梁彎曲變形分析

1、 梁彎曲變形分析 任務(wù)一任務(wù)一 材料力學(xué)基本認(rèn)識(shí)材料力學(xué)基本認(rèn)識(shí) 任務(wù)二任務(wù)二 應(yīng)力分析應(yīng)力分析 梁彎曲變形分析 21 構(gòu)件軸向載荷分析構(gòu)件軸向載荷分析 22 梁的彎曲變形分析梁的彎曲變形分析 23 圓軸扭轉(zhuǎn)變形強(qiáng)度分析圓軸扭轉(zhuǎn)變形強(qiáng)度分析 24 剪切與擠壓剪切與擠壓 25 任務(wù)小結(jié)任務(wù)小結(jié) 任務(wù)二任務(wù)二 應(yīng)力分析應(yīng)力分析 梁彎曲變形分析 一、一、彎曲彎曲正應(yīng)力正應(yīng)力 2-2 2-2 梁的彎曲變形分析梁的彎曲變形分析 工程上使用的直梁的橫截面一般都有一個(gè)或 幾個(gè)對(duì)稱軸。 工程中以彎曲變形為主的桿件稱為梁工程中以彎曲變形為主的桿件稱為梁 梁彎曲變形分析 梁彎曲的工程實(shí)例梁彎曲的工程實(shí)例 FF F

2、AFB 梁彎曲變形分析 P a A B 陽臺(tái)梁陽臺(tái)梁 欄桿欄桿 P AB PaM e q 梁彎曲變形分析 橋式吊車 梁彎曲變形分析 臥式容器 梁彎曲變形分析 縱向?qū)ΨQ面：梁的軸線與橫截面的對(duì)稱縱向?qū)ΨQ面：梁的軸線與橫截面的對(duì)稱 軸所構(gòu)成的平。軸所構(gòu)成的平。 梁彎曲變形分析 對(duì)稱彎曲：當(dāng)作用在梁上的載荷和支反力均位于縱向 對(duì)稱面內(nèi)時(shí)，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向?qū)ΨQ 面內(nèi)的曲線。 平面彎曲平面彎曲 梁彎曲變形分析 dA dAM d S AF MS F d S AF dAM 在橫截面上，只有法向內(nèi)力元素在橫截面上，只有法向內(nèi)力元素dN=dAdN=dA才能合成才能合成 彎矩彎矩M M，只有切向內(nèi)力

3、元素，只有切向內(nèi)力元素d =dAd =dA才能合成剪力才能合成剪力 S F S F 梁發(fā)生平面彎曲時(shí)，橫截面上一般產(chǎn)生兩種 內(nèi)力，即剪力和彎矩。 dA dA 梁彎曲變形分析 在橫截面上，只有彎矩M，沒有剪 力Fs，這種彎曲稱為純彎曲純彎曲； 橫截面上同時(shí)有彎矩M和剪力Fs， 這種彎曲稱為橫力彎曲橫力彎曲。 梁彎曲變形分析 1）彎曲變形特征）彎曲變形特征 梁在純彎曲時(shí)的梁在純彎曲時(shí)的平面假設(shè)平面假設(shè)： 梁的各個(gè)橫截面在變形后仍保持為平面，梁的各個(gè)橫截面在變形后仍保持為平面， 并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞 某一軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。某一軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。 梁

4、彎曲變形分析 aa bb mn mn mm m m mn mn 梁彎曲變形分析 (1)aa(1)aa、bbbb彎成弧線，彎成弧線，aaaa縮短，縮短，bbbb伸長(zhǎng)伸長(zhǎng) (2)mm(2)mm、nnnn變形后仍保持為直線，且仍與變?yōu)樽冃魏笕员３譃橹本€，且仍與變?yōu)?弧線的弧線的aaaa，bbbb垂直垂直 (3)(3)部分縱向線段縮短，另一部分縱向線段伸部分縱向線段縮短，另一部分縱向線段伸 長(zhǎng)長(zhǎng)。 觀察到以下變形現(xiàn)象觀察到以下變形現(xiàn)象: : 梁彎曲變形分析 推論：推論： 梁在彎曲變形時(shí)，上面部分縱向纖維縮短，梁在彎曲變形時(shí)，上面部分縱向纖維縮短， 下面部分縱向纖維伸長(zhǎng)，必有一層縱向纖維下面部分縱向纖維

