線性代數(shù)試題及答案3詳解

1、、單項(xiàng)選擇題（本大題共 一個(gè)是符合題目要求的,線性代數(shù)習(xí)題和答案第一部分選擇題（共28分）14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有 請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無(wú)分。A. m+na11a12a13a11=m,a21a22a23 a211設(shè)行列式=n,C. n- mB.-(m+n)020則行列式D. m-2.設(shè)矩陣A=則A-1等于（a11a21a12a22+a13+a23等于（qfIz .q001003100002113100B00C010D0022A3001001001001、3/k2丿JA.003.丿103.設(shè)矩陣,z31-2B. 6-1012-1的伴隨矩陣,

2、中位于（2）的元素是（ B ）4丿C. 2A. -64.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式A. A = 0B. B =C 時(shí) A= 0D. -2AB=AC,則必有（C. A =0 時(shí) B=C5. 已知3X4矩陣A的行向量組線性無(wú)關(guān)，則秩（A. 1 B. 26. 設(shè)兩個(gè)向量組A. 有不全為B. 有不全為C. 有不全為D. 有不全為入s aD )D. |A| = 0 時(shí) B=CAT)等于(C )C. 3a 2,， 【入1 ,入2, 入1 ,入2 ,入1 ,入2,2 ,a 1,0的數(shù)0的數(shù)0的數(shù)0的數(shù)入1,入D. 4a s和 3 1, 3 2,，入s使入1 a什，入s使入1 （ a 1+ 3 1），入s使入

3、1 （ a 1- 3 1） ，入s和不全為0的數(shù) s=0 禾口卩 1 3 1+ （1 2 3 2+ +7. 設(shè)矩陣A的秩為r,則A中（CA.所有r- 1階子式都不為0 C.至少有一個(gè)r階子式不等于08. 設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，A. n什n 2是Ax=0的一個(gè)解,3 s均線性相關(guān)，則(入 2 a 2+ 入 s a s=0 禾口入 1 3 1+ 入 2 3 2+入 s 3 s=0 2+ 3 2)+ + 入 s ( a s+ 3 s) =0 )+ + 入 s ( a s- 3 s) =0 卩s使入1 a 1+入2 a 2+ 入 2 ( a+ 入 2 ( a 2- 3 2)卩1 ,卩2,B.

4、所有D.所有2是其任意11r-1階子式全為r階子式都不為2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ A ）是Ax=b的一個(gè)解B. n 1+n 222D.2 n 1- n 2 是 Ax=b 的一個(gè)解C. n 1-n 2是Ax=0的一個(gè)解9. 設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（A.秩（A）nB.秩（A）=n - 110. 設(shè)A旦A. 如存在數(shù)入和向量a使A a =入aB. 如存在數(shù)入和非零向量C. A的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量D. 如入1,入2,入3是A的3個(gè)互不相同的特征值，a 1, a 2, a 3依次是A的屬于入1,入2,入3的特征向量，貝U a 1, a 2, a 3有可能線性相關(guān)） D.方程組A

5、x=0只有零解 是一個(gè)n（3）階方陣，下列陳述中正確的是（B ），則a是A的屬于特征值入的特征向量 a ,使（入E - A） a =0，則入是A的特征值A(chǔ)C.A=011設(shè)入o是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于入的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為k，則必有(A )A. k w 3 B. k312.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(B )A.| A|2必為1B.|A必為1C.A-1=ATD. A的行(列)向量組是正交單位向量組13設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC .則(D )A. A與B相似B. A與B不等價(jià)C. A與B有相同的特征值D. A與B合同14.下列矩陣中是正定矩陣的為(C)

