1991考研數(shù)二真題及解析

1、1991年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題、填空題(每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1)設(shè) y ln(1 3 x),則 dy 2(2)曲線y e x的上凸區(qū)間是 .In x ,1 rdx .1 x 質(zhì)點(diǎn)以速度tsin(t2)米每秒作直線運(yùn)動(dòng)，則從時(shí)刻1秒到t2秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程等于米lim 1 exx 0x ex二、選擇題(每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把 所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)若曲線y x2 ax b和2y 1 xy3在點(diǎn)(1, 1)處相切，其中a,b是常數(shù)，則()XF1 2X XO 2X- 3 3x32x1

2、2X XO 12x23x,0 x 1(C) F(x)322(D)x小x /2x,1x 232)內(nèi)有定義，xqF(x)3x,0 x 1322x ,1 x 22(3)設(shè)函數(shù)f (x)在(0是函數(shù)f(x)的極大點(diǎn),則(A) a0,b2(B)a1,b3(C) a3,b1(D)a1,b12 x,0x 1,、x(2)設(shè)函數(shù)f(x)c，記 F(x)0 f(t)dt,0x2 ,則()2x,1x 2,0(A) Xo必是f (x)的駐點(diǎn)(B)Xo必是 f( x)的極小點(diǎn)(C) Xo必是 f (x)的極小點(diǎn)(D)對(duì)一切x都有f(x) f(Xo)曲線y(A)沒有漸近線(C)僅有鉛直漸近線(B)(D)()僅有水平漸近線

3、既有水平漸近線又有鉛直漸近線 如圖，X軸上有一線密度為常數(shù)，長(zhǎng)度為I的細(xì)桿，有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)到桿右端的距離為a ,已知引力系數(shù)為k ,則質(zhì)點(diǎn)和細(xì)桿之間引力的大小為()*-x(A)km 2dx (a x)(B)km 2 dx (a x)o km(C) 2 $(a x)2dx(D)2 km20 (a x)dx三、(每小題5分,滿分25分.)2(1)tcost 十 d y ,求一2 tsi ntdx(2)計(jì)算4 dx1 x(1. x)xm0x sin x2 xx (e 1)(4)求xsin2 xdx. 求微分方程xy y xex滿足y(1)1的特解.四、(本題滿分9分)利用導(dǎo)數(shù)證明：當(dāng) x 1時(shí)，

4、有不等式ln(1 x) 亠 成立.ln x 1 x五、(本題滿分9分)求微分方程y y x cosx的通解.六、(本題滿分9分)曲線y (x 1)(x 2)和x軸圍成一平面圖形，求此平面圖形繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積七、(本題滿分9分)AB : DC如圖,A和D分別是曲線y ex和y e 2x上的點(diǎn),AB和DC均垂直x軸,且八、(本題滿分9分)設(shè)函數(shù)f (x)在()內(nèi)滿足 f(x) f (x ) sinx,且 f (x) x, x 0,),3計(jì)算 f(x)dx.1991年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析、填空題(1)【答案】(每小題3分,滿分ln3 x dx3x 115分.把答

5、案填在題中橫線上.)【解析】,即 y(f (x)的微分為 dy (f (x) f (x)dx,有由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則【答案】存 3xln3(1)dx弊dx.3x 1【解析】求函數(shù)y f(x)的凹凸區(qū)間,只需求出y,若y 0,則函數(shù)圖形為上凹，若0,則函數(shù)圖形為上凸,由題可知ex2(2x)2xex2ex2(2x)e x ( 2x)4e (x22因?yàn)?e x0,所以當(dāng)x20時(shí)y 0,函數(shù)圖像上凸x2函數(shù)圖像上凸.故曲線上凸區(qū)間為(【答案】【解析】1用極限法求廣義積分ln xdx limb1x2b ln x1blimb1 lnxd(-)x【答案】【解析】設(shè)在t分部limbIn x-)dxxbimIn

6、bIn1bimIn b1.12這是定積分的應(yīng)用t dt時(shí)刻的速度為2tsin(t ),則在dt時(shí)間內(nèi)的路程為 dstsin(t2)dt ,所以從時(shí)刻t1秒到t2、秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程為t22s q tsin(t2)dt21 V22rtsin(t )dt - pSin(t )dt】cos(t2)2V1-(cos21 1込)2( 1 0)【答案】1【解析】這是-個(gè)型未定式1,分子分母同乘以e得lim 1x 0x1e1limx 01e匚1xe x11為簡(jiǎn)化計(jì)算,令t1,則x-,原式可化為xte1x 1t e10 1 ,limlim1.x 01tt e0 1xe x 1t1二、選擇題（每小題3分,滿分