5、伸長(zhǎng)，必有一層縱向纖維 既不伸長(zhǎng)也不縮短既不伸長(zhǎng)也不縮短,保持原來的長(zhǎng)度，這一縱保持原來的長(zhǎng)度，這一縱 向纖維層稱為中性層。向纖維層稱為中性層。 中性層與橫截面的交線稱為中性軸中性層與橫截面的交線稱為中性軸 梁彎曲變形分析 中性層中性層 中性軸中性軸 中性層中性層 梁彎曲變形分析 M-M-截面上的彎矩截面上的彎矩(N.mm) (N.mm) y-y-計(jì)算點(diǎn)到中性軸距離計(jì)算點(diǎn)到中性軸距離(mm) (mm) Iz-Iz-橫截面對(duì)中性軸慣性矩橫截面對(duì)中性軸慣性矩 4 mm 在彈性范圍內(nèi)，梁純彎曲時(shí)橫截面上任在彈性范圍內(nèi)，梁純彎曲時(shí)橫截面上任 意一點(diǎn)的正應(yīng)力為意一點(diǎn)的正應(yīng)力為 ： Z My I 單位為單

6、位為M Pa 2）正應(yīng)力計(jì)算公式及分布規(guī)律）正應(yīng)力計(jì)算公式及分布規(guī)律 推導(dǎo)過程推導(dǎo)過程 M M和和y y均以絕對(duì)值代入，至于彎曲均以絕對(duì)值代入，至于彎曲 正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，則正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，則 由欲求應(yīng)力的點(diǎn)處于受拉側(cè)還是由欲求應(yīng)力的點(diǎn)處于受拉側(cè)還是 受壓側(cè)來判斷。受拉側(cè)的彎曲正受壓側(cè)來判斷。受拉側(cè)的彎曲正 應(yīng)力為正，受壓側(cè)的為負(fù)。應(yīng)力為正，受壓側(cè)的為負(fù)。 梁彎曲變形分析 1）沿）沿y軸線性分布，同軸線性分布，同 一坐標(biāo)一坐標(biāo)y處，正應(yīng)力相處，正應(yīng)力相 等。中性軸上正應(yīng)力為等。中性軸上正應(yīng)力為 零。零。 2）中性軸將截面分為受）中性軸將截面分為受 拉、受壓兩個(gè)區(qū)域。拉、受壓兩

7、個(gè)區(qū)域。 3）最大正應(yīng)力發(fā)生在距）最大正應(yīng)力發(fā)生在距 中性軸最遠(yuǎn)處。中性軸最遠(yuǎn)處。 M y I z 梁彎曲變形分析 1 max Z M y I yyy 12 max 當(dāng)中性軸是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)：當(dāng)中性軸是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)： 2 max Z M y I maxmaxmax M WZ max max M y I Z 橫截面上的最大正應(yīng)力：橫截面上的最大正應(yīng)力： Wz Wz 抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù) W I y z z m ax 梁彎曲變形分析 W I y z z max )1 ( 32 4 3 max D y I W z z 圓環(huán) 6 2 max bh y I W z z 矩形 Wz Wz 抗彎截

8、面系數(shù)抗彎截面系數(shù) 32 3 max D y I W z z 圓形 梁彎曲變形分析 公式適用條件：公式適用條件： 1 1）符合平面彎曲條件）符合平面彎曲條件( (平面假設(shè)，橫截面具有一對(duì)稱軸）平面假設(shè)，橫截面具有一對(duì)稱軸） 2 2）p p( (材料服從胡克定律）材料服從胡克定律） 對(duì)于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產(chǎn)生剪切變形，對(duì)于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產(chǎn)生剪切變形， 使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。 彈性力學(xué)精確分析結(jié)果指出：當(dāng)梁的跨高比大于彈性力學(xué)精確分析結(jié)果指出：當(dāng)梁的跨高比大于5時(shí)，剪應(yīng)時(shí)，剪應(yīng) 力和擠壓應(yīng)力對(duì)彎曲正應(yīng)力的影響甚小，可以忽

