《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第三版--課后習(xí)題標(biāo)準(zhǔn)答案

1、精品文檔習(xí)題一：1.1 寫出下列隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本空間：(1) 某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃時(shí), 連續(xù) 5 次都命中, 觀察其投籃次數(shù)。解：連續(xù) 5 次都命中，至少要投 5 次以上，故w =5,6,7,l 1；(2) 擲一顆勻稱的骰子兩次, 觀察前后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和。w =2,3,4,l 11,12；解：2(3) 觀察某醫(yī)院一天內(nèi)前來(lái)就診的人數(shù)。解：醫(yī)院一天內(nèi)前來(lái)就診的人數(shù)理論上可以從 0 到無(wú)窮，所以w =0,1,2,l 3；(4) 從編號(hào)為 1，2，3，4，5 的 5 件產(chǎn)品中任意取出兩件, 觀察取出哪兩件產(chǎn)品。 解：屬于不放回抽樣，故兩件產(chǎn)品不會(huì)相同，編號(hào)必是一大一小，故：w = (i,j )1ipj

2、 5 ;4(5) 檢查兩件產(chǎn)品是否合格。解：用 0 表示合格, 1 表示不合格，則w =(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)； 5(6) 觀察某地一天內(nèi)的最高氣溫和最低氣溫(假設(shè)最低氣溫不低于 t1, 最高氣溫不高于 t2)。 解：用 x 表示最低氣溫, y 表示最高氣溫?？紤]到這是一個(gè)二維的樣本空間，故：w =6(x,y)txpyt1 2；(7) 在單位圓內(nèi)任取兩點(diǎn), 觀察這兩點(diǎn)的距離。解：w = x 0 px p2 7；(8) 在長(zhǎng)為 l 的線段上任取一點(diǎn), 該點(diǎn)將線段分成兩段, 觀察兩線段的長(zhǎng)度.解：w =(x,y)xf0,yf0,x +y =l 8；1.2(1) a 與 b

3、都發(fā)生, 但 c 不發(fā)生。 abc ；(2) a 發(fā)生, 且 b 與 c 至少有一個(gè)發(fā)生。a( b c )；(3) a,b,c 中至少有一個(gè)發(fā)生。.a b c；精品文檔(4) a,b,c 中恰有一個(gè)發(fā)生。abc abc abc；(5) a,b,c 中至少有兩個(gè)發(fā)生。(6) a,b,c 中至多有一個(gè)發(fā)生。ab ac bcab ac bc；(7) a。b。c 中至多有兩個(gè)發(fā)生。 abc(8) a,b,c 中恰有兩個(gè)發(fā)生.abc abc abc；注意：此類題目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3 設(shè)樣本空間w =x0x2,事件a = x0.5 x 1,b=x0.8px 1.6具體寫出下列各事件：

4、(1) ab 。 (2) a -b 。 (3) a -b 。 (4) a b（1）ab =x0.8px 1；(2)a -b=x 0.5 x 0.8；(3)a -b = x0x 0.5 0.8 px 2。(4)a b=x0x 0.5 1.6 px 21.6 按從小到大次序排列p ( a), p ( a b ), p ( ab ), p ( a) +p ( b ), 并說(shuō)明理由.解：由于ab a, a ( a b ), 故 p ( ab ) p ( a) p ( a b )，而由加法公式，有：p ( a b ) p ( a) +p ( b )1.7解：(1) 昆蟲出現(xiàn)殘翅或退化性眼睛對(duì)應(yīng)事件概率為

5、： p (w e ) =p (w ) +p ( e ) -p (we ) =0.175.(2) 由于事件 w 可以分解為互斥事件we ,we精品文檔，昆蟲出現(xiàn)殘翅, 但沒(méi)有退化性眼睛對(duì)應(yīng)事件p (we ) =p (w ) -p (we ) =0.1概率為：(3) 昆蟲未出現(xiàn)殘翅, 也無(wú)退化性眼睛的概率為： 1.8p (w e ) =1 -p (w e ) =0.825.解：(1) 由于ab a, ab b ，故 p ( ab ) p ( a), p ( ab ) p ( b ),顯然當(dāng) a b 時(shí) p(ab)取到最大值。 最大值是 0.6.(2) 由于p ( ab ) =p ( a) +p (

