小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理十Word版

1、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理（十）課程教材研究所 王永春十四、極限思想1. 極限思想的概念。我們知道，在小學(xué)數(shù)學(xué)里有些問題不是通過初等數(shù)學(xué)的方法解決的，如圓的面積，無法直接按照求長方形面積的方法來計(jì)算。我國古代數(shù)學(xué)家劉徽為了計(jì)算圓的面積和圓周率，曾經(jīng)創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，具體作法是：先做圓的內(nèi)接正六邊形，再做內(nèi)接正十二邊形隨著邊數(shù)的不斷增加，正多邊形越來越接近于圓，那么它的面積和周長也越來越接近于圓的面積和周長。劉徽在描述這種作法時(shí)說“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體而無所失矣”。也就是說，隨著正多邊形的邊數(shù)無限增加，圓內(nèi)接正多邊形就轉(zhuǎn)化為圓，這種思想就是極限思想，即用無限逼近的方

2、式來研究數(shù)量的變化趨勢(shì)的思想。為了便于理解,我們先從數(shù)列說起，數(shù)列是按照正整數(shù)1,2,3,n,編號(hào)依次排列的一列數(shù)，可寫成如下形式a1，a2，a3，an，其中an稱為數(shù)列的通項(xiàng)。其實(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)an可以看成是自變量為正整數(shù)n的特殊的函數(shù)，可寫作anf(n)，其定義域?yàn)槿w正整數(shù)。如1, , , ,2，4，6，2n，1，-1，1，-1，1，-1，都是數(shù)列，當(dāng)n無限增大時(shí)，這些數(shù)列的通項(xiàng)都會(huì)隨之變化，有的趨向于無窮大，如第二個(gè)數(shù)列；有的無限接近于某一常數(shù)，如第一個(gè)數(shù)列無限接近于0，這時(shí)我們就說該數(shù)列以0為極限，或者說收斂到0。通俗地說，就是對(duì)于任意給定一個(gè)不管多么小的正數(shù)，總是存在一個(gè)正整數(shù)N，使

3、得nN的通項(xiàng)an(N+1及大于它的每一項(xiàng)an,即aN+1,aN+2,aN+3,)與常數(shù)a的差的絕對(duì)值總小于(在數(shù)軸上可以直觀地理解為兩個(gè)點(diǎn)an和a的距離總小于)，那么就說數(shù)列an的極限為a。在上面的數(shù)列中，由無窮多個(gè)項(xiàng)相加的式子a1a2a3an精選推薦叫做無窮級(jí)數(shù)，其中前n項(xiàng)的和可記作na1a2a3an，稱為級(jí)數(shù)的部分和，這些部分和又可以構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列1，2，3，n，當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，如果數(shù)列n的極限存在，可設(shè)極限為，這時(shí)極限就是無窮級(jí)數(shù)a1a2a3an的和，記作a1a2a3an2. 極限思想的重要意義。小學(xué)生的思維以形象思維為主，逐步向邏輯思維過渡；此外，在小學(xué)數(shù)學(xué)中還滲透著既對(duì)立又統(tǒng)一

4、的辯證思維，如加與減、乘與除是學(xué)生非常熟悉的辯證關(guān)系。在極限思想中，也滲透著有限與無限、曲與直、變與不變的辯證關(guān)系。我們知道，多邊形的面積直接用公式就可以計(jì)算出來，而如果其中有的邊改成曲邊，就無法直接用多邊形的面積公式計(jì)算，就要用定積分來求了，如曲邊梯形（直角梯形的斜邊是曲邊）的面積計(jì)算，就是先把曲邊梯形平均分成n 個(gè)小曲邊梯形，在每個(gè)小曲邊梯形里取一個(gè)最大的小矩形，這時(shí)n個(gè)小矩形的面積的和n近似等于n個(gè)小曲邊梯形的面積的和，當(dāng)n越來越大時(shí)，小矩形的面積就越來越接近于相應(yīng)的曲邊梯形的面積，當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，如果n的極限存在，記作，最后就等于所有的小曲邊梯形的面積的和了，那么就得到了曲邊梯形的

