兩個計數(shù)原理、排列與組合

1、第十章 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布1. 計數(shù)原理(1) 理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，能正確區(qū)分“類”和“步”，并能利用兩個原理解決一些簡 單的實(shí)際問題.(2) 理解排列的概念及排列數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實(shí)際問題.(3) 理解組合的概念及組合數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實(shí)際問題.(4) 會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.2. 概率(1) 事件與概率 了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別. 了解兩個互斥事件的概率加法公式.(2) 古典概型 理解古典概型及其概率計算公式. 會計算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件

2、發(fā)生的概率.(3) 隨機(jī)數(shù)與幾何概型 了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計概率. 了解幾何概型的意義.3. 概率與統(tǒng)計(1) 理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，認(rèn)識分布列刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性，會求某些取有 限個值的離散型隨機(jī)變量的分布列.(2) 了解超幾何分布，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用.(3) 了解條件概率的概念，了解兩個事件相互獨(dú)立的概念；理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ图岸?xiàng)分布，并能解決一些簡單問題.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念，會求簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利 用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡單問題.借助直觀直方圖認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示

3、的意義.10. 1兩個計數(shù)原理、排列與組合奔實(shí)基礎(chǔ)1. 分類加法計數(shù)原理完成一件事，有n類不同方案，在第1類方案中有mi種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法”在第n類方案中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N =種不同的方法.2. 分步乘法計數(shù)原理完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法”做第 n步有 mn種不同的方法.那么完成這件事共有N =種不同的方法.3. 兩個計數(shù)原理的區(qū)別分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法 ，用其中都可以做完

4、這件事；分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法 ，只有才算做完這件事.4. 兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時的方法最重要的是在開始計算之前要進(jìn)行仔細(xì)分析一一是需要分類還是需要分步.(1) 分類要做到“.分類后再分別對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù).分步要做到“，”即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要 ,分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).5. 排列排列的定義：從 n個不同元素中取出 m(mw n)個元素，按照 排成一列，叫做從 n個不同元素中取出m個元素的一個排列.(2) 排列數(shù)的定義：從 n個不

5、同元素中取出 m(m n)個元素的 的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號 表示.(3) 排列數(shù)公式： Am=.這里n, m N*，并且.(4) 全排列：n個不同元素全部取出的一個 ，叫做n個元素的一個全排列.An= nx (n 1)x (n-2)x , x 3x 2X 1 =，因此，排列數(shù)公式寫成階乘的形式為Am=，這里規(guī)定0!=6. 組合(1) 組合的定義：從 n個不同元素中取出m(m n)個元素，叫做從n個不同元素中取出 m個元素的一個組合.組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m n)個元素的 的個數(shù)，叫做從 n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號 表示.Am*(3

6、) 組合數(shù)公式：Cm= Am =這里 n N , m N,并且 mWn.Am(4) 組合數(shù)的兩個性質(zhì)： Cm= C常 1 =+.自查自糾1. m1 + m2 +, + mn2. mM m?x , x mn3相互獨(dú)立任何一種方法互相依存各個步驟都完成4. (1)不重不漏(2)步驟完整相互獨(dú)立5. (1) 一定的順序(2)所有不同排列Am(3)n(n 1)(n-2), (n m+ 1) mW nn!排列n!(n m)!16. 合成一組所有不同組合Cmn (n1)(n 2)m!(n m+ 1)n!m!( n m)! cnm cm cm1十黒全活牛刀小試O （2016鄭州模擬）某項(xiàng)測試要過兩關(guān)，第一關(guān)

7、有3種測試方案，第二關(guān)有5種測試方案，某人參加該項(xiàng)測試， 不同的測試方法種數(shù)為（）A. 8B. 15C. 125 D. 243解：由分步計數(shù)原理知所求為3X 5= 15.故選B.電某校學(xué)生會由高一年級3人，高二年級3人，高三年級4人組成，現(xiàn)要選擇不同年級的兩名成員參加市里組織的活動，則共有選法（）A . 27 種 B . 33 種 C . 36 種 D . 81 種解：由兩個計數(shù)原理知，所求為 3X 3+ 3X 4 + 3X 4= 33（種）.故選B.（2016四川）用數(shù)字1 , 2, 3, 4, 5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（）A . 24B . 48C . 60 D . 7

