0901矩陣位移法概述

1、9.1 概述概述 第九章 矩陣位移法 1. 概述概述 結(jié)構(gòu)矩陣分析結(jié)構(gòu)矩陣分析是采用矩陣方法分析結(jié)構(gòu)力學(xué)問題的是采用矩陣方法分析結(jié)構(gòu)力學(xué)問題的 一種方法。與傳統(tǒng)的力法、位移法相對應(yīng)，結(jié)構(gòu)矩陣分一種方法。與傳統(tǒng)的力法、位移法相對應(yīng)，結(jié)構(gòu)矩陣分 析中也有矩陣力法和矩陣位移法，或柔度法與剛度法。析中也有矩陣力法和矩陣位移法，或柔度法與剛度法。 矩陣位移法易于實現(xiàn)計算過程程序化而被廣泛應(yīng)用。矩陣位移法易于實現(xiàn)計算過程程序化而被廣泛應(yīng)用。 矩陣位移法矩陣位移法是以結(jié)點位移為基本未知量，借助矩陣是以結(jié)點位移為基本未知量，借助矩陣 進行分析，并用計算機解決各種桿系結(jié)構(gòu)受力、變形等進行分析，并用計算機解決各種

2、桿系結(jié)構(gòu)受力、變形等 計算的方法。計算的方法。 手算怕繁、電算怕亂。手算怕繁、電算怕亂。 但由于有時考慮桿件的軸向變形，且把桿件鉸結(jié)端但由于有時考慮桿件的軸向變形，且把桿件鉸結(jié)端 的轉(zhuǎn)角也作為基本未知量，因此，基本未知量數(shù)目比傳的轉(zhuǎn)角也作為基本未知量，因此，基本未知量數(shù)目比傳 統(tǒng)位移法的基本未知量多一些。統(tǒng)位移法的基本未知量多一些。 理論基礎(chǔ)：位移法理論基礎(chǔ)：位移法 分析工具：矩陣分析工具：矩陣 計算手段：計算機計算手段：計算機 1. 概述概述 2. 矩陣位移法的基本思路矩陣位移法的基本思路 集合集合 離散離散 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu) （有限）單元分析（有限）單元分析 整體分析整體分析 形成單元剛度矩陣；形

3、成單元剛度矩陣； 建立單元剛度方程。建立單元剛度方程。 形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣；形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣； 建立結(jié)構(gòu)剛度方程。建立結(jié)構(gòu)剛度方程。 單元桿端力、支座反力單元桿端力、支座反力 結(jié)點位移分量結(jié)點位移分量 矩陣形式的單元矩陣形式的單元 轉(zhuǎn)角位移方程轉(zhuǎn)角位移方程 （滿足（滿足物理關(guān)系）物理關(guān)系） 矩陣形式的位移法矩陣形式的位移法 基本方程基本方程 （滿足平衡條件、滿足平衡條件、 變形協(xié)調(diào)條件）變形協(xié)調(diào)條件） 3. 要解決的問題要解決的問題 整體分析整體分析：研究結(jié)構(gòu)整體的平衡條件、平衡方程的：研究結(jié)構(gòu)整體的平衡條件、平衡方程的 組成規(guī)律和求解方法。組成規(guī)律和求解方法。 編制程序編制程序：根據(jù)矩陣位移法

4、的分析原理，繪制程序：根據(jù)矩陣位移法的分析原理，繪制程序 運行框圖并選擇一種計算機語言給予實現(xiàn)，又稱為運行框圖并選擇一種計算機語言給予實現(xiàn)，又稱為 程序設(shè)計。程序設(shè)計。 離散化離散化：確定坐標、單元編碼、結(jié)點編碼（總體碼：確定坐標、單元編碼、結(jié)點編碼（總體碼 和局部碼）、位移分量編碼（總體碼和局部碼）和局部碼）、位移分量編碼（總體碼和局部碼） 單元分析單元分析：研究單元的力學(xué)特性，建立單元桿端力：研究單元的力學(xué)特性，建立單元桿端力 和桿端位移的關(guān)系。和桿端位移的關(guān)系。 9.2 單元分析單元分析 第九章 矩陣位移法 1. 結(jié)構(gòu)的離散化結(jié)構(gòu)的離散化 將一個在荷載作用下的連續(xù)結(jié)構(gòu)劃分成若干個各自將一