9、略不計(jì)。因此力和擠壓應(yīng)力對(duì)彎曲正應(yīng)力的影響甚小，可以忽略不計(jì)。因此 由純彎曲梁導(dǎo)出的正應(yīng)力計(jì)算公式，仍可以應(yīng)用于橫力彎曲的由純彎曲梁導(dǎo)出的正應(yīng)力計(jì)算公式，仍可以應(yīng)用于橫力彎曲的 梁中，誤差不超過梁中，誤差不超過1% %。 橫力彎曲時(shí)，彎矩不再是常量。橫力彎曲時(shí)，彎矩不再是常量。 ( ) z M xy I 梁彎曲變形分析 二、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及應(yīng)用二、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及應(yīng)用 max max z M W 強(qiáng)度條件：梁內(nèi)危險(xiǎn)截面上的最大彎曲正應(yīng)力不強(qiáng)度條件：梁內(nèi)危險(xiǎn)截面上的最大彎曲正應(yīng)力不 超過材料的許用彎曲應(yīng)力，即超過材料的許用彎曲應(yīng)力，即 M M危險(xiǎn)截面處的彎矩（危險(xiǎn)截面處的彎矩（N.mmN

10、.mm） WzWz危險(xiǎn)截面的抗彎截面模量（危險(xiǎn)截面的抗彎截面模量（mm mm ） 材料彎曲許用應(yīng)力材料彎曲許用應(yīng)力 (Mpa)(Mpa) 3 梁彎曲變形分析 對(duì)于鑄鐵等脆性材料，抗拉和抗壓能力不同，對(duì)于鑄鐵等脆性材料，抗拉和抗壓能力不同， 所以有許用彎曲拉應(yīng)力和許用彎曲壓應(yīng)力兩個(gè)所以有許用彎曲拉應(yīng)力和許用彎曲壓應(yīng)力兩個(gè) 數(shù)值。數(shù)值。 max max 請(qǐng)注意：請(qǐng)注意：梁的最大工作拉應(yīng)梁的最大工作拉應(yīng) 力和最大工作壓應(yīng)力有時(shí)并不力和最大工作壓應(yīng)力有時(shí)并不 發(fā)生在同一截面上。發(fā)生在同一截面上。 梁彎曲變形分析 一般情況下，許用彎曲正應(yīng)力比許用拉一般情況下，許用彎曲正應(yīng)力比許用拉(壓壓)應(yīng)力應(yīng)力 略高

11、。因?yàn)閺澢鷷r(shí)除截面外邊緣達(dá)到最大正應(yīng)力略高。因?yàn)閺澢鷷r(shí)除截面外邊緣達(dá)到最大正應(yīng)力 外，其余各處應(yīng)力較小。而軸向拉外，其余各處應(yīng)力較小。而軸向拉(壓壓)時(shí)，截面上時(shí)，截面上 的應(yīng)力是均勻分布的。的應(yīng)力是均勻分布的。 利用強(qiáng)度條件可以進(jìn)行三方面的強(qiáng)度計(jì)算：利用強(qiáng)度條件可以進(jìn)行三方面的強(qiáng)度計(jì)算： 1 1、已知外力、截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，校核梁、已知外力、截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，校核梁 的強(qiáng)度。的強(qiáng)度。 2 2、已知外力、截面形狀、許用應(yīng)力，設(shè)計(jì)梁的截、已知外力、截面形狀、許用應(yīng)力，設(shè)計(jì)梁的截 面尺寸。面尺寸。 3 3、已知截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，求許可載荷。、已知截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，求許可載荷

12、。 梁彎曲變形分析 例例1 1：兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用 應(yīng)力均相等，但放置如圖應(yīng)力均相等，但放置如圖(a)(a)、(b)(b)。按彎。按彎 曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定兩者許可載荷之比曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定兩者許可載荷之比 P P1 1P P2 2？ l 梁彎曲變形分析 解：解： max max 1 1 1 1 2 6 M W Pl bh z max max 2 2 2 2 2 6 M W P l hb z 由得 maxmax : 12 P P h b 1 2 梁彎曲變形分析 例例2 2： 矩形截面梁當(dāng)橫截面的高度增加一倍，寬度矩形截面梁當(dāng)橫截面的高度增加一倍，寬度

13、 減小一半時(shí)，從正應(yīng)力強(qiáng)度條件考慮，該梁減小一半時(shí)，從正應(yīng)力強(qiáng)度條件考慮，該梁 的承載能力將是原來的多少倍？的承載能力將是原來的多少倍？ 解：解： 由公式由公式 max maxmax M W M bh z 2 6 可以看出，可以看出， 該梁的承載能力將是原來的該梁的承載能力將是原來的 2 倍。倍。 梁彎曲變形分析 例例3 3：圖示簡(jiǎn)支梁，受均布載荷作用，材圖示簡(jiǎn)支梁，受均布載荷作用，材 料的許用應(yīng)力料的許用應(yīng)力=10 MPa=10 MPa，校核該梁的，校核該梁的 強(qiáng)度。強(qiáng)度。 .6kN/m3 120 240 m5 A B 梁彎曲變形分析 解：解：畫彎矩圖畫彎矩圖 梁彎曲變形分析 剪力和彎矩的正