8、2解：由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個位數(shù)只能是1 , 3, 5;分為兩步：先從1, 3, 5三個數(shù)中選一個作為個位數(shù)有c3種方法，再將剩下的四個數(shù)字排列有A；種方法，則滿足條件的五位數(shù)有C；a4 = 72個.故選D.（2017河南五校質(zhì)量監(jiān)測改編）6名同學(xué)排成一排照相，甲不站兩端，則不同的站法有 種.解：所求為a4a5= 480種.故填480.現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同 的著色方法共有種.解：按At B tD順序分四步涂色，共有絕類旁週4 X 3X 2 X 2 = 48(種).故填 48.類型一 分類與分步的區(qū)別與聯(lián)系5本不同的

9、數(shù)學(xué)書，4本不同的物理書，3本不同的化學(xué)書.現(xiàn)在CE 甲同學(xué)有若干本課外參考書，其中有 乙同學(xué)向甲同學(xué)借書，試問：（1）若借一本書，則有多少種不同的借法？（2）若每科各借一本，則有多少種不同的借法?若借兩本不同學(xué)科的書，則有多少種不同的借法？解：(1)因?yàn)樾柰瓿傻氖虑槭?“借一本書”，所以借給他數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)書中的任何一本，都可以完成這件 事情.故用分類計數(shù)原理，共有 5+ 4 + 3= 12(種)不同的借法.(2) 需完成的事情是“每科各借一本書”，意味著要借給乙三本書，只有從數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科中各借一本， 才能完成這件事情.故用分步計數(shù)原理，共有 5X 4X 3= 60(種)不同的借法

10、.(3) 需完成的事情是“從三種學(xué)科的書中借兩本不同學(xué)科的書 ”，要分三種情況：借一本數(shù)學(xué)書和一本物理書，只有兩本書都借，事情才能完成，由分步計數(shù)原理知，有5X 4= 20(種)借法；借一本數(shù)學(xué)書和一本化學(xué)書，同理，由分步計數(shù)原理知，有 5 X 3= 15(種)借法；借一本物理書和一本化學(xué)書，同理，由分步計數(shù)原理知，有4X 3= 12(種)借法.而上述的每一種借法都可以獨(dú)立完成這件事情，由分類計數(shù)原理知，共有20+ 15+ 12 = 47(種)不同的借法.【點(diǎn)撥】仔細(xì)區(qū)分是“分類”還是“分步”是運(yùn)用兩個原理的關(guān)鍵.兩個原理的區(qū)別在于一個與分類有關(guān)，一個與分步有關(guān).如果完成一件事有 n類辦法，這

11、n類辦法彼此之間是相互獨(dú)立的，無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用分類加法計數(shù)原理；如果完成一件事需要分成n個步驟，缺一不可，即需要依次完成n個步驟，才能完成這件事，而完成每一個步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事的方法種數(shù)，就用分步乘法計數(shù)原理.Q32D電視臺在“歡樂在今宵”節(jié)目中拿出兩個信箱，其中放著競猜中成績優(yōu)秀的50位觀眾的來信，甲箱中有30封，乙箱中有20封.現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運(yùn)觀眾， 若先確定一名幸運(yùn)之星， 再從兩箱剩下來信中各 確定一名幸運(yùn)觀眾，有多少種不同結(jié)果？解：幸運(yùn)之星在甲箱中抽取， 選定幸運(yùn)之星，再在兩箱內(nèi)各抽一名幸運(yùn)觀眾，根據(jù)

12、分步計數(shù)原理有 30X 29X 20=17 400種結(jié)果.幸運(yùn)之星在乙箱中抽取，有20X 19 X 30= 11 400種結(jié)果.根據(jù)分類計數(shù)原理共有不同結(jié)果17 400 + 11 400= 28 800(種).類型二排列數(shù)與組合數(shù)公式GE) (1)解方程 3A8= 4A,1;解方程 c； 3= c；+1+Cx+1+ G+2.解: (1)利用 3A8 = 3 ( 8 8 !x)!，4A= 4 ( 9-9+ 1)得到3X 8!(8 x)!4X 9!(10 x)!利用(10 x)! = (10 x)(9 x)(8 x)!,將上式化簡后得到 (10 x)(9 x)= 4X 3.再化簡得到x2 19x+

