1.2.1排列與組合(排列)(新人教A版選修2-3)

1、(一) 在在1.1節(jié)的例節(jié)的例9中我們看到中我們看到,用分步乘用分步乘 法計數(shù)原理解決這個問題時法計數(shù)原理解決這個問題時,因做了因做了 一些重復(fù)性工作而顯得繁瑣一些重復(fù)性工作而顯得繁瑣,能否對能否對 這一類計數(shù)問題給出一種簡捷的方這一類計數(shù)問題給出一種簡捷的方 法呢法呢? 探究：探究： 問題問題1：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2名參加一項活名參加一項活 動，其中動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，另名同學(xué)參加下名同學(xué)參加上午的活動，另名同學(xué)參加下 午的活動，有多少種不同的選法？午的活動，有多少種不同的選法？ 問題問題2：從從1，2，3，4這這4個數(shù)中，每次取出個數(shù)中，每次取出

2、3個排成個排成 一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？ 上面兩個問題有什么共同特征？可以用上面兩個問題有什么共同特征？可以用 怎樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫？怎樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫？ 探究：探究： 問題問題1：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2名參加一項活名參加一項活 動，其中動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，另名同學(xué)參加下名同學(xué)參加上午的活動，另名同學(xué)參加下 午的活動，有多少種不同的選法？午的活動，有多少種不同的選法？ 分析：分析：把題目轉(zhuǎn)化為從甲、乙、丙把題目轉(zhuǎn)化為從甲、乙、丙3名同學(xué)中選名同學(xué)中選2名，名， 按照參加上午的活動在前，參加下午的

3、活動在后的按照參加上午的活動在前，參加下午的活動在后的 順序排列，求一共有多少種不同的排法？順序排列，求一共有多少種不同的排法？ 上午上午下午下午 相應(yīng)的排法相應(yīng)的排法 甲 乙 丙 乙 甲 丙 丙 甲 乙 甲丙 甲乙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 第一步：確定參加上午活動的同學(xué)即從第一步：確定參加上午活動的同學(xué)即從3 3名中任名中任 選選1 1名，有名，有3 3種選法種選法. . 第二步：確定參加下午活動的同學(xué)，有第二步：確定參加下午活動的同學(xué)，有2 2種方法種方法 根據(jù)分步計數(shù)原理：根據(jù)分步計數(shù)原理：3 32=6 2=6 即共即共6 6種方法。種方法。 把上面問題中被取的對象叫做把上面問題中被取的

4、對象叫做元素元素,于是問于是問 題就可以敘述為：題就可以敘述為： 從從3個不同的元素個不同的元素a,b,c中任取中任取2個，然后按照一定個，然后按照一定 的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？ ab, ac, ba, bc, ca, cb 問題問題2：從從1，2，3，4這這4個數(shù)中，每次取出個數(shù)中，每次取出3個排成個排成 一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？ 1 234 443322 4 44 3 33 1 11 2 4 4 4 3 1 11 2 22 4 3 33 1 11 2 22 從從4個不同的

5、元素個不同的元素a,b,c,d 中任取中任取3個，然后按照一定的順個，然后按照一定的順 序排成一列，共有多少種不同的排列方法？序排成一列，共有多少種不同的排列方法？ abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. 有此可寫出所有的三位數(shù)：有此可寫出所有的三位數(shù)： 123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，4

6、31，432。 (1)有順序的有順序的 (2)不論是排列之前，還是之后，所有的元素都不相等不論是排列之前，還是之后，所有的元素都不相等? 基本概念基本概念 1、排列：、排列： 一般地，從一般地，從n個不同中取出個不同中取出m (m n)個元素，個元素， 按照一定的順序排成一列，叫做從按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元個不同元 素中取出素中取出m個元素的一個排列。個元素的一個排列。 說明：說明： 1 1、元素不能重復(fù)。、元素不能重復(fù)。n n個中不能重復(fù)，個中不能重復(fù)，m m個中也不能重復(fù)。個中也不能重復(fù)。 2 2、“按一定順序按一定順序”就是與位置有關(guān)，這是判斷一個問題是就是與位置有關(guān)，這

7、是判斷一個問題是 否是排列問題的關(guān)鍵。否是排列問題的關(guān)鍵。 3 3、兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列中的元素完全相同，兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列中的元素完全相同， 而且元素的排列順序也完全相同。而且元素的排列順序也完全相同。 4 4、m mn n時的排列叫選排列，時的排列叫選排列，m mn n時的排列叫全排列。時的排列叫全排列。 5 5、為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，最好采用、為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，最好采用 “樹形圖樹形圖”。 例例1 1、下列問題中哪些是排列問題？、下列問題中哪些是排列問題？ （1 1）1010名學(xué)生中抽名學(xué)生中抽2 2名學(xué)生開會名學(xué)生開

