群的基本知識

1、第一章群的基本知識.s.二十一世紀(jì)以來，特別是愛因斯坦(Ein stein )發(fā)現(xiàn)相對論之后，對稱性的研究在物理學(xué)中越來越重要。對稱性幫助人們求得物理問題的解，也幫助人們尋求新的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。物理學(xué)家不僅研究了空間和時(shí)間的對稱性，而且找到了許多部對稱性，如強(qiáng)作用的SU(2)同位旋對稱，SU(3)色和味的對稱，弱電統(tǒng)一的SU(2)XU(1)的對稱，偶偶核的U(6)動(dòng)力學(xué)對稱等等。 從七十年代起，又開展了超對稱性的研究。群論是研究對稱性問題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，因此，它越來越受到物理學(xué)工作者的重視。1.1群定義1.1設(shè)G是一些元素的集合，G ,g, g .在 G中定義了乘法運(yùn)算。如果G對這種運(yùn)算滿足下面四個(gè)條件

2、：(1)封閉性。即對任意 f ,gG，若fg h，必有hG。(2)結(jié)合律。對任意f, g,hG，都有fg hf (gh)(3)有唯一的單位元素。有 eG，對任意fG，都有 ef fe f(4)有逆兀素。對任意 f G，有唯一的f 1G，使f 1f ff 1 e則稱G為一個(gè)群。e稱為群G的單位元素，f 1稱為f的逆元素。例1空間反演群。設(shè)E和I對三維實(shí)空間 R3中向量r的作用為E r r, I r r即E是保持r不變的恒等變換，I是使r反演的反演變換，定義群的乘法為從右到左連續(xù) 對r作用。集合 E,I構(gòu)成反演群，其乘法表見表 1.1.例2 n階置換群Sn，又稱n階對稱群。將n個(gè)元素的集合X 1,

3、2,n映為自身的置換為12nP,m-i m2mn其中mm?, mn是1,2, ,n的任意排列，P表示把1映為m1，2映為m2，n映為mn的映射。顯然置換只與每列的相對符號有關(guān)，與第一行符號的順序無關(guān)，如123442314213= 3214定義兩個(gè)置換P和P的乘積PP，為先實(shí)行置換 P，再實(shí)行置換 P，如1 2 312 31232 1 332 1= 3 12容易看出在這乘法定義下，全部n階置換構(gòu)成Sn群。Sn群共有n!個(gè)元素。例3平面三角形對稱群 D3，又稱為6階二面體群?？紤]重心在原點(diǎn)，底邊與 x軸平行的xy平面上的正三角形ABC，見圖1.1( a )。保持正三角形不變的空間轉(zhuǎn)動(dòng)操作有e:不轉(zhuǎn)

4、，d :繞z軸轉(zhuǎn)23， f :繞z軸轉(zhuǎn)43，a :繞軸1轉(zhuǎn) ，b :繞軸2轉(zhuǎn) ，c:繞軸3轉(zhuǎn)定義兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)操作的乘積，如 ab為先實(shí)行操作b，再實(shí)行操作a。由圖1.1 b可看出，實(shí) 行操作b和實(shí)行操作ab后 ABC位置的變化，且可看出，實(shí)行操作 ab和實(shí)行操作d 一樣, 因此ab d。在上述乘法定義下，保持正三角形不變的全體轉(zhuǎn)動(dòng)操作構(gòu)成D3群。D3 e,d, f ,a,b,c是6階群，它的乘法表見表1.2.例4定義群的乘法為數(shù)的加法，則全體整數(shù)構(gòu)成一個(gè)群,0是單位元素，n和 n互為逆元素。同理，全體實(shí)數(shù)在加法下也構(gòu)成一個(gè)群。但實(shí)數(shù)全體在乘法為數(shù)乘時(shí),并不構(gòu)成一個(gè)群,因?yàn)?沒有逆元素。除去 0以外

5、的實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)群。例5空間平移群T 3。設(shè)a是R3中的向量，r是R3中任意一向量，定義空間平移 Ta為Ta r r a定義兩個(gè)平移Ta和Tb的乘積TaTb，為先實(shí)行平移Tb，再實(shí)行平移Ta,TaTb r Ta(r b) r b a Ta b r故 TaTb Ta b TbTaT 3群的單位元素是平移零向量 T，即不平移，其中是零向量，Ta和Ta是互逆元素。例6三維轉(zhuǎn)動(dòng)群S0(3)。保持R3中點(diǎn)o不動(dòng)，設(shè)k是過0點(diǎn)的任一軸，繞k軸轉(zhuǎn) 角的 轉(zhuǎn)動(dòng)為Ck()。定義兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)Ck()和Ck ()的乘積Ck( )Ck ()，為先實(shí)行繞k軸 轉(zhuǎn) 角，再實(shí)行繞k軸轉(zhuǎn)角。則繞所有過O點(diǎn)軸的一切轉(zhuǎn)動(dòng)構(gòu)成 SO(3

