高三數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線經(jīng)典例題及總結(jié)

1、高三數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線經(jīng)典例題及總結(jié)【】鑒于大家對查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)十分關(guān)注，小編在此為大 家搜集整理了此文高三數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線經(jīng)典例題及總 結(jié)，供大家參考!本文題目：高三數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線經(jīng)典例題及總結(jié) 圓錐曲線1.圓錐曲線的兩定義：第一定義中要重視括號內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點 f ，f 的距離的和等于常數(shù) ，且此常數(shù) 一定要大于 ，當 常數(shù)等于 時，軌跡是線段 f f ，當常數(shù)小于 時，無軌跡; 雙曲線中，與兩定點 f ，f 的距離的差的絕對值等于常數(shù) ， 且此常數(shù) 一定要小于 |f f |，定義中的絕對值與 |f f |不 可忽視。若 =|f f |，則軌跡是以 f ，f 為端點的兩

2、條射線， 若 |f f |，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌 跡僅表示雙曲線的一支。2.圓錐曲線的標準方程 (標準方程是指中心(頂點)在原點， 坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程 )：(1) 橢圓：焦點在 軸上時 ( )，焦點在 軸上時 =1( )。方 程 表示橢圓的充要條件是什么 ?(abc0，且 a，b，c 同號， ab)。(2) 雙曲線：焦點在 軸上： =1，焦點在 軸上： =1( )。方 程 表示雙曲線的充要條件是什么?(abc0，且 a，b 異號)。第 1 頁(3)拋物線：開口向右時 ，開口向左時 ，開口向上時 ，開 口向下時 。3.圓錐曲線焦點位置的判斷 (首先化成標準方程，然

3、后再判 斷)：(1)橢圓：由 , 分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。 (2)雙曲線：由 , 項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐 標軸上;(3)拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定 開口方向。提醒：在橢圓中， 最大， ，在雙曲線中， 最大， 。 4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：(1)橢圓(以 ( )為例)：范圍： ;焦點：兩個焦點 ; 對稱性：兩條對稱軸 ，一個對稱中心(0,0)，四個頂點 ， 其中長軸長為 2 ，短軸長為 2 ;準線：兩條準線 ; 離 心率： ，橢圓 ， 越小，橢圓越圓; 越大，橢圓越扁。 (2)雙曲線(以 ( )為例)：范圍： 或 ;焦點：兩個焦 點 ;對稱性：兩

4、條對稱軸 ，一個對稱中心(0,0)，兩個頂 點 ，其中實軸長為 2 ，虛軸長為 2 ，特別地，當實軸和虛 軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為 ;準線： 兩條準線 ; 離心率： ，雙曲線 ，等軸雙曲線 ， 越小， 開口越小， 越大，開口越大;兩條漸近線： 。(3)拋物線(以 為例)：范圍： ;焦點：一個焦點 ，其第 2 頁中 的幾何意義是：焦點到準線的距離;對稱性：一條對稱 軸 ，沒有對稱中心，只有一個頂點(0,0);準線：一條準 線 ; 離心率： ，拋物線 。5、點 和橢圓 ( )的關(guān)系：(1)點 在橢圓外 ;(2)點 在橢圓 上 =1;(3)點 在橢圓內(nèi)6.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：

5、(1) 相交： 直線與橢圓相交; 直線與雙曲線相交，但直線與 雙曲線相交不一定有 ，當直線與雙曲線的漸近線平行時， 直線與雙曲線相交且只有一個交點，故 是直線與雙曲線相 交的充分條件，但不是必要條件 ; 直線與拋物線相交，但直 線與拋物線相交不一定有 ，當直線與拋物線的對稱軸平行 時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故 也僅是直線與 拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。(2) 相切： 直線與橢圓相切; 直線與雙曲線相切; 直線與拋 物線相切;(3) 相離： 直線與橢圓相離; 直線與雙曲線相離; 直線與拋 物線相離。提醒：(1)直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置 關(guān)系有兩種情形：相切和