8、會 （2 2）1010名學(xué)生中選名學(xué)生中選2 2名做正、副組長名做正、副組長 （3 3）從）從2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取兩個數(shù)相乘中任取兩個數(shù)相乘 （4 4）從）從2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取兩個數(shù)相除中任取兩個數(shù)相除 （5 5）2020位同學(xué)互通一次電話位同學(xué)互通一次電話 （6 6）2020位同學(xué)互通一封信位同學(xué)互通一封信 （7 7）以圓上的）以圓上的1010個點為端點作弦個點為端點作弦 （8 8）以圓上的）以圓上的1010個點中的某一點為起點，作過另一個點的個點中的某一點為起點，作過另一個點的 射線射線 （9 9）有）有1010個車站，共需要多少種車票

9、？個車站，共需要多少種車票？ （1010）有）有1010個車站，共需要多少種不同的票價？個車站，共需要多少種不同的票價？ 1、元素不能重復(fù)。、元素不能重復(fù)。n個中不能重復(fù)，個中不能重復(fù)，m個中也不能重復(fù)。個中也不能重復(fù)。 2、“按一定順序按一定順序”就是與位置有關(guān)，這是判斷一個問題就是與位置有關(guān)，這是判斷一個問題 是是 否是排列問題的關(guān)鍵。否是排列問題的關(guān)鍵。 3、兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列中的元素完全相、兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列中的元素完全相 同，而且元素的排列順序也完全相同。同，而且元素的排列順序也完全相同。 4、mn時的排列叫全排列。時的排列叫全排列。 5、為了使寫出的所有

10、排列情況既不重復(fù)也不遺漏，最好、為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，最好 采用采用“樹形圖樹形圖”。 2、排列數(shù)：、排列數(shù)： 從從n n個不同的元素中取出個不同的元素中取出m(mn)m(mn)個元素個元素 的所有排列的個數(shù)，叫做從的所有排列的個數(shù)，叫做從n n個不同的元素中個不同的元素中 取出取出m m個元素的排列數(shù)。用符號個元素的排列數(shù)。用符號 表示。表示。 m n A “排列排列”和和“排列數(shù)排列數(shù)”有什么區(qū)別和聯(lián)有什么區(qū)別和聯(lián) 系？系？ 排列數(shù)，而不表示具體的排列。 所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)； mn“排列數(shù)”是指從 個不同元素中，任取個元素的 m n A 所以符號只表示 nm“一個

11、排列”是指：從個不同元素中，任取 按照一定的順序排成一列，不是數(shù)； 個元素 2 3 3 26A 問題中是求從個不同元素中取出個元素的問題中是求從個不同元素中取出個元素的 排列數(shù)，記為排列數(shù)，記為 ,已經(jīng)算得已經(jīng)算得 2 3 A 3 4 4 3 224A 問題問題2中是求從中是求從4個不同元素中取出個不同元素中取出3個元素的個元素的 排列數(shù)，記為，已經(jīng)算出排列數(shù)，記為，已經(jīng)算出 3 4 A 探究：探究：從從n n個不同元素中取出個不同元素中取出2 2個元素的排列個元素的排列 數(shù)數(shù) 是多少？是多少？ 2 n A 呢呢？ m n A 呢呢？ 3 n A 第第1位位第第2位位第第3位位第第m位位 n種

12、種(n-1)種種(n-2)種種(n-m+1)種種 2 (1) n An n 3 (1)(2) n An nn (1)(2)(1) m n An nnnm (1)(1)排列數(shù)公式（排列數(shù)公式（1 1）：）： )*,)(1() 2)(1(nmNnmmnnnnAm n 當(dāng)當(dāng)m mn n時，時， 123) 2)(1(nnnAn n 正整數(shù)正整數(shù)1 1到到n n的連乘積，叫做的連乘積，叫做n n的階乘，用的階乘，用 表示。表示。! n n n個不同元素的全排列公式：個不同元素的全排列公式： ! nAn n (2)(2)排列數(shù)公式（排列數(shù)公式（2 2）：）： )!( ! mn n A m n 說明：說明：

13、 1 1、排列數(shù)、排列數(shù)公式公式的第一個常用來計算，第二個常用來證明。的第一個常用來計算，第二個常用來證明。 為了使當(dāng)為了使當(dāng)m mn n時上面的公式也成立，規(guī)定：時上面的公式也成立，規(guī)定： 1! 0 2 2、對于、對于 這個條件要留意，往往是解方程時的隱含條這個條件要留意，往往是解方程時的隱含條 件。件。 nm )1()2( )1( mnnnn A m n ,m nNmn 123)2)(1( nnnA n n 正整數(shù)正整數(shù)1到到n的連乘積，叫做的連乘積，叫做n的階乘的階乘，用，用n!表示，表示， ！nAn n 所以所以n個不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成個不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成 另外，