5、面積是。這是從有限的曲邊梯形的面積中找到無限個(gè)小矩形的面積，再從無限個(gè)小矩形的面積的無限變化中回歸到曲邊梯形的有限的面積的過程，體現(xiàn)了有限與無限、曲與直相互轉(zhuǎn)化的辯證思想。因此，極限思想對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生初步的辯證思維有所裨益。3極限思想的具體應(yīng)用。極限思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用和滲透，主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)。(1)在數(shù)的認(rèn)識(shí)中體會(huì)有限與無限的思想。小學(xué)生從一年級(jí)開始就認(rèn)識(shí)自然數(shù)0，1，2，3，同時(shí)知道每個(gè)自然數(shù)加1就等于它的后繼數(shù)。到了認(rèn)識(shí)億以內(nèi)的數(shù)時(shí)，進(jìn)一步知道了最小的自然數(shù)是0，沒有最大的自然數(shù)，自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。也就是說，任意給定一個(gè)足夠大的自然數(shù)N，只需要把它加1就會(huì)得到一個(gè)更大的自然數(shù)N+1

6、，N+1N，所以總是找不到一個(gè)最大的自然數(shù)，從而體會(huì)到自然數(shù)數(shù)列的無限多和趨向無窮大。由此可以推廣到奇數(shù)、偶數(shù)、一個(gè)數(shù)的倍數(shù)、兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)等都沒有最大的，都有無限多個(gè)。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時(shí)，學(xué)生知道分母不同、分?jǐn)?shù)值相等的分?jǐn)?shù)有無限多個(gè)。在學(xué)習(xí)小數(shù)時(shí)，首先認(rèn)識(shí)的是有限小數(shù)，然后認(rèn)識(shí)無限循環(huán)小數(shù)，還知道圓周率是無限不循環(huán)小數(shù)。精選推薦（2）在數(shù)的計(jì)算中體會(huì)極限思想。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)的計(jì)算一般都是經(jīng)過有限的幾步計(jì)算就可以解決的問題，另外，作為知識(shí)的拓展，可適當(dāng)介紹一些無限多個(gè)數(shù)相加的問題，如在數(shù)形結(jié)合思想中曾經(jīng)介紹了無窮多個(gè)分?jǐn)?shù)相加的問題，本文不再贅述。我國古代思想家莊子曾說過“一尺之棰，日取其

7、半，萬世不竭”這句話可用下面的數(shù)學(xué)語言來描述“長度為單位1的線段，第一天取走全長的一半，以后每天取走剩下的一半，永遠(yuǎn)有剩余”，用無窮等比遞縮數(shù)列的和來表示取走的長度，就是數(shù)形結(jié)合思想中的案例。另外，循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的問題，也可以利用極限思想和數(shù)形結(jié)合思想來計(jì)算。（3）在認(rèn)識(shí)圖形時(shí)滲透無限的思想。與自然數(shù)數(shù)列的趨向于無窮大類似，有些圖形也具有無限長的特性，如直線、射線、角的邊、平行線等，都具有無限延伸的特性，可以滲透無限的思想。（4）在圓的面積、圓柱的體積的計(jì)算中滲透極限思想。如上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，圓的面積不能象求長方形的面積那樣直接利用公式計(jì)算、圓柱的體積不能象長方體那樣直接利用公式計(jì)算，利用