6、相交。如果直線與雙曲線的漸近線 平行時,直線與雙曲線相交 ,但只有一個交點;如果直線與拋 物線的軸平行時,直線與拋物線相交 ,也只有一個交點;(2) 過雙曲線 =1 外一點 的直線與雙曲線只有一個公共點的情第 3 頁況如下：p 點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時， 有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩 條切線，共四條;p 點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū) 域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切 的兩條切線，共四條;p 在兩條漸近線上但非原點，只有兩 條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線;p 為原 點時不存在這樣的直線 ;(3)過拋物線外一點總有三條直

7、線 和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱 軸的直線。7、 焦點三角形(橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三 角形)問題： ，當 即 為短軸端點時， 的最大值為 bc;對于 雙曲線 。 如 (1)短軸長為 ，8、 拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：(1)以過 焦點的弦為直徑的圓和準線相切 ;(2)設(shè) ab 為焦點弦， m 為 準線與 x 軸的交點，則 amf=(3)設(shè) ab 為焦點弦，a、b 在準 線上的射影分別為 a ，b ，若 p 為 a b 的中點，則 pa(4) 若 ao 的延長線交準線于 c，則 bc 平行于 x 軸，反之，若過 b 點平行于 x 軸的直線交準

8、線于 c 點，則 a，o，c 三點共線。 9、弦長公式：若直線 與圓錐曲線相交于兩點 a、b，且 分 別為 a、b 的橫坐標，則 = ，若 分別為 a、b 的縱坐標，則 = ，若弦 ab 所在直線方程設(shè)為 ，則 = 。特別地，焦點弦(過 焦點的弦)：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，第 4 頁而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求 解。拋物線：在雙曲線 中，以 為中點的弦所在直線的斜率 k= ;在拋物線 中，以 為中點的弦所在直線的斜率 k= 。提醒：因為 是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故 在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗 !11.了解下列結(jié)論(1) 雙曲

9、線 的漸近線方程為 ;(2) 以 為漸近線 (即與雙曲線 共漸近線)的雙曲線方程為 為參數(shù)， 0)。(3) 中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè) 為 ;(4) 橢圓、雙曲線的通徑(過焦點且垂直于對稱軸的弦)為 ， 焦準距(焦點到相應(yīng)準線的距離 )為 ，拋物線的通徑為 ，焦 準距為 ;(5) 通徑是所有焦點弦 (過焦點的弦)中最短的弦;(6) 若拋物線 的焦點弦為 ab， ，則 ;(7) 若 oa、ob 是過拋物線 頂點 o 的兩條互相垂直的弦，則 直線 ab 恒經(jīng)過定點12、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：(1) 給出直線的方向向量 或 ;第 5 頁(2) 給出 與 相交,

10、等于已知 過 的中點;(3) 給出 ,等于已知 是 的中點;(4) 給出 ,等于已知 與 的中點三點共線;(2) 給出以下情形之一： ;存在實數(shù) ;若存在實數(shù) , 等于已知 三點共線.(3) 給出 , 等于已知 , 即 是直角 ,給出 ,等于已知 是鈍角, 給出 ,等于已知 是銳角,(8) 給出 ,等于已知 是 的平分線 /(9) 在平行四邊形 中，給出 ，等于已知 是菱形;(8) 在平行四邊形 中，給出 ，等于已知 是矩形;(8) 在 中，給出 ，等于已知 是 的外心(三角形外接圓的 圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點); (12) 在 中，給出 ，等于已知 是 的重心(三角形的

11、重心是 三角形三條中線的交點 );(13) 在 中，給出 ，等于已知 是 的垂心(三角形的垂心是 三角形三條高的交點);(14) 在 中，給出 等于已知 通過 的內(nèi)心;(15) 在 中，給出 等于已知 是 的內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓 心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點);(13) 在 中，給出 ,等于已知 是 中 邊的中線;(3)已知 a,b 為拋物線 x2=2py(p0)上異于原點的兩點， ，點 c 坐標為(0，2p)第 6 頁(1) 求證：a,b,c 三點共線;(2) 若 = ( )且 試求點 m 的軌跡方程。(1)證明：設(shè) ，由 得，又， ，即 a,b,c 三點共線。(2)由(1)