5、個在荷載作用下的連續(xù)結(jié)構(gòu)劃分成若干個各自 獨立的單元，單元之間由結(jié)點連接，用此計算模型模擬獨立的單元，單元之間由結(jié)點連接，用此計算模型模擬 原結(jié)構(gòu)的受力和變形特性。原結(jié)構(gòu)的受力和變形特性。 模型和原結(jié)構(gòu)是有差別的，這個差別可以通過單元模型和原結(jié)構(gòu)是有差別的，這個差別可以通過單元 的適當選取予以降低。的適當選取予以降低。 主要工作：單元的劃分；體系的數(shù)字化。主要工作：單元的劃分；體系的數(shù)字化。 單元應(yīng)為單元應(yīng)為等截面直桿等截面直桿，一根桿件可以劃分為一個或，一根桿件可以劃分為一個或 幾個單元，但是一根桁架桿只能作為一個單元。幾個單元，但是一根桁架桿只能作為一個單元。 FP （1）結(jié)點編碼、單元編

6、碼）結(jié)點編碼、單元編碼 A B CD E F G H J K x y O 結(jié)構(gòu)中一般的構(gòu)造結(jié)點如桿結(jié)構(gòu)中一般的構(gòu)造結(jié)點如桿 件的轉(zhuǎn)折點、匯交點、支承點、件的轉(zhuǎn)折點、匯交點、支承點、 變截面處應(yīng)作為結(jié)點，而非構(gòu)造變截面處應(yīng)作為結(jié)點，而非構(gòu)造 結(jié)點，如集中荷載作用點可以作結(jié)點，如集中荷載作用點可以作 為結(jié)點處理。為結(jié)點處理。 整體坐標系整體坐標系（結(jié)構(gòu)坐標系）：為研究結(jié)構(gòu)整體平衡條件和變形協(xié)（結(jié)構(gòu)坐標系）：為研究結(jié)構(gòu)整體平衡條件和變形協(xié) 調(diào)條件而建立的統(tǒng)一的公共坐標系。整體坐標系一般采用右手系，調(diào)條件而建立的統(tǒng)一的公共坐標系。整體坐標系一般采用右手系， 以水平方向為以水平方向為 x 軸。軸。 結(jié)點

7、編碼的目的結(jié)點編碼的目的： 一是確定結(jié)構(gòu)的空間位置和結(jié)構(gòu)形狀；二是確定所計算結(jié)構(gòu)一是確定結(jié)構(gòu)的空間位置和結(jié)構(gòu)形狀；二是確定所計算結(jié)構(gòu) 總的未知數(shù)數(shù)目?？偟奈粗獢?shù)數(shù)目。 結(jié)點編碼結(jié)點編碼 對于連接多個單元的剛結(jié)點以及僅連接桁架單元的鉸結(jié)點，對于連接多個單元的剛結(jié)點以及僅連接桁架單元的鉸結(jié)點， 一個結(jié)點可以采用一個結(jié)點號；否則，應(yīng)在此處將彼此剛結(jié)的點一個結(jié)點可以采用一個結(jié)點號；否則，應(yīng)在此處將彼此剛結(jié)的點 編一個結(jié)點號，而非剛結(jié)的單元桿端須編另外的結(jié)點號。編一個結(jié)點號，而非剛結(jié)的單元桿端須編另外的結(jié)點號。 原則：相關(guān)結(jié)點原則：相關(guān)結(jié)點（結(jié)點之間有（結(jié)點之間有 桿件相連）的編碼要盡可能的桿件相連）的

8、編碼要盡可能的 接近。以減少總剛度矩陣的帶接近。以減少總剛度矩陣的帶 寬，節(jié)約計算機存儲空間。寬，節(jié)約計算機存儲空間。 匯交于結(jié)點的所有單元，稱為匯交于結(jié)點的所有單元，稱為 結(jié)點的結(jié)點的相關(guān)單元相關(guān)單元。 x y O 6 單元編碼的目的單元編碼的目的：確定每一個單元（桿件）在整個結(jié)構(gòu)中的相應(yīng)：確定每一個單元（桿件）在整個結(jié)構(gòu)中的相應(yīng) 位置。位置。 單元編碼單元編碼 單元編碼方式對單元編碼方式對 計算結(jié)果沒有影響。計算結(jié)果沒有影響。 對于大型結(jié)構(gòu)一般按對于大型結(jié)構(gòu)一般按 照單元的類型進行編照單元的類型進行編 碼，同一類型的單元碼，同一類型的單元 連在一起編碼。連在一起編碼。 1 2 3 10 1