7、15分.）（1）【答案】(D)【解析】?jī)珊瘮?shù)在某點(diǎn)處相切,則在該點(diǎn)處的切線的斜率相等 ，即在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等對(duì)兩函數(shù)分別對(duì)x求導(dǎo),得y 2x a,則該曲線在點(diǎn)（1, 1）處的導(dǎo)數(shù)為yxi 2 a,322y y 3xy y ,即 y3y2 3xy2,則曲線在點(diǎn)（1,1）處的導(dǎo)數(shù)為兩導(dǎo)數(shù)相等1,即a1.又因?yàn)榍€ax b過點(diǎn)(1, 1),所以有 11b,b 1.所以選項(xiàng)（D）正確.【答案】（B）【解析】這是分段函數(shù)求定積分當(dāng) 0 x 1 時(shí)，f(x) x2,所以 F (x)x0 f(t)dtX 2t2dt01t3當(dāng)1 x 2時(shí)，f(x)2 x,所以t2dt0(2 t)dt1t3(2x 1x2)2x

8、 2x2.3,0 x 1 所以F(X)3,應(yīng)選(B).7 c x2 “c-2x ,1x26 2(3) 【答案】(B)【解析】方法一：用排除法由于不可導(dǎo)點(diǎn)也可取極值，如f (x) x 1 ,在x0 1處取極大值，但是x0 1不是f (x) x 1的駐點(diǎn)，所以(A)不正確；注意到極值的局部性，即極值不是最值,所以(D)也不正確；對(duì)于f (x) |x 1|,在X。 1處取極大值，但x01并非是 f (x) |x 1|的極小值點(diǎn),所以(C)也不成立；故選(B).方法二：證明(B)是正確的，因?yàn)閄。 0,不妨設(shè)X。 0,則f(X。)為極大值，則在x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有 f (x0)f (x0x)；函數(shù)y f

9、( x)與函數(shù)y f (x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以必有f( x0)f ( x0x),即在X0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)f( X0)為極小值，故(B)是正確的.(4) 【答案】(D)【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?x 0,所以函數(shù)的間斷點(diǎn)為 x 0,1 - 1 叫 Hx叫Hx1 - I,所以x 0為鉛直漸近線1 - ImHxlimxx2 e V e1,所以y 1為水平漸近線所以選(D).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】鉛直漸近線：如函數(shù) y f (x)在其間斷點(diǎn)x x0處有l(wèi)im f (x)x xox Xo是函數(shù)的一條鉛直漸近線；水平漸近線：當(dāng)lim f(x) a,(a為常數(shù))，則y a為函數(shù)的水平漸近線.x(5) 【答案】(A)【解析】

10、如圖建立坐標(biāo)系,則x x dx中，dx長(zhǎng)度的細(xì)桿的質(zhì)量為dx,與質(zhì)點(diǎn)的距離為a x,故兩點(diǎn)間的引力為dF km 茫,積分得F km 2dx,故選(A).(a x)21 (a x)2同理應(yīng)用微元法可知，若以I的中點(diǎn)為原點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為(a -,0),故2km2 (adx ；x)2若以I的左端點(diǎn)為原點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為(a I,0),故F1 也 dx.0(a I x)故(B)、(C)、(D)均不正確,應(yīng)選(A).三、(每小題5分,滿分25分.)(1)【解析】這是個(gè)函數(shù)的參數(shù)方程dy dy/dt sint tcostdx dx/dt cost tsintd2ydx21cost tsint dtd d

11、y 1 d si nt t costdt(dx)dx dt cost tsint(2cost tsin t)(cost tsint) (2sin t tcost)(sin t tcost) 1(cost tsin t)2cost tsint2(cos21 sin2t)t2(sin2t cos2t) 3tsintcost 3tsintcost (cost t si nt)32 t23 (cost tsint)【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程所確定函數(shù)的微分法:如果y(；則蕓吩12(2)【解析】用換元法求定積分令t .x ,則 x t2,dx 2tdt ,則4 dx1 x(1、x)1 t2(1 t) 2td

12、t2 1 121(; c)dtx sin x2 x (e 1)x limx 0sin x、缶 1 cosx 廠洛xim03x2叫IK2sin3Xlim2x 0 3x22t2142 ln2(lnIn；)2l n t 代入初始條件y(1)1得C 1,所以特解為y 1323(3)【解析】利用等價(jià)無窮小和洛必達(dá)法則當(dāng) x 0時(shí)，有sinx: X,ex : 1 x,所以(4)【解析】用分部積分法求不定積分(5)xsin2 xdxxx41 2x42xdx -21 xsin2x41 xsin2x4【解析】所給方程是一階線性方程dxx / x y e x ( e e1(xxcos2xdxxcos2x)dxsi