12、知直線 ab 過定點 c，又由 及 = ( )知 omab，垂足 為 m，所以點 m 的軌跡為以 oc 為直徑的圓，除去坐標原點。 即點 m 的軌跡方程為 x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。13.圓錐曲線中線段的最值問題：例 1、(1)拋物線 c:y2=4x 上一點 p 到點 a(3,4 )與到準線的 距離和最小,則點 p 的坐標為_(2)拋物線 c: y2=4x 上一點 q 到點 b(4,1)與到焦點 f 的距離 和最小,則點 q 的坐標為 。分析：(1)a 在拋物線外，如圖，連 pf，則 ，因而易發(fā)現(xiàn)， 當 a、p、f 三點共線時，距離和最小。(2)b 在拋物線內(nèi)，如圖，作 qrl

13、交于 r，則當 b、q、r 三點 共線時，距離和最小。 解：(1)(2， )(2)( )1、已知橢圓 c1 的方程為 ，雙曲線 c2 的左、右焦點分別為 c1 的左、右頂點，而 c2 的左、右頂點分別是 c1 的左、右焦 點。(1) 求雙曲線 c2 的方程;(2) 若直線 l：與橢圓 c1 及雙曲線 c2 恒有兩個不同的交點，第 7 頁且 l 與 c2 的兩個交點 a 和 b 滿足 (其中 o 為原點)，求 k 的 取值范圍。解：()設(shè)雙曲線 c2 的方程為 ，則故 c2 的方程為 (ii)將由直線 l 與橢圓 c1 恒有兩個不同的交點得即 .由直線 l 與雙曲線 c2 恒有兩個不同的交點 a

14、，b 得解此不等式得 由、得故 k 的取值范圍為在平面直角坐標系 xoy 中，已知點 a(0,-1)，b 點在直線 y = -3 上，m 點滿足 mb/oa， maab = mbba，m 點的軌跡為曲線 c。()求 c 的方程;()p 為 c 上的動點，l 為 c 在 p 點處得切 線，求 o 點到 l 距離的最小值。()設(shè) m(x,y),由已知得 b(x,-3),a(0,-1).所以 =(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2). 再由愿意得知( + ) =0, 即(-x,-4-2y) (x,-2)=0.所以曲線 c 的方程式為 y= x -2. ()設(shè) p(x ,y )為曲

15、線 c： y= x -2 上一點，因為 y = x,所以 的斜率為 x 因此直線 的 方程為 ，即 。則 o 點到 的距離 .又 ，所以第 8 頁當 =0 時取等號，所以 o 點到 距離的最小值為 2.設(shè)雙曲線 (a0)的漸近線與拋物線 y=x2 +1 相切，則該雙曲 線的離心率等于( )設(shè)雙曲線 的一條漸近線，則雙曲線的離心率為( ). 過橢圓 ( )的左焦點 作 軸的垂線交橢圓于點 ， 為右焦點， 若 ，則橢圓的離心率為已知雙曲線 的左、右焦點分別是 、 ，其一條漸近線方程 為 ，點 在雙曲線上.則 =( )0已知直線 與拋物線 相交于 兩點， 為 的焦點，若 ，則 ( ) 已知直線 和直

16、線 ，拋物線 上一動點 到直線 和直線 的距 離之和的最小值是 ( )設(shè)已知拋物線 c 的頂點在坐標原點，焦點為 f(1，0)，直線 l 與拋物線 c 相交于 a，b 兩點。若 ab 的中點為(2，2)，則 直線 l 的方程為_.橢圓 的焦點為 ，點 p 在橢圓上，若 ，則 ; 的大小為 . 過拋物線 的焦點 f 作傾斜角為 的直線交拋物線于 a、b 兩 點，若線段 ab 的長為 8，則 _【解析】設(shè)切點 ，則切線的斜率為 .由題意有 又 解得: 雙曲線 的一條漸近線為 ,由方程組 ,消去 y,得 有唯一解 , 所以,所以 ,由漸近線方程為 知雙曲線是等軸雙曲線，雙曲線方程是 ， 于是兩焦點坐