6、 b ) -p ( a b )。顯然當(dāng)p ( a b ) =1時(shí) p(ab) 取到最小值，最小值是 0.4.1.9解：因?yàn)?p(ab) = 0，故 p(abc) = 0.a, b, c至少有一個(gè)發(fā)生的概率為：p ( a b c ) =p ( a) +p ( b ) +p (c ) -p ( ab ) -p ( bc ) -p ( ac ) +p ( abc ) =0.71.10解(9) 通過(guò)作圖，可以知道，p ( ab ) =p ( a b ) -p ( b ) =0.3(10)p ( ab ) =1 -p ( ab ) =1 -( p ( a) -p ( a -b ) =0.6(3) 由于p

7、 ( ab) =p ( ab ) =1 -p ( a b ) =1 -( p ( a) +p ( b ) -p ( ab ) =1 -p ( a) -p ( b ) +p ( ab )p ( b ) =1 -p ( a) =0.71.11解：用ai表示事件“杯中球的最大個(gè)數(shù)為i個(gè)”i=1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有4 4 4 =64種，每種放法等可能。.22312精品文檔對(duì)事件 a ：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 432 種，故 1(選排列：好比 3 個(gè)球在 4 個(gè)位置做排列)。p ( a ) = 138對(duì)事件 a ：必須三球都放入一杯中。放法有 4 種。(只需從 4 個(gè)杯中

8、選 1 個(gè)杯子，放入此 3 3個(gè)球，選法有 4 種)，故1.12p ( a ) =31 3 1 9 。 p ( a ) =1 - - =16 8 16 16解：此題為典型的古典概型，擲一顆勻稱的骰子兩次基本事件總數(shù)為 36。.出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為 “3”對(duì)應(yīng)兩個(gè)基本事件（1，2），（2，1）。故前后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為 3 的概率為1。18同理可以求得前后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為 4，5 的概率各是 (6) 1.131 1,12 9。解：從 10 個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，共有c 3 =12010種取法，亦即基本事件總數(shù)為 120。(1) 若要三個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)是 5，先要保證取得 5，再?gòu)拇笥?5 的四個(gè)數(shù)里取

9、兩個(gè)，取法有c24=6種，故所求概率為120。(2) 若要三個(gè)數(shù)中最大的一個(gè)是 5，先要保證取得 5，再?gòu)男∮?5 的五個(gè)數(shù)里取兩個(gè)，取法有c 2 =105種，故所求概率為112。1.14解：分別用a , a , a 1 2 3表示事件：(1) 取到兩只黃球。 (2) 取到兩只白球。 (3) 取到一只白球, 一只黃球.則p( a ) = 1c 28c 21228 14 c 2 = = , p ( a ) = 466 33 c 2126 1= = , p ( a ) =1 -p ( a ) -p ( a ) = 66 111633。1.15.1 212 1精品文檔解：p ( a b ) b )

10、=p ( a b ) b ) p ( ab ) ( bb )=p ( b ) p ( b )由于p ( bb ) =0 ，故 p ( a b ) b ) =p ( ab ) p ( a) -p ( ab ) =p ( b ) p ( b )=0.51.16(1)p ( a b );（2）p ( a b );解：（1）p ( a b) =p( a) +p ( b ) -p ( ab) =1 -p ( b ) p( a b) =1 -0.4 0.5 =0.8;（2）p ( a b ) =p ( a ) +p ( b ) -p ( ab ) =1 -p ( b) p ( a b) =1 -0.4 0

11、.5 =0.6;注意：因?yàn)?.17p ( a b ) =0.5 ，所以 p ( a b) =1 -p ( a b) =0.5。解：用 a 表示事件“第 i 次取到的是正品”（ ii =1,2,3），則 a 表示事件“第 i 次取到的 i是次品”（i =1,2,3）。p ( a ) =115 3 3 14 21 = , p ( a a ) =p( a ) p ( a a ) = =20 4 4 19 38(1) 事件“在第一、第二次取到正品的條件下, 第三次取到次品”的概率為：p ( a a a ) =3 1 2518。(2) 事件“第三次才取到次品”的概率為：p( a a a ) =p ( a

