圓讀本（數(shù)學(xué)史）

1、十 對(duì)圓的再研究在初中平面幾何中，我們?cè)?jīng)用幾何推理的方法對(duì)圓作了重點(diǎn)研究，對(duì)圓有了一定的了解，今天，我們將換一種方法，從數(shù)的角度去認(rèn)識(shí)圓，讓我們用數(shù)的方法（解析法）再來研究圓吧！數(shù)學(xué)史話紳士、軍人和數(shù)學(xué)家 解析幾何的創(chuàng)始人笛卡爾（具體內(nèi)容見紙質(zhì)稿，摘自數(shù)學(xué)大師美埃里克坦普爾貝爾 著，徐源 譯 宋蜀碧 校，上?？萍冀逃霭嫔绯霭妫?思維導(dǎo)航解析幾何基本原理（具體內(nèi)容見紙質(zhì)稿，摘自什么是數(shù)學(xué)美R柯郎H羅賓 著，I斯圖爾特 修訂，左平 張怡慈 譯 ，復(fù)旦大學(xué)出版社出版） 圓中的對(duì)稱問題 圓的對(duì)稱問題面面觀圓對(duì)稱問題主要有中心對(duì)稱和軸對(duì)稱兩類，兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱或某直線對(duì)稱，其實(shí)質(zhì)是圓心關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱或

2、某直線對(duì)稱，兩對(duì)稱圓的半徑是一樣的，因此，圓的對(duì)稱問題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)稱或點(diǎn)與線的對(duì)稱來解決。一、兩圓關(guān)于某點(diǎn)的中心對(duì)稱1、兩圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱例1、圓（x2）2y25關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱的圓的方程為（ ）A（x2）2y25Bx2（y2）25C（x2）2（y2）25Dx2（y2）25解：已知圓的圓心為（2,0），半徑為，點(diǎn)（2,0）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（2,0），故關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圓方程為：（x2）2y25，所以選（A）。2、兩圓關(guān)于任意點(diǎn)對(duì)稱例2、圓（x1）2（y2）24，關(guān)于點(diǎn)（3,4）對(duì)稱的圓方程為解：圓（x1）2（y2）24的圓心為（1,2），半徑為2，設(shè)點(diǎn)（1,2）關(guān)于點(diǎn)（3,4）對(duì)稱的

3、點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則有，解得：，所求圓方程為：（x7）2（y6）24二、兩圓關(guān)于某直線的軸對(duì)稱 1、關(guān)于x軸、y軸、yx、yx對(duì)稱例3、已知圓C與圓（x2）2（y1）21關(guān)于x軸對(duì)稱，則圓C的方程為解：圓（x2）2（y1）21的圓心坐標(biāo)為（2,1），半徑為1，點(diǎn)（2,1）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為（2,1），所以，所求圓方程為：（x2）2（y1）21例4、（2004全國III）已知圓C與圓（x1）2y21關(guān)于直線yx對(duì)稱，則圓C的方程為（）（A）（x1）2y21（B）x2y21 （C）x2（y1）21（D）x2（y1）21解：圓（x1）2y21的圓心坐標(biāo)為（1,0），半徑為1，點(diǎn)（1,0）關(guān)于yx的

4、對(duì)稱點(diǎn)為（0，1），所以，圓C的方程為x2（y1）21，選（C）。2、關(guān)于其它直線對(duì)稱例5、圓x2y2ax2y10和圓x2y21關(guān)于直線xy10對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的值是（）（A）2（B）2（C）2（D）1解：方程x2y2ax2y10化圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x）2（y1）2圓心坐標(biāo)為（，1），半徑為圓x2y21的圓心坐標(biāo)為（0,0），半徑為1，因?yàn)閮蓤A關(guān)于直線xy10對(duì)稱，所以，兩圓心的中點(diǎn)坐標(biāo)在直線上，且半徑相等，即，解得：a2，選選（A）三、求圓的對(duì)稱軸例6、曲線x2+y2+2x2y0關(guān)于（ ）A.直線x=軸對(duì)稱B.直線y=x軸對(duì)稱C.點(diǎn)（2，）中心對(duì)稱D.點(diǎn)（，0）中心對(duì)稱解：原方程化為：（x+）