17、標分別是 (-2，0)和(2，0)，且 或 .不妨去 ，第 9 頁則 ， .【解析】設(shè)拋物線 的準線為 直線恒過定點 p .如圖過 分 別作 于 , 于 , 由 ,則 ,點 b 為 ap 的中點.連結(jié) ,則 ,點 的橫坐標為 , 故點 的坐標為, 故選 d1. 點 p 處的切線 pt 平分pf1f2 在點 p 處的外角.2. pt 平分pf1f2 在點 p 處的外角，則焦點在直線 pt 上的 射影 h 點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點. 3. 以焦點弦 pq 為直徑的圓必與對應(yīng)準線相離 .4. 以焦點半徑 pf1 為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切. 5. 若 在橢圓 上，則過

18、的橢圓的切線方程是 .6. 若 在橢圓 外 ，則過 po 作橢圓的兩條切線切點為 p1、 p2，則切點弦 p1p2 的直線方程是 .7. 橢圓 (a0)的左右焦點分別為 f1，f 2，點 p 為橢圓上任 意一點 ，則橢圓的焦點角形的面積為 .8. 橢圓 (a0)的焦半徑公式：9. 設(shè)過橢圓焦點 f 作直線與橢圓相交 p、q 兩點，a 為橢圓 長軸上一個頂點，連結(jié) ap 和 aq 分別交相應(yīng)于焦點 f 的橢圓 準線于 m、n 兩點，則 mfnf.10. 過橢圓一個焦點 f 的直線與橢圓交于兩點 p、q, a1、a2 為橢圓長軸上的頂點，a1p 和 a2q 交于點 m，a2p 和 a1q 交于第

19、10 頁點 n，則 mfnf.11. ab 是橢圓 的不平行于對稱軸的弦，m 為 ab 的中點，則 ， 即 。12. 若 在橢圓 內(nèi)，則被 po 所平分的中點弦的方程是 . 13. 若 在橢圓 內(nèi)，則過 po 的弦中點的軌跡方程是 .二、雙曲線1. 點 p 處的切線 pt 平分pf1f2 在點 p 處的內(nèi)角.2. pt 平分pf1f2 在點 p 處的內(nèi)角，則焦點在直線 pt 上的 射影 h 點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點. 3. 以焦點弦 pq 為直徑的圓必與對應(yīng)準線相交 .4. 以焦點半徑 pf1 為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：p 在右支;外切：p 在左支)5.

20、 若 在雙曲線 (a0)上，則過 的雙曲線的切線方程是 . 6. 若 在雙曲線 (a0)外 ，則過 po 作雙曲線的兩條切線切 點為 p1、p2，則切點弦 p1p2 的直線方程是 .7. 雙曲線 (ao)的左右焦點分別為 f1，f 2，點 p 為雙曲線 上任意一點 ，則雙曲線的焦點角形的面積為 .8. 雙曲線 (ao)的焦半徑公式：( ,當 在右支上時， , .當 在左支上時， ,9. 設(shè)過雙曲線焦點 f 作直線與雙曲線相交 p、q 兩點，a 為 雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié) ap 和 aq 分別交相應(yīng)于焦點 f第 11 頁的雙曲線準線于 m、n 兩點，則 mfnf.10. 過雙曲線一個焦點 f

21、 的直線與雙曲線交于兩點 p、q, a1、 a2 為雙曲線實軸上的頂點，a1p 和 a2q 交于點 m，a2p 和 a1q 交于點 n，則 mfnf.11. ab 是雙曲線 (a0)的不平行于對稱軸的弦，m 為 ab 的中 點，則 ，即 。12. 若 在雙曲線 (a0)內(nèi)，則被 po 所平分的中點弦的方程 是 .13. 若 在雙曲線 (a0)內(nèi)，則過 po 的弦中點的軌跡方程是 . 橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-(會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論)橢 圓1. 橢圓 (ao)的兩個頂點為 , ，與 y 軸平行的直線交橢圓 于 p1、p2 時 a1p1 與 a2p2 交點的軌跡方程是 .2. 過橢圓 (a0)上任一點

