與一元二次方程有關的競賽題

1、與一元二次方程有關的競賽題一、降次（一）直接用方程降次1 當 x -1994 時，多項式（4x31997x 1994）2001 的值為2分析與解：2 若 3x2x41,則 9x12x322x 7x 2005的值等于分析與解：3.設 x27x7 0則49247x x =分析與解:（二）用根的關系式降次分析與解:4.已知是方程X2 x 1 0的兩個根，則4 3的值為5設x1 ,x2是二次方程x2 x 3 0的兩個根，求x； 4x； 19的值。分析與解：二、用根的判別式解題6已知a,b,c是整數(shù)，且a 2b 4, ab c210,求a b c的值。分析與解：7已知a,b,c均為實數(shù)，且a b 4 ,

2、 2c2 ab 4,3c 10,求ab的值。分析與解：8 已知a,b為整數(shù)，且x2 ax 3 b 0有兩個不相等的實數(shù)根；2 2x (6 a)x 7 b 0有兩個相等的實數(shù)根；x (4 a)x (5 b) 0沒有實數(shù)根，貝 H a b =。分析與解：9. m為整數(shù)時，關于x的方程x24(m 1)x (3m22m 2 k)0的根是有理數(shù),求k的值。2 210.證明：已知關于x的一元二次方程 Ax 2Bx c 0 Bx 2Cx A 0 cx22 Ax B 0中，至少有一個方程有實數(shù)根。分析與解：、 、,、z211 .設 P1、P2、q1、q2 為實數(shù)，且 pi p2 2G q?),證明方程 x p

3、ix qi 0 和x2 P2X q?0中至少有一個實數(shù)根。分析與解：12 求方程2x2 xyy2 x 2y 10的整數(shù)解。分析與解:三、用韋達定理解題13.若 ab 1，且有 5a22003a 90及 9b22003b 50,則-的值是b214已知XX2是3x x 10的兩根，不解方程。求(1) 3x；(x21)的值；32(2) 9X1 6X1 6X2 的值。分析與解：四、構(gòu)造一元二次方程解題t的取值范圍是| c |的最小值可達到_q的值是。則-的值是b15已知實數(shù)a, b滿足a2 ab b2 1,且t ab a2 b2，那么16. 若 a,b,c 均為實數(shù)，且 a b c 0, abc 2,

4、那么 |a| b |。1317. 已知p、q是有理數(shù)，x滿足x px q 0,則p2218若 ab 1，且有 5a2001a 9 0 及 9b 2001b 5 0,19.已知實數(shù)a,b, c滿足a b c 2, abc 4.(1)求a,b,c中的最大者的最小值；(2)求|a| |b| |c|的最小值。分析與解:AK c20.已知 _(b c)2 (a b)(c a)且 a 0，則4a分析與解：21.已知實數(shù) a、b、c 滿足 a b ,且 1999(a b) , 1999(b c) (c a) 0,求 (c b)(c2a)的值。(a b)2分析與解：22.已知實數(shù)x、y、z滿足xy 5 及 z

5、2xy y 9，貝y x 2y 3z=23.當x變化時，分式空也蘭的最小值是1 2x x 12124.已知X 3,則x4 3x316x2 3x 17的值等于 x25. E、F分別在矩形 ABCD的邊BC和CD上，若 CEF ABE ADF的面積分別是 3, 4,5,求 AEF的面積So分析與解:26.已知實數(shù)a b,且滿足（a 1）23 3(a 1),3(b1)的值。分析與解:五、一元二次方程的整數(shù)根的探究2 2 2 227已知方程a x (3a8a) x 2a 13a 15 0 (其中a是非負整數(shù))至少有一個整數(shù)根，那么，a =。28. 設關于x的二次方程(k2 6k 8)x2 (2k2 6k 4)x k2 4的兩根都是整數(shù)。求 滿足條件的所有實數(shù) k的值。分析與解：29. 設m為整數(shù)且4 m 40，方程x2 2(2m 3)x 4m2 14m 8 0有兩個整數(shù)根,求m的值及方程的根。分析與解：30. 已知方程x2 (k 3)x k2 0的根都是整數(shù)，求整數(shù) k的值及方程的根。分析與解：31. 一直角三角形的兩直角邊長為整數(shù)，且滿足方