5、2+（y）24如右圖所示，過圓心的任何一條直線都是圓的對(duì)稱軸，故圓關(guān)于y=x對(duì)稱，選B。數(shù)學(xué)應(yīng)用物理中“圓”的妙用利用幾何圖形，解決物理問題，通常會(huì)收到事半功倍的效果?，F(xiàn)把日常學(xué)習(xí)中的關(guān)于使用幾何“圓”的點(diǎn)滴體會(huì)與同學(xué)們分享。 1“矢量圓”的應(yīng)用關(guān)于共點(diǎn)力作用下力的合成與分解，特別是互成角度的兩個(gè)力作用下力的合成問題，當(dāng)合力不變，而其中一個(gè)力大小不變，判斷另一個(gè)力大小和方向變化時(shí)，可以把大小不變的力作為圓的半徑，通過一個(gè)“圓”來形象處理合力和分力的大小方向關(guān)系。現(xiàn)舉例如下： 例一、 在兩個(gè)共點(diǎn)力合成的實(shí)驗(yàn)中，如圖1所示，用A、B兩彈簧秤拉橡皮條的結(jié)點(diǎn)D，使其位于E處，然后保持A的讀數(shù)不變，當(dāng)角

6、a由圖示位置逐漸減小時(shí)，欲使點(diǎn)似在E處，可采用的方法是：A.增大的讀數(shù)，減小角 B.減小的讀數(shù)，減小角C.減小的讀數(shù)，增大角 D.增大的讀數(shù)，增大角本題可以通過余弦定理等數(shù)學(xué)公式加以求解的讀數(shù)變化，但關(guān)于角變化，則不容易判斷。如果根據(jù)力的合成規(guī)律，由于A的讀數(shù)，即力的大小不變，把它作為圓的半徑，以合力F合為直徑畫一個(gè)圓，則本題的答案就會(huì)一目了然。畫法如下：由圖2可以形象地看出當(dāng)+90時(shí)，隨著的減小減小;而當(dāng)+90時(shí)隨著的減小，力F減小，但角先增大再減小。因此本題答案應(yīng)選B選項(xiàng)。 跟蹤練習(xí)1如圖3所示，桿BC的B端鉸接于豎直墻上，另一端C為一滑輪。重物G上系一繩經(jīng)過滑輪固定于墻上A點(diǎn)處，恰好平衡

7、。若將繩的A端沿墻向下移，再使之平衡（BC桿，滑輪、繩的壓力及摩擦均不計(jì)）。則A.繩的拉力增大，BC桿受到的壓力增大B.繩的拉力不變，BC桿受到的壓力減小C.繩的拉力不變，BC桿受到的壓力增大D.繩的拉力不變，BC桿受到的壓力不變解：由于繩的拉力大小不變，則可以取AC受到的拉力大小為半徑作圓。由矢量圖4可以看出，隨著的減小，F(xiàn)拉與G的合力BC桿的壓力是平衡力，所以BC桿受到的壓力將增大。09答案應(yīng)選C。2.“等時(shí)圓”的應(yīng)用（1）“等時(shí)圓”的特征如圖5所示，O、A、B、C、D在同一個(gè)圓周上，OA、OB、OC、OD是四條光滑的弦，則物體由靜止在O點(diǎn)開始沿各弦下滑到A、B、C、D所用的時(shí)間，因此該圓

8、稱之為“等時(shí)圓”。 在應(yīng)用“等時(shí)圓”解題時(shí)，值得注意的是：在重力場(chǎng)中，該圓上的各條光滑弦進(jìn)行比較，以便直觀地得出結(jié)論。（2）“等時(shí)圓”的應(yīng)用例題：在圖6中AB是一傾角為的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在P與AB輸送帶間建立一管道（假設(shè)光滑），使原料從P處以最短的時(shí)間到達(dá)輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？解析： 過OP點(diǎn)向傳送帶AB作光滑斜面PC1、PC2、PC3.或P，C1、 P，C2 、P，C3，為了比較沿不同軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，我們作出與斜面對(duì)應(yīng)的一簇等時(shí)間圓，如圖7所示，圖中的等時(shí)間O1、O2、O3的直徑滿足d1 d2 d3,故運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1t2t3,可見，要使運(yùn)動(dòng)時(shí)間盡可