22、任意作兩條傾斜角互補的直線交 橢圓于 b,c 兩點，則直線 bc 有定向且 (常數(shù)).3. 若 p 為橢圓 (a0)上異于長軸端點的任一點,f1, f 2 是焦 點, , ，則 .4. 設(shè)橢圓 (a0)的兩個焦點為 f1、f2,p(異于長軸端點 )為橢 圓上任意一點，在pf1f2 中，記 , , ，則有 .5. 若橢圓 (a0)的左、右焦點分別為 f1、f2，左準線為 l， 則當 06. p 為橢圓 (a0)上任一點,f1,f2 為二焦點，a 為橢圓內(nèi)一第 12 頁定點，則 ,當且僅當 三點共線時，等號成立.7. 橢圓 與直線 有公共點的充要條件是 .8. 已知橢圓 (a0)，o 為坐標原點，

23、 p、q 為橢圓上兩動點， 且 .(1) ;(2)|op|2+|oq|2 的最大值為 ;(3) 的最小值是 . 9. 過橢圓 (a0)的右焦點 f 作直線交該橢圓右支于 m,n 兩 點，弦 mn 的垂直平分線交 x 軸于 p，則 .10. 已知橢圓 ( a0) ,a、b、是橢圓上的兩點，線段 ab 的 垂直平分線與 x 軸相交于點 , 則 .11. 設(shè) p 點是橢圓 ( a0)上異于長軸端點的任一點 ,f1、f2 為其焦點記 ，則(1) .(2) .12. 設(shè) a、b 是橢圓 ( a0)的長軸兩端點，p 是橢圓上的一 點， , , ，c、e 分別是橢圓的半焦距離心率，則有 (1) .(2) .

24、(3) .13. 已知橢圓 ( a0)的右準線 與 x 軸相交于點 ，過橢圓右 焦點 的直線與橢圓相交于 a、b 兩點,點 在右準線 上，且 軸，則直線 ac 經(jīng)過線段 ef 的中點.14. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的 圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直. 15. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準線于一點， 則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直 .16. 橢圓焦三角形中 ,內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端 點的焦半徑之比為常數(shù) e(離心率).第 13 頁(注:在橢圓焦三角形中 ,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸 交點分別稱為內(nèi)、外點 .)17. 橢圓焦三角

25、形中,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定 比 e.18. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比 例中項.雙曲線1. 雙曲線 (a0)的兩個頂點為 , ，與 y 軸平行的直線交雙 曲線于 p1、p2 時 a1p1 與 a2p2 交點的軌跡方程是 . 2. 過雙曲線 (ao)上任一點 任意作兩條傾斜角互補的直線 交雙曲線于 b,c 兩點，則直線 bc 有定向且 (常數(shù)). 3. 若 p 為雙曲線 (a0)右(或左)支上除頂點外的任一點,f1, f 2 是焦點, , ，則 (或 ).4. 設(shè)雙曲線 (a0)的兩個焦點為 f1、f2,p(異于長軸端點) 為雙曲線上任意一點，在pf1f2 中，

26、記 , , ，則有 . 5. 若雙曲線 (a0)的左、右焦點分別為 f1、f2，左準線為 l， 則當 16. p 為雙曲線 (a0)上任一點,f1,f2 為二焦點，a 為雙曲線 內(nèi)一定點，則 ,當且僅當 三點共線且 和 在 y 軸同側(cè)時， 等號成立.7. 雙曲線 (a0)與直線 有公共點的充要條件是 .8. 已知雙曲線 (b0)，o 為坐標原點，p、q 為雙曲線上兩動第 14 頁點，且 .(1) ;(2)|op|2+|oq|2 的最小值為 ;(3) 的最小值是 .9. 過雙曲線 (a0)的右焦點 f 作直線交該雙曲線的右支于 m,n 兩點，弦 mn 的垂直平分線交 x 軸于 p，則 .10.

27、已知雙曲線 (a0),a、b 是雙曲線上的兩點，線段 ab 的 垂直平分線與 x 軸相交于點 , 則 或 .11. 設(shè) p 點是雙曲線 (a0)上異于實軸端點的任一點 ,f1、f2 為其焦點記 ，則(1) .(2) .12. 設(shè) a、b 是雙曲線 (a0)的長軸兩端點， p 是雙曲線上的 一點， , , ，c、e 分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1) . (2) .(3) .13. 已知雙曲線 (a0)的右準線 與 x 軸相交于點 ，過雙曲 線右焦點 的直線與雙曲線相交于 a、b 兩點,點 在右準線 上，且 軸，則直線 ac 經(jīng)過線段 ef 的中點.14. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線