6、)群。SO(3)群的 單位元素是轉(zhuǎn)角0，即不轉(zhuǎn)。繞同一軸 k，轉(zhuǎn)角 和2 的元素Ck( )，Ck()互為逆元素。由上述例子可以看出群的元素不但可以是數(shù)，而且可以是空間反演、空間轉(zhuǎn)動(dòng)、空間 平移等操作，也可以是置換等等。當(dāng)群G的元素個(gè)數(shù)有限時(shí)，G稱為有限群。當(dāng)G的元素個(gè)數(shù)為無限時(shí)，G稱為無限群?？臻g反演群、Sn群、D3群是有限群，例 4至例6是無限群。有限群G的元素的個(gè)數(shù)n稱為群的階，有時(shí)記為 n G。反演群是二階群，D3是6階群，Sn是n!階群。群的乘法，可以是數(shù)乘和數(shù)的加法，也可以是空間反演、轉(zhuǎn)動(dòng)等連續(xù)兩次操作和連續(xù) 兩次置換等等。有限群的乘法規(guī)則，可以列為乘法表。無限群的乘法雖然不能列出乘

7、法表， 但乘法規(guī)則總是確定的。群的乘法一般不具有可交換性。即對任意f, g G，一般說來fg與gf并不相等。如果對任意f, g G，有fg gf ,則稱G是可交換群或阿貝爾(Abel)群。從前面例子還可以看出，群G的任何元素可以用指標(biāo) a標(biāo)記。當(dāng)G是n階有限群時(shí)，指標(biāo)a取1,2, ,n，群元用ga(a 1,2, ,n)表示。當(dāng)G是可數(shù)的無限群時(shí)，如整數(shù)加法 群，a可以取所有整數(shù)值，a 0, 1, 2,。當(dāng)G是連續(xù)的無限群時(shí)，如實(shí)數(shù)加法群，有時(shí)a取全體實(shí)數(shù)，有時(shí)a取多個(gè)有序的連續(xù)變化的實(shí)數(shù)：如在平移群中，a是三個(gè)無界的有序?qū)崝?shù)(ax,ay, az)，a ax i ay j az k又如在轉(zhuǎn)動(dòng)群中

8、，a是3個(gè)有界的有序?qū)崝?shù)，其中，是轉(zhuǎn)軸k的方位角，可用在一定圍變化的一個(gè)數(shù)是轉(zhuǎn)動(dòng)角度，而且，0,02 ,0，綜上所述，群 G是任一個(gè)元素，總a標(biāo)記為ga，給出此圍中任一個(gè)數(shù) a，就對應(yīng)群G的一個(gè)元素。定理1.1 (重排定理)設(shè)G ga, u G ,當(dāng)a取遍所有可能值時(shí)，乘積 uga給出并且僅僅一次給出G的所有元素。證明 先證G中任意元素g可以寫成uga的形式。因?yàn)閡1 G，所以 u 1g g G，自然有 g ug 。再證uga當(dāng) 不同時(shí)，給出G中不同的元素。用反證法，設(shè)，而ugug ，兩邊左乘u1得g g ，這與 可以唯一標(biāo)記 G中元素矛盾。故時(shí)，ugug 。于是當(dāng) 改變時(shí)，uga給出并僅一次

9、給出 G的所有元素。定理證畢。系gau在 取遍所有可能值時(shí)，也給出并且僅僅一次給出群G的所有元素。重排定理是關(guān)于群的乘法的重要定理。它指出每一個(gè)群元素，在乘法表的每一行(或每一列)中被列入一次而且僅僅一次。 乘法表的每一行(或每一列)都是群元素的重新排列， 不可能有兩行(或兩列)兀素是相同的。1.2子群和陪集定義1.2設(shè)H是群G的一個(gè)子集，若對于與群G同樣的乘法運(yùn)算，H也構(gòu)成一個(gè)群， 則稱H為G的子群。常記為H G。容易證明，群 G的非空子集H是G的子群的充要條件為：(1)若 ha，h H，則 h h H ,若h H，則h 1 H。任意一個(gè)群G，其單位元素e和G本身都是G的子群，這兩種子群稱為

10、顯然子群和平 庸子群。群G的非顯然子群稱為固有子群。若不特別說明，一般說是指固有子群。例7在定義群的乘法為數(shù)的加法時(shí)，整數(shù)全體構(gòu)成的群是實(shí)數(shù)全體構(gòu)成的群的子群。例8在x軸方向的平移Tax i全體構(gòu)成平移群T(3)的一個(gè)子群。例9繞固定軸k的轉(zhuǎn)動(dòng)Ck( ) , 02 是SO(3)群的一個(gè)子群。定義1.3 n階循環(huán)群是由元素a的幕ak組成，k 1,2, ,n，并且an e,記為2nZn a, a , ,a e.循環(huán)群的乘法可以交換，故循環(huán)群是阿貝爾群。從n階有限群G的任一個(gè)元素a出發(fā)，總可以構(gòu)成G的一個(gè)循環(huán)子群zk,稱a的階為k , Zk是由a生成的k階循環(huán)群。因?yàn)楫?dāng)a e,e為G的一階循環(huán)子群，