6、23f34、100、111 1 A飛4叫6.丿(C.02-3D.12 0-35丿-10 2丿第二部分非選擇題(共72分)、填空題(本大題共 10小題，每小題2分，共20分)不寫解答過(guò)程，將正確的答案寫在每 小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無(wú)分。1 1 115. 3569 25 3616.設(shè) A=12-2、34.丿.則 A+2 B=17. 設(shè) A =(aj)3 x 3 , |A|=2 , Aj表示|A |中元素 內(nèi) 的代數(shù)余子式(i,j=1,2,3 ),則2 2 2(a11A21+a12A22+a13A23)+(a21A21 +a22A22+a23A 23)+(a31A 21+a32A22+a33A2

7、3)=4.18. 設(shè)向量(2, -3, 5)與向量(-4, 6, a)線性相關(guān)，貝ya=_辺0_.19. 設(shè)A是3x 4矩陣，其秩為3，若n 1，n 2為非齊次線性方程組Ax=b的2個(gè)不同的解，則它的通解為n 1+c( n 2- n 1)(或n 2+c( n 2- n 1), c為任意常數(shù)20. 設(shè)A是m x n矩陣，A的秩為r(求(1) ABT； (2) |4A|.0，求矩陣B使其滿足矩陣方程 AB =A+2B3丿3廣1、31-30-128.給定向量組a 1=,a 2=,a 3=, a 4=02243;4丿9;試判斷a 4是否為a 1,a 2,a 3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。廣1-2

8、-102、-2426-629.設(shè)矩陣A=2-102333334丿求：(1 )秩(A); (2) A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。 0 -2 2】30.設(shè)矩陣A= /：4的全部特征值為1 ,和-8.求正交矩陣T和對(duì)角矩陣D，使T-1AT=D.2431. 試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形f(xi,X2,x3)= x1 2x2 -3x3 4xx2 -4XX3-4x2x3,并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題(本大題共 2小題，每小題5分，共10分)32. 設(shè)方陣A滿足A3=0，試證明E- A可逆，且(E- A)- 1= E+A+A233. 設(shè)n o是非齊次線性方程組 Ax=b的一個(gè)特解，E 1, E

9、 2是其導(dǎo)出組 Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系 試證明(1) n 1= n o+ E 1, n 2= n 0+ E 2均是Ax=b的解；(2) n 0, n 1, n 2線性無(wú)關(guān)。答案：一、單項(xiàng)選擇題(本大題共 14小題，每小題2分，共28 分)1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D7.C 8.A 9.A 10.B11.A二、填空題(本大題共10空，每空2分，共20分)15. 616. “37 17. 418. -0V1-3 7 丿19. n 1+c( n 2-12.B 13.D14.Cn 1)(或 n 2+c( n 2- n 1),c為任意常數(shù)20. n- r 21. -22. -23. 1

10、三、計(jì)算題(本大題共64 jf1-4廣423、z3/ -6所以B=(A- 2E)-1A=1-51 10=2-9-664丿j123丿l2129130、0-53-2i(1035、f1028.解一130-110-1011201022401120088000328-3*0328-3=B0328-20006-270003-196300-217丿0000丿(1 )秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3.(2)由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B(niǎo)是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一30.解2V5/5(r y2J5/15經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得

11、n 1=-45/5,n 2=4亦/15 0丿衛(wèi)/3丿個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。(A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是)A的屬于特征值 入=1的2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為 E 1= (2, - 1, 0) T, E 2= (2, 0, 1) T.3筲12丿1/3/ 廠2,5152/15/151/3經(jīng)單位化得n 3=2/3.所求正交矩陣為T =-J5/54J5/152/3-2/3/、 0亦/3-2/3；.入=-8的一個(gè)特征向量為對(duì)角矩陣0A0 .(也可取T =加5/50f（Xi,四、證明題（本大題共 2小題，每小題5分，共2332.證 由于（E- A）（ E+A +A）=E- A =E， 所以E- A可逆，且（E - A） -1= E+A+A2 .2 2 2X2，X3)的標(biāo)準(zhǔn)形 yi - 2y2 - 5y3 . 10分)33證 由假設(shè) A n 0= b, AE 1=0, A E 2=0.(1) An i=A ( n o+ E i) = An o+A E i = b,同理 An 2= b, 所以n