13、 78= 0.解方程得X1=6,X2= 13.由于A8和A91有意義，所以x滿足xw8和x1 9.于是將x?=13舍去，原方程的解是 x = 6.(2) 由組合數(shù)的性質(zhì)可得C + 1 + Cx+ 1+ C?+ 2= C2+1 + Q + 1 + C?+ 2= cj+ 2+ C?+ 2, 又 Cx+ 3= C2+ 3，且 &+ 3= &+ 2+ Q + 2 ,即 Cx+ 2+ Cx+ 2 = Cx+2 + Cx+ 2.所以 Cx+ 2 = Cx+ 2,x= 3.所以5 = x+ 2, x= 3.經(jīng)檢驗(yàn)知x= 3符合題意且使得各式有意義，故原方程的解為【點(diǎn)撥】（1）應(yīng)用排列、組合數(shù)公式解此類方程時

14、，應(yīng)注意驗(yàn)證所得結(jié)果能使各式有意義.（2）應(yīng)用組合數(shù)性質(zhì)cm+i=cm1+cnm時，應(yīng)注意其結(jié)構(gòu)特征：右邊下標(biāo)相同，上標(biāo)相差1；左邊（相對于右邊）下標(biāo)加i，上標(biāo)取大.使 用該公式，像拉手風(fēng)琴，既可從左拉到右，越拉越長，又可以從右推到左，越推越短.(1) 解方程：3A3= 2A?+i + 6A2；1 i 7(2)已知 cmcm= 10cm，貝c8=解：(1)由 3A3= 2A2+1+ 6A2得3x(x - 1)(x-2) = 2(x+ 1)x+ 6x(x-1),由x工0整理得3x2- 17x+ 10= 0.2解得x= 5或3(舍去).即原方程的解為x = 5.由已知得m的取值范圍為m|0 m 5

15、, m Z,m!( 5 m)!5!m!( 6 m)!6!7 X (7 m)! m!10X 7!整理可得 m2-23m+ 42= 0,解得 m= 21(舍去)或m = 2故= C8= 28.故填28.類型三排列的基本問題5名男生、2名女生站成一排照相:（1）兩名女生要在兩端，有多少種不同的站法？（2）兩名女生都不站在兩端，有多少種不同的站法？（3）兩名女生要相鄰，有多少種不同的站法？（4）兩名女生不相鄰，有多少種不同的站法？（5）女生甲要在女生乙的右方，有多少種不同的站法？（6）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少種不同的站法？解：（1）兩端的兩個位置，女生任意排，中間的五個位置男生任意排：a

16、2a5 = 240（種）;（2）中間的五個位置任選兩個排女生，其余五個位置任意排男生：a5a5= 2 400（種）；（3）把兩名女生當(dāng)作一個元素，于是對六個元素任意排，然后解決兩個女生的任意排列：a6a2= 1 440（種）;（4）把男生任意全排列，然后在六個空中（包括兩端）有順序地插入兩名女生：a5a6 = 3 600（種）；七個位置中任選五個排男生問題就已解決，因?yàn)榱粝聝蓚€位置女生排法是既定的：A5= 2 520（種）；（6）采用排除法，在七個人的全排列中，去掉女生甲在左端的A6個，再去掉女生乙在右端的A6個，但女生甲在左端同時女生乙在右端的 A5種排除了兩次，要找回來一次.有A7-2A6

17、+ a5= 3 720（種）.【點(diǎn)撥】（1）有約束條件的排列問題一般有以下幾種基本類型與方法：特殊元素優(yōu)先考慮；對于相鄰問題采用“捆綁法”，整體參與排序后，再考慮整體內(nèi)容排序；對于不相鄰問題，采用“插空”法，先排其他元素，再將不相鄰元素插入空檔；對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列數(shù).（2）解題的基本思路通常有正向思考和逆向思考兩種.正向思考時，通過分步、分類設(shè)法將問題分解；逆向思考時，從問題的反面入手，然后“去偽存真”.3名女生和5名男生排成一排.（1）如果女生全排在一起，有多少種不同排法?如果女生都不相鄰，有多少種排法？（3）如果女生不站兩端，有多少種排法？其中甲