14、負(fù)號(hào)規(guī)定剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定 2.從梁的變形角度從梁的變形角度 剪力：剪力： 順時(shí)針為正順時(shí)針為正 逆時(shí)針為負(fù)逆時(shí)針為負(fù) 彎矩：彎矩： 上凹為正上凹為正 下凹為負(fù)下凹為負(fù) 1.規(guī)定：規(guī)定：左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正 梁彎曲變形分析 該梁滿足強(qiáng)度條件，安全該梁滿足強(qiáng)度條件，安全 m)(25.1156 . 3 8 1 8 1 22 max kNqlM )m(102 .115 6 240120 6 34 22 m bh WZ MPa)(77. 9 102 .115 1025.11 4 6 max max Z W M 梁彎曲變形分析 例例4:4:圖示懸臂梁在自由端受集中力作用，圖示懸臂梁

15、在自由端受集中力作用，P=20KNP=20KN。 試在下列三種截面形狀下，比較所耗材料：試在下列三種截面形狀下，比較所耗材料： (1)(1)高寬比高寬比h/b=2h/b=2的矩形；的矩形；(2)(2)圓形；圓形；(3)(3)工字鋼。工字鋼。 140MPa 1lm P=20KNP=20KN 解解:作彎矩圖作彎矩圖 P l max 20MP lKN m max max z M W 由強(qiáng)度條件由強(qiáng)度條件 3 33 max 6 20 10 143 140 10 z M Wmcm (1)矩形矩形 2 6 z bh W b=6cm h=12cm 2 1 72Acm (2)圓形圓形 3 32 z d W d

16、11.3cm 2 2 100Acm (3)工字形工字形查型鋼表，取查型鋼表，取16號(hào)工字鋼號(hào)工字鋼 3 141 z Wcm 2 3 26.1Acm 梁彎曲變形分析 工字形截面最省料，圓形截面最費(fèi)料。工字形截面最省料，圓形截面最費(fèi)料。 你知道為什么嗎？你知道為什么嗎？ 合理選擇截面形狀是梁設(shè)計(jì)中的合理選擇截面形狀是梁設(shè)計(jì)中的 一個(gè)重要問題一個(gè)重要問題 本題中，工字形截面的彎曲截面系數(shù)本題中，工字形截面的彎曲截面系數(shù) 略小于臨界值，其最大工作應(yīng)力將略大略小于臨界值，其最大工作應(yīng)力將略大 于許用應(yīng)力，但不超過于許用應(yīng)力，但不超過5%5%，這在工程中，這在工程中 是允許的。是允許的。 梁彎曲變形分析

17、x M + 8 2 qL q L q 0.2L0.2L L x M + 40 2 qL 50 2 qL 50 2 qL 三、提高梁強(qiáng)度的主要措施三、提高梁強(qiáng)度的主要措施 合理布置梁的支座合理布置梁的支座 1.1.降低最大彎矩?cái)?shù)值的措施降低最大彎矩?cái)?shù)值的措施 梁彎曲變形分析 x M + 8 2 qL x M + 4 2 qL F=qL L q L 合理布置載荷合理布置載荷 梁彎曲變形分析 F=qL x M + 4 2 qL F=qL L/54L/5 對(duì)稱 M x qL2/10 合理布置載荷合理布置載荷 梁彎曲變形分析 合理布置載荷合理布置載荷 梁彎曲變形分析 2.2.合理選擇梁的截面，用最小的截面面積得到合理選擇梁的截面，用最小的截面面積得到 大的抗彎截面模量。大的抗彎截面模量。 形狀和面積相同的截面，采用不同的放置方式。形狀和面積相同的截面，采用不同的放置方式。 梁彎曲變形分析 max1 max2 ll y y y y Y1Y1和和Y2Y2之比接近于下列關(guān)系之比接近于下列關(guān)系, ,最大拉應(yīng)力和最大最大拉應(yīng)力和最大 壓應(yīng)力便可同時(shí)接近許用應(yīng)力。壓應(yīng)力便可同時(shí)接近許用應(yīng)力。 梁彎曲變形分析 最好是等強(qiáng)度梁，即：最好是等強(qiáng)度梁，即： )( )( )( max xW xM x 若為等強(qiáng)度矩形截面，則高為：若為等強(qiáng)度矩形截面，則高為： )(6 )(