28、，與以長軸為直 徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直. 15. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準線于 一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16. 雙曲線焦三角形中 ,外點到一焦點的距離與以該焦點為 端點的焦半徑之比為常數(shù) e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長 軸交點分別稱為內(nèi)、外點).第 15 頁17. 雙曲線焦三角形中 ,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂 點連線段分成定比 e.18. 雙曲線焦三角形中 ,半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心 的比例中項.其他常用公式：1、連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，利用 方程的根與系數(shù)關(guān)

29、系來計算弦長，常用的弦長公式： 2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成 (a,b 不同時為 0)的形式。3、知直線橫截距 ，常設(shè)其方程為 (它不適用于斜率為 0 的 直線)與直線 垂直的直線可表示為 。4、 兩平行線 間的距離為 。5、 若直線 與直線 平行則 (斜率)且 (在 軸上截距) (充要條件 )6、 圓的一般方程： ，特別提醒：只有當 時，方程 才表示 圓心為 ，半徑為 的圓。二元二次方程 表示圓的充要條件 是 且 且 。7、 圓的參數(shù)方程： ( 為參數(shù))，其中圓心為 ，半徑為 。 圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元： ;6、 為直徑端點的圓方程切線長：過圓 ( )外一點 所引圓的切線

30、的長為 ( )第 16 頁9、弦長問題：圓的弦長的計算：常用弦心距 ，弦長一半 及圓的半徑 所構(gòu)成的直角三角形來解： ;過兩圓 、 交 點的圓(公共弦)系為 ，當 時，方程 為兩圓公共弦所在直 線方程.。攻克圓錐曲線解答題的策略:為幫助高三學(xué)生學(xué)好圓錐曲線解答題，提高成績，戰(zhàn)勝高 考，可從四個方面著手：知識儲備、方法儲備、思維訓(xùn)練、 強化訓(xùn)練。：知識儲備 方法儲備 思維訓(xùn)練 強化訓(xùn)練第一、知識儲備：1. 直線方程的形式(1) 直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截 距式、一般式。(2) 與直線相關(guān)的重要內(nèi)容1 傾斜角與斜率2 點到直線的距離 夾角公式：(3)弦長公式直線 上兩點 間的

31、距離：或(4)兩條直線的位置關(guān)系 =-1 2、圓錐曲線方程及性質(zhì)第 17 頁(1)、橢圓的方程的形式有幾種 ?(三種形式)標準方程：距離式方程：參數(shù)方程：(2)、雙曲線的方程的形式有兩種標準方程：距離式方程：(3)、 三種圓錐曲線的通徑你記得嗎?(4)、 圓錐曲線的定義你記清楚了嗎?如：已知 是橢圓 的兩個焦點，平面內(nèi)一個動點 m 滿足 則 動點 m 的軌跡是( )a、雙曲線;b、雙曲線的一支;c、兩條射線;d、一條射線 (5)、焦點三角形面積公式：(其中 )(6)、記住焦半徑公式：(1) ，可簡記為左加右減，上加下 減。(2)(3)(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎?第二、方法儲備1

32、、點差法(中點弦問題 )設(shè) 、 ， 為橢圓 的弦 中點則有第 18 頁， ;兩式相減得2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的 問題嗎?經(jīng)典套路是什么?如果有兩個參數(shù)怎么辦?設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)， 得到一個二次方程，使用判別式 ，以及根與系數(shù)的關(guān)系， 代入弦長公式，設(shè)曲線上的兩點 ，將這兩點代入曲線方程 得到 12 兩個式子，然后1 2，整體消元，若有兩個 字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如直線過 焦點，則可以利用三點 a、b、f 共線解決之。若有向量的關(guān) 系，則尋找坐標之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。 一旦設(shè)直線為 ，就意味著 k