11、這是顯 然子群。當(dāng)a e, a2 a,女口 a2 e ,貝U由a生成2階循環(huán)子群。如 a e, a2 e, ,ak 1 e,用重排定理，知a,a2, , ak 1 ,ak為G中不同元素。通過增加kk ,再利用重排定理，總可以在k n中達(dá)到a e。因此，從階有限群的任一元素 a出發(fā)， 總可以生成一個(gè) G的循環(huán)子群。定義1.4設(shè)H是群G的子群，H h 。由固定g G , g H，可生成子群H的左陪集 gH gh h H ,同樣也可生成H的右陪集Hg h gh H ,有時(shí)也將陪集稱為旁集。當(dāng)H是有限子群時(shí)，陪集元素的個(gè)數(shù)等于H的階。定理1.2 （陪集定理）設(shè)群H是群G的子群，則H的兩個(gè)左（或右）陪集

12、或者有完全相同的元素，或者沒有任何公共元素。證明 設(shè)u,v G，u, v H，考慮由u, v生成的H的兩個(gè)左陪集，uH uh h H ,vH vh |h H設(shè)左陪集uH和vH有一個(gè)公共元素，uh vh則 v 1u h h 1 H根據(jù)重排定理，v 1uh當(dāng) 取遍所有可能值時(shí)，v 1uh給出群H的所有元素一次，并且僅僅一次，故左陪集vv 1uh uh與左陪集vh重合。因此當(dāng)左陪集 uH和vH有一個(gè)公共元素時(shí)，uH和vH就完全重合。定理證畢。同樣的證法，也適用于右陪集。定理1.3 （拉格朗日定理）有限群的子群的階，等于該有限群階的因子。證明 設(shè)G是n階有限群，H是G的m階子群。取u1 G，u1 H，

13、作左陪集u1H。如 果包括子群H的左陪集串不能窮盡整個(gè)群 G，則取u2 G, u2 H , u2 u1 H ，作 左陪集u2H。根據(jù)陪集定理，u2H與H和u1H完全不重合。繼續(xù)這種做法，由于 G的階 有限，故總存在uj 1，使包括子群 H的左陪集串H uH sH , ，u 1H窮盡了整個(gè)G。即群G的任一元素被包含在此左陪集串中，而左陪集串中又沒有相重合的元素，故群G的元素被分成j個(gè)左陪集，每個(gè)陪集有 m個(gè)元素。于是群G的階n=（子群H的階m ） j定理證畢。系 階為素?cái)?shù)的群沒有非平庸子群。上面把群G的元素，分成其子群H的左陪集串的作法，不僅對證明拉格朗日定理有用，而且提供了一種把群 G分割為不

14、相交子集的方法。這是一種很有用的分割群的方法。同樣，也可以把群G分割成其子群的右陪集串。例 10 Da 有子群 比 e,a,H2 e,b, H3 e,c和 H4 e,d,f。D3 可按 比分成左陪集串，比 e,a, bH 1b, f, cH 1c,d。也可按H4分成右陪集串，H4e,d, f, H 4a a, b,c。1.3類與不變子群定義1.5設(shè)f,h是群G的兩個(gè)元素，若有元素g G，使gfg 1 h，則稱元素h與f共 軛。記為h f。共軌具有對稱性，當(dāng) h f，貝U f h。且ff。共軌還具有傳遞性，即當(dāng)f1 h,f2 h,，則有f1 f2。因f1g1hg11,f2g2hg21,故fl g

15、1g21f2g2g11 (g1g21) f2(g1g21) 1,定義1.6群G的所有相互共軌的元素集合組成G的一類。由于共軛關(guān)系具有對稱性和傳遞性，因此一個(gè)類被這類中任意一個(gè)元素所決定。只要給出類中任意一個(gè)元素f，就可求出f類的所有元素， 1f 類f f g fg ,g G。一個(gè)群的單位元素e自成一類，因?qū)θ我鈍 G，有g(shù) eg 1 e。阿貝爾群的每個(gè)元素自成一類，因?qū)θ我?f ,g G，有g(shù) fg 1 f。設(shè)元素f的階為m，即f m e，則f類所有元素的階都是 m，因(g fg 1)m g f mg 1 e，對任意g G成立。應(yīng)該指出，當(dāng)g取遍群G的所有元素時(shí)，g fg 1可能不止一次地給出

16、 f類中的元素。如f e, g fg 1永遠(yuǎn)給出單位元素 e。由共軌關(guān)系具有傳遞性可以知道， 兩個(gè)不同的類沒有公共元素。因此可以對群按共軌類 進(jìn)行分割。這種對群按共軌類進(jìn)行的分割， 每個(gè)類中元素個(gè)數(shù)不一定相同。 而按子群的陪集 對群進(jìn)行的分割，每個(gè)陪集元素的個(gè)數(shù)是相同的。 按類和按陪集分割群，是分割群的兩種重 要方式。定理 1.4有限群每類元素的個(gè)數(shù)等于群階的因子。證明 設(shè)G是n階有限群，g是G的任一個(gè)元素，看 g類元素的個(gè)數(shù)。作 G的子群H g,Hg h Ghgh 1g,H g由G中所有與g對易的元素h組成，即hg gh。對于 g1, g2 G,g1, g2 H g ,如果 g1gg1 1