9、能短，則要求等時(shí)間圓的直徑盡可能小，臨界情況是等時(shí)間圓與AB相切，如圖8所示。 由幾何關(guān)系可得：DOC=、=DPC=/2,即從P點(diǎn)沿與豎直方向成=/2夾角的軌道PC原料到達(dá)輸送帶的時(shí)間最短。本題如果用牛頓第二定律和結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，再用數(shù)學(xué)知識(shí)求極值，較為繁瑣，此處不再贅述。拓展延伸圓系方程及其應(yīng)用在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構(gòu)成一個(gè)圓系，一個(gè)圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。常見的圓系方程有如下幾種：1、以為圓心的同心圓系方程：；與圓同心的圓系方程為：.2、過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程為：（）（）.3、過兩圓:0，:交點(diǎn)的圓系方程為：（）0（-，此圓系不含:）.特別地，當(dāng)時(shí)，上述方程為

10、根軸方程兩圓相交時(shí)，表示公共弦方程；兩圓相切時(shí)，表示公切線方程注：為了避免利用上述圓系方程時(shí)討論圓，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點(diǎn)的圓系方程:.圓系方程在解題中的應(yīng)用：1. 利用圓系方程求圓的方程例、求經(jīng)過兩圓32和2交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程解：由題可設(shè)所求圓的方程為：（32）（2）原點(diǎn)（0，0）在所求的圓上，2從而.故所求的圓的方程為： .即7.2、利用圓系方程求最小面積的圓的方程：例2求過兩圓和的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程。分析：本題若先聯(lián)立方程求交點(diǎn)，再設(shè)所求圓方程，尋求各變量關(guān)系，求半徑最值，雖然可行，但運(yùn)算量較大。而選用過兩圓交點(diǎn)的圓系方程簡(jiǎn)便易行。為了避免討論，先求出兩圓公

11、共弦所在直線方程。則問題可轉(zhuǎn)化為求過兩圓公共弦及圓交點(diǎn)且面積最小的圓的問題。解：圓和的公共弦方程為過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為，即.依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上。即，則.代回圓系方程，得所求圓方程.例3; 求經(jīng)過直線：24與圓：241的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程解：設(shè)圓的方程為：241（24）即（14）則，當(dāng)時(shí)，最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程為：261237練習(xí)：1求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+7=0的兩個(gè)交點(diǎn)且過原點(diǎn)的圓的方程。（常數(shù)項(xiàng)為零）2求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x

12、-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)且圓心在x軸上的圓的方程。（圓心的縱坐標(biāo)為零）3求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)且面積最小的圓方程。（半徑最小或圓心在直線上）4求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)且與x軸相切的圓的方程；并求出切點(diǎn)坐標(biāo)。（圓心到x軸的距離等于半徑）3、利用圓系方程求參數(shù)的值：例3：已知圓與直線相交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)m的值。分析：此題最易想到設(shè)出，由得到，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于m的方程，最后驗(yàn)證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系，不難得出O在以PQ為直徑的圓上。而P，Q剛

13、好為直線與圓的交點(diǎn)，選取過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程，可極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算過程。解：過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為：，即 .依題意，O在以PQ 為直徑的圓上，則圓心顯然在直線上，則，解之可得又滿足方程，則，故。4、利用圓系方程判斷直線與圓的位置關(guān)系：例4 圓系2（410）1020（，-）中，任意兩個(gè)圓的位置關(guān)系如何？解：圓系方程可化為：1020（2410）與無關(guān)即易知圓心（，-）到直線25的距離恰等于圓的半徑故直線25與圓相切，即上述方程組有且只有一個(gè)解，從而圓系方程所表示的任意兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，故它們的關(guān)系是外切或內(nèi)切總結(jié)：在求解過直線與圓，圓與圓交點(diǎn)的圓有關(guān)問題時(shí)，若能巧妙使用圓系方程，往往

