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都是 Rn的3. 向量在某個(gè)基下的坐標(biāo)設(shè)a ，ar是向量空間V的一個(gè)基，則 V中任一個(gè)向量a都可以用ai,a2,Qr唯一地線性表出，由r個(gè)表出系數(shù)組成的r維列向量稱為向量 a在此基下的坐標(biāo).第四章線性方程組(一)線性方程組關(guān)于解的結(jié)論定理1設(shè)AX =b為n元非

29、齊次線性方程組，則它有解的充要條件是r(A,b) =r(A)定理2當(dāng)n元非齊次線性方程組AX =b 有解時(shí)，即 r(A,b) = r(A) = r 時(shí)，那定理推論推論(1) AX =b 有唯一解二 r(2) AX =b有無窮多解=n元齊次線性方程組 AX = 0有非零解的充要條件是 r(A) = r V n設(shè)A為n階方陣，則n元齊次線性方程組 AX = 0有非零解u設(shè)A為m咒n矩陣，且men，則n元齊次線性方程組必有非零解(二)齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間首先對(duì)任一個(gè)線性方程組，我們把它的任一個(gè)解用一個(gè)列向量表示，稱為該方程 組的解向量，也簡稱為方程組的解 .考慮由齊次線性方程組 AX =0

30、的解的全體所組成的向量集合V = A =0顯然V是非空的，因?yàn)?V中有零向量，即零解，而且容易證明 V對(duì)向量的加法運(yùn)算及 數(shù)乘運(yùn)算封閉，即解向量的和仍為解，解向量的倍數(shù)仍為解，于是V成為n維列向量空間Rn的一個(gè)子空間，我們稱 V為方程組AX =0的解空間(三)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解把n元齊次線性方程組 AX = 0的解空間的任一個(gè)基，稱為該齊次線性方程組的一 個(gè)基礎(chǔ)解系.當(dāng)n元齊次線性方程組 AX = 0有非零解時(shí)，即r(A) = r v n時(shí)，就一定存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系中所含有線性無關(guān)解向量的個(gè)數(shù)為即為1 -2 31行逬1)+2行10-3 42 行 X-1)+3 行(10-343行址1)+1行1 行-1)+2 行A =3 2-12T1 1 1 -10 14 -51 1 1 -1 丿J 11 -1 丿衛(wèi)0 0 0丿A，作初等行變換化成簡化階梯形矩陣:有非零解，取x3, X4為自由未知量，可得一般解為求基礎(chǔ)解系與通解的方法是：對(duì)方程組AX =0先由消元法，求出一般解，再把一般解寫成向量形式, 方程組的通解，從中也能求出一個(gè)基礎(chǔ)解系.2x1 +