用分式方程解決實際問題

1、實用標準文案數(shù)學學科導學案（第次課）教師:_學生：年級：八 日期:星期:時段:_課 題分式方程的應(yīng)用學情分析教學目標與考點分析1、能夠根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系，準確列分式方程解決問題；2、會將有關(guān)實際問題轉(zhuǎn)化成分式方程來解決，感悟分式方程是反映現(xiàn)實數(shù)量關(guān)系的一種模型；3、培養(yǎng)學生的邏輯思維和靈活運用所學知識點解決問題的能力。教學重點用分式方程解決實際問題；教學方法講練結(jié)合法、歸納總結(jié)法學習內(nèi)容與過程1、解分式方程應(yīng)用題的步驟分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題，它與學習一元一次方程時列方程解應(yīng)用題的基本思路和方法 是一樣的，不同的是，表示關(guān)系的代數(shù)式是分式而已。一般地，列分式方程（組）解應(yīng)用題

2、的一般步驟：1. 審清題意；2. 設(shè)未知數(shù)；3. 根據(jù)題意找等量關(guān)系，列出分式方程；4. 解分式方程，并驗根；5. 檢驗分式方程的根是否符合題意，并根據(jù)檢驗結(jié)果寫出答案.2、常見的實際問題中等畳關(guān)系1.工程問題工作效率=，工作量1工作量=工作效率X工作時間，工作時間工作時間=工作量工作效率2. 完成某項任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1基礎(chǔ)練習：1、一臺甲型拖拉機4天耕完一塊地的一半，加一天乙型拖拉機，兩臺合耕，1天耕完這塊地的另一半。乙型拖拉機單獨耕這塊地需要幾天？2、某市為治理污水，需要鋪設(shè)一段全長300()米的污水輸送管道，為了盡量減少施工對城市交通造成的 影響，實際施工時每天的工效比原計

3、劃增加25%,結(jié)果提前30天完成了任務(wù)，實際每天鋪設(shè)多長管道？例：某工程由甲、乙兩隊合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊共8700元，乙.丙兩隊合做10天完成，2廠家需付乙、丙兩隊共950()元，甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的寸，廠家需付甲.丙兩隊共550() 元.求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天？若工期要求不超過15天完成全部工程，問由哪個隊單獨完成此項工程花錢最少？請說明理由.分析：這是一道聯(lián)系實際生活的工程應(yīng)用題，涉及工期和工錢兩種未知量.對于工期，一般情況下把整 個工作量看成1,設(shè)出甲、乙、丙各隊完成這項工程所需時間分別為兀天，y天，z天，可列出分式方程 組.練習1：某鎮(zhèn)道路改

4、造工程，由甲、乙兩工程隊合作2()天可完成.甲工程隊單獨施工比乙工程隊單獨施 工多用3()天完成此項工程.(1) 求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程各需要多少天？(2) 若甲工程隊獨做巾天后，再由甲、乙兩工程隊合作天(用含a的代數(shù)式表示)可完成此項工程；(3) 如果甲工程隊施工每天需付施工費1萬元，乙工程隊施工每天需付施工費2.5萬元，甲工程隊 至少要單獨施工多少天后，再由甲、乙兩工程隊合作施工完成剩下的工程，才能使施工費不超 過64萬元？練習2:某一項工程在招標時，接到甲、乙兩個工程隊的投標書，施工一天，需付甲工程隊款1.5萬元, 乙工程隊款1.1萬元，工程領(lǐng)導小組根據(jù)甲、乙兩隊的投標書測算，

5、可有三種施工方案：方案一：甲隊單獨完成這項工程剛好如期完成；方案二：乙隊單獨完成這項工程要比規(guī)定日期多用5天；方案三：若甲、乙兩隊合做4天，余下的工程由乙隊單獨完成，也正好如期完成。試問：在不耽誤工期的情況下，你覺得哪一種施工方案最節(jié)省工程款？請說明理由。拓展：某工程由甲、乙兩隊合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊工程費共8700元，乙、丙兩隊合做1()2天完成，廠家需付乙、丙兩隊工程費共950()元，甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的空，廠家需付甲、 丙兩隊工程費共5500元.求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天？若工期要求不超過15天完成全部工程，問由哪個隊單獨完成此項工程花錢最少？請說明