17、g2gg21，則 g1,g2 必屬于 Hg 的同一左陪集g1H g 。因?yàn)榘炊x，g1 g1H g。由g1gg11 g2gg21可得(g11g2)g(g11g2)1 g，故 g1 1g2H g ,g2 g1H g。反之，如果gi,g2屬于H g的同一左陪集giH 9 ,必有g(shù)2 gih,h H 9。于是有1 . . 1 1 19299291hgh 9191991因此9類中元素的個(gè)數(shù)，等于群 G按H 9分割陪集的個(gè)數(shù)，也就是群 G的階的因子。G的階9類元素個(gè)數(shù)=帶而階定義1.7設(shè)H和K是群G的兩個(gè)子群，若有9 G，使K 9H9 1 k 9h9 1 h H，則稱H是K的共軛子群。由共軛關(guān)系的對稱性

18、和傳遞性，知共軛子群也有對稱性和傳遞性。即若H是K的共軛子群，則K也是H的共軛子群。若H1和H 2是K的共軛子群，則H1和H 2也互為共軛子 群。G的全部子群可分割為共軛子群類。定義1.8設(shè)H是G的子群，若對任意 9 G,h H，有g(shù)h g 1 H。即如果H包含 元素h，則它將包含所有與 h同類的元素，我們稱 H是G的不變子群。定理1.5設(shè)H是G的不變子群，對任一固定元素f G，在h取遍H的所有群元時(shí)，乘積fh f 1 一次并且僅僅一次給出 H的所有元素。證明 首先證明H的任意元素h具有fh f1的形式。因?yàn)镠是不變子群，故f 1h f H，令 f f h，則 h fh f 1。而且當(dāng)h h時(shí)

19、，fh f 1 fh f 1，否則必引起矛盾。因此當(dāng) h取遍所有可能的H元 素時(shí)，fh f 1 一次并且僅僅一次給出 H的所有元素。例11以加法作為群的乘法時(shí)，整數(shù)加法群是實(shí)數(shù)加法群的不變子群。實(shí)事上，阿貝爾群 的所有子群都是不變子群。不變子群的左陪集和右陪集是重合的。因?yàn)閷的不變子群H，由g G,g H，生成H的左陪集gH gh h H和右陪集Hg h g h H而由H是G的不變子群知g 1h g H。由下式可以看出左陪集的元素g(g 1h g)也是右 S.陪集的元素。1g(g h g) h g Hg故H的左右陪集重合。因此對不變子群，就不再區(qū)分左陪集和右陪集，只說不變子群的陪集就夠了。設(shè)

20、H是G的不變子群?？紤]沒有公共元素的 H的陪集串，, gi H ,，假定陪集串窮盡了群 G，兩個(gè)陪集giH和gjH中元素的乘積。必屬于另一陪集。因1gih gjhgigjgj h gjhgigjh hgigjhgkhgkH其中 hgjjh gj,h h h ,gk gig定義1.9設(shè)群G不變子群H生成的陪集串為HgjHgzH, ,giH ,，把其中每一個(gè)陪集看成一個(gè)新的元素， 并由兩個(gè)陪集中元素相乘的另一個(gè)陪集的元素，定義新的元素間的乘法規(guī)則，即陪集串 新元素HfogiH fig?HfzgiH fi乘法規(guī)則gih gjh g fi fjfk這樣得到的群 fo, fi, fz， , fi， ，稱

21、為不變子群 H的商群，記為 G H。不變子群H對 應(yīng)商群 G H的單位元素f0，每一個(gè)陪集gi H對應(yīng)商群 G H的一個(gè)元素fi。陪集gi H和 陪集gjH的乘積對應(yīng)fi和fj的乘積。事實(shí)上，群 fo, fi, fz, , fi, 和群 H,g1H,g2H , ,giH, 同構(gòu)，它們都可以作為商群 GH的定義。例12 D3群的元素可以分為三類，即 c類e，d類d,f，a類a,b,c。恒等轉(zhuǎn) 動(dòng)e自成一類，繞z軸轉(zhuǎn)2 . 3和4 3是一類，繞角等分線轉(zhuǎn) 角是一類。因此 D3的子群H1 e,a, H2 e,b, H3 e,c，是互為共軛的子群，H4 e,d, f是不變子群。H4的陪集串和商群 D3

22、. H 4的元素間有以下對應(yīng)H4e,d, f f,aH4a, b, c h故商群D3 .卜4是二階循環(huán)群 Z。1.4群的同構(gòu)與同態(tài)定義1.10若從群G到群F上，存在一個(gè)一一對應(yīng)的滿映射，而且 保持群的基本運(yùn)算規(guī)律（乘法）不變；即群G中兩個(gè)元素乘積的映射，等于兩元素映射的乘積，則稱群G和群F同構(gòu)，記為G F。映射 稱為同構(gòu)映射。同構(gòu)映射可由圖1.2表示：其中：G Fgifigj fjgigjfi fj同構(gòu)映射，把G的單位元素g0映為F的單位元素fo，因?qū)θ我鈌i G, : gifi。設(shè) :gofo,則有 :gogigigo gifofifi fofi故fofo , fo必為F的單位元素fo。同構(gòu)