9、1 12 4 5 6 7 8 9 1 5 9 4 8 12 2 6 10 3 7 11 結(jié)點結(jié)點 編碼編碼 練習(xí)：練習(xí)： 1 2 3 1011 12 4 5 6 7 8 9 13 （2）結(jié)點位移編碼）結(jié)點位移編碼 結(jié)點位移的統(tǒng)一編碼結(jié)點位移的統(tǒng)一編碼 整體碼整體碼 用矩陣位移法進行結(jié)構(gòu)分析時，基本未知量是結(jié)點用矩陣位移法進行結(jié)構(gòu)分析時，基本未知量是結(jié)點 位移，這就需要將結(jié)構(gòu)中全部結(jié)點位移分量進行統(tǒng)一編位移，這就需要將結(jié)構(gòu)中全部結(jié)點位移分量進行統(tǒng)一編 碼。碼。 矩陣位移法基本未知量的確定：矩陣位移法基本未知量的確定： 矩陣位移法基本未知量的確定不是唯一的，它與矩陣位移法基本未知量的確定不是唯一的

10、，它與 單元如何劃分，是否考慮軸向變形以及如何編寫程序單元如何劃分，是否考慮軸向變形以及如何編寫程序 有關(guān)。有關(guān)。 按照結(jié)點編碼順序進行；按照結(jié)點編碼順序進行； 同一結(jié)點按照同一結(jié)點按照 x y 順序進行；順序進行； 平面梁每個結(jié)點只有兩個獨立的位移分量；平面梁每個結(jié)點只有兩個獨立的位移分量； 平面桁架每個結(jié)點只有平面桁架每個結(jié)點只有2個獨立的位移分量；個獨立的位移分量； 平面剛架每個結(jié)點只有平面剛架每個結(jié)點只有3個獨立的位移分量；個獨立的位移分量； 相同的結(jié)點位移應(yīng)編成同一個號碼。相同的結(jié)點位移應(yīng)編成同一個號碼。 （2）結(jié)點位移編碼）結(jié)點位移編碼 編碼時要考慮以下因素：編碼時要考慮以下因素：

11、 位移邊界條件的處理位移邊界條件的處理 同一結(jié)構(gòu)采用同一結(jié)構(gòu)采用后處理法后處理法或或先處理法先處理法計算，基本未計算，基本未 知量的數(shù)目是不同的，因此結(jié)點位移分量的編碼方法知量的數(shù)目是不同的，因此結(jié)點位移分量的編碼方法 也不相同。也不相同。 后處理法后處理法對所有的結(jié)點位移分量按照結(jié)點編碼進行對所有的結(jié)點位移分量按照結(jié)點編碼進行 自然數(shù)順序編碼，包括已知位移和未知位移分量。自然數(shù)順序編碼，包括已知位移和未知位移分量。 先處理法先處理法僅對未知的結(jié)點位移分量進行自然數(shù)順序僅對未知的結(jié)點位移分量進行自然數(shù)順序 編碼，而對那些已知的結(jié)點位移分量，編碼均取為編碼，而對那些已知的結(jié)點位移分量，編碼均取為

12、0。 （2）結(jié)點位移編碼）結(jié)點位移編碼 1 2 34 4 123 5 1 2 34 4 123 5 結(jié)構(gòu)變形情況結(jié)構(gòu)變形情況 同一結(jié)構(gòu)在同時考慮桿件彎曲變形、軸向變形和只同一結(jié)構(gòu)在同時考慮桿件彎曲變形、軸向變形和只 考慮彎曲變形而不計直桿軸向變形兩種情況下，結(jié)點編考慮彎曲變形而不計直桿軸向變形兩種情況下，結(jié)點編 碼完全相同，但是結(jié)點位移分量的編碼卻不相同。不計碼完全相同，但是結(jié)點位移分量的編碼卻不相同。不計 直桿軸向變形時，未知的結(jié)點位移分量數(shù)目要少一些。直桿軸向變形時，未知的結(jié)點位移分量數(shù)目要少一些。 4 123 5 4 123 5 練習(xí)：先處理法、考慮軸向變形，完成結(jié)點位移分量練習(xí)：先處理

13、法、考慮軸向變形，完成結(jié)點位移分量 編碼。編碼。 1 2 3 1011 12 4 5 6 7 8 9 13 參考答案：參考答案： 1(1,0,0) 2(2,3,4) 3(5,6,7) 10(17,18,19) 11(17,18,20) 12(17,18,21) 4(0,0,8) 5(9,10,11)6(9,10,12) 7(13,14,15) 8(13,14,16) 9(0,0,0) 13(22,23,24) 桿端位移分量的編碼桿端位移分量的編碼 局部碼局部碼 i j ；x y 軸力單元：軸力單元：14；一般單元：；一般單元：16。 3(5,6,7)8(13,14,16) i j e 1(1,