18、必須排在乙前面（可不鄰），有多少種排法？（5）其中甲不站左端，乙不站右端，有多少種排法？解：（1）（捆綁法）由于女生排在一起，可把她們看成一個整體，這樣同五個男生合在一起有6個元素，排成一排有a6種排法，而其中每一種排法中，三個女生又有A3種排法，因此共有 A6 a3 = 4 320（種）不同排法.（2）（插空法）先排5個男生，有A5種排法，這5個男生之間和兩端有 6個位置，從中選取 3個位置排女生，有 A6種排法，因此共有 A5 A3= 14 400（種）不同排法.（3）法一（位置分析法）因?yàn)閮啥瞬慌排?，只能?5個男生中選2人排列，有 A5種排法，剩余的位置沒有特 殊要求，有 A6種排法

19、，因此共有 A2 Af= 14 400（種）不同排法.法二（元素分析法）從中間6個位置選3個安排女生，有 A3種排法，其余位置無限制，有A5種排法，因此共有 A a5= 14 400（種）不同排法.1 1（4）8名學(xué)生的所有排列共 Al種，其中甲在乙前面與乙在甲前面各占其中的-，所以符合要求的排法種數(shù)為 2人8 =20 160（種）.（5）甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置.法一（特殊元素法）甲在最右邊時，其他的可全排，有a7種；甲不在最右邊時，可從余下6個位置中任選一個， 有a6種.而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個中的任意一個上， 有A：種，其余人全排列，共有a6 a6 A6種由分類

20、加法計數(shù)原理，共有a7+ A1 A1 a6= 30 960（種）.法二（特殊位置法）先排最左邊，除去甲外，有A7種，余下7個位置全排，有 A7種，但應(yīng)剔除乙在最右邊時的排法a6 A種，因此共有 A a7-aJ A = 30 960（種）.法三（間接法）8個人全排，共A8種，其中，不合條件的有甲在最左邊時，有A7種，乙在最右邊時，有 A種，其中都包含了甲在最左邊，同時乙在最右邊的情形，有A6種.因此共有 a8- 2A7 + a6= 30 960（種）.類型四組合的基本問題CE 課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名隊(duì)長現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選

21、法？（1）只有1名女生；兩隊(duì)長當(dāng)選；至少有1名隊(duì)長當(dāng)選；（4）至多有2名女生當(dāng)選；既要有隊(duì)長，又要有女生當(dāng)選.解：（1）1名女生，4名男生，故共有 C- c8= 350（種）.將兩隊(duì)長作為一類，其他11個作為一類，故共有 C2 C?i= 165（種）.至少有1名隊(duì)長當(dāng)選含有兩類：只有1名隊(duì)長和2名隊(duì)長.故共有：C2 C：i+ C； C?- = 825（種）.或采用間接法：C-3 C5i = 825（種）.至多有2名女生含有三類：有2名女生、只有1名女生、沒有女生，故選法為：C2 Q8 + C5 ；+ c5= 966（種）. 分兩類：第一類女隊(duì)長當(dāng)選：有C-2種選法；第二類女隊(duì)長不當(dāng)選：有c4

22、c7+ c2 c2+ c4 c；+ c4種選法.故選法共有：c?2+c4 c3 + c2 c2+ c4 c；+c4= 790（種）.【點(diǎn)撥】分類時不重不漏； 注意間接法的使用，在涉及“至多”“至少”等問題時，多考慮用間接法 （排除法）;應(yīng)防止出現(xiàn)如下常見錯誤：如對（3），先選1名隊(duì)長，再從剩下的人中選4人得C1 C：2工825，請同學(xué)們自己找錯因.334）從7名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選出5人，分別求符合下列條件的選法總數(shù)為多少？（1）A，B必須當(dāng)選；A，B都不當(dāng)選；（3）A，B不全當(dāng)選；至少有2名女同學(xué)當(dāng)選；（5）選出3名男同學(xué)和2名女同學(xué)，分別擔(dān)任體育委員、文娛委員等五種不同的工作，但體育委員