12、 ) p ( a a ) p ( a a a ) = 1 2 3 1 2 1 3 1 2（3）事件“第三次取到次品”的概率為：15 14 5 35 =20 19 18 22814此題要注意區(qū)分事件（1）、(2）的區(qū)別，一個(gè)是求條件概率，一個(gè)是一般的概率。再例如，設(shè)有兩個(gè)產(chǎn)品，一個(gè)為正品，一個(gè)為次品。用 i =1,2（），ai表示事件“第i次取到的是正品”.12p ( b a ) = p ( b a ) =121212則事件“在第一次取到正品的條件下, 第二次取到次品”的概率為：p( a a ) =12 1精品文檔；而事件“第二次才取到次品”的概率為：p ( a a ) =p ( a ) p (

13、 a a ) =1 2 1 2 112。區(qū)別是顯然的。1.18。解：用a (i =0,1,2) i表示事件“在第一箱中取出兩件產(chǎn)品的次品數(shù)i”。用b表示事件“從第二箱中取到的是次品”。則p( a ) =0c 2 66 c 1 c 1 24 c 2 1 12 = , p( a ) = 12 2 = , p ( a ) = 2 = ,c 2 91 c 2 91 c 2 91 14 14 14p ( b a ) = 01 2 3 ， 1 ， 2 ，根據(jù)全概率公式，有：p ( b ) =p ( a ) p ( b a ) +p ( a ) p ( b a ) +p ( a ) p ( b a ) =0

14、 0 1 1 2 21.19328解：設(shè)a (i =1,2,3) i表示事件“所用小麥種子為 i 等種子”，b表示事件“種子所結(jié)的穗有 50 顆以上麥?！薄tp ( a ) =0.92, p ( a ) =0.05, p ( a ) =0.03, p ( b a ) =0.5 1 2 3 1，p ( b a ) =0.15 2，p ( b a ) =0.13，根據(jù)全概率公式，有：p ( b ) =p ( a ) p ( b a ) +p ( a ) p( b a ) +p ( a ) p( b a ) =0.47051 1 2 2 3 31.20解：用 b 表示色盲， a 表示男性，則 a 表

15、示女性，由已知條件，顯然有：p ( a) =0.51, p ( a ) =0.49, p( b a) =0.05, p ( b a ) =0.025, .因此：113精品文檔根據(jù)貝葉斯公式，所求概率為：p ( a b ) =1.21p ( ab) p ( ab) p ( a) p ( b a) 102 = = =p ( b ) p ( ab ) +p ( ab ) p ( a) p ( b a) +p ( a ) p( b a ) 151解：用b表示對(duì)實(shí)驗(yàn)呈陽(yáng)性反應(yīng)，a表示癌癥患者，則a表示非癌癥患者，顯然有：p ( a) =0.005, p( a ) =0.995, p( b a) =0.9

16、5, p ( b a ) =0.01, 因此根據(jù)貝葉斯公式，所求概率為：p( a b) =p( ab ) p ( ab) p( a) p ( b a) 95 = = =p( b ) p( ab) +p ( ab) p ( a) p ( b a) +p ( a ) p ( b a ) 2941.22(1) 求該批產(chǎn)品的合格率。(2) 從該 10 箱中任取一箱, 再?gòu)倪@箱中任取一件, 若此件產(chǎn)品為合格品, 問(wèn)此件產(chǎn)品由甲、 乙、丙三廠生產(chǎn)的概率各是多少?解：設(shè)， b =產(chǎn)品為甲廠生產(chǎn), b =產(chǎn)品為乙廠生產(chǎn), b =產(chǎn)品為丙廠生產(chǎn), 1 2 3a =產(chǎn)品為合格品 ，則（1）根據(jù)全概率公式， p (

17、 a) =p ( b ) p ( a b ) +p ( b ) p ( a b ) +p ( b ) p ( a b ) =0.94 ，該批1 1 2 2 3 3產(chǎn)品的合格率為 0.94.（2）根據(jù)貝葉斯公式， p ( b a) =1p ( b ) p ( a b ) 19=p ( b ) p ( a b ) +p ( b ) p ( a b ) +p ( b ) p ( a b ) 94 1 1 2 2 3 3同理可以求得 p( b a) =227 24 , p( b a) =94 47，因此，從該 10 箱中任取一箱, 再?gòu)倪@箱中任取一件, 若此件產(chǎn)品為合格品, 此件產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠生