23、映射，還把G的互逆元素gi, gi 1映為的互逆元素 f j, f j1。由于同構(gòu)映射是一一滿映射，故逆映射1恒存在， 1把F映為G，而且 1保持群的乘法規(guī)律不變，即1 : F Gfigifj gjfi fj gigj所以當(dāng)群G和群F同構(gòu)，必有群F與群G同構(gòu)，F(xiàn) G。兩個(gè)同構(gòu)的群，不僅群的元素間有一一對應(yīng)關(guān)系，而且他們所滿足的乘法規(guī)律間也有一一對應(yīng)關(guān)系。因此從數(shù)學(xué)角度看，兩個(gè)同構(gòu)的群具有完全相同的群結(jié)構(gòu)。作為抽象的群來說，兩個(gè)同構(gòu)的群本質(zhì)上沒有任何區(qū)別。例13空間反演群E,l和二階循環(huán)群Z2 a,a2 e同構(gòu)。例14三階對稱群S3和正三角形對稱群 D3同構(gòu)。例15群G的兩個(gè)互為共軛的子群H和K

24、是同構(gòu)的。因?yàn)榇嬖趃 G，使h H與k K有 對應(yīng)關(guān)系，h gk g 1,k g 1h g以上各個(gè)同構(gòu)的群，有完全相同的乘法表。因此作為抽象的數(shù)學(xué)群來說，它們是一樣的。 當(dāng)然，對同一抽象群，當(dāng)它用于不同的物理或幾何問題時(shí)，它將代表不同的物理或幾何意義。這和初等數(shù)學(xué)中2+3=5可以代表不同對象相加是同樣的。定義1.11設(shè)存在一個(gè)從群 G到群F上的滿映射，保持群的基本規(guī)律(乘法)不變；即G中兩個(gè)元素乘積的映射，等于兩個(gè)元素映射的乘積，則稱群G與群F同態(tài)，記為G F。映射稱為從G到F上的同態(tài)映射。圖1.3表示從G到F上的同態(tài)映射：其中：G Fgifigj fjgigj J也有定義從群 G到群F中的同

25、態(tài)映射 ，這時(shí) 保持群的乘法規(guī)律不變， 但并不是滿 映射。以后如不特別說明，我們說同態(tài)，是指從群G到群F上的同態(tài)。一般說，同態(tài)映射 并不是一一對應(yīng)的。 即對群F中的一個(gè)元素 人，G中可能不止一個(gè)元素gi, gi,，與之對應(yīng)。因此群 G與群F同態(tài)，并不一定有群 F與群G同態(tài)。同構(gòu)是一種特殊的同態(tài)， 即當(dāng)同態(tài)映射是一一映射時(shí)，同態(tài)就是同構(gòu)。因此若群G與群F同構(gòu)，貝U G必與F同態(tài)。反之，若群 G與群F同態(tài)，G與F不一定同構(gòu)。任何群G與只有單位元素的群 Z1e同態(tài)。這種同態(tài)是顯然的，一般不考慮這種同態(tài)。定義1.12設(shè)群G與群F同態(tài)，G中與F的單位元素f0對應(yīng)的元素集合H h ，稱 為同態(tài)核。定理1.

26、6 (同態(tài)核定理)設(shè)群 G與群F同態(tài)，則有(1) 同態(tài)核H是G的不變子群；(2) 商群G H與F同構(gòu)。同態(tài)核定理可以用圖 1.4表示。證明先證明同態(tài)核H是G的子群。對任意 h ,h H，有:hf,hf,h h f故h h H。因此同態(tài)核中二元素 h hf0，的乘積仍在 H中。而且由于同態(tài)映射把單位元素映為單位元素，故H含有G的單位元素g0，因設(shè):g0f。,則對任意gi G ,有:gifi,gogigig0gif fifo曰是,如果hH，必有h 1 H。否則，設(shè)h 1 H ,fo而又有 :h 1hg。這不可能，因此若h屬于H，必有h 1屬于H。這就證明了 H是G的子群。再證同態(tài)核H是G的不變子群

27、。對h H，與h同類的元素為gih gi 1， g是群G的任意元素。同態(tài)映射有以下作用。1 1:gifi,gifi ,gih gi1fi ffi 1 f故所有與h同類的元素gih gi1 H。H是G的不變子群。最后證明商群G H 與 F 同構(gòu)。包括H 的陪集串，H h , g1Hh ,gi Hgih ,是商群G H的兀素。因?yàn)閮諔B(tài)映射保持群的乘法規(guī)律不變，故只要證明陪集串的兀素與F的元素有一一對應(yīng)，就證明了 G H與F同構(gòu)。首先，H的一個(gè)陪集giHgih 對應(yīng)F的一個(gè)元素，設(shè) :gi,則:gihfi，對任意h H。其次H的不同陪集giH ,gjH，對應(yīng)F中的不同元素,因?yàn)間iH和gjH不同，由