23、必須由男同 學(xué)擔(dān)任，文娛委員必須由女同學(xué)擔(dān)任.解：只要從其余的10人中再選3人即可，有C：o= 120（種）.（2）5個人全部從另外10人中選，總的選法有252（種）.直接法，分兩類：A, B 一人當(dāng)選，有c2c：o= 420（種）.A, B都不當(dāng)選，有C：o= 252（種）.所以總的選法有 420 + 252 = 672（種）.間接法：從12人中選5人的選法總數(shù)中減去從不含A, B的10人中選3人（即 A, B都當(dāng)選）的選法總數(shù)，得到總的選法有C$ C3= 672（種）.直接法，分四步：選 2名女生，有C5C7= 10x 35 = 350（種）；選3名女生，有C3C?= 210（種）；選4名

24、女生，有c5c7= 35（種）；選5名女生，有C5= 1（種）.所以總的選法有 350 + 210 + 35 + 1 = 596（種）.間接法：從12人中選5人的選法總數(shù)中減去不選女生與只選一名女生的選法數(shù)之和， 即滿足條件的選法有 C：2 （C5+ C：c7） = 596（種）.分三步：選1男1女分別擔(dān)任體育委員、文娛委員的方法有c7c5= 35（種）；再選出2男1女，補(bǔ)足5人的方法有c2c4= 60（種）；最后為第二步選出的 3人分派工作，有 A3= 6（種）方法.所以總的選法有 35X 60X 6= 12 600（種）.類型五分堆與分配問題GE1按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同

25、的分配方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（3）平均分成三份，每份 2本；（4）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得 1本；甲得1本，乙得1本，丙得4本.解：（1）無序不均勻分組問題.先選1本，有c6種選法；再從余下的 5本中選2本，有c5種選法；最后余下 3本全選，有c3種選法.故共有c：c5c3= 60(種).有序不均勻分組問題.由于甲、乙、丙是不同的三人，在題基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有c1c2c3a3= 360(種).(3) 無序

26、均勻分組問題.先分三步，則應(yīng)是 c6c4c2種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù)不妨記六本書為A, B, c, D, E, F，若第一步取了 AB,第二步取了 CD，第三步取了 EF，記該種分法為(AB, CD , EF)，貝U C6&C2種分法中還有(AB , EF,CD), (CD , AB, EF), (CD, EF, AB), (EF , CD , AB), (EF , AB , CD)，共有 a3種情況，而這 A3種情況僅 是AB , CD , EF的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有15(種).(4) 有序均勻分組問題.在(3)的基礎(chǔ)上再分配給 3個人，2 2 2共有分配方式C6a

27、 A3= c6c2c2= 90(種).c4cc無序部分均勻分組問題共有-M= 15(種).(6) 有序部分均勻分組問題.在(5)的基礎(chǔ)上再分配給 3個人，2 1 1共有分配方式C6A a3= 90(種).(7) 直接分配問題.甲選1本，有C：種方法；乙從余下的5本中選1本，有C1種方法，余下4本留給丙，有C；種方法，故共有分配方式c1c5c4= 30(種).分堆到位相當(dāng)于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法數(shù)為:平均分堆到指定位置堆數(shù)的階乘.對于分堆與分配問題應(yīng)注意:處理分配問【點(diǎn)撥】平均分配給不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆數(shù)的全排列.題要注意先分堆再分配；被分配的元素是不同

28、的(像“名額”等則是相同元素，不適用)，位置也應(yīng)是不同的(如不同的“盒子”);分堆時要注意是否均勻，如6分成(2, 2, 2)為均勻分組，分成(1 , 2, 3)為非均勻分組，分成(4, 1 , 1)為部分均勻分組.砂3(1)6個免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有種不同的分派方法.2 2 2解：先把6個畢業(yè)生平均分成 3組，有-種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有A3= 6種方法，故6 A3個畢業(yè)生平均分到 3所學(xué)校，共有 a3= 90種分派方法.故填90.A3(2) (2015廣州調(diào)研)有4名優(yōu)秀學(xué)生 A, B, C, D全部被保送到甲、乙、丙3所學(xué)校，每所學(xué)校至少去