14、我們規(guī)定另外，我們規(guī)定0!1 )!( ! mn n 12)( 12)(1( )1( mn mnmnnn )1()2( )1( mnnnn A m n 例例1 計算：計算： 3 10 1 A）（ 5 18 2 A）（ 13 13 18 18 3AA ）（ 5 18 A 13 13 18 18 AA 141516 15 69n A 17 16 1554 m n A ,nN (55)(56)(68)(69)nnnn )16,( )16()1)( (3) axNaxxaxax 91 99 A 12n n A 15a 16x A 9911109 (1) 用排列數(shù)公式表示：用排列數(shù)公式表示：練習(xí)練習(xí) nn

15、 )1(1413 (2) 32 54 54AA 1計算：（1） 1234 4444 AAAA （2） 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 2從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地 上進(jìn)行試驗，有種不同的種植方法？ 4信號兵用3種不同顏色的旗子各一面，每次打出3面，最多能 打出不同的信號有（ ） D.27種 C.6種 種 B.3 種1 .A 348344345545 2 4 3 5 AA 34864 3從參加乒乓球團(tuán)體比賽的5名運動員中選出3名進(jìn)行某場比賽， 并排定他們的出場順序，有種不同的方法？ 641234234344 4 4 3 4 2 4 1 4 AAAA 24 60 24234 3 4

16、A 60345 3 5 A C 6123 3 3 A 排列問題，是取出排列問題，是取出m m個元素后，還要按一個元素后，還要按一 定的順序排成一列，取出同樣的定的順序排成一列，取出同樣的m m個元素，只個元素，只 要要，就視為完成這件事的兩種，就視為完成這件事的兩種 不同的方法（兩個不同的排列）不同的方法（兩個不同的排列） 由排列的定義可知，由排列的定義可知， ，也就是說與位置有關(guān)的問題才能歸結(jié)為排，也就是說與位置有關(guān)的問題才能歸結(jié)為排 列問題當(dāng)元素較少時，可以根據(jù)排列的意義列問題當(dāng)元素較少時，可以根據(jù)排列的意義 寫出所有的排列寫出所有的排列 2 14 A 3 5 60A=( (種種) ) 3

17、 5125=( (種種) ) 648899 1 8 1 9 1 9 AAA 648899 2 9 1 9 AA 或或 A 3 10 .648898910 A 3 10A 2 9 A 2 9 322 999 648AAA 2 9 A 2 9 A 3 9 A 3000 5 5 1 5 1 5 AAA 720 6 6 A 例例6 (6)若甲不在排頭若甲不在排頭,乙不在排尾乙不在排尾,有多少種不同的排法有多少種不同的排法? 7 7 A 6 6 A 6 6 A 5 5 A 5 5 6 6 7 7 2AAA 例例6 (6)若甲不在排頭若甲不在排頭,乙不在排尾乙不在排尾,有多少種不同的排法有多少種不同的排法

18、? 解法二（間接法）：解法二（間接法）：所有排法中除去不符合的所有排法中除去不符合的. 所有排法：所有排法： 甲在排頭：甲在排頭：乙在排尾：乙在排尾： 甲在排頭、乙在排尾：甲在排頭、乙在排尾： 共有：共有： 3720種方法種方法 解解:甲、乙合在一起有甲、乙合在一起有A22種排法種排法, 與另五個同學(xué)全排列有與另五個同學(xué)全排列有A66種排法，種排法，共有共有N= A22 A66=720 捆 綁 法捆 綁 法 3600 2 2 6 6 7 7 AAA 3600 2 6 5 5 AA 5 5 A 2 6 A 插空法插空法 A44A53=1440 其余四人在其余四人在7個位置中選個位置中選4個，有個

19、，有:A74方法，方法， 共有共有N= A741=840種站法種站法. 2520 2 1 7 7 A 2520 5 7 A或或 插空法插空法 288 4 4 3 3 2 2 AAA （種） 1440 3 5 4 4 AA 插空法插空法 480 。 4 4 A 2 4 A 4 4 A 24 44 AA 4 4 A 1 4 A 4 4 A 14 44 AA 1 4 A 4 4 A 14 44 AA 2144 4444 2121504AAAA 所以符合條件的排法共有所以符合條件的排法共有 種種 4 4 A 2 4 A 4 4 A 24 44 AA 4 4 A 1 4 A 4 4 A 14 44 AA 1 4 A 4 4 A 14 44 AA 2144 4444 2121504AAAA 所以符合條件的排法共有所以符合條件的排法共有 種種 6 6 A 5 5 A 5 5 A 4 4 A 654 654 2504AAA 623 673 AAA 10 10 A 而基本事件總數(shù)為而基本事件總數(shù)為 個個; 623 673 10 10