14、能優(yōu)化解題過程，減少運(yùn)算量，收到事半功倍的效果。1、利用圓系方程求圓的方程：例. （1）求經(jīng)過兩圓32和2交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程（2）求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn),并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.解：（1）由題可設(shè)所求圓的方程為：（32）（2）原點(diǎn)（0，0）在所求的圓上，有2從而故所求的圓的方程為： 即7。（2）構(gòu)造方程 x2+y2+6x-4+(x2+y2+6y-28)=0即 (1+)x2+(1+)y2+6x+6y-(4+28)=0此方程的曲線是過已知兩圓交點(diǎn)的圓,且圓心為當(dāng)該圓心在直線x-y-4=0上時(shí),即 所求圓方程為 x2+y2-x+7

15、y-32=0（3） 2、利用圓系方程求最小面積的圓的方程：例2（1）求過兩圓和的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程。（2）求經(jīng)過直線：24與圓：241的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程分析：本題若先聯(lián)立方程求交點(diǎn)，再設(shè)所求圓方程，尋求各變量關(guān)系，求半徑最值，雖然可行，但運(yùn)算量較大。自然選用過兩圓交點(diǎn)的圓系方程簡(jiǎn)便易行。為了避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉(zhuǎn)化為求過兩圓公共弦及圓交點(diǎn)且面積最小的圓的問題。解：（1）圓和的公共弦方程為，過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為，即.依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上。即，則代回圓系方程得所求圓方程

16、（2）解：設(shè)圓的方程為：241（24）即（14）則，當(dāng)時(shí)，最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程為：261237練習(xí)：1求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+7=0的兩個(gè)交點(diǎn)且過原點(diǎn)的圓的方程。（常數(shù)項(xiàng)為零）2求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)且圓心在x軸上的圓的方程。（圓心的縱坐標(biāo)為零）3求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)且面積最小的圓方程。（半徑最小或圓心在直線上）4求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)且與x軸相切的圓的方程；并求出切點(diǎn)坐標(biāo)。（圓心到x軸的距離等于半徑）

17、3、利用圓系方程求參數(shù)的值：例3：已知圓與直線相交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)m的值。分析：此題最易想到設(shè)出，由得到，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于m的方程，最后驗(yàn)證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系，不難得出O在以PQ為直徑的圓上。而P，Q剛好為直線與圓的交點(diǎn)，選取過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程，可極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算過程。解：過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為：，即 .依題意，O在以PQ 為直徑的圓上，則圓心顯然在直線上，則，解之可得又滿足方程，則，故。4、利用圓系方程判斷直線與圓的位置關(guān)系：例4 圓系2（410）1020（，-）中，任意兩個(gè)圓的位置關(guān)系如何？解：圓系方程可化為

18、：1020（2410）與無關(guān)即易知圓心（，-）到直線25的距離恰等于圓的半徑故直線25與圓相切，即上述方程組有且只有一個(gè)解，從而圓系方程所表示的任意兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，故它們的關(guān)系是外切或內(nèi)切總結(jié)：在求解過直線與圓，圓與圓交點(diǎn)的圓有關(guān)問題時(shí)，若能巧妙使用圓系方程，往往能優(yōu)化解題過程，減少運(yùn)算量，收到事半功倍的效果。5.巧用過兩圓交點(diǎn)的曲線系方程求直線方程例5.已知圓O：和圓外一點(diǎn)A（3，4），過點(diǎn)A作圓O的切線，切點(diǎn)分別為C、D，求過切點(diǎn)C、D的直線方程.分析：本題是求過切點(diǎn)的直線方程，由切線性質(zhì)知，切點(diǎn)在以線段AO為直徑的圓上，故直線CD是以線段AO為直徑的圓與圓O的公共弦所在的直線方程，故可用過兩圓交點(diǎn)的曲線系方程求此直線方