18、產(chǎn)的概率分別為： 1.23.19 27 24, , 。94 94 47精品文檔解：記 a =目標(biāo)被擊中，則 p ( a) =1 -p ( a ) =1 -(1 -0.9)(1 -0.8)(1 -0.7) =0.9941.24解：記 a =四次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，事件 a 至少發(fā)生一次， a =四次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，事件 a 一次也不 4 4發(fā)生。而 p ( a ) =0.5904 ，因此 p ( a ) =1 -p ( a ) =p ( aaaa ) =p ( a )4 4 4p ( a ) =0.8, p ( a ) =1 -0.8 =0.214=0.4096 。所以三次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中, 事件 a 發(fā)生一次的概率

19、為： c13p ( a)(1 -p ( a)2=3 0.2 0.64 =0.384 。二、第一章定義、定理、公式、公理小結(jié)及補(bǔ)充：（10）加法公 式p(a+b)=p(a)+p(b)-p(ab)當(dāng) p(ab)0 時(shí)，p(a+b)=p(a)+p(b) p(a-b)=p(a)-p(ab)（11）減法公 式當(dāng) ba 時(shí)，p(a-b)=p(a)-p(b)（12）條件概b當(dāng) a=時(shí)，p()=1- p(b)定義設(shè) a、b 是兩個(gè)事件，且 p(a)0，則稱p ( ab )p ( a)為事件 a 發(fā)生條件下，事率件 b 發(fā)生的條件概率，記為p ( b / a) =p ( ab )p ( a)。（16）貝葉斯 公

20、式p ( b / a) = inp ( b ) p( a / b ) i ip ( b ) p( a / b ) j j，i=1，2，n。j =1此公式即為貝葉斯公式。.0.7 0.3 c 0.4 0.6 +c 0.7 0.3 c 0.4 0.6 +c 0.7 0.3 c0 20 21 11 12 00.7 0.3 c 0.4 0.6 +c 0.7 0.3 c 0.4 0.6 +c 0.7 0.3 c1 10 22 00 22 0精品文檔第二章 隨機(jī)變量2.1xp21/3631/1841/1251/965/3671/685/3691/9101/12111/18121/362.2 解：根據(jù)p (

21、 x =k ) =1 ，得 k =0 k =0ae-k=1，即ae -1 1 -e -1=1。故a =e -12.3 解：用 x 表示甲在兩次投籃中所投中的次數(shù)，xb(2,0.7) 用 y 表示乙在兩次投籃中所投中的次數(shù), yb(2,0.4)(1) 兩人投中的次數(shù)相同px=y= px=0,y=0+ px=1,y=1 +px=2,y=2=c0 0 1 1 2 20.42 0.60 =0.3124222222(2)甲比乙投中的次數(shù)多pxy= px=1,y=0+ px=2,y=0 +px=2,y=1=c1 0 2 0 2 10.410.61 =0.56282222222.4 解:（1）p1x3= p

22、x=1+ px=2+ px=3=1 2 3 2+ + =15 15 15 5(2) p0.5x2.5=px=1+ px=2=1 2 1+ =15 15 52.5 解：（1）px=2,4,6,=1 1 1 1+ + +l = lim 22 2 4 26 22 k k 1 11-( )4 411 -4k=13（2）px3=1px10) = 0.5edx =-e-0.5 x-0.5 x精品文檔2.10（1）假設(shè)該地區(qū)每天的用電量?jī)H有 80 萬(wàn)千瓦時(shí)，則該地區(qū)每天供電量不足的概率 為：p0.8 x 1 =1 12 x(1-x ) 2 dx =(6 x 2 -8 x3 +3 x 4 )|1 =0.027

23、20.8 0.8（2）假設(shè)該地區(qū)每天的用電量?jī)H有 90 萬(wàn)千瓦時(shí)，則該地區(qū)每天供電量不足的概率為：p0.9 x 1 =12 x (1-x ) 2 dx =(6 x 2 -8 x 3 +3 x 4 ) =0.00370.9 0.92.11 解:要使方程x 2+2 kx +2 k +3 =0有實(shí)根則使d=(2 k )2-4(2 k +3) 0解得 k 的取值范圍為-,-1u4, +,又隨機(jī)變量 ku(-2,4)則有實(shí)根的概率為p =-1-(-2) +4 -3 1=4 -( -2) 32.12 解：xp()= p(1200)(1)px 100 =100012001e 200 dx =e-200 x