8、極限思想可以解決這些問題。如圓的面積的計(jì)算，先把圓平均分成若干等份，拼成近似的長方形，但它還不是長方形，仍然無法直接按照求長方形面積的方法來求；因?yàn)榘岩粋€(gè)圓不論進(jìn)行怎樣細(xì)小的有限次的分割拼補(bǔ)，都無法真正拼成一個(gè)長方形；這時(shí)只有借助極限思想，把圓分割的越細(xì)小所拼成的圖形就越接近于長方形,可以這樣無限地分下去，拼成的圖形面積就越趨向于長方形的面積，最后通過取極限來得到它的面積。也就是說，極限思想是這樣操作的理論基礎(chǔ)和計(jì)算精確性的保證，也是極限思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中最完美的體現(xiàn)。4極限思想的教學(xué)。極限的概念是抽象的、辯證的，在教學(xué)中應(yīng)注意下面的問題。對(duì)有關(guān)極限的一些概念、教學(xué)要求和解題方法應(yīng)準(zhǔn)確把握。極限

9、思想是用無限逼近的方式來研究數(shù)量的變化趨勢(shì)的思想，這里要抓住兩個(gè)關(guān)鍵語句：一個(gè)是變化的量是無窮多個(gè)，另一個(gè)是無限變化的量趨向于一個(gè)確定的常數(shù)，二者缺一不可。如自然數(shù)列是無限的，但是它趨向于無窮大，不趨向于一個(gè)確定的常數(shù)，因而自然數(shù)列沒有極限。在教學(xué)中一方面要讓學(xué)生體會(huì)無限，更重要的是通過具體案例讓學(xué)生體會(huì)無限變化的量趨向于一個(gè)確定的常數(shù)。極限以及在此基礎(chǔ)上定義的導(dǎo)數(shù)、定積分是解決用函數(shù)表達(dá)的現(xiàn)實(shí)問題的有力工具精選推薦。有限與無限是辯證思維的一種體現(xiàn)，要辯證地看待二者的關(guān)系，不要用初等數(shù)學(xué)的“有限的”眼光看“無限的”問題，要用極限的思想看無限，極限方法是一種處理無限變化的量的變化趨勢(shì)的有力工具。

10、換句話說，當(dāng)我們面對(duì)無限的問題時(shí)，就不要再用有限的觀點(diǎn)來思考，要進(jìn)入無限的狀態(tài)，數(shù)學(xué)上就是這么一個(gè)規(guī)則和邏輯，我們按照這個(gè)規(guī)則和邏輯去做就可以了。另外，對(duì)循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)的理解和表示也體現(xiàn)了有限與無限的辯證關(guān)系。我們知道，在中學(xué)數(shù)學(xué)里一般用整數(shù)和分?jǐn)?shù)來定義有理數(shù)，用無限不循環(huán)小數(shù)來定義無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。有理數(shù)包括整數(shù)、有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)。整數(shù)和有限小數(shù)化成分?jǐn)?shù)是學(xué)生非常熟悉的，那么，循環(huán)小數(shù)怎樣化成分?jǐn)?shù)呢？我們以前曾經(jīng)介紹過用方程的方法可以解決這一問題。下面我們?cè)儆脴O限的方法來解決。案例：把循環(huán)小數(shù)0.999 化成分?jǐn)?shù)。分析：0.999是一個(gè)循環(huán)小數(shù)，也就是說，它的小數(shù)

11、部分的位數(shù)有無限多個(gè)。對(duì)于小學(xué)生來說，能夠接受的方法就是數(shù)形結(jié)合思想和極限思想的共同應(yīng)用和滲透，通過構(gòu)造一個(gè)直觀的幾何圖形來描述極限思想。先看下面的數(shù)列0.9, 0.09, 0.009, 用數(shù)形結(jié)合的思想，把這個(gè)數(shù)列用線段構(gòu)造如下：把一條長度是1的線段，先平均分成10份，取其中的9份；然后把剩下的1份再平均分成10份，取其中的9份所有取走的線段的長度是0.90.090.0090.999如此無限地取下去，剩下的線段長度趨向于0,取走的長度趨向于1，根據(jù)極限思想，可得0.999=1。對(duì)于教師而言,光有極限思想的滲透是不夠的，還需要進(jìn)一步理解如何用極限方法來解決。這是一個(gè)無窮等比遞縮數(shù)列的求和問題，