6、理由.思路點撥：這是一道聯(lián)系實際生活的工程應(yīng)用題，涉及工期和工錢兩種未知量.對于工期，一般情 況下把整個工作量看成1,設(shè)出甲、乙、丙各隊單獨完成這項工程所需時間分別為兀天，刀天，z天，可 列岀分式方程組.解析：設(shè)甲隊單獨做需兀天完成，乙隊單獨做需卩天完成，丙隊單獨做需？天完成，依題意，得 61,x y 10(1+1) = 1,5(1+-) = -.x z 3I 丄 丄丄xE +x 10+x三，得兀+；+2=三一X0 得z =30 ,即 = 30, 丄丄一X 10 ,得兀=10 ,即X = 10,一X得丁=卩，即丁= 15.經(jīng)檢驗，X = 10, y = 15, Z = 30是原方程組的解.設(shè)甲

7、隊做一天廠家需付么元，乙隊做一天廠家需付E元，丙隊做一天廠家需付左元,根據(jù)題意，得6(+) = 8700,10Q+O 二傾o,5(c+a) = 5500 =a = 800 9b = 650,7 = 300.由可知完成此工程不超過工期只有兩個隊：甲隊和乙隊.此工程由甲隊單獨完成需花錢1= 2000元；此工程由乙隊單獨完成需花錢1場=9750元.所以，由甲隊單獨完成此工程花錢最少.總結(jié)升華:舉一反三:在求解時，把匚，丁，7分別看成一個整體，就可把分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組來解.【變式1】某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成；若由乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成.現(xiàn)由甲、乙兩隊合做兩

8、天，剩下的工程由乙獨做，恰妹在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期是多少天?【答案】工程規(guī)定日期就是甲單獨完成工程所需天數(shù)，設(shè)為X天,那么乙單獨完成工程所需的天數(shù)就是(x + 3)天.丄設(shè)工程總量為1,甲的工作效率就是匚，乙的工作效率是7刁，依題意，得卩+丄+亠七 x+3丿 x+3,解得 x = 6即規(guī)定日期是6天.【變式2】今年某大學在招生錄取時，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯，264()名學生的成績數(shù)據(jù)分別由兩位教帥 向計算機輸入一遍，然后讓計算機比較兩人的輸入是否一致.已知教師甲的輸入速度是教師乙的2倍，結(jié) 果甲比乙少用2小時輸完.問這兩位教師每分鐘各能輸入多少名學生的成績？【答案】設(shè)教帥乙每分鐘能輸入X名學

9、生的成績，則教帥甲每分鐘能輸入2x名學生的成績，依題意，得：26402640 初 Q=60 x2x,解得 x=ll經(jīng)檢驗，x=ll是原方程的解，且當x=ll時，2x = 22,符合題意.即教師甲每分鐘能輸入22名學生的成績，教帥乙每分鐘能輸入11名學生的成績.2 營銷問題1. 商品利潤=商品售價一商品成本價;2.商品利潤率二商品利潤商品成本價X100%3. 商品銷售額=商品銷售價x商品銷售最;4. 商品的銷售利潤=(銷售價一成本價)X銷售量.例：某校辦工廠將總價值為2000元的甲種原料與總價值為4800元的乙種原料混合后，其平均價比原甲 種原料每()5雌少3元，比乙種原料每05電多1元，問混合