14、2,3)2(4,5,6) i j （2）結(jié)點位移編碼）結(jié)點位移編碼 2. 單元分析單元分析 建立單元的桿端力和桿端位移之間關(guān)系的過程稱建立單元的桿端力和桿端位移之間關(guān)系的過程稱 單元分析，形成的方程稱單元剛度方程。單元分析，形成的方程稱單元剛度方程。 不同類型的單元通常具有不同的單元剛度方程形不同類型的單元通常具有不同的單元剛度方程形 式，但總的思想不變。式，但總的思想不變。 按照單元的受力情況，可將單元分為按照單元的受力情況，可將單元分為剛架單元剛架單元和和 桁架單元桁架單元。其中，剛架單元以彎曲變形為主，產(chǎn)生軸。其中，剛架單元以彎曲變形為主，產(chǎn)生軸 力、剪力和彎矩；桁架單元只發(fā)生軸向變形，

15、故只存力、剪力和彎矩；桁架單元只發(fā)生軸向變形，故只存 在軸力。在軸力。 x y e x y j i 局部坐標系局部坐標系（單元坐標系）：進行某一單元的單元分析時所（單元坐標系）：進行某一單元的單元分析時所 建立的坐標系。建立的坐標系。 局部坐標系相對于整體坐標系的方位角用局部坐標系相對于整體坐標系的方位角用表示。表示。的方向以的方向以 x 軸向軸向 x 軸逆時針轉(zhuǎn)動為正。即便在一個結(jié)構(gòu)中，各單元的局部軸逆時針轉(zhuǎn)動為正。即便在一個結(jié)構(gòu)中，各單元的局部 坐標系也不完全相同。坐標系也不完全相同。 2. 單元分析單元分析 （1）單元桿端力和桿端位移的表示方法）單元桿端力和桿端位移的表示方法 ij e

16、5 3 6 1 2 4 x y O ， e j j j i i i e e j i e v u v u 6 5 4 3 2 1 符號規(guī)定：桿端力、桿端位移與局部坐標系正方向一致時為正。符號規(guī)定：桿端力、桿端位移與局部坐標系正方向一致時為正。 （1）單元桿端力和桿端位移的表示方法）單元桿端力和桿端位移的表示方法 ij e x y O 6 F 5 F 4 F 1 F 2 F 3 F e j Qj Nj i Qi Ni e e j i e M F F M F F F F F F F F 6 5 4 3 2 1 F F F ， e j j j i i i e e j i e v u v u 6 5 4

17、 3 2 1 e j Qj Nj i Qi Ni e e j i e M F F M F F F F F F F F 6 5 4 3 2 1 F F F 建立單元的建立單元的桿端力和桿端桿端力和桿端 位移之間關(guān)系位移之間關(guān)系的過程稱單元分的過程稱單元分 析，形成的方程稱析，形成的方程稱單元剛度方單元剛度方 程程。 e e F 1 1 e l EA k 11 l EA k 41 1 4 e l EA k 14 l EA k 44 ij e 5 3 6 1 2 4 x y 6 F 5 F 4 F 1 F 2 F 3 F 0 3121 kk 0 6151 kk 0 3424 kk06454 kk e

18、 1 2 0 12k042k 3 22 12 l EI k 2 32 6 l EI k 3 52 12 l EI k 2 62 6 l EI k e 1 5 0 15k045k 3 25 12 l EI k 2 35 6 l EI k 3 55 12 l EI k 2 65 6 l EI k ij e 5 3 6 1 2 4 x y 6 F 5 F 4 F 1 F 2 F 3 F e 1 3 0 13k043k 2 23 6 l EI k l EI k 4 33 2 53 6 l EI k l EI k 2 63 e 1 6 0 16k046k 2 26 6 l EI k l EI k 2 3

19、6 2 56 6 l EI k l EI k 4 66 ij e 5 3 6 1 2 4 x y 6 F 5 F 4 F 1 F 2 F 3 F e j j j i i i e e j Qj Nj i Qi Ni v u v u l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA M F F M F F 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 e l

20、 EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA e F F F F F F 6 5 4 3 2 1 4626 612612 2646 612612 6 5 4 3 2 1 22 2323 22 2323 00 00 0000 00 00 0000 eee kF 局部坐標系下的單元剛度方程局部坐標系下的單元剛度方程 局部坐標系下的單元剛度矩陣局部坐標系下的單元剛度矩陣 e e l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l