12、根據(jù)公式可得0.90.090.0090.9（1-0.1）=1所以0.999=1。也許有的老師會(huì)認(rèn)為：無限循環(huán)小數(shù)的位數(shù)是無限的，和永遠(yuǎn)達(dá)不到1，永遠(yuǎn)小于1。這是一種錯(cuò)誤的觀念，是因?yàn)橛糜邢薜挠^點(diǎn)來看待無限造成的；這樣的問題在數(shù)學(xué)上應(yīng)該用極限的方法來解決，這是一個(gè)無窮等比遞縮數(shù)列求和的問題，前n項(xiàng)的和(當(dāng)n趨向于無窮大時(shí))的極限為1，所以上面數(shù)列的和是1。這精選推薦時(shí)有的老師可能又會(huì)認(rèn)為：極限是1，數(shù)列的和是1，就是一定能取完。這種觀點(diǎn)也只說對(duì)了一半，也就是說用極限1來作為數(shù)列的和是對(duì)的，但是原因說的不十分準(zhǔn)確，如上所述，極限的概念里沒有說變化的量最后是否一定達(dá)到1，只需要當(dāng)n足夠大時(shí)，與1的距

13、離要多小就有多少就足夠了。通俗地說，在數(shù)軸上，你可以先任意取一個(gè)很小的正數(shù)，針對(duì)這個(gè)，只要找到一個(gè)正整數(shù)，1以后的每一項(xiàng)都會(huì)落在區(qū)間(1,1)里，也許這里的每一項(xiàng)與1還有一點(diǎn)點(diǎn)距離，但是已經(jīng)不重要了，已經(jīng)不影響極限的數(shù)學(xué)游戲規(guī)則了，也就是不影響數(shù)列的和的取值了。通過這個(gè)例子進(jìn)一步說明：極限方法只關(guān)注一個(gè)無限的變化過程的確定趨勢(shì)是什么，只要趨勢(shì)確定并且符合極限的定義，那么這個(gè)無限變化的過程的結(jié)果就用極限來表示，它就是一個(gè)解決問題的方法而已，只要符合極限的規(guī)則和邏輯，就可以用極限來表示無限變化的過程的結(jié)果，它并不關(guān)心這個(gè)無限變化的過程何時(shí)能到達(dá)極限，它在本質(zhì)上不同于有限個(gè)數(shù)的和。極限思想在小學(xué)數(shù)學(xué)

14、中有一定的應(yīng)用，但只是滲透而已，并不讓學(xué)生認(rèn)識(shí)相關(guān)概念。所以要注意對(duì)教學(xué)要求的準(zhǔn)確把握，不要增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。十五、假設(shè)法1假設(shè)法的概念。假設(shè)法是通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的一些數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)母淖?，然后根?jù)題目的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算和推理，再根據(jù)計(jì)算所得數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的差異進(jìn)行修正和還原，最后使原問題得到解決的思想方法。假設(shè)法是小學(xué)數(shù)學(xué)中比較常用的方法，實(shí)際上也是轉(zhuǎn)化方法的一種。2假設(shè)法的重要意義。假設(shè)法實(shí)際上是根據(jù)原來的數(shù)據(jù)、數(shù)量關(guān)系和邏輯關(guān)系，做一些數(shù)據(jù)的改變，把原問題轉(zhuǎn)化成新的問題，而且新的問題易于理解和解決，是一種迂回戰(zhàn)術(shù)，表面上看解題的步驟變多了，但實(shí)際上退一步海闊天空，更有利于計(jì)算和推理，有利于培養(yǎng)