29、一名，則不同的保送方案共有 種.c4c1c13解：先把4名學(xué)生分為2、1、1的3組，有C 礦 =6種分法，再將3組分到3個學(xué)校，有A3= 6種情況，則共有6X 6 = 36種不同的保送方案.故填36.(2015江西模擬改編)若將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有 種不同的分法.解：將6名教師分組，分三步完成：第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有 C6種取法；第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有 C5種取法；第3步，余下的3名教師作為一組，有 &種取法.6名教師分組共有 Cc5c3= 60種取法.再把這3組教師分配到3所中學(xué)，有A3= 6種分法，因此共有6

30、0X 6= 360種不同的分法. 故填360.類型六數(shù)字排列問題GE1 用 0, 1, 2, 3, 4, 5 這 6 個數(shù)字.（1）能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？（2）能組成多少個奇數(shù)數(shù)字互不相鄰的六位數(shù)（無重復(fù)數(shù)字）?解：（1）符合要求的四位偶數(shù)可分為三類：第一類：0在個位時，有A3個；第二類：2在個位時，千位從 1, 3, 4, 5中選定一個（A：種），十位和百位從余下的數(shù)字中選，有A2種，于是有 a4 A2個;第三類：4在個位時，與第二類同理，也有Ai A2個.由分類加法計數(shù)原理得，共有 a5 + 2a4 a4= 156（個）.先排0, 2, 4,再讓1 , 3, 5插空，總的排法共

31、A3 A4= 144（種）,其中0在排頭，將1 , 3, 5插在后三個空的排法共 A2A3 = 12（種），此時構(gòu)不成六位數(shù)，故總的六位數(shù)的個數(shù)為 A3 A-A2 a3= 144- 12= 132（種）.【點(diǎn)撥】本例是有限制條件的排列問題，先滿足特殊元素或特殊位置的要求，再考慮其他元素或位置，同時注意題中隱含條件0不能在首位.G3（2015 山西模擬改編）用五個數(shù)字0, 1 , 2, 3, 4組成沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，問:（1）四位數(shù)有幾個？比3 000大的偶數(shù)有幾個？解：（1）首位數(shù)字不能是0,其他三位數(shù)字可以任意，所以四位數(shù)有c4a4= 96個.（2）比3 000大的必是四位數(shù)或五位數(shù).（

32、I ）若是四位數(shù)，則首位數(shù)字必是3或4. 若4在首位，則個位數(shù)字必是 0或2，有c1a3個數(shù)， 若3在首位，則個位數(shù)字必是 0或2或4,有cJa2個數(shù)， 所以比3 000大的四位偶數(shù)有 c2a3+ c3a2= 30個.（n ）若是五位數(shù)，則首位數(shù)字不能是0,個位數(shù)字必是0或2或4, 若0在個位，則有A：個； 若0不在個位，則有 c2c3a3個數(shù)，所以比3 000大的五位偶數(shù)有 a4+ c!c3a3= 60個.故比3 000大的偶數(shù)共有30 + 60= 90個.揭示規(guī)律1. 解答計數(shù)應(yīng)用問題的總體思路根據(jù)完成事件所需的過程，對事件進(jìn)行整體分類，確定可分為幾大類，整體分類以后，再確定在每類中完成事

33、件要分幾個步驟，這些問題都弄清楚了， 就可以根據(jù)兩個基本原理解決問題了，此外，還要掌握一些非常規(guī)計數(shù)方法，如：(1) 枚舉法：將各種情況列舉出來，它適用于種數(shù)較少且計數(shù)對象不規(guī)律的情況；(2) 轉(zhuǎn)換法：轉(zhuǎn)換問題的角度或轉(zhuǎn)換成其他已知問題；(3) 間接法：若用直接法比較復(fù)雜，難以計數(shù)，則可考慮利用正難則反的策略，先計算其反面情形，再用總數(shù) 減去即得.2. 排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系排列、組合之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題， 需要考慮順序的是排列問題，排列是在組合的基礎(chǔ)上對入選的元素進(jìn)行全排列，因此，分析解決排列問題的基本思路是 “先選，后排”.3. 解排列