28、陪集定理可知，它們沒有公共元素。設(shè):gifi ,gj假設(shè)fi:gihaf j，則 1 hgi gjh得到gi1gjh H，giH和gjH重合。這與假設(shè)矛盾，故 fifj因此H的陪集與F的元素有一一對應(yīng)關(guān)系，商群 G H與F同構(gòu)。定理證畢。從圖1.4可以看到，如群 G與群F同態(tài)，同態(tài)映射為 。G中對應(yīng)F單位元素f0的 元素集合h 是G的一個(gè)不變子群 H。H陪集串中的每一個(gè)陪集 gi H，唯一地對應(yīng)F中 的一個(gè)元素fi。F中的一個(gè)元素fi也唯一地對應(yīng) H的一個(gè)陪集giH。已知各個(gè)陪集中元 素?cái)?shù)目相同，故 G中與F的每一個(gè)元素對應(yīng)的元素?cái)?shù)目是相同的。同態(tài)核定理，說明同態(tài)映射保持群的乘法規(guī)律不變，它是

29、關(guān)于同態(tài)性質(zhì)的重要定理。在處理各種群的問題中，我們會經(jīng)常用到它。例16 D3群與二階循環(huán)群Z2同態(tài)。同態(tài)核是不變子群H e,d,f，陪集是 aH a,b,c。圖1.5表示這個(gè)同態(tài)映射。定義1.13群G到自身的同構(gòu)映射 v,稱為G的自同構(gòu)映射v:G G。即對任意g G。有v(g ) g G ,而且保持群的乘法規(guī)律不變， v(g g ) v(g )v(g )。故自同構(gòu)映射v總是把群G的單位元素go映為go，把互逆元素 g和g 1映為互逆元素g和g 1。定義1.14定義兩個(gè)自同構(gòu)V1和V2的乘積vv，為先實(shí)行自同構(gòu)映射 v2，再實(shí)行自同構(gòu) 映射v1。恒等映射v0對應(yīng)單位元素。每個(gè)自同構(gòu)映射 v有逆v

30、 1存在。于是群G的所有自 同構(gòu)映射v構(gòu)成一個(gè)群，稱為群 G的自同構(gòu)群，記為 A(G)或Aut(G)。A(G)的子群也稱 為G的一個(gè)自同構(gòu)群。女口果群G的自同構(gòu)映射，是由u G引起，即對任意g G，有(g ) ug u 1則稱是G的自同構(gòu)映射。與定義自同構(gòu)的乘法一樣，可以定義自同構(gòu)的乘法。于是群G的所有自同構(gòu) 構(gòu)成一個(gè)群，稱為群 G的自同構(gòu)群，記為I(G)或In (G)。自同構(gòu)群I(G)是自同構(gòu)群 A(G)的一 個(gè)子群，而且是 A(G)的不變子群。因?yàn)閷θ我釯(G)，與 同類的元素為v v 1，其中 v A(G)，設(shè) v Tg ) g ，則1 1 11v v (g ) v (g ) vug u

31、 v(u)v(g )v(u ) v(u)g v(u )1vg v I(G)其中v v(u) G，故I(G)是A(G)的不變子群。例17三階循環(huán)群Z3 e,a,a2的自同構(gòu)群A(Zs)有兩個(gè)元素，v :e,a,a2e,a,a2,v:e,a,a2e,a2,a,.s.故A(Z3) v,v與 Z 同構(gòu)。顯然 A(Z3)不是自同構(gòu)群。例18三階對稱群S3有以下的自同構(gòu)映射：0(g ) g , 1(g )(12)g (12),2(g )(1 3)g (13), 3(g )(2 3)g (2 3)4(g )(1 2 3)g(1 3 2), 5(g )(132)g (123)因此S3群的自同構(gòu)群為I (S3)

32、0,1,2,3 ,4,5自同構(gòu)群1 (s3)的子群0 , 1, 0, 2, 0,3,0,4,5，也都是S3的自同構(gòu)群。總之，同構(gòu)的群作為抽象的數(shù)學(xué)群來說，是相同的。群的同態(tài)映射，是保持群結(jié)構(gòu)的一種映射，是常用的重要概念。1.5變換群前面所討論的都只涉及到抽象群。而將群論用于物理對稱性的研究時(shí)，常常借助變換群來研究被變換對象和變換群之間的關(guān)系。因此變換群提供了把群論用到幾何和物理問題中的重要途徑。變換與變換群又稱為置換與置換群。對置換群的討論應(yīng)包括被變換對象和變換群兩部分。設(shè)被變換對象 X由元素x, y,乙 組成，它是一個(gè)非空的集合， X x,y,z, 。X上 的置換f是將X映入自身的一一滿映射

33、，f : X X ,即對任意x X，有f (x) y X， 而且f有逆f 1, f 1(y) x。定義1.15定義X上兩個(gè)置換f和g得乘積fg為先實(shí)行置換g，再實(shí)行置換f。即對任 意x X，有fg(x) f(g(x)，X的全體置換在次乘法下構(gòu)成一個(gè)群，稱為 X上的完全 對稱群，記為Sx f ,g,。恒等置換e是Sx的單位元素，置換f與其逆置f 1換為Sx的互逆元素。被置換對象 X的元素個(gè)數(shù)可以是無限的，如 X是三維實(shí)歐式空間 R3中所有的點(diǎn)，或是希耳伯特空間的所有態(tài)矢量等等。X的元素個(gè)數(shù)也可以是有限的，如平面正三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，或正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)等等。當(dāng)X有無限多個(gè)元素時(shí)，SX是無限群。當(dāng)X