33、 存在。例 1、已知三角形 abc 的三個頂點均在橢圓 上，且點 a 是橢 圓短軸的一個端點 (點 a 在 y 軸正半軸上).(1) 若三角形 abc 的重心是橢圓的右焦點，試求直線 bc 的方 程;(2) 若角 a 為 ，ad 垂直 bc 于 d，試求點 d 的軌跡方程.分析：第一問抓住重心，利用點差法及重心坐標公式可求出 中點弦 bc 的斜率，從而寫出直線 bc 的方程。第二問抓住角 a 為 可得出 abac，從而得 ，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法 求出點 d 的軌跡方程;解：(1)設(shè) b( , ),c( , ),bc 中點為( ),f(2,0)則有 兩式作差有 (1)第 19 頁f(2,0

34、)為三角形重心，所以由 ，得 ，由 得 ，代入(1)得 直線 bc 的方程為2)由 abac 得 (2)設(shè)直線 bc 方程為 ，得代入(2)式得，解得 或直線過定點(0， ，設(shè) d(x,y)，則 ，即所以所求點 d 的軌跡方程是 。4、設(shè)而不求法例 2、如圖，已知梯形 abcd 中 ，點 e 分有向線段 所成的比 為 ，雙曲線過 c、d、e 三點，且以 a、b 為焦點當 時，求 雙曲線離心率 的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線 的概念和性質(zhì)，推理、運算能力和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問 題的能力。建立直角坐標系 ，如圖，若設(shè) c ，代入 ，求得 ， 進而求得 再代入 ，

35、建立目標函數(shù) ，整理 ，此運算量可見 是難上加難.我們對 可采取設(shè)而不求的解題策略,建立目標函數(shù) ，整理 ,化繁為簡 .解法一：如圖，以 ab 為垂直平分線為 軸，直線 ab 為 軸， 建立直角坐標系 ，則 cd 軸因為雙曲線經(jīng)過點 c、d，且以 a、 b 為焦點，由雙曲線的對稱性知 c、d 關(guān)于 軸對稱依題意，記 a ，c ，e ，其中 為雙曲線的半焦距， 是梯形第 20 頁的高，由定比分點坐標公式得設(shè)雙曲線的方程為 ，則離心率由點 c、e 在雙曲線上，將點 c、e 的坐標和 代入雙曲線方 程得由式得 ， 將式代入式，整理得故由題設(shè) 得，解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為分析：考慮 為焦半徑

36、,可用焦半徑公式, 用 的橫坐標表示， 回避 的計算, 達到設(shè)而不求的解題策略 .解法二：建系同解法一， ，又 ，代入整理 ，由題設(shè) 得，解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為5、判別式法例 3 已知雙曲線 ，直線 過點 ，斜率為 ，當 時，雙曲線 的上支上有且僅有一點 b 到直線 的距離為 ，試求 的值及 此時點 b 的坐標。分析 1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科， 因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從有第 21 頁且僅有這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點 b 作與 平 行的直線，必與雙曲線 c 相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所 構(gòu)造方程的判別式 . 由此出發(fā)

37、，可設(shè)計如下解題思路： 解題過程略.分析 2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當把距離用代 數(shù)式表達，即所謂有且僅有一點 b 到直線 的距離為 ，相當 于化歸的方程有唯一解 . 據(jù)此設(shè)計出如下解題思路： 簡解：設(shè)點 為雙曲線 c 上支上任一點，則點 m 到直線 的距 離為：于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于 的方程.由于 ，所以 ，從而有于是關(guān)于 的方程由 可知：方程 的二根同正，故 恒成立，于是 等價于例 4 已知橢圓 c: 和點 p(4，1)，過 p 作直線交橢圓于 a、b 兩點，在線段 ab 上取點 q，使 ，求動點 q 的軌跡所在曲線 的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾

38、，學(xué) 生往往不知從何入手。其實，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參 數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點 q 的 橫、縱坐標用參數(shù)表達，最后通過消參可達到解題的目的. 由于點 的變化是由直線 ab 的變化引起的，自然可選擇直線第 22 頁ab 的斜率 作為參數(shù)，如何將 與 聯(lián)系起來 ?一方面利用點 q 在直線 ab 上;另一方面就是運用題目條件： 來轉(zhuǎn)化.由 a、b、 p、q 四點共線，不難得到 ，要建立 與 的關(guān)系，只需將直 線 ab 的方程代入橢圓 c 的方程，利用韋達定理即可 . 通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但 對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).在得到 之后