34、、組合題的基本方法(1) 限制元素(位置)優(yōu)先法：元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考 慮有限制條件的位置，再考慮其他位置.(2) 正難則反排異法： 有些問題，正面考慮情況復(fù)雜，可以反面入手把不符合條件的所有情況從總體中去掉.(3) 復(fù)雜問題分類分步法：某些問題總體不好解決時，常常分成若干類，再由分類加法計數(shù)原理解決或分成若干步，再由分步乘法計數(shù)原理解決.在解題過程中，常常既要分類，也要分步，其原則是先分類，再分步.相離問題插空法：某些元素不能相鄰或要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間.相鄰

35、問題捆綁法：把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”作全排列，最后再“松綁” 一一將“捆綁”元素在這些位置上作全排列.(6) 相同元素隔板法： 將n個相同小球放入 m(m3 且 n N*，整理得 n= 8故選 B.3. 有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有（）A . 60 種B . 70 種C . 75 種D . 150 種解：從中選出2名男醫(yī)生的選法有 C2= 15種，從中選出1名女醫(yī)生的選法有 C：= 5種，所以不同的選法共有 15X 5= 75 種，故選 C.4. （2017全國卷H ）安排3名志愿者完成4

36、項(xiàng)工作，每人至少完成 1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排 方式共有（）A . 12 種 B . 18 種 C . 24 種 D . 36 種解：由題意可得，一人完成兩項(xiàng)工作， 其余兩人每人完成一項(xiàng)工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有c2種方法，然后進(jìn)行全排列 a3即可，由乘法原理，不同的安排方式共有c4x A3 = 36種方法.故選D.5 . （2016鄭州二模）某校開設(shè)A類選修課2門；B類選修課3門，一位同學(xué)從中選 3門，若要求兩類課程中至少選一門，則不同的選法共有（）A . 3 種 B . 6 種 C . 9 種 D . 18 種解:可分以下兩種情況：A類選修課選1門，B類選修課選2

37、門，有C2C3種不同選法；A類選修課選2門，b類選修課選1門，有c2c3種不同選法.所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理知不同的選法共有：c1c2+ c2c3= 6 + 3=9（種）.故選C.6 . （2017 西新余第一中學(xué)調(diào)研）西部某縣將7位大學(xué)生志愿者（4男3女）分成兩組，分配到兩所小學(xué)支教，若要求女生不能單獨(dú)成組，且每組最多5人，則不同的分配方案共有（）A . 36 種 B . 68 種 C . 104 種 D . 110 種解：分組的方案有3、4和2、5兩類，第一類有（C7 1）a2= 68（種）；第二類有（C?氏於鼻36（種），所以共有68 + 36= 104種不同的方案. 故選C.7. （2

38、017天津）用數(shù)字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有 個.（用數(shù)字作答）解：本題分兩類：一類是一個數(shù)字是偶數(shù)，三個數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù)有C：c5a4= 960（個），二類是四個數(shù)字都是奇數(shù)的四位數(shù)有 a4= 120（個），所以共有1 080個.故填1 080.8. （2017浙江）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長 1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服 務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有 種不同的選法.（用數(shù)字作答）解：第一步，選出4人，由于至少1名女生，故有C； C6 = 55種不同的選法；第二步，從 4人

39、中選出隊(duì)長，副隊(duì)長各1人，有a2= 12種不同的選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有55 X 12= 660種不同的選法.故填660.9. 已知集合 M = 3, 2, 1, 0, 1, 2 , P（a, b）表示平面上的點(diǎn)（a, b M）,問：（1）P可表示平面上多少個不同的點(diǎn)？（2）P可表示平面上多少個第二象限的點(diǎn)？P可表示多少個不在直線 y= x上的點(diǎn)？解：（1）確定平面上的點(diǎn) P（a, b）可分兩步完成：第一步確定a的值，共有6種確定方法；第二步確定b的值，6 X 6= 36 個.也有6種確定方法根據(jù)分步計數(shù)原理，得到所求點(diǎn)的個數(shù)是(2) 確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：第一步確定a,由于av 0,所以有3種確定方法；