15、學(xué)生靈活的思維方式、解決問題的能力和推理能力。3假設(shè)法的具體應(yīng)用。假設(shè)法在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用比較普遍，例如在有關(guān)分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題，比和比例的實(shí)際問題，雞兔同籠問題，邏輯推理問題，圖形的周長、面積和體積等問題中都有應(yīng)用。4假設(shè)法的教學(xué)。精選推薦假設(shè)法的教學(xué)，對(duì)學(xué)生的分析和綜合能力、邏輯思維能力等方面的要求較高，在教學(xué)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。第一，根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)進(jìn)行假設(shè)。在解決問題的過程中，如果遇到數(shù)量關(guān)系稍復(fù)雜的問題，要思考它與已掌握的什么知識(shí)有關(guān)系，用什么思想方法或者模型來解決，然后想方設(shè)法把它轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系明確而且易于理解的已有的知識(shí)。案例1：(1) 六年級(jí)參加植樹的男生和女生共有36

16、人，其中男生人數(shù)是女生人數(shù)的3倍。男生和女生各有多少人？(2) 六年級(jí)參加植樹的男生和女生共有36人，其中男生人數(shù)的是女生人數(shù)的2倍。男生和女生各有多少人？分析：第(1)題，是學(xué)生非常熟悉的問題，男生人數(shù)與女生人數(shù)的數(shù)量關(guān)系非常清楚且易于理解，既可以用方程解決，也可以用一般的算術(shù)方法計(jì)算。第（2）題，數(shù)量關(guān)系與第（1）題有類似的地方，但又稍復(fù)雜，可看作是第（1）題的變型題。兩個(gè)數(shù)量無法直接用一個(gè)未知數(shù)表示，因而無法直接用一元一次方程解決；如果用算術(shù)方法，可這樣想：根據(jù)題中的條件可知，在不改變男生和女生的比例關(guān)系前提下，可假設(shè)男生有3人，那么3的三分之二是2，2除以2等于1，因而女生有1人，所以

17、男生人數(shù)是女生的3倍。這樣就把第（2）題轉(zhuǎn)化成了第(1)題，再用算術(shù)方法列式計(jì)算便可。案例2：小明和媽媽恰好花100元買了10本書，單價(jià)有8元一本的和13元一本的兩種。其中8元一本的和13元一本的各買了幾本？分析：假設(shè)10本書都是買的8元一本的，那么才花了80元，比實(shí)際少花20元。兩種書的單價(jià)相差5元，20里有幾個(gè)5，就得出13元的有幾本。20(13-8)4，所以8元的買了6本，13元的買了4本。第二，在數(shù)量之間具有一定的比例關(guān)系前提下，可假設(shè)其中的一個(gè)數(shù)量為單位“1”，可大大簡(jiǎn)化計(jì)算的繁瑣程度。案例3：足球比賽門票是20元一張，平均每場(chǎng)有5000名觀眾，降價(jià)后每場(chǎng)觀眾增加了50%，收入增加了

18、20%，降價(jià)后門票的價(jià)格是多少？分析：首先要明確一個(gè)基本的數(shù)量關(guān)系式：觀眾人數(shù)門票價(jià)格收入。先按照一般的解題思路分析，根據(jù)題意，要求的是降價(jià)后門票的價(jià)格，需要知道降價(jià)后的收入和觀眾人數(shù)。降價(jià)后的收入是：500020(1+20%)120000（元）。降價(jià)后的觀眾人數(shù)是：5000精選推薦(1+50%)7500(人)。所以降價(jià)后的門票價(jià)格是：120000750016(元)。實(shí)際上此題還可以用假設(shè)法，根據(jù)題意，降價(jià)后的人數(shù)和收入都是在原來的基礎(chǔ)上分別按照一定比例變化，實(shí)際上觀眾人數(shù)是5000還是500并不影響計(jì)算的結(jié)果，因此只需要設(shè)觀眾人數(shù)為單位1就行。假設(shè)降價(jià)前的觀眾人數(shù)是1,則降價(jià)后的觀眾人數(shù)是1(1+50%)=1.5, 降價(jià)前的收入是201,則降價(jià)后的收入是201(1+20%)24,所以降價(jià)后的門票價(jià)格是：241.516(元)。案例4：如下圖所示，水池和菜地組成了一個(gè)正方形，水池和林地組成