21、 EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA k 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 （3）單元剛度矩陣的性質(zhì)與特點）單元剛度矩陣的性質(zhì)與特點 e e l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA k 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26

22、 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 第第 j 列元素的物理意列元素的物理意 義義：第：第 j 號桿端位移沿號桿端位移沿 其正向發(fā)生單位位移，其正向發(fā)生單位位移， 而其它桿端位移均為而其它桿端位移均為 0 時，該單元全部桿端力時，該單元全部桿端力 的大小。的大小。 (1)(2)(3)(4)(5)(6) 1 1 u1 1 v1 1 1 2 u1 2 v1 2 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 元素元素 kij 的的物理意義物理意義： 單位桿端位移引起的桿單位桿端位移引起的桿 端力。端力。 e e l EI l EI l EI l EI l

23、 EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA k 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 局部坐標系下的單元剛度局部坐標系下的單元剛度 矩陣只與矩陣只與單元本身的屬性單元本身的屬性， 如單元長度、材料彈性模量、如單元長度、材料彈性模量、 橫截面面積、橫截面慣性矩橫截面面積、橫截面慣性矩 等有關(guān)等有關(guān) 。 單元剛度矩陣是單元剛度矩陣是對稱方對稱方 陣陣，這一點可由反力互等定，這一點可由反

24、力互等定 理得到證明。理得到證明。 （3）單元剛度矩陣的性質(zhì)與特點）單元剛度矩陣的性質(zhì)與特點 e jjji ijii e kk kk k e e l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA k 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 一般單元的單元剛度矩陣一般單元的單元剛度矩陣 是是奇異矩陣奇異矩陣，不存在逆矩陣。，不存在逆矩陣。 因此，已知

25、桿端位移可以確定因此，已知桿端位移可以確定 桿端力，而已知桿端力則不能桿端力，而已知桿端力則不能 確定桿端位移；梁單元的單元確定桿端位移；梁單元的單元 剛度矩陣是非奇異的。剛度矩陣是非奇異的。 單元剛度矩陣可以用子塊單元剛度矩陣可以用子塊 形式表示：形式表示： （3）單元剛度矩陣的性質(zhì)與特點）單元剛度矩陣的性質(zhì)與特點 （4）特殊單元）特殊單元 不計軸向變形的剛架單元：不計軸向變形的剛架單元： e e l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI k 4626 612612 2646

26、 612612 22 2323 22 2323 梁式單元：梁式單元： e e l EI l EI l EI l EI k 42 24 桁架單元：桁架單元： e e l EA l EA l EA l EA k e e l EA l EA l EA l EA k 0000 00 0000 00 （4）特殊單元）特殊單元 3. 坐標轉(zhuǎn)換坐標轉(zhuǎn)換 （1）問題的提出）問題的提出 x y O x y O ？ （2）坐標轉(zhuǎn)換（剛架單元）坐標轉(zhuǎn)換（剛架單元） x 1 2 3 4 6 5 4 6 5 1 2 3 e 1 2 x sincos 211 cossin 212 33 1 3 2 1 3 2 1 1 1

27、00 0 0 cossin sincos x 1 F 2 F 3 F 4 F 6 F 5 F 4F 6F 5F 1F 2F 3F e 1 2 x sincos 211 FFF cossin 212 FFF 33 FF 1 F 3 2 1 3 2 1 1 100 0 0 F F F F F F F cossin sincos （2）坐標轉(zhuǎn)換（剛架單元）坐標轉(zhuǎn)換（剛架單元） e e T 2 1 2 1 0 0 ii FF ii 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos e T e e FT F F F F F 2 1 2 1

28、 0 0 單元單元 的坐標轉(zhuǎn)換矩陣的坐標轉(zhuǎn)換矩陣e T1 TT - ITT T 坐標轉(zhuǎn)煥矩陣是一個正交矩陣坐標轉(zhuǎn)煥矩陣是一個正交矩陣 （2）坐標轉(zhuǎn)換（桁架單元）坐標轉(zhuǎn)換（桁架單元） e T x 1 2 3 4 4 1 2 3 e 1 2 x sincos 211 sincos 432 4 3 2 1 2 1 sincos00 00sincos e sincos00 00sincos T TkTk e eT e e l EA l EA l EA l EA k （2）坐標轉(zhuǎn)換（桁架單元）坐標轉(zhuǎn)換（桁架單元） x 1 2 3 4 4 1 2 3 e 1 2 x cossin sincos cossin sincos -00 00 00- 00 T TkTk e eT e e l EA l EA l EA l EA k 0000 00 0000 00 （3）整體坐標系下的單元剛度矩陣）整體