13、n 2xdx41 cos2x8,其標(biāo)準(zhǔn)形式為.Idxx dx C)11(xde C)(xexxx1 xd(si n2x)41 -y xxexdxexdxC)ex.通解為C)(xexxex C)【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】一階線性非齊次微分方程p(x)yq(x)的通解為p(x) dx(q(x)ep(x)dxdx C),其中C為常數(shù).四、(本題滿分9分)【解析】首先應(yīng)簡(jiǎn)化不等式，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律當(dāng) x 1 時(shí)，原不等式即(1 x)l n(1x) x l nx,即(1 x)l n(1 x) xlnx 0.證法一：令f(x) (1 x)l n(1 x) xl nx,則只需證明在x 1時(shí)f(x) 0即可，可利用函數(shù)的單調(diào)

14、性證明，對(duì)于f (x)有x 1 f (x) ln(1 x) 1 ln X 1 In().xx 1因x 1,故1,即f (x)0,所以在(1,)上f(x)是嚴(yán)格遞增函數(shù)，所以xf (x) f (1)21 n2 0,故(1 x)ln(1x) xlnx 0,所以當(dāng)x 1時(shí),有不等式ln(1 x) 成立In x 1 x證法二：當(dāng)x 1時(shí),原不等式即(1 x)ln(1 x) xln X ,不等式左右兩端形式一致，故令f(x) xln x,則 f (x) Inx 10(x1),所以 f (x)xlnx在x 1時(shí)嚴(yán)格單調(diào)遞增故 f(x 1) f (x)，即(1 x)l n(1 x) xl nx.所以當(dāng)x 1

15、時(shí),有不等式ln(1 x) 成立. ln x 1 x五、(本題滿分9分)【解析】微分方程 y y x cosx對(duì)應(yīng)的齊次方程 y2y 0的特征方程為r 10,特征根為1,2i,故對(duì)應(yīng)齊次通解為 C1 cos x C2si nx.方程y y x必有特解為 Y ax b,代入方程可得a 1,b0.方程y y cosx的右端e x cos x cosx , i i為特征根，必有特解Y2 x Acosxx Bsinx,代入方程可得 A由疊加原理，原方程必有特解Y 璉所以原方程的通解為 y C1 cosx C2sinx0,B2x .xsinx.21 .x xsinx.2【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】關(guān)于微分方程特解的求

16、法如果f(x) Pm(x)e x,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y P(x)y q(x)y f (x)*kx具有形如y x Qm(x)e的特解，其中Qm(x)與Pm(x)同次(m次)的多項(xiàng)式，而k按 不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取為0、1或2.如果f(x) exR(x)cos x Pn(x)sin x,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y p(x)y q(x)y f (x)的特解可設(shè)為yxke x RDgcos x Rgsin x,其中 瓷仏)與 瓷)(x)是m次多項(xiàng)式，m max l, n ,而k按 i (或 i )不是特征六、(本題滿分9分)【解析】利用定積分求旋轉(zhuǎn)

17、體的體積，用微元法，曲線為一拋物線，與x軸的交點(diǎn)是x, 1,一 31X2 2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-，).24方法一：考慮對(duì)x積分,如圖中陰影部分繞環(huán)柱體的體積為dV (x dx)2 y x2 y 2 x y dxy dx2y軸旋轉(zhuǎn)故 | y y，即 dV 2 xydx2 x(x 1)(x 2)dx.其中dx2為dx 0的高階無窮小，故可省略，且y為負(fù)的,把x從12積分得21 2 x(1 x)(x 2)dx 22 21 (3x3x 2x)dxx3 x412 (0 4)方法二：考慮對(duì)y的積分，如圖中陰影部分繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周后的體積差，即y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為拋物線兩半曲線分別繞2 2dVx2 dyx-i

18、dy其中，為，x2為Y y與拋物線的交點(diǎn)，且x2 x1，把Y y代入拋物線方程 y (x 1)(x 2)，解得3 . 1 4y 3 、1 4yX1，X2220 2故旋轉(zhuǎn)體體積為V1 (x242x1 )dy.把X1，X2的值代入化簡(jiǎn)，得V 3 ,14ydy32- o(1 4y)2324431443 2七、(本題滿分9分)【解析】可以利用函數(shù)的極值求解設(shè)B、C的橫坐標(biāo)分別為x1，x，因?yàn)閨 AB | 1，所以x 0，x 0.依題設(shè)AB:|DC|2:1，所以有e51 2e2x，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得人In 22x，BC x x1x (In2 2x) 3x In 2,( x 0),所以梯形ABCD的面積為Se