24、|1000=1 -e-12（2）px 300 =30012001 1e 200 dx =e 200 =e30032（3）p100 x 300 =30010012001e 200 dx =e1 3- x 300 - - 200 2 21001 1px 100,100 x 300 =px 100p100 x 300 =(1-e 2 )(e 23-e 2 )2.13 解：設(shè)每人每次打電話的時(shí)間為 x，xe(0.5)，則一個(gè)人打電話超過(guò) 10 分鐘的概率為+ +1010=e-5又設(shè) 282 人中打電話超過(guò) 10 分鐘的人數(shù)為 y，則y b (282, e -5 )。.精品文檔因?yàn)?n=282 較大，p

25、 較小，所以 y 近似服從參數(shù)為l=282 e -5 1.9的泊松分布。所求的概率為p (y 2) =1 -p (y =0) -p (y =1)=1 -e-1.9-1.9e-1.9=1 -2.9e-1.9=0.566252.14 解：(1)p ( x 105) =f(105 -11012) =f( -0.42) =1 -f(0.42)=1 -0.6628 =0.3372(2)p (100 x 120) =f(120 -110 100 -110) -f(12 12)=f(0.83) -f(-0.83) =2f(0.83) -1 =2 0.7967 -1 =0.59342.15 解：設(shè)車門的最低高

26、度應(yīng)為 a 厘 m，xn(170,62)px a =1 -px a 0.01px a =f(a -170=2.336a 184厘 ma -1706) 0.992.19 解：x 的可能取值為 1,2,3。因?yàn)閏 2 6 p( x =1) = 4 = =0.6c 3 105；1 1p ( x =3) = = c 3 105=0.1；p ( x =2) =1 -0.6 -0.1 =0.3所以 x 的分布律為x1 23p0.6 0.3 0.1x 的分布函數(shù)為.精品文檔0 x 10.6 1 x 2 f ( x) =0.9 2 x 31 x 32.20(1)ppy =0 =px = =0.22py =p2

27、 =px =0 +px =p =0.3 +0.4 =0.73ppy =4p2 =px = =0.12y 0p24p2qi0.20.70.1(2)py =-1 =px =0 +px =p =0.3 +0.4 =0.7p 3ppy =1 =px = +px = =0.2 +0.1 =0.32 2y -11qi0.70.32.21（1）當(dāng)-1x 1時(shí)，f ( x) =px =-1 =0.3當(dāng)1 x 0 時(shí)，有-xy =p =0f ( y) =py y =pe y-xy =p-x ln y =px -ln y =-ln y12 pxe 2 dx對(duì)f ( y )y求關(guān)于 y 的導(dǎo)數(shù)，得.(ln y )2

28、 2-yy-yxyy精品文檔1 ( -ln y ) 1- e 2 ( -ln y )= e 2 f ( y ) = 2p 2py0y0y 0（3）設(shè) f (y)，f ( y )y分別為隨機(jī)變量 y 的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則當(dāng)y 0時(shí)，f ( y ) =py y =px 2 y =p =0 y當(dāng) y0 時(shí)， f ( y) =py y =pxy2y =p- y x y =y- y12 px 2e 2 dx對(duì)f ( y )y求關(guān)于 y 的導(dǎo)數(shù)，得1 f ( y) = 2p0e-(y )221( y )- e2p-( - y )221( - y )= e2py-(ln y )22y0y 02.23

29、x : u(0,p)1f ( x ) =p00 x p其它（1）當(dāng)2lnp y 時(shí)f ( y ) =py y =p2ln x y =pln x y時(shí)當(dāng)-y 2lnp2y =p =0f ( y ) =py y =p2ln x y =pln x y2y =px2ey =px ey =ye 201pdx對(duì)f ( y )y求關(guān)于 y 的導(dǎo)數(shù)，得到1 1 ( e 2 )=f ( y ) =p 2p0ey2-y 2lnp2lnpy .ydx +dxy精品文檔（2）當(dāng)y 1或 y -1時(shí) ， f ( y ) =py y =pcos x y =p =0y當(dāng)-1 y 1時(shí),f ( y ) =py y =pcos x y =px arccos y = yparccos y1pdx對(duì)f ( y )y求關(guān)于 y 的導(dǎo)數(shù)，得到f ( y ) =1 1 - (arccos y )=p p 1 -y 2 0-1y 1其它（