10、后的單價每().5燉是多少元?例：某書店老板去圖書批發(fā)市場購買某種圖書.第一次用120()元購書若干本，并按該書定價7元出售,很快售完.由于該書暢銷，第二次購書時，每本書的批發(fā)價已比第一次提髙了 20%,他用150()元所購 該書數(shù)量比第一次多1()本.當按定價售出200本時，出現(xiàn)滯銷，便以定價的4折售完剩余的書.試問該 老板這兩次售書總體上是賠錢了，還是賺錢了(不考慮其它因素)?若賠錢，賠多少？若賺錢，賺多少？ 總結(jié)升華：營銷類應(yīng)用性問題，涉及進貨價、售貨價、利潤率、單價、混合價、羸利、虧損等槪念，要 結(jié)合實際問題對它們表述的意義有所了解.同時，要拿握好基本公式，巧妙建立關(guān)系式.隨著市場經(jīng)濟

11、 體制的建立，這類問題具有較強的時代氣息，因而成為中誇?？嫉臒狳c問題.練習：A、B兩位采購員同去一家飼料公司購買同一種飼料兩次，兩次飼料的價格有變化，但兩位采購 員的購貨方式不同.其中，采購員A每次購買100()千克，采購員E每次用去8()0元，而不管購買飼料 多少，問選用誰的購貨方式合算？3.行程問題速度=壁1.路程=速度X時間，艮時間吋間=路程 融.2. 在航行問題中，其中數(shù)量關(guān)系是:順水速度=靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度一水流速度;3航空問題類似于航行問題. 例：甲、乙兩地相距828km, 一列普通快車與一列直達快車都由甲地開往乙地，直達快車的平均速度是 普通快車平均速度的1.

12、5倍.直達快車比普通快車晩出發(fā)2h,比普通快車早4h到達乙地，求兩車的平均 速度.分析：這是一道實際生活中的行程應(yīng)用題，基本量是路程、速度和時間，基本關(guān)系是路程二速度X時間， 應(yīng)根據(jù)題意，找岀追擊問題總的等量關(guān)系，即普通快車走完路程所用的時間與直達快車由甲地到乙地所 用時間相等.思路點撥：這是一道實際生活中的行程應(yīng)用題，基本量是路程、速度和時間，基本關(guān)系是路程=速度X 時間，應(yīng)根據(jù)題意，找岀追擊問題中的等量關(guān)系.解析：設(shè)普通快車的平均速度為兀km/h,則直達快車的平均速度為1 尹km/h,依題意，得: 暨828X=1弘，解得“ 46經(jīng)檢驗， = 46是方程的根，且符合題意.當兀二 46 日寸,

13、1.5z = 69即普通快車的平均速度為46km/h,直達快車的平均速度為69km/h.總結(jié)升華：列分式方程與列整式方程一樣，注意找岀應(yīng)用題中數(shù)量間的相等關(guān)系，設(shè)好未知數(shù)，列岀方 程.不同之處是：所列方程是分式方程，最后進行檢驗，既要檢驗其是否為所列方程的解，還要檢驗是 否符合題意，即滿足實際意義.舉一反三：【變式1】一隊學生去校外參觀.他們出發(fā)30分鐘時，學校要把一個緊急通知傳給帶隊老師，派一名學生騎車從學校岀發(fā)，按原路追趕隊伍.若騎車的速度是隊伍行進速度的2倍，這名學生追上隊伍時離 學校的距離是15千米，問這名學生從學校岀發(fā)到追上隊伍用了多少時間？【答案】設(shè)步行速度為x千米/時，騎車速度為

14、2x千米/時，依題意，得：15 1530二x60方程兩邊都乘以2x,去分母，得30-15=x, 所以，x=15.檢驗：當 x=15 時，2x = 2X15#0,所以x=15是原分式方程的根，并且符合題意.15 _ j_v302,騎車追上隊伍所用的時間為30分鐘.【變式2】農(nóng)機廠職工到距工廠15千米的生產(chǎn)隊檢修農(nóng)機，一部分人騎自行車先走，4()分鐘后，其余的 人乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達，已知汽車的速度是自行車的3倍，求兩車的速度.【答案】設(shè)自行車的速度為x千米/小時，那么汽車的速度為3x千米/小時，依題意，得：1515 40二x 60解得x=15 經(jīng)檢驗x=15是這個方程的解.當 x=15