34、有n個(gè) 元素時(shí)，X的完全對稱群 Sx就是n個(gè)元素的置換群 Sn。Sn共有n!個(gè)元素。X的完全對稱群Sx的任何一個(gè)子群，是 X的一個(gè)對稱群。又稱為 X上的變換群。Z2 a,a2 e，可以對同一個(gè)數(shù)學(xué)抽象群，可以對應(yīng)不同的變換群。如二階循環(huán)群應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)群的子群，Ck(O),Ck( ),也可以對應(yīng)空間反演群E,l。群Ck(O),Ck( )和群 E,l是Z2的兩個(gè)不同的實(shí)現(xiàn)。雖然這兩個(gè)群是同構(gòu)的，具有完全相同的乘法表，但他們作用于被變換對象 R3中的向量時(shí)，弓I起的后果并不相同。這說明兩個(gè)同構(gòu)的群，應(yīng)用到物 理問題上，若是不同的實(shí)現(xiàn)，必須注意它們的區(qū)別。定理1.7(凱萊定理)群G同構(gòu)于G的完全對稱群SG的

35、一個(gè)子群。特別地，當(dāng)G是n階有限群時(shí)，G同構(gòu)于Sn的一個(gè)子群。證明設(shè)G f,g,h,。將G本身看作被變換對象 X f,g,h,，則任意G的元素g ,把h H按群G的乘法映入X，即g(h) (gh) X。由重排定理知道，g是把X映入X的一一滿映射，故 G是將X G映入自身的一個(gè)變換群。因此G是G上完全對稱群SG的一個(gè)子群。下面將討論關(guān)于變換群的軌道等重要概念。設(shè)G f ,g,h,是X x,y, z, 的一個(gè)變換群，如果 X中兩個(gè)元素x和y，有g(shù) G，使gx y，則稱元素x是G等價(jià)于元素y ,或稱為x點(diǎn)與y點(diǎn)等價(jià)。記為x y。 因此等價(jià)是指被變換對象 X中兩個(gè)元素x和y，可以通過變換群 G的作用，

36、從x變到y(tǒng)。1顯然等價(jià)具有對稱性，若 x y，必有y x，因gx y，必有g(shù) y x。等價(jià)也具有傳遞性，若 x y , y 乙必有x z，因gx y , fy z，必有fgx z。由X中全部與x等價(jià)的點(diǎn)組成的軌道稱為含 x的G軌道，即為gxg G。即從點(diǎn)x出發(fā)，用G中元素g作用于x，當(dāng)g取遍G的所有元素時(shí)，gx給出X的一個(gè)子集，這個(gè) 子集就是含x的G軌道。含x的G軌道，就是x點(diǎn)經(jīng)群G作用后，可以變到的所有的點(diǎn)。有時(shí)也簡稱為軌道，不過要注意是過那一點(diǎn)的軌道。X的G不變子集丫，是指X的子集丫，在變換群G的作用下，不會變到 丫外面去， 即對任意g G, y Y，有g(shù)(y) Y。顯然，X中每一個(gè)G軌道

37、是G不變的；幾個(gè)軌道 的和集也是G不變的。當(dāng)集合 丫是G不變時(shí)，G也是丫的對稱群。設(shè)G是X的變換群，那么對于 X的任意子集丫，丫 X，總可以找到G的一個(gè)子群H，使任意子集丫是H不變的，即H g G g(Y) Y。丫不變的子群H總是存在的，因?yàn)?丫對由單位變換e構(gòu)成的顯然子群總是不變的。.s.例 19設(shè)X是xy二維平面，G 是繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的二維轉(zhuǎn)動(dòng)群。2 , X r xiy j，平面X上任意一點(diǎn)r可寫為rxcosysi nr經(jīng)Ck()作用變到r , rCk( )r ()xsiny cosr與r等價(jià),r r ,以原點(diǎn)0為圓心，過r點(diǎn)的圓周上的全部點(diǎn)，是含r的G軌道。般說來，過不同的點(diǎn)的G軌道是不相同

38、的。如含r0的G軌道，是以原點(diǎn)O為圓心,過5點(diǎn)的圓。對繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的平面轉(zhuǎn)動(dòng)群，G軌道如圖1.6所示，是一個(gè)個(gè)同心圓。從圖1.6可以看出，X中G不變的子集有，原點(diǎn) O和以原點(diǎn)為圓心的同心圓的任意和 集，即X中幾個(gè)G軌道的和集是 G不變的。因此， G既是原點(diǎn)O的對稱群，又是任意以 原點(diǎn)為圓心的同心圓及其和集的對稱群。例20平面正方形對稱群 D4。設(shè)X為xy平面，G是繞原點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)群。中心在O的正方 形ABCD是的X子集，ABCD X用求正三角形對稱群 D3的同樣辦法，我們可以求出 下面8個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)使不變：e:恒等轉(zhuǎn)動(dòng)，r :繞z軸轉(zhuǎn)2角，r2 :繞z軸轉(zhuǎn) 角，r3 :繞z軸轉(zhuǎn)32角，a :繞對角線1轉(zhuǎn)