39、，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參， 目的不過是得到關(guān)于 的方程(不含 k)，則可由 解得 ，直接 代入 即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。簡解：設(shè) ，則由 可得： ，解之得： (1)設(shè)直線 ab 的方程為： ，代入橢圓 c 的方程，消去 得出關(guān) 于 x 的一元二次方程：(2)代入(1)，化簡得： (3)與 聯(lián)立，消去 得：在(2)中，由 ，解得 ，結(jié)合(3)可求得6、求根公式法例 5 設(shè)直線 過點 p(0，3)，和橢圓 順次交于 a、b 兩點，試 求 的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到： = ，但從此后卻 一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠 . 事實第 2

40、3 頁上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量 關(guān)于某個(或某幾個 )參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式(或方程)，這只需利 用對應(yīng)的思想實施 ;其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān) 系.分析 1: 從第一條想法入手， = 已經(jīng)是一個關(guān)系式，但由于 有兩個變量 ，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然 想到利用第 3 個變量直線 ab 的斜率 k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 k 的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方 程，消去 y 得出關(guān)于 的一元二次方程，其求根公式呼之欲 出.簡解 1：當直線 垂直于 x 軸時，可求得 ;當 與 x 軸不垂直時，設(shè) ，直線 的方程為： ，代入橢圓方 程，消去

41、 得解之得因為橢圓關(guān)于 y 軸對稱，點 p 在 y 軸上，所以只需考慮 的 情形.當 時， ， ，所以 = = = .由 , 解得 ，所以 ，綜上 .分析 2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：第 24 頁判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負性可以 很快確定 的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與 聯(lián) 系起來. 一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但 本題無法直接應(yīng)用韋達定理，原因在于 不是關(guān)于 的對稱關(guān) 系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們 可以構(gòu)造關(guān)于 的對稱關(guān)系式.簡解 2：設(shè)直線 的方程為： ，代入橢圓方程，消去 得 則令 ，則，在(*)

42、中，由判別式 可得 ，從而有 ，所以 ，解得 .解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并 不能說明問題，有時甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實 質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運 籌帷幄，方能決勝千里 .第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題 的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實數(shù)學(xué) 命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當?shù)慕?題方法，達到解題目標，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推 理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系 (充分性、 必要性、充要性等 )，做到思考縝密、推理嚴密。通過編寫 思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高

43、解題能力。第 25 頁例 6 橢圓長軸端點為 ， 為橢圓中心， 為橢圓的右焦點， 且 ， .()求橢圓的標準方程 ;()記橢圓的上頂點為 ，直線 交橢圓于 兩點，問：是否 存在直線 ，使點 恰為 的垂心?若存在，求出直線 的方程; 若不存在，請說明理由。思維流程：解題過程：()如圖建系，設(shè)橢圓方程為 ,則又 即 ，故橢圓方程為()假設(shè)存在直線 交橢圓于 兩點，且 恰為 的垂心，則 設(shè) ， ，故 ，于是設(shè)直線 為 ，由 得， 又得 即由韋達定理得解得 或 (舍) 經(jīng)檢驗 符合條件.點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊，然后 轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零 .例 7、已知橢圓 的中心在坐標原點，焦

44、點在坐標軸上，且經(jīng) 過 、 、 三點.第 26 頁()求橢圓 的方程：()若點 d 為橢圓 上不同于 、 的任意一點， ，當 內(nèi)切 圓的面積最大時，求 內(nèi)心的坐標;思維流程：解題過程： ()設(shè)橢圓方程為 ，將 、 、 代入橢圓 e 的 方程，得解得 .橢圓 的方程 .() ，設(shè) 邊上的高為當點 在橢圓的上頂點時， 最大為 ，所以 的最大值為 . 設(shè) 的內(nèi)切圓的半徑為 ，因為 的周長為定值 6.所以， 所以 的最大值為 .所以內(nèi)切圓圓心的坐標為 .點石成金：例 8、已知定點 及橢圓 ，過點 的動直線與橢圓相交于 兩 點.()若線段 中點的橫坐標是 ，求直線 的方程;()在 軸上是否存在點 ，使 為常數(shù)?若存在，求出點 的 坐標;若不存在，請說明理