15、時，3x=45.即自行車的速度是15千米/小時，汽車的速度為45千米/小時例：輪船在順水中航行3()千米的時間與在逆水中航行2()千米所用的時間相等，已知水流速度為2千米/時，求船在靜水中的速度30千米_20千米順水航行速度二逆水航行速度分析：此題的等量關(guān)系很明顯：順水航行30千米的時間二逆水中航行20千米的時間，即設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時，又知水流速度，于是順水航行速度、逆水航行速度可用未知數(shù)表示，問題可解決.4、貨物運輸應(yīng)用性問題例：一批貨物準備運往某地，有甲、乙、丙三輛卡車可雇用.已知甲、乙、丙三輛車每次運貨物量不變, 且甲、乙兩車單獨運這批貨物分別運加次、d次能運完；若甲、丙兩車

16、合運相同次數(shù)運完這批貨物時， 甲車共運7 1801-；若乙、丙兩車合運相同次數(shù)運完這批貨物時，乙車共運了 27()t.問：(1)乙車每次所運貨物量是甲車每次所運貨物量的幾倍；(2)現(xiàn)甲、乙、丙合運相同次數(shù)把這批貨物運完時，貨主應(yīng)付車主運費各多少元？(按每運h付運費2() 元計算)分析：解題思路應(yīng)先求出乙車與甲車每次運貨量的比，再設(shè)岀甲車每次運貨量是丙車每次運貨量的倍, 列岀分式方程.課內(nèi)練習與訓練1、改善生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，某村計劃在荒坡上種96()棵樹，由于青年志愿者的支援，每日比原計 劃多種1/3,結(jié)果提前4天完成任務(wù)，原計劃每天種多少棵數(shù)？2、某超市用5000元購進一批新品種的蘋果進

17、行試銷，由于銷售狀況良好，超市又調(diào)撥110()0元資金購 進該品種蘋果，但這次的進價比試銷時的進價每千克多J ().5元，購進蘋果數(shù)量是試銷時的2倍。(1)試銷時該品種蘋果的進價是每千克多少元？如果超市將該品種蘋果按每千克7元的定價出售，當大部分蘋果售出后，余下的40()千克按定價的七 折售完，那么超市在這兩次蘋果銷售中共盈利多少元？3、輪船順水航行8()千米所需要的時間和逆水航行6()千米所用的時間相同。已知水流的速度是3千米/ 時，求輪船在靜水中的速度。4、一個批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購買鉛筆30()枝以上，(不包括300枝)，可以按批發(fā)價付款, 購買300枝以下，(包括30()枝)

18、只能按零害價付款。小明來該店購買鉛筆，如果給八年級學生每人購買 1枝，那么只能按零售價付款，需用12()元，如果購買6()枝，那么可以按批發(fā)價付款，同樣需要12()元,(1)這個八年級的學生總數(shù)在什么范圍內(nèi)？(2)若按批發(fā)價購買6枝與按零售價購買5枝的款相同，那么這個學校八年級學生有多少人？25、某廣告公司將一塊廣告牌任務(wù)交給師徒兩人，已知師傅單獨完成時間是徒弟單獨完成時間的彳，現(xiàn) 由徒弟先做一天，帥徒再合作2天完成。（1）帥、徒兩人單獨完成任務(wù)各需幾天？（2）若完成后得到報酬540元，你若是部門經(jīng)理，按個人完成的工作量計算報酬，該如何分配？6、為了提高產(chǎn)品的附加值，某公司計劃將研發(fā)生產(chǎn)的1 20（）件新產(chǎn)品進行精加工后再投放市場.現(xiàn)在甲、 乙兩個工廠都具備加工能力，公司派出相關(guān)人員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息：信息一：甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品比乙