39、角，b:繞對角線2轉(zhuǎn)角 u :繞x軸轉(zhuǎn)角，v:繞y軸轉(zhuǎn)角，見圖1.7。這8個(gè)保持正方形 ABCD不變的元素，構(gòu)成 G的一個(gè)子群，稱為 D4群。即D4e, r,r2, r3,a,b,u,v正方形ABCD是D4不變的。過A點(diǎn)的D4軌道包括A,B,C,D4個(gè)點(diǎn)，故正方形ABCD只 有一個(gè)D4軌道。對正方形 ABCD的不同子集Y可以找到D4的不同子群H，使Y是H不 變的。如Y A或 Y C H e,bY B或 Y D H e, a2Y 代6或Y B, D H e,a,b,r Y AB或 Y C,D H e, uY RD或 Y B,D H e,v等等。定義1.16設(shè)G是X上變換群，x是X 一點(diǎn)，G的子群

40、Gx保持x不變，G% h G hx xGx稱為G對x的迷向子群。在正四方形對稱群 D4中，A,C和B,D點(diǎn)的迷向子群分別為Ga Gc e,bGB Gd e, a定理1.8設(shè)Gx是G對x的迷向子群，則 Gx的每一個(gè)左陪集，把點(diǎn) x映為X中一個(gè)特定 的點(diǎn)y。也就是說，含x的G軌道上的點(diǎn)，和 Gx的左陪集間有對應(yīng)關(guān)系。證明 設(shè)y是含x的G軌道上的點(diǎn)，即有 g G，使gx y。則Gx左陪集gGx也將x映為 y。因?yàn)?Gx h G h x xgGx gh h Gx得gh x gx y。反之，若有f G， f把x映為y , fx y，則由fx y gx，得 x g 1 fx, g 1 f Gx, f gG

41、x。即只有左陪集gGx中的元素，才可能把 x映為y。因此，含x的G軌道上的點(diǎn)和 Gx的左 陪集間有一一對應(yīng)關(guān)系。定理證畢。系 設(shè)G是n階有限群，Gx左陪集的個(gè)數(shù)，就是含 x的G軌道中點(diǎn)的個(gè)數(shù)。設(shè) Gx的階為 n(Gx)，則含x的G軌道中共有n n(Gx)個(gè)點(diǎn)。例21設(shè)代B,C是平面正三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，D3是X A, B,C的對稱群。A點(diǎn)的迷向子群 GA e,a，即A在GA作用下不變。左陪集 bGA b, f把A映為C， cGA c, f把映A為B。含A的D3軌道上共有6 23個(gè)點(diǎn)。見圖1.1(a)。例22設(shè)代B,C,D是正四方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)，d4是X A,B,C,D的對稱群。A 點(diǎn)

42、的迷向子群G A e,b，即A在GA作用下不變。左陪集 aGA a,r2將A映為C，AA3uG u,r將A映為B，vG v,r 將A映為D。含A的D4軌道共有8 24個(gè)點(diǎn)。見圖1.7。以上對迷向子群的討論是很重要的。特別是定理1.8,使迷向子群的陪集和軌道上的點(diǎn)之間，建立了一一對應(yīng)關(guān)系，并把代數(shù)的陪集概念與幾何的軌道概念聯(lián)系起來了。1.6群的直積與半角積先討論兩個(gè)群 G1和G2的直積。設(shè)g 1 G1, g 2G2，則G1和G2直積群G的元素g為gg1 g2 g2 g1 。由于在群G1和G2間并沒有乘法規(guī)則，故定義直積群時(shí)，總可以取g1和g2可交換。對g , g G，定義直積群的乘法為g g (

43、g1g2)(g1g2)(g1 g1)(g2g2)(g2g2)(g1g1)g； g2 g2g；其中g(shù)1 g1 g1G1，g2 g2 g2G2。由g 并按上述乘法規(guī)則，得到 G1和G2得直積群G。記為G G1 G2或G G1 G2。設(shè)0(2分別是群G1,G2的單位元素，群 F1 g1 e?和群F2 e1g2 分別于群G1 和群G?同構(gòu)。G1F1，G?F?。按以上乘法規(guī)則可得直積群GF1F?。G的單位兀素為e e-)e2，兀素g 的逆兀素為 g g1 g2 。當(dāng)群G有子群G1和G2，若滿足(1) G的每個(gè)元素g 能夠唯一地表示成g g1 g2 ,其中 g1G1 , g2G2 ；(2) G的乘法規(guī)則滿足g1 g2g2 g1。即G1與G2的元素，按G的乘法規(guī)則可以交換。這時(shí)G1和G2元素乘法規(guī)則已包含在 G的乘法規(guī)則中。則稱群 G是其子群G1和G2的直積，G G1 G2。G1和G2稱為群G的 直積因子。當(dāng)然 